與磁場(chǎng)力有關(guān)的兩類極值問(wèn)題

磁場(chǎng)中的極值問(wèn)題往往與磁場(chǎng)力有關(guān)，而磁場(chǎng)力包括兩種，一種是磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力，另一種是磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力。那么磁場(chǎng)中的極值問(wèn)題按磁場(chǎng)力來(lái)分也可以分為兩類，一類是與安培力有關(guān)的極值問(wèn)題，另一類是與洛倫茲力有關(guān)的極值問(wèn)題。但不管求解哪一類極值問(wèn)題首先要確定研究對(duì)象，搞好受力分析；然后根據(jù)受力情況和初始狀態(tài)，搞清研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程用相應(yīng)的物理規(guī)律；最后是求得所需的物理量。本文以例題的形式，分兩種類型介紹如何求解與磁場(chǎng)力有關(guān)的極值問(wèn)題。

1有安培力參與的極值問(wèn)題。通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中不管是處于靜止?fàn)顟B(tài)還是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，都可能會(huì)受到安培力的作用。但通電導(dǎo)線處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，它本身不會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，而處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，通電導(dǎo)線由于電磁感應(yīng)它本身也會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因此在求解運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的通電導(dǎo)線的極值問(wèn)題時(shí)，不能忘掉這個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

1.1通電導(dǎo)線靜止時(shí)的極值問(wèn)題

例1如圖1所示銅棒質(zhì)量為0.1kg，靜止于相距8cm的水平軌道上，兩者間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5。現(xiàn)從一軌道載送5A電流至另一軌道，欲使銅棒滑動(dòng)，兩導(dǎo)軌間所加的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為多少？

解析設(shè)安培力F與水平方向的夾角為θ，畫出如圖2所示的受力分析圖。則：

F=BIL。（1）

且銅棒在重力、支持力、安培力、摩擦力共同作用下應(yīng)滿足：

Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=0。(2)

聯(lián)立（1）、（2）解得：

1.2通電導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)時(shí)的極值問(wèn)題

例2如圖3所示，水平放置的兩平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L(zhǎng)=0.25cm，電池的電動(dòng)勢(shì)E=6V，內(nèi)電阻r=0，電阻R=5Ω，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B豎直向下，K合上后，橫放在導(dǎo)軌上的金屬棒ab在磁場(chǎng)力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，金屬棒與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦力f=0.15N，為使棒運(yùn)動(dòng)速度最大，B應(yīng)為多大?此時(shí)Vmax等于多少?

解析金屬棒運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，此電動(dòng)勢(shì)方向與電池電動(dòng)勢(shì)方向想反，則電路中的電流大小為:

I=（E-BLv）/R。(1)

當(dāng)金屬棒速度最大時(shí)，加速度應(yīng)為零，則:

BIL-f=0。(2)

把(1)代入(2)得:

B#8226;E-BLv/RL-f=0。

整理得:L2vB2-LEB+fR=0。

要使B有意義，必須滿足Δ≥0，

即:E2-4fRv≥0。

則v≤E2/4fR=12m/s。

所以:vmax=12m/s。

此時(shí):B=E/2Lvmax=1T。

2有洛倫茲力參與的極值問(wèn)題

2.1只有洛倫茲力作用時(shí)的極值問(wèn)題當(dāng)題中只有一個(gè)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往只需一條運(yùn)動(dòng)軌道就可確定粒子的極值問(wèn)題，而當(dāng)涉及到多個(gè)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)往往需要多條軌道才能確定帶電粒子的極值問(wèn)題。

例3如圖4所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在ab的中點(diǎn)O處，垂直磁場(chǎng)射入一速度方向跟ab邊夾角為30°，速度大小為v的帶電粒子，已知粒子的質(zhì)量為m、電量為e，ab邊的長(zhǎng)度為l，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力忽略不計(jì)。問(wèn)：電子全部從bc邊射出時(shí)，電子入射速度v大小的數(shù)值范圍如何？

解析從帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式可知，半徑越小，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速度越??；半徑越大，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速率越大。因過(guò)圓周上某點(diǎn)的軌道半徑總與該點(diǎn)的速度方向垂直，可知最大軌道半徑和最小軌道半徑的圓的圓心都在初速度方向的垂線上。由此可畫出如圖5所示的示意圖。當(dāng)軌道半徑最小時(shí)電子從bc邊上的M射出，當(dāng)軌道半徑最大時(shí)，電子剛好不從ad邊射出。設(shè)最大速率、最小速率分別為v1、v2，最大半徑分別為R1、R2，則由圖中的幾何關(guān)系可得：

R1（1-sinθ）=1/2。(1)

R2（1+sinθ）=1/2。(2)

因θ=30°，代入上面兩式可得：

R1=1，R2=1/3。(3)

又從洛倫茲力作為向心力可得：

Bev=mv2/R。(4)

由以上四式可得粒子從bc邊上射出v的數(shù)值大小范圍為：

Bel/m≥v≥Bel/3m。

例4如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，有一束寬為d的電子流，其中每個(gè)電子的速度均為v，都平行于Ox軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，已知電子的質(zhì)量為m、電量為e，圖中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），且1>d，現(xiàn)要求這束電子通過(guò)垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)之后都能通過(guò)A點(diǎn)，且距離x軸為d的電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直x軸通過(guò)A點(diǎn)。求：（1） 這個(gè)區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。（2）設(shè)計(jì)一個(gè)符合上述條件且面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，求出它的面積，并在xOy平面上畫出磁場(chǎng)邊界。

解析(1)如圖7所示，先考慮與x軸距離為d的電子，它經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直通過(guò)x軸 上的A點(diǎn)，由左手定則可知磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，電子的軌道半徑R=d。(1)

又有電子受的洛倫茲力作為向心力得：

Bev=mv2/R。(2)

聯(lián)立（1）、（2）兩式解得：B=mv/ed。

（2）從圖7中可以看出與x軸距離為d的電子通過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直通過(guò)A，圓弧QA應(yīng)是所求磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界。為確定下邊界，我們考察與x軸距離為y的電子的運(yùn)動(dòng)，設(shè)它從P（x，y）點(diǎn)入射磁場(chǎng)，通過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后通過(guò)A點(diǎn)，則電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道是以O(shè)1為圓心、d為半徑的一段圓弧PA，因而有：

（4）式表示的是以C（l，d）為圓心、d為半徑的一個(gè)圓，圓弧QPA是這個(gè)圓的一部分，可見磁場(chǎng)的下邊界就是圓弧QPA。綜上所述所求的磁場(chǎng)區(qū)域有兩個(gè)圓心角為90°的弓形對(duì)接而成，形狀是葉片形的，其面積是兩個(gè)相同的弓形面積之和。所以最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為：

Smin=2×(1/4πd2-1/2d2)=(π/2-1)d2。

2.2洛倫茲力和其它外力共同作用下的極值問(wèn)題在此種情況下電荷的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有象前一種那么簡(jiǎn)單。在一些問(wèn)題中它是在直線運(yùn)動(dòng)，而在另一些問(wèn)題它是曲線運(yùn)動(dòng)，電荷做什么運(yùn)動(dòng)要視具體情況而定。

例5如圖8，質(zhì)量為0.1g的小球帶電4×10-4C的電量，把它套在很長(zhǎng)的絕緣直棒上，將此棒豎直地放入相互平行且都是水平的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，起場(chǎng)強(qiáng)E=10N/C，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，若小球與棒之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，求小球沿棒下滑的最大速度。

解析畫出如圖9所示的受力分析圖。小球受重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力、彈力和摩擦力的作用，當(dāng)合力為零時(shí)，小球下滑的速度達(dá)到最大。（圖9中F表示電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力）

例6如圖10，頂角為2θ的光滑圓錐固定在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m，電量為q的小球沿錐面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的最小半徑是多少？

解析如圖11，小球運(yùn)動(dòng)中受到三個(gè)力作用：重力mg，支持力FN，洛倫茲力F=qvB。

由以下兩式：

FNsinθ-mg=0，

和qvB-FNcosθ=mv2/r。

得：mv2-qBrv+rmgctgθ=0。

因v的取值范圍為實(shí)數(shù)，故：

(qBr)2-4m2grctgθ≥0，

即r≥4m2gctgθ/q2B2。

所以最小半徑rmin=4m2gctgθ/q2B2。

（欄目編輯羅琬華）