奇偶數(shù)分析法解題例談

曹勇兵

數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和能力作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，一直受到人們的廣泛關(guān)注，新課標(biāo)也把增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)作為總體目標(biāo)的一個(gè)重要方面。利用奇偶數(shù)分析法引導(dǎo)學(xué)生解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的和具有一定挑戰(zhàn)性、綜合性的問題，不僅可以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，而且還能讓學(xué)生在解題的過程中感受到數(shù)學(xué)的思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

問題1桌上放著8只茶杯，5只杯口朝上，3只杯口朝下，將其中的4只翻轉(zhuǎn)過來(杯口朝上的變?yōu)楸诔?，朝下的變?yōu)槌?，稱為一次運(yùn)動(dòng)。問經(jīng)過若干次運(yùn)動(dòng)能否使茶杯的杯口全部朝下?

分析與解：經(jīng)過若干次實(shí)驗(yàn)，便會(huì)發(fā)現(xiàn)沒有一次能把茶杯全部翻成杯口朝下。事實(shí)上，不管翻轉(zhuǎn)多少次，總是無法使這8只杯子的杯口全部朝下。

這是因?yàn)橐挂恢徊璞诘某蛳喾?，則該茶杯必須要被翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次；要使一只茶杯杯口的朝向不變，則該茶杯要么不被翻動(dòng)，要么則必須要被翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次。現(xiàn)因桌上放著的8只茶杯中有5只杯口朝上，3只杯口朝下，故要使桌上放著的8只茶杯的杯口全部朝下，則茶杯被翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但由于題中每次“運(yùn)動(dòng)”翻轉(zhuǎn)4只，所以不管經(jīng)過多少次“運(yùn)動(dòng)”，茶杯被翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)總是偶數(shù)，故要想經(jīng)過若干次這樣的“運(yùn)動(dòng)”使茶杯的杯口全部朝下是不可能的。

問題2甲盒中放有2003個(gè)白球和2004個(gè)黑球，乙盒中放有足夠多的黑球?，F(xiàn)在每次從甲盒中任取兩球放在外面，但當(dāng)被取出的兩球同色時(shí)，需從乙盒中取出一個(gè)黑球放入甲盒；當(dāng)被取出的兩球異色時(shí)，便將其中的白球再放回甲盒。這樣經(jīng)過4005次取、放之后，甲盒中剩下幾個(gè)球?各是什么顏色的球?

分析與解：仔細(xì)觀察操作規(guī)則不難發(fā)現(xiàn)，每次操作后，甲盒中球數(shù)減少一個(gè)，因此經(jīng)過4005次操作后，甲盒中剩下2003+2004-4005=2(個(gè))球。

每次操作后，白球的個(gè)數(shù)要么不變，要么減少2個(gè)。因此，每次操作后甲盒中白球個(gè)數(shù)的奇偶性不變，即白球個(gè)數(shù)應(yīng)始終為奇數(shù)。所以最后剩下的兩個(gè)球中，定有一個(gè)是白球，另一個(gè)則為黑球。

問題3某展覽館共有36個(gè)陳列室，如圖標(biāo)有“0”的室陳列圖片，標(biāo)有“△”的室陳列實(shí)物，鄰室之間都有門相通。有人希望每個(gè)室都去一次，而且只去一次，你能設(shè)計(jì)參觀路線嗎?

分析與解：從圖中可以看出：與“○”室相鄰、有門可通的是“△”室，與“△”相鄰、有門可通的是“○”室，所以走出“○”室時(shí)，或者進(jìn)入“△”室，或者從最后的“○”室走出展覽館；而走出“△”室時(shí)，只能進(jìn)入“○”室。由此可知，到奇數(shù)個(gè)室，一定在“○”室內(nèi)；到偶數(shù)個(gè)室，一定在“△”室內(nèi)?，F(xiàn)圖中共有36個(gè)室，如果每室都參觀且僅參觀一次，那么最后必在“△”室內(nèi)。

所以，無法依題意設(shè)計(jì)出參觀路線，使之最后從“○”室走出。

隨著我國(guó)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)已被提到了一個(gè)前所未有的高度。實(shí)際問題解決的過程是思考、探索與創(chuàng)造的過程．只要教師善于發(fā)現(xiàn)和捕捉其中的“亮點(diǎn)”，并注意挖掘利用，困惑迷茫之時(shí)定會(huì)步入“柳暗花明”之境。

本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。