美與三個(gè)無(wú)理數(shù)

吳全德

北京大學(xué)葉朗教授的《胸中之竹》中有一篇“柳宗元的三個(gè)美學(xué)命題”，其中有“美不自美，因人而彰”，前半句與莊子的“天地有大美而不言”相類似；后半句對(duì)審美活動(dòng)甚為重要。它出自柳宗元《邕州柳中丞作馬退出山茅亭記》一文，原文為：

夫美不自美，因人而彰。蘭亭也，不遭右軍，則清湍修竹，蕪沒(méi)于空山矣。

美學(xué)家的任務(wù)是彰美，而科學(xué)家的任務(wù)是探索自然現(xiàn)象和規(guī)律。要真正理解美，需要美學(xué)家和科學(xué)家聯(lián)合探索。

科學(xué)與藝術(shù)都崇尚簡(jiǎn)潔，認(rèn)為簡(jiǎn)潔是美的。但“美”又與不簡(jiǎn)潔的三個(gè)無(wú)理數(shù)（小數(shù)的位數(shù)無(wú)限多而且不循環(huán)）永遠(yuǎn)結(jié)成良緣。

這三個(gè)無(wú)理數(shù)與人類文明和精神生活有密切關(guān)系，而且都是比值。第一個(gè)是圓周率，它是圓周長(zhǎng)度與直徑的比值。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：一切立體圖形最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓。它們共有的圓周率π，其值為3.14159…。中國(guó)人劉徽和祖沖之對(duì)此值作出過(guò)貢獻(xiàn)。第二個(gè)無(wú)理數(shù)是黃金分割值，在美術(shù)領(lǐng)域有一個(gè)神圣的黃金分割律，其值為(-1)/2=0.6180339…≈0.618。第三個(gè)無(wú)理數(shù)是在音樂(lè)領(lǐng)域的十二等比分割值，其值為 =1.05946…。此值是中國(guó)明朝朱載首先發(fā)現(xiàn)的。這些無(wú)理數(shù)并不無(wú)理，它們?yōu)閯?chuàng)造優(yōu)美造型和美術(shù)、音樂(lè)作品奠定基礎(chǔ)，它們是自然界美的本質(zhì)的體現(xiàn)。

圓周率

圓周率π是三個(gè)無(wú)理數(shù)中最馳名的一個(gè)。人類對(duì)π的認(rèn)識(shí)過(guò)程反映了數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)的進(jìn)展情況；為求得它的精確近似值，人類走過(guò)漫長(zhǎng)而曲折的道路。古希臘阿基米德寫過(guò)一篇論文《圓的測(cè)定》，天文學(xué)家托勒密得出π=3.1416。中國(guó)的《周髀算經(jīng)》中記載有“周三徑一”的結(jié)論。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出π＝3.14，通常稱為“徽率”。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出圓周率上、下界，比阿基米德用內(nèi)接同時(shí)又用外切正多邊形簡(jiǎn)捷得多。有人利用劉徽的割圓術(shù)求得π=3927/1250=3.1416?！端鍟?shū)·律歷志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開(kāi)密法?！边@一記錄指出，祖沖之對(duì)圓周率有兩大貢獻(xiàn)。一是求得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927 。其二是，得到π的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22/7；密率為355/113。他算出的π的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽(yù)：巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學(xué)博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學(xué)禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山。

1973年，有人利用電子計(jì)算機(jī)就把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后100萬(wàn)位，并將結(jié)果印成一本二百頁(yè)厚的書(shū)，可謂世界上最枯燥無(wú)味的書(shū)了。此后，不斷有學(xué)者將π的小數(shù)位數(shù)不斷更新。

有關(guān)圓周率的完美應(yīng)用要算中國(guó)的天壇。中國(guó)從石器時(shí)代開(kāi)始就有崇尚祭祀習(xí)俗，有設(shè)壇祭祀的傳統(tǒng)。農(nóng)業(yè)社會(huì)靠天吃飯，對(duì)天祭祀，祈求國(guó)泰民安，成為頭等大事。中國(guó)素有“天圓地方”之說(shuō)，圓成為天壇的主導(dǎo)設(shè)計(jì)思想。

黃金分割值

比例是重要的美學(xué)要素。黃金分割是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn),后來(lái)古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割。古希臘人曾提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“一根棍從哪里分割最為美妙？”答案是：“前半段與后半段之比應(yīng)等于后半段與全長(zhǎng)之比”。

偏有一些古希臘人想用形象方法解決黃金分割問(wèn)題，并獲得漂亮的結(jié)果。歐幾里德（約公元前330～前257）總結(jié)了前人的經(jīng)驗(yàn)和研究成果，編著了《幾何原理》十三卷。這是世界上最早用公理方法敘述的數(shù)學(xué)著作。其中所載的黃金分割幾何問(wèn)題已引起廣泛的興趣，在科學(xué)、藝術(shù)、建筑、技術(shù)各領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，哲學(xué)家和美學(xué)家也曾反復(fù)討論，不斷有文章發(fā)表。黃金分割律被稱為美的比例，黃金比與我們的生活息息相關(guān)。萬(wàn)物凡是符合黃金分割律的,總是最美的形體,凡能符合黃金分割律的環(huán)境,也就是人的肌體最舒適的環(huán)境。

2005年8月5日出版的《科學(xué)》雜志發(fā)表了中國(guó)科學(xué)院物理所李超榮、張曉娜和曹則賢研究員發(fā)現(xiàn)在高溫條件下形成銀為內(nèi)核、外層為氧化硅的10微米大小的“液滴”，由于冷卻而形成斐波納契花樣。這是人類第一次用無(wú)機(jī)材料生長(zhǎng)成的斐氏花樣。它們的生成是由于冷卻時(shí)，在內(nèi)外兩種物質(zhì)（銀和氧化硅）中由于應(yīng)力不均勻分布而形成花樣。在掃描電鏡下，在近似球面的大“液滴”上，這些納米小顆粒以五邊形和六邊形規(guī)則地排列。真正吸引《科學(xué)》雜志關(guān)注的是接下來(lái)的工作。在略顯扁平的盤狀“液滴”結(jié)構(gòu)上，他們發(fā)現(xiàn)那些納米小顆粒形成了斐波納契數(shù)花樣。用順時(shí)針和逆時(shí)針螺旋數(shù)來(lái)標(biāo)記，他們觀察到了（5，8），（8，13）和（13，21）三組不同的斐波納契數(shù)花樣。曹則賢研究員說(shuō)：“它恰恰驗(yàn)證了湯姆普森的設(shè)想——這只是一個(gè)物理的問(wèn)題和數(shù)學(xué)的問(wèn)題?！眮?lái)自不同領(lǐng)域的科學(xué)家們更多地是把目光盯在斐波契螺旋上。兩位《科學(xué)》雜志的審稿人都驚嘆于實(shí)驗(yàn)結(jié)果中“驚人的美”。其中一人說(shuō)：“在我35年研究細(xì)小顆粒及材料科學(xué)，包括高溫過(guò)程及熱力學(xué)的生涯中，從未看到過(guò)如此迷人的結(jié)構(gòu)?！?/p>

十二等比分割律

在音樂(lè)領(lǐng)域，也有神圣的比例，稱為“十二等比分割律”，它是中國(guó)明朝王子朱載發(fā)現(xiàn)的。他提出半音階的后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值為2開(kāi)12次方的值。它比西方的“十二平均律”約早五十至一百年。

古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：“音樂(lè)是數(shù)字，而宇宙是音樂(lè)?！?經(jīng)過(guò)2500多年，他的前半句話被證明是事實(shí)。

中國(guó)古代樂(lè)律為十二律，通常與十二月歷放在一起，稱為“歷律”，表示兩者都以十二為進(jìn)位，循環(huán)前進(jìn)，以至無(wú)窮。二十四史《晉書(shū)·列傳》 中說(shuō)：“十二律，黃帝所作也?！芍荚欤灾駷楣?，取其自然圓虛也?！?/p>

古代最早樂(lè)律計(jì)算法是三分損益法，《管子》的作者相傳是管仲（約公元前730～前645）和他的追隨者，成書(shū)時(shí)間約在公元前645～前400年之間?？梢?jiàn)該書(shū)記載的“三分損益法”比古希臘畢達(dá)哥拉斯（前582～前493）提出的五度律至少要早一百多年。

上述古十二律算法有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是在計(jì)算到最后一律時(shí)卻不能循環(huán)復(fù)生(因各律之間含有大、小半音的差別)，造成十二律不能完美旋宮；二是在管樂(lè)器上音律不準(zhǔn)。晉人荀勖（？～289年）進(jìn)行研究，根據(jù)損益弦法，結(jié)合直笛吹口與各音孔間距離制作實(shí)踐，發(fā)明了管口校正法，基本上解決了管樂(lè)器的音準(zhǔn)問(wèn)題。“三分損益法”的十二律不能完美地旋宮轉(zhuǎn)調(diào)，千百年來(lái)困擾著律學(xué)家，直到明朝朱載發(fā)現(xiàn)第三個(gè)無(wú)理數(shù) ，才得以徹底解決。

朱載（1536～1611）出生在懷慶府鄭恭王府，是鄭恭王朱厚烷的嫡子、明太祖朱元璋的九代孫。朱載14歲時(shí)，因其父上書(shū)當(dāng)朝皇帝，受誣陷而入獄。朱載憤然離開(kāi)王宮，在附近筑了一間簡(jiǎn)陋土屋，在那里獨(dú)居數(shù)十年，從事研究。直到換了皇帝，他父親冤情昭雪，復(fù)爵還邸，他才肯回到王府。其父去世后，他不愿襲爵，自稱道人，繼續(xù)研究，終其一生。死后葬于沁陽(yáng)郊區(qū)九峰山。

朱載的研究成果很多，其中1584年完成的《律學(xué)新說(shuō)》影響最大。他提出的樂(lè)律應(yīng)該稱為“十二等比分割律”。要了解此樂(lè)律，先得從“2開(kāi)十二次方”的值說(shuō)起。他把多部珠算算盤連接起來(lái)，成為橫跨81檔的特大算盤，并在其上進(jìn)行2的開(kāi)平方，再開(kāi)平方，再開(kāi)立方的計(jì)算（即2開(kāi)十二次方），得出此值是1.05946。這是他發(fā)現(xiàn)的對(duì)音樂(lè)至關(guān)重要的第三個(gè)無(wú)理數(shù)。他認(rèn)為任何一個(gè)倍頻程均可分割成“十二個(gè)‘半音階”，任何一個(gè)半音階與前一個(gè)半音階頻率的比值都是這個(gè)數(shù)；徹底解決了“三分損益法”的旋宮轉(zhuǎn)調(diào)難題。這是科學(xué)史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一。

【責(zé)任編輯】蒲暉