探討概率教學(xué) 培養(yǎng)概率觀念

陳萬(wàn)忠

摘要：概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法。因此，概率論的基本知識(shí)已成為每個(gè)現(xiàn)代公民必備的基本素質(zhì)。由于概率論實(shí)用性強(qiáng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和動(dòng)手能力，全面培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：概率教學(xué)；古典概型；隨機(jī)觀念；應(yīng)用數(shù)學(xué)

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。隨著社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，概率論在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，對(duì)人類生活的影響越來(lái)越大。但是，學(xué)生在學(xué)習(xí)掌握本章內(nèi)容時(shí)普遍感到概念比較抽象，思維難以拓展，解決問(wèn)題難以找到切入點(diǎn)，解決方法難以掌握。經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐后，我認(rèn)為，要解決這些問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中一定要重視隨機(jī)觀念的培養(yǎng)，重視古典概型的構(gòu)建，要突出概率論的實(shí)用性和趣味性，把握教學(xué)內(nèi)容的深淺度。下面談?wù)劚救藢?duì)概率論教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)。

一、注意與初中概率統(tǒng)計(jì)的銜接

這部分知識(shí)與初中內(nèi)容聯(lián)系密切，一些內(nèi)容在初中都接觸過(guò)，在初中，介紹了隨機(jī)事件的概念，要求會(huì)運(yùn)用列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，獲得隨機(jī)事件發(fā)生的頻率，知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的頻率可作為隨機(jī)事件發(fā)生概率的估計(jì)值。在高中概率教學(xué)中，可用回憶復(fù)習(xí)等方式先進(jìn)行回顧，在此基礎(chǔ)上要有更深層次的理解。比如，在頻率與概率部分，不但知道頻率可以作為概率的近似值，而且要知道頻率與概率的區(qū)別：頻率是隨機(jī)的，每次實(shí)驗(yàn)得到的頻率可能是不同的，但隨機(jī)事件的概率是一個(gè)常數(shù)，是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它不隨每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果而改變。在初中要求會(huì)運(yùn)用列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，而高中提高到理解古典概型的特征，并能運(yùn)用概率公式計(jì)算隨機(jī)事件的概率、表示隨機(jī)事件的關(guān)系。

二、重視隨機(jī)觀念的培養(yǎng)，澄清日常生活中的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

概率論教學(xué)的核心問(wèn)題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，而隨機(jī)觀念的培養(yǎng)又顯得尤其重要。教材中給出自然界和人類日常生活中的大量實(shí)例，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣和積極性。

例1(課本引言)若干門同一種大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)射擊一次，已知每門大炮射擊一次擊中目標(biāo)的概率是0.3，那么要用多少門這樣的大炮同時(shí)射擊一次，才能使目標(biāo)被擊中概率超過(guò)95％?

某超市購(gòu)買商品現(xiàn)金返還率為10％，某人購(gòu)買了10次商品一定能中獎(jiǎng)嗎?

某報(bào)紙報(bào)道今春某地瘋牛病的發(fā)病率為10％，我們這里對(duì)牛要不要采取預(yù)防措施?

這樣的實(shí)際例子極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師在教學(xué)中可以充分地利用好這一點(diǎn)來(lái)引出概率，通過(guò)這些具體實(shí)例的引入，讓學(xué)生了解到很多隨機(jī)現(xiàn)象。為了探索隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察。我們不能在試驗(yàn)之前預(yù)知試驗(yàn)的確切結(jié)果，只能知道每個(gè)結(jié)果的概率。從而使我們認(rèn)識(shí)到：概率和確定性科學(xué)一樣，已成為我們認(rèn)識(shí)和改造自然、社會(huì)的一種不可缺少的科學(xué)方法，能夠幫助我們有效地解決現(xiàn)實(shí)世界中的許許多多問(wèn)題。認(rèn)識(shí)到概率的思維方式和確定性思維方式的差異，這就是隨機(jī)觀念。這種充滿辨證思想的新觀念和認(rèn)識(shí)客觀世界的新視角，是學(xué)生應(yīng)該建立的觀念。教師應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用概率思考問(wèn)題的特點(diǎn)。使學(xué)生初步形成用隨機(jī)現(xiàn)象觀察和分析問(wèn)題的意識(shí)。

例2任意拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率是1／2，那么將一枚均勻硬幣拋擲100次，一定會(huì)出現(xiàn)50次正面向上嗎?

學(xué)生在學(xué)習(xí)概率時(shí)會(huì)有一種誤解，認(rèn)為既然出現(xiàn)正面向上的概率為1／2，那么擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面向上是必然的。這樣的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)很多。教師在教學(xué)中，要經(jīng)常了解和糾正學(xué)生對(duì)概率已有的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)和直覺，要誘導(dǎo)學(xué)生改正這種不良的人生觀，并嘗試澄清日常生活中遇到的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。正確認(rèn)識(shí)到概率的思維方式和確定性思維方式的差異，概率只反應(yīng)出事件發(fā)生可能性的大小，不能代表具體結(jié)果。

三、重視古典概型的構(gòu)建，體會(huì)概率模型的作用

古典概型的定義式是：p(A)=m／n(m是事件A包含的基本事件數(shù)，n是試驗(yàn)的基本事件總數(shù))。古典概型的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)實(shí)例理解古典概型的特征：(1)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有限性，(2)取每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的等可能性。教師一定要分析清楚“有限性”和“等可能性”的含義，并讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為古典概型，還要鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，親自去體會(huì)這種模型的作用。遇到問(wèn)題時(shí)首先要學(xué)會(huì)判斷是不是古典概型問(wèn)題?它們是否符合古典概型的特征?這樣讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問(wèn)題化為古典概型，也就是把不同問(wèn)題歸結(jié)為同一個(gè)概率模型，逐漸培養(yǎng)出分析問(wèn)題的意識(shí)。

例3骰子先后拋擲兩次，求兩數(shù)之和為5的概率。

分析：將骰子拋擲1次，它落地時(shí)向上的數(shù)有1、2、3、4、5、6、這6種結(jié)果，可以把全體基本事件用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示。這樣很容易求出事件總數(shù)，不會(huì)出遺漏或重復(fù)，能夠更準(zhǔn)確地把握基本事件個(gè)數(shù)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理。共有6×6=36種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等。而向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有(1，4)、(2，3)、(3，2)、(4，1)。所以其概率為4／36=1／9。

例4一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已編有不同號(hào)碼的3個(gè)黑球，從中摸出2個(gè)球，求摸出2個(gè)黑球的概率是多少?

分析：把1個(gè)白球和3個(gè)黑球看成是4個(gè)不同的球，要求摸出的兩球?yàn)楹谇颍匦鑿?個(gè)黑球中去取，這樣就有3種取法，又因?yàn)橐还灿?種取法，所以其概率為3／6=1／2。

在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)通過(guò)舉出大量的有關(guān)古典概型的實(shí)例，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生自主互動(dòng)，合作交流，充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，從而自主構(gòu)建古典概型的知識(shí)和解題方法。

四、重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，淡化純理論，把握教學(xué)的深淺度

教師應(yīng)該從生活實(shí)例或是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單抽象、概括，再得到一般性的結(jié)論。這樣做的目的是顯而易見的，即盡量克服因追求純理論上的嚴(yán)密性而使數(shù)學(xué)顯得抽象和枯燥，甚至使學(xué)生望而生畏。教師在教學(xué)中應(yīng)充分考慮到學(xué)生能力的實(shí)際情況和高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的能力。因此，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在知識(shí)形成的思維過(guò)程上。通過(guò)問(wèn)題提出的思維過(guò)程和問(wèn)題解決的思維過(guò)程的暴露，把知識(shí)的發(fā)生、形成、探索過(guò)程復(fù)現(xiàn)出來(lái)，進(jìn)行“擬真性”的教學(xué)，作為學(xué)生對(duì)知識(shí)作深層次的理解和思維方法的借鑒。

教師應(yīng)該降低純理論的難度，轉(zhuǎn)向思想方法的滲透，研究方法的積累，切實(shí)搞好基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)。在教學(xué)中要將著眼點(diǎn)放在一些重要概念的實(shí)際意義上，突出概率的基本思想方法，突出概率知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，注意防止隨意擴(kuò)大教學(xué)范圍，要重其所重，輕其所輕。

教師應(yīng)該把握教學(xué)的深淺度，抓住教學(xué)要求。例如，可不必嚴(yán)格證明對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣來(lái)說(shuō)，在整個(gè)抽樣過(guò)程中總體的每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等；不必計(jì)算古典概型中基本事件空間包含基本事件個(gè)數(shù)，只要求能夠?qū)懗龌臼录臻g等等。教學(xué)中，要注意通過(guò)教材中的基本內(nèi)容，讓學(xué)生了解和理解從中反映出來(lái)的基本的概率患想，例如必然與偶然，原因與結(jié)果的辯證關(guān)系，概率的觀點(diǎn)，并了解所學(xué)知識(shí)在實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

五、注重概率論知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力

在概率論教學(xué)中，教師應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，通過(guò)豐富的實(shí)例：如投硬幣試驗(yàn)、擲骰子游戲、彩票中獎(jiǎng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、射擊問(wèn)題、人壽保險(xiǎn)、遺傳問(wèn)題、有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄、生日巧合等，引入數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用概率論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)探索、解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，通過(guò)對(duì)案例的分析、研究，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題，也可向?qū)W生介紹概率論在社會(huì)中的廣泛應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生注意數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例，開闊他們的視野。

例5(2005年福建高考題)在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除涂顏色外完全相同，從中摸出3個(gè)球，求至少摸到2個(gè)黑球的概率為多少?

在高考題中設(shè)計(jì)了許多與我們?nèi)粘Ｉ罘浅ＹN近的概率綜合題，較好地挖掘了內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)知識(shí)與概率知識(shí)非常貼切的精神，這對(duì)學(xué)生學(xué)好概率知識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，優(yōu)化學(xué)生的思維有很好的導(dǎo)向作用。

例6一個(gè)小男孩的父母都是視覺正常的人，該男孩患色盲的概率是多少?女孩呢?

通過(guò)設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣、適合學(xué)生認(rèn)知水平的生活化的教學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生自主參與，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、推理、判斷，使學(xué)生在獲得概率論知識(shí)的同時(shí)，認(rèn)識(shí)到概率論知識(shí)原來(lái)就來(lái)自我們身邊的現(xiàn)實(shí)世界，使課堂教學(xué)妙趣橫生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在趣味中掌握概率論的基本思想和方法。

總之，只有在概率論教學(xué)中，認(rèn)真鉆研教材，領(lǐng)會(huì)教材的精神，勤于思考，勇于實(shí)踐，大膽創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，緊密聯(lián)系生活實(shí)際，才能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，不斷提高他們的創(chuàng)新思維能力和良好的個(gè)性品質(zhì)。