生活中的不等式

數(shù)學(xué)的生命力在于廣泛的應(yīng)用性.不等式的應(yīng)用涉及到方程(組)、函數(shù)、圖形的變化等許多方面的知識，對能力的要求較高.解答不等式的應(yīng)用題要求我們認(rèn)真審題，從題目給出的條件中找出數(shù)量關(guān)系，建立不等式(或相關(guān)的方程、函數(shù)關(guān)系)，再求得問題的解，并檢驗解是否符合實(shí)際．以下我們用三個中考試題來分析不等式在生活中的應(yīng)用：

一、“蹺蹺板”上的不等式

例1(2005年天津市)(1)A、B、C三人去公園玩蹺蹺板，從下面的示意圖1中，你能判斷三人的輕重嗎？（2）P、Q、R、S四個人去公園玩蹺蹺板，從下面的示意圖2中，你該如何判斷這四個人的輕重呢?

解析：(1)由圖1所示，我們經(jīng)過觀察就可以判斷A、B、C三個人的輕重，假設(shè)A、B、C三個人的體重分別為a、b、c，由圖示可得：b＜a，a

(2)在圖2中，我們僅經(jīng)過觀察，比較判斷四個人的體重有一定的困難，因此我們可選擇建立不等式組來解決問題，設(shè)P、Q、R、S四個人的體重分別為p、q、r、s，由圖示可得：p＜s，① q+s＜p+r，② q+r=p+s. ③

將②式左、右兩邊分別加上③式左、右兩邊，可得q＜p ④；

將④式左、右兩邊分別加上③式右、左兩邊，可得s＜r⑤．

由①、④、⑤可得q＜p＜s＜r．

說明：蹺蹺板上的高低顯然為我們提供了不等式的模型，我們只要用不等式正確表達(dá)出圖示的含義，并且應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，即可求得答?

二、“收費(fèi)站”的不等式

例2(2005年湖州市)某高速公路收費(fèi)站，有m(m>0)輛汽車排隊等候收費(fèi)通過.假設(shè)通過收費(fèi)站的車流量(每分鐘通過的汽車數(shù)量)保持不變，每個收費(fèi)窗口的收費(fèi)檢票的速度也是不變的．若開放一個收費(fèi)窗口，則需20min才能將原來排隊等候的汽車以及后來到站的汽車全部收費(fèi)通過；若同時開放兩個收費(fèi)窗口，則需8min也可將原來排隊等候的汽車以及后來到站的汽車全部收費(fèi)通過．若要求在3min內(nèi)將原來排隊等候的汽車以及后來到站的汽車全部收費(fèi)通過，請問至少要同時開放幾個收費(fèi)窗口?

解析：問題中涉及到的變量很多，我們可用未知數(shù)表示各個變量，再把條件中提供的等量或不等量關(guān)系用方程或不等式表示出來，然后消去一些設(shè)而不求的未知數(shù)，即可找出各未知數(shù)之間的關(guān)系.設(shè)每個收費(fèi)窗口每分鐘可以收費(fèi)通過x輛汽車，每分鐘的車流量為y輛，又設(shè)需開放n個收費(fèi)窗口，才能在3min內(nèi)將排隊等候的汽車以及后來到站的汽車全部收費(fèi)通過，根據(jù)題意得：m+20y=20x，①m+8y=2×8x，② m+3y≤n·3x.③

由①、②可得：x=3/40m，y=1/40m；將x，y代入③得：m+3/40m≤n·3·3/40m，因為m>0，所以n≥43/9，n取最小正整數(shù)，所以n=5.因此，至少需要開放5個收費(fèi)窗口.

說明：上述方程或不等式的左邊都是表示排隊等候的和后來到站的汽車數(shù)，右邊都是表示收費(fèi)窗口收費(fèi)的汽車數(shù)，從這兩個角度建立等量或不等量關(guān)系，想清這一點(diǎn)是一個關(guān)鍵．本題的變式很多，在中考題中常常會以不同背景出現(xiàn)，如電信局裝固定電話問題、開閘泄洪問題、管道漏水問題、食堂排隊買飯問題等等，都可以用與上面相同的思路建模，進(jìn)而求解．

三、“自來水計費(fèi)”中的不等式

例3 (2004年泉州市)某市為更有效地利用水資源，制定了用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：如果一戶每月用水不超過8m³，按1.3元/m³收費(fèi)；如果用水超過標(biāo)準(zhǔn)8m³，超過部分按2.9元/m³收費(fèi)，不超過部分仍按1.3元/m³收費(fèi)．某單位共有20戶人家，此月共交水費(fèi)300．8元，若其中超標(biāo)的用戶平均每戶用水12m³，求這個月該單位用水量未超標(biāo)的用戶最多能有多少戶?

解析：問題是要解決用水量未超標(biāo)最多有多少戶，因此我們選擇建立不等式求解．先測算出超標(biāo)用戶平均每戶交的水費(fèi)是：8×1.3+(12-8)×2.9=22元，再設(shè)未超標(biāo)用戶有x戶，則超標(biāo)的用戶有(20-x)戶，不等式怎樣構(gòu)造呢?假設(shè)未超標(biāo)用戶的用水量全達(dá)到8m3，那么估計的交費(fèi)一定不低于實(shí)際交費(fèi)300．8元，可建立不等式：8×1.3x+22×(20-x)≥300．8，解得x≤12，因此未超標(biāo)的用戶最多有12戶．

說明：本題中沒有明顯的不等關(guān)系存在，我們要善于利用條件提供的隱性關(guān)系，采用估算或放大縮小等方法，建立不等式，從而使問題得到解決．

從上面三例我們可以看到，不等關(guān)系是與我們生活息息相關(guān)的，充分利用題目條件建立不等式，我們就能充分利用不等關(guān)系解決實(shí)際生活中的問題．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文