高中物理平均值的教學(xué)

摘要：在目前的高中物理教材中，對(duì)平均值的闡述比較簡(jiǎn)單，教師在教學(xué)中往往又會(huì)淡化這一問題，這樣一來，學(xué)生在處理相關(guān)問題時(shí)出錯(cuò)率就較高，本文分析學(xué)生中存在的典型錯(cuò)誤和教師應(yīng)采取的對(duì)策。

關(guān)鍵詞：平均值；典型錯(cuò)誤；對(duì)策

中圖分類號(hào)：G633.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6148(2007)10(S)-0024-3

在解決物理量的平均值時(shí)，老師在教學(xué)中往往會(huì)淡化這一問題，因此學(xué)生在處理相關(guān)問題時(shí)，就缺少足夠的理論基礎(chǔ)，從而經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文對(duì)學(xué)生中存在的典型錯(cuò)誤及教師在教學(xué)中需要解決的問題作了初步分析與探討。

1學(xué)生在平均值計(jì)算中存在的典型錯(cuò)誤

實(shí)例1汽車以一定的功率由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t=5s后速度達(dá)到18m/s，在這段時(shí)間內(nèi)，關(guān)于汽車的平均速度的大小，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.=9m/sB.>9m/s

C.<9m/sD.以上說法均不正確

解答=v1+v22=9m/s，所以選A。

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。因?yàn)楣?v1+v22的適用條件是：v與t成線性關(guān)系。在此例中，汽車速度v并不隨著時(shí)間t作線性變化，所以不能使用公式=v1+v22。

實(shí)例2如圖1所示，物體質(zhì)量為m=2kg，靜止于光滑水平面上，現(xiàn)對(duì)該物體施加一水平變力F，已知F隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖2所示。若物體在水平面上運(yùn)動(dòng)了t=10s，發(fā)生的位移為s=50m，求這一時(shí)間內(nèi)力F對(duì)物體所做的功。



解答因?yàn)榱隨時(shí)間t作線性變化，所以力F的平均值為

=F1+F22=0+62=3N。

所求的功為WF=s=3×50=150J。

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。在此求出的力的平均值=3N是對(duì)時(shí)間t的平均值，而在WF=s中，應(yīng)理解成對(duì)位移s的平均值。

實(shí)例3如圖3所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一單匝矩形線圈繞垂直于磁場(chǎng)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)軸O1O2勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，矩形線圈的兩條邊的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1、L2，線圈的總電阻為R，開始時(shí)線圈處在與中性面垂直的位置，試求：線圈從初始位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，線圈中產(chǎn)生的熱量是多少？

解答由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，在線圈從初始位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值為

=ΔΔt=BSπ2ω=2BL1L2ωπ，

電流的平均值為=R=2BL1L2ωπR。

所求熱量為Q=2Rt=(2BL1L2ωπR)2×R×π2ω=2B2L21L22ωπR。

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。公式Q=I2Rt中的I應(yīng)為有效值，而不是平均值。

2教師在平均值教學(xué)中需要解決的問題

在上述實(shí)例中，學(xué)生出錯(cuò)的原因在于概念不清、亂套公式造成的，要糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生講清以下幾個(gè)方面問題：

（1）平均值公式=y1+y22 的適用條件問題，也就是說何時(shí)平均值為=y1+y22。

當(dāng)一個(gè)物理量y隨另一個(gè)物理量x變化時(shí)，若x的變化范圍為［x1，x2］，則在這段范圍內(nèi)，y相對(duì)于x的平均值是=∫x2x1ydxx2-x1 ，當(dāng)y隨x作線性變化時(shí)，將y=kx代入上式得=k#8226;12(x22-x21)x2-x1=k(x2+x1)2=y1+y22 ，可見，當(dāng)一個(gè)物理量y隨另一個(gè)物理量x作線性變化時(shí)，y相對(duì)于x的平均值為=y1+y22 ，而作非線性變化時(shí)，≠y1+y22。

在實(shí)例1中，因?yàn)槠嚨墓β室欢ǎ治鲞\(yùn)動(dòng)過程可知，汽車做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，速度v隨時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖4所示，因?yàn)関- t不成線性關(guān)系，所以用公式=v1+v22 計(jì)算平均速度是錯(cuò)誤的。

實(shí)例1的正確解法為：

如圖4所示，位移s＝“面積”>v1+v22#8226;t。因?yàn)?st ，所以>v1+v22=9m/s，正確選項(xiàng)為B。

（2）平均值的相對(duì)性問題，也就是說平均值是相對(duì)于時(shí)間t的平均值還是相對(duì)于位移s的平均值。

在實(shí)例2中，學(xué)生的錯(cuò)誤在于：求出的平均值=F1+F22=0+62=3N是相對(duì)時(shí)間量t的平均值，而功的表達(dá)式WF=s中的平均值應(yīng)該理解成相對(duì)位移s的平均值。

那么，在實(shí)例2中，F(xiàn)隨s的變化關(guān)系是什么呢，下面作分析：

F=kt，①

a=Fm=ktm，②

v=∫t0adt=kt22m，③

s=∫t0vdt=∫t0kt22mdt=kt36m。④

由①④式消去t得s=F36mk2，

可見F-s圖像不成線性關(guān)系，所以在實(shí)例2中不能用=F1+F22求出力F相對(duì)位移s的平均值，因此不能通過公式WF=s求功。

實(shí)例2的正確解法是：先用動(dòng)量定理求出末速度v，再用動(dòng)能定理求出功W。

解答：力F的沖量為I=#8226;t，其中的應(yīng)理解為力F相對(duì)時(shí)間t的平均值，因?yàn)镕- t圖像呈線性關(guān)系，所以=F1+F22=0+62=3N。

由#8226;t=mv 得v=#8226;tm=3×102=15m/s。

再用動(dòng)能定理求出力F所做的功W=12mv2=12×2×152=225J。

其實(shí)，在實(shí)例2中，若將已知條件改變一下，將F-t圖像改為F-s圖像，則仍可用平均值解題，請(qǐng)看下面的實(shí)例：

實(shí)例4如圖1所示，物體質(zhì)量為m=2kg，靜止于光滑水平面上，現(xiàn)對(duì)該物體施加一水平變力F，已知F隨位移s的變化關(guān)系如圖5所示，若物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移為s=50m，求這一過程中力F對(duì)物體所做的功。

解答因?yàn)榱隨位移s作線性變化，所以力F相對(duì)位移s的平均值為=F1+F22=0+62=3N。所求的功為WF=s=3×50=150m/s。這個(gè)解法是正確的。

在此，學(xué)生一定對(duì)如何判斷平均值是相對(duì)時(shí)間t的還是相對(duì)位移s的問題感到困惑。下面談這個(gè)問題：

（3）如何判斷一個(gè)物理量y的平均值是相對(duì)時(shí)間t還是相對(duì)位移s的平均值。

前面已經(jīng)說過，當(dāng)一個(gè)物理量y隨另一個(gè)物理量x變化時(shí)，若x的變化范圍為［x1，x2］，則在這段范圍內(nèi)，y相對(duì)于x的平均值是=∫x2x1ydxx2-x1，把此式變形得∫x2x1ydx=#8226;(x2-x1)，如果x1=0，則式子又變?yōu)椤要瑇0ydx=#8226;x，可見，只要在計(jì)算題中求解的平均值滿足關(guān)系式∫x2x1ydx=#8226;(x2-x1)或∫x0ydx=#8226;x，則平均值應(yīng)理解成物理量y相對(duì)物理量x的平均值。

在實(shí)例4中，計(jì)算功時(shí)，因?yàn)镕隨s變化，所以WF=∫s0Fds=s，此式中的平均值 是相對(duì)s的平均值。在實(shí)例2的正確解法中，計(jì)算沖量時(shí)，因?yàn)镕隨t變化，所以IF=∫t0Fdt=t，此式中的平均值是相對(duì)t的平均值。 

在實(shí)例1中，速度隨時(shí)間t發(fā)生變化，所求的平均速度實(shí)際上就是=∫t0vdtt，可見是相對(duì)時(shí)間t的平均值。下面再舉一個(gè)實(shí)例，說明也可以是相對(duì)距離l的平均值。

實(shí)例5如圖6所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)棒垂直于磁場(chǎng)方向放置，現(xiàn)讓棒繞O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，求棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E。

解答如圖6所示，用公式E=BLv來處理問題，因?yàn)榘羯细鼽c(diǎn)的速度v是隨著棒與圓心之間距離l的變化而變化的，所以考慮用平均速度代入運(yùn)算，即E=∫L0vdl=BL，這里的是相對(duì)距離l的平均值，因?yàn)関＝lω，可見v隨l作線性變化，所以=v1+v22=Lω2，從而得

E=BL=BL2ω2。

⑷平均值與有效值的區(qū)別

在實(shí)例3中，學(xué)生混淆了平均值與有效值這兩個(gè)物理概念，教師可讓學(xué)生理解如下內(nèi)容：

由物理公式=qt得q=#8226;t，可見在用公式q=It計(jì)算電量時(shí)，電流I應(yīng)該用平均值代入進(jìn)行計(jì)算。

而計(jì)算熱量的公式是焦耳定律Q=I2Rt，當(dāng)電流變化時(shí)，I以什么值代入進(jìn)行計(jì)算呢，物理上引入了有效值I有的概念，定義是∫t0I2Rdt＝I2有Rt，可見，在用公式Q=I2Rt計(jì)算熱量時(shí)，I應(yīng)該用有效值代入進(jìn)行計(jì)算。

那么實(shí)例3中的電流i的有效值是多少呢？分析轉(zhuǎn)動(dòng)過程后發(fā)現(xiàn)，電流i按正弦規(guī)律變化，可設(shè)i=Imsinω t，將i 代入到表達(dá)式∫T0i2Rdt=I2有RT中，即得∫T0（Imsinω t）2Rdt=I2有RT，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算后得I有=Im2。

理解了這些內(nèi)容后，易得實(shí)例3的正確解法：電動(dòng)勢(shì)的最大值為Em=BSω=BL1L2ω，

電流的最大值為Im=EmR=BL1L2ωR，

電流的有效值為I=Im2=BL1L2ω2R，

故電量為Q=I2Rt=(BL1L2ω2R)2R×π2ω

=πB2L21L22ω4R。

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社物理室. 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）物理（第一冊(cè)）. 北京：人民教育出版社，2003.6

［2］人民教育出版社物理室. 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修加選修）物理（第二冊(cè)）. 北京：人民教育出版社，2003.6

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。