數(shù)學(xué)教學(xué)智慧

黃愛華 胡愛民

《論語·為政》說：“視其所以，觀其所由，察其所安。人焉庾哉？人焉庾哉？”意思是說：首先觀察一個(gè)人因何去做一件事，然后觀察他如何去做這件事，再觀察他做此事時(shí)的心情如何，安或不安。如此觀察，一個(gè)人是好是壞還能向何處去藏匿呢？！它的本意是告訴人們?nèi)绾稳ヨb別一個(gè)人的好壞，考察的是一個(gè)人的道德修養(yǎng)。

但是，我們認(rèn)真思考一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索解決問題的策略，又何嘗不是同樣的道理呢？

視其所以——怎么樣

托蘭斯指出，要在承認(rèn)兒童具有可開發(fā)的巨大創(chuàng)造潛能的基礎(chǔ)上，為其提供新的機(jī)會(huì)，讓兒童能夠獨(dú)立地進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)或從事其他活動(dòng)，減少不必要的規(guī)定，培養(yǎng)、增強(qiáng)兒童的自信心。因此，教師要信任學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生主體積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中去探索、爭(zhēng)論和發(fā)明創(chuàng)造，從而真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例：“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)片段

師：（指板演題3……”中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪一個(gè)？（3）。在“5.3272……”中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個(gè)？（2、7）。在“6.416416……中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個(gè)？（4、1、6）。

師：我們能不能想一個(gè)辦法，讓循環(huán)小數(shù)的寫法簡(jiǎn)單一些，比如，去掉省略號(hào)，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字也只寫一次，卻依然能讓人看出這個(gè)循環(huán)小數(shù)的意思？

生1：我想了一個(gè)辦法，3……寫作3.（3）；5.327……寫作5.3（27）；6.416416……寫作6.（416）。

生2：我的辦法是這樣的，3.33……寫作3.3；5.32727……寫作5.327；6.416416……寫作6.416。

生3：我的辦法是這樣的，3……寫作3.（無限）；5.32727……寫作5.3（無限）；6.41641……寫作6.416（無限）。

生4：我的辦法是這樣的，3.33……寫作3.3（3無限）；5.32727……寫作5.327（27無限）；6.41646……寫作6.416（416無限）。

生5：我的辦法是這樣的，3.33……寫作3.3；5.32727……寫作5.3；6.41646……寫作6.416。

師：你認(rèn)為哪種符號(hào)比較好？

生1：不要有漢字比較好。

生2：第五種辦法比較好，簡(jiǎn)潔明了。

生3：我認(rèn)為6.416，只要在循環(huán)節(jié)的第一個(gè)數(shù)字和最后一個(gè)數(shù)字上點(diǎn)點(diǎn)就可以了。

在本案例中，教師沒有采用自學(xué)課本這種形式，同時(shí)也不急于把簡(jiǎn)便寫法告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生自己想辦法去創(chuàng)造符號(hào)，使學(xué)生在想辦法的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生的需要，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)中符號(hào)是一種約定俗成，體會(huì)到符號(hào)不再那么神秘，而當(dāng)有些學(xué)生的思路接近數(shù)學(xué)上的約定俗成時(shí)，體會(huì)到的是一種學(xué)習(xí)成功的滿足。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生對(duì)所創(chuàng)造的符號(hào)進(jìn)行討論，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)。

學(xué)生只有自發(fā)地、具體地參與各種實(shí)際活動(dòng)，大膽地提出自己的假設(shè)，并經(jīng)過驗(yàn)證，才能獲得真正的知識(shí)，才能發(fā)展思維。在這里，學(xué)生經(jīng)歷了“遇到問題——尋找、發(fā)現(xiàn)問題特征——表征問題”的一個(gè)學(xué)習(xí)過程。學(xué)生需要思考：循環(huán)小數(shù)怎樣寫更簡(jiǎn)單一些呢？帶著這個(gè)問題，學(xué)生去觀察、思考循環(huán)小數(shù)的特征，在發(fā)現(xiàn)這種特征之后，學(xué)生按照自己的喜好去表示循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。像這樣把理解的特征外化出來，就必須注重問題的表征，只有將問題整體外化，才能有效地把握住問題本質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，學(xué)生的思維才不是虛無縹緲的，而是具體、真實(shí)的。

觀其所由——為什么這樣

我們知道人們認(rèn)識(shí)客觀世界的過程是一個(gè)螺旋式的上升過程，它從原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在低水平支撐下建立，通過認(rèn)識(shí)一實(shí)踐再認(rèn)識(shí)一再實(shí)踐逐步建構(gòu)其自身對(duì)外部世界的認(rèn)知，并在認(rèn)識(shí)過程中逐漸內(nèi)化為自己的心智。正是基于這種認(rèn)識(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。

但是，并不是所有的認(rèn)識(shí)過程都是階梯式發(fā)展的，也可能是跳躍式的，因?yàn)橛泻芏鄸|西在人們的經(jīng)驗(yàn)中早就有了，關(guān)鍵是如何在一定的問題情境中使新知與經(jīng)驗(yàn)獲得聯(lián)系，一旦聯(lián)系成功，新知的獲得便水到渠成。

案例：“比較數(shù)的大小”教學(xué)片段

●第一次抽簽，從個(gè)位抽起。

游戲規(guī)則：

（1）每次兩隊(duì)各派一個(gè)代表抽簽；

（2）第一次抽到的數(shù)字放在個(gè)位上，第二次抽到的放在十位上，第三……

（3）哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，那一隊(duì)就贏；

（4）能確定勝負(fù)時(shí)，本輪比賽結(jié)束。

●第二次抽簽，從千位抽起。

游戲規(guī)則：

（1）每次兩隊(duì)各派一個(gè)代表抽簽；

（2）第一次抽到的數(shù)字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……

（3）哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大、那一隊(duì)就贏；

（4）能確定勝負(fù)時(shí)，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊(duì)抽到8，長(zhǎng)江隊(duì)抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上。）

師：讓我們接著抽。

生：不用抽了。黃河隊(duì)贏了，因?yàn)?個(gè)千比5個(gè)千大。

師：假如長(zhǎng)江隊(duì)百位上抽個(gè)9，黃河隊(duì)百位上抽個(gè)6，能贏回來嗎？

生：不能，因?yàn)榘傥痪褪浅榈?，也只代表900，都不夠1000，而剛才黃河隊(duì)比長(zhǎng)江隊(duì)多3000。

游戲的基礎(chǔ)其實(shí)就是10以內(nèi)數(shù)的大小比較和位值制的認(rèn)識(shí)。在相同數(shù)位上，不同的數(shù)大小不同。即使是十位、百位、千位，也可以看作幾個(gè)十，幾個(gè)百，幾個(gè)……從而轉(zhuǎn)化為10以內(nèi)的數(shù)比較大小——這是基點(diǎn)。

“不用抽了”一為什么呢？把8與5的卡片分別貼到千位上，8個(gè)千比5個(gè)千大。第二輪游戲的巧妙之處就在于“一戰(zhàn)定乾坤”一千位上，不同的數(shù)大小不同，由于首先就將抽到的數(shù)字放在最高位，這就導(dǎo)致了初戰(zhàn)即決戰(zhàn)一最高位的數(shù)字大小直接決定了兩個(gè)數(shù)的大小。這里的“為什么”就促使學(xué)生自己在活動(dòng)中意識(shí)到：兩個(gè)數(shù)大小的比較，先看最高位一這是發(fā)展。

●第三次抽簽，由抽簽者自己決定放在哪一位上。游戲規(guī)則：

（1）每次兩隊(duì)各派一個(gè)代表抽簽；

（2）每一次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上；

（3）哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，那一隊(duì)就贏；

（4）能確定勝負(fù)時(shí)，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊(duì)抽到3，學(xué)生把3放到個(gè)位上，長(zhǎng)江隊(duì)抽到7，學(xué)生把7放到百位上。）

師：請(qǐng)你們說說，為什么這樣放？

生1：我抽到的3太小了，放在個(gè)位比較好，讓出高位，給大數(shù)字。

生2：我抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下我們組還有人手氣比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以放在百位。

師：要是等下抽到的數(shù)都比8小，怎么辦？生2：那也沒辦法，博一博唄！

生3：也不一定輸，還得看第三組抽到什么數(shù)。第三輪游戲的關(guān)鍵在于對(duì)位值制的深刻理解及對(duì)數(shù)感的直覺把握。在相同數(shù)位上，不同的數(shù)大小不同；在不同的數(shù)位上，即使相同的數(shù)大小也不同一這是數(shù)的大小比較的基礎(chǔ)。

抽到的數(shù)字放在哪位呢？放在低位，如果后面抽到的數(shù)字更小怎么辦？放在高位，后面如果抽到更大的數(shù)字豈不是讓自己立于失敗之地？一這里需要數(shù)感的直覺把握。

案例中，學(xué)生將抽到的3放在個(gè)位，而另一個(gè)學(xué)生則將抽到的7放在百位，為什么這么做呢？抽到的3太小了，放在個(gè)位比較好，讓出高位，給大數(shù)字。抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下抽到8或9，放在千位更好，所以放在百位。

每抽出一個(gè)數(shù)位，上的數(shù)，都會(huì)引起孩子們的關(guān)注和思考，抓住這種時(shí)機(jī)及時(shí)讓他們討論：為什么放在這里呢？為什么還要繼續(xù)往下抽呢？為什么不需要抽了呢？現(xiàn)在可以確定勝負(fù)了嗎？為什么？

每一個(gè)“為什么”都在促使學(xué)生在操作中加深

對(duì)數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、十進(jìn)制的認(rèn)識(shí)，自我完善數(shù)的相對(duì)大小的認(rèn)識(shí)，在不斷的比較中優(yōu)化、強(qiáng)化對(duì)數(shù)的理解，培養(yǎng)數(shù)感，從而把比較數(shù)的大小法則背后的道理，由學(xué)生自己分析出來，抽象的法則，變成了學(xué)生內(nèi)化的知識(shí)。

這也提醒我們，教學(xué)不能只是傳授一種知識(shí)，不應(yīng)只是注重?cái)?shù)學(xué)形式層面的東西，而更加應(yīng)該重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué)，即讓學(xué)生去經(jīng)歷解決問題的過程，去經(jīng)歷理解、感受數(shù)學(xué)思想和觀念、過程與方法的過程。在這個(gè)過程中，一些概念和認(rèn)識(shí)是在學(xué)生操作取得豐富的表象基礎(chǔ)上，自己對(duì)表象進(jìn)行抽象概括而形成的。教師的作用只是提供問題情境，適時(shí)畫龍點(diǎn)睛。

寮其所安——他喜歡怎么做

數(shù)學(xué)家喜歡或者希望把什么都?xì)w結(jié)為數(shù)學(xué)關(guān)系，總是思考著：在表象千絲萬縷的背后有著什么聯(lián)系，可以用一個(gè)什么數(shù)量關(guān)系式表達(dá)。笛卡兒正是出于想把任何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解的想法才發(fā)明了解析幾何。這也反映了人們認(rèn)識(shí)事物從具體到抽象、從特殊到一般的辯證的認(rèn)識(shí)過程。

這種對(duì)現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的行為就是一種數(shù)學(xué)式的思維，這種數(shù)學(xué)思維是受到數(shù)學(xué)化觀念思想的影響的。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)化思想、觀念、方法的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可以處理的但又對(duì)原來的問題有用的數(shù)學(xué)問題，尋找解決問題的數(shù)學(xué)方法，有時(shí)還須對(duì)問題做出解釋和討論。如何使學(xué)生獲得這種能力不是很簡(jiǎn)單的，它比使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)更難。

案例：“找規(guī)律"教學(xué)片段

教師先讓學(xué)生聽一段有規(guī)律的鼓點(diǎn)音頻節(jié)奏，讓學(xué)生思考：

（1）找一找，它的規(guī)律是什么？

（2）想出一種自己喜歡的方法把這個(gè)規(guī)律表示出來，讓別人一眼就能看明白。

（3）在你的表示方法中，照這個(gè)規(guī)律排列下去，它的第16個(gè)是什么？

這時(shí)學(xué)生的創(chuàng)造力得到了充分的發(fā)揮和展示，他們或左右或前后，交頭接耳，嘀嘀咕……不一會(huì)兒，呈現(xiàn)出來的方法五彩繽紛：

有學(xué)生表示為：abcabc……第十六個(gè)為“a"。有學(xué)生表示為：123113……第十六個(gè)為“1”。有學(xué)生表示為：△□○△□○……第十六個(gè)為“△”。

有學(xué)生表示為：強(qiáng)弱弱強(qiáng)弱弱……第十六個(gè)為“強(qiáng)”。

有學(xué)生表示為：xx……第十六個(gè)為"X"。

這樣通過符號(hào)化的處理，不便于直觀把握的有規(guī)律排列，由于學(xué)生用自己喜歡的方法畫了出來，便得以形象地顯現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生可以對(duì)照?qǐng)D示十分清楚地意識(shí)到自己所面臨的問題，并尋找適合自己的解決策略。

教師接著問：“除了剛才同學(xué)們用到的這些方法外，你還有什么方法可以很快得出第十六個(gè)是什么呢？”這時(shí)很多學(xué)生高舉雙手，叫道“我知道，我知道。16÷3=5……1”

在經(jīng)過了前面自主探索用自己喜歡的方法表示有規(guī)律排列的過程后，在強(qiáng)烈的表象刺激下，聯(lián)系已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，學(xué)生十分順利地得出可以用有余數(shù)除法來解決這類問題：要求第多少個(gè)是什么，先看它幾個(gè)一組，再用總個(gè)數(shù)除以每組的個(gè)數(shù)；余數(shù)是幾，就是一組的第幾個(gè)；沒有余數(shù)就是一組的最后一個(gè)。

如同我們強(qiáng)調(diào)算法多樣化與最優(yōu)化的統(tǒng)一樣，在解決問題時(shí)，我們除了提倡策略的多樣化之外，同樣要注意策略的最優(yōu)化。

教師問道：“在文字、數(shù)字、字母、圖形、符號(hào)這些方法中，你喜歡用什么方法？"

學(xué)生眾口一詞：“計(jì)算好，因?yàn)楹?jiǎn)單。”

教師反問：“那么其他方法一點(diǎn)好處都沒有嗎？”學(xué)生慢慢體會(huì)，有人就說了：“文字、圖形那些方法比較清楚方便，一眼就能看清楚；但是麻煩，數(shù)字大了怎么畫呀！"

各種意見進(jìn)行碰撞，最后形成一致看法：如果數(shù)字小，我們就可以選擇圖形、文字、數(shù)字、字母等方法，比較直觀；如果數(shù)字大了，肯定就用計(jì)算的方法比較好。

通過解決“你喜歡什么方法”的問題，促使學(xué)生將不同方法進(jìn)行類比，明確各種策略的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn)，歸納出解決問題的不同策略，提煉出解決問題策略的最優(yōu)方法，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力起到了積極的作用。這個(gè)過程其實(shí)質(zhì)就是從數(shù)學(xué)角度描述和刻畫事物的方法，這種數(shù)學(xué)化的思想方法對(duì)學(xué)生解決問題，把握事物的數(shù)學(xué)側(cè)面有著重要的指導(dǎo)作用。

事實(shí)上，無論是“視其所以”，還是“觀其所由，察其所安”，其核心只有一個(gè)，便是：以學(xué)生為本，尊重學(xué)生的主體地位。而要使我們的教學(xué)更具有智慧，就不能只是在某一個(gè)課例、某一節(jié)課中做到“視其所以，觀其所由，察其所安"；只有在我們所有的教學(xué)活動(dòng)中去貫徹、執(zhí)行這樣的理念，我們的教學(xué)水平才會(huì)日漸提高，我們的教學(xué)智慧才能日益提升。