趣談回文數(shù)

歐陽(yáng)維誠(chéng)

北京有一家酒店，店名叫做“天然居”．店里有一副對(duì)聯(lián)：

客上天然居，居然天上客．

顧客走進(jìn)這家酒店，看了這副對(duì)聯(lián)，感到自己居然是天上的來(lái)客，在沒(méi)有得到物質(zhì)享受之前，就得到充分的精神享受了．

無(wú)獨(dú)有偶，文學(xué)中有回文聯(lián)回文詩(shī)，數(shù)學(xué)中也有一種回文數(shù)．

什么叫回文數(shù)？隨便看一自然數(shù)，例如２ ００１，將它各位數(shù)字的次序倒過(guò)來(lái)，就得到一個(gè)新自然數(shù)１ ００２，稱(chēng)為原數(shù)的反序數(shù)．例如２ ００１與１ ００２互為反序數(shù)，１ ９９９與９ ９９１、３１８與８１３、１７與７１等等，都互為反序數(shù)．

一般地說(shuō)，一個(gè)數(shù)與它的反序數(shù)并不相等．例如２ ００１就不等于１ ００２，１ ９９９也不等于９ ９９１．有的數(shù)與它的反序數(shù)是相等的．例如２ ００２的反序數(shù)仍為２ ００２，３４３的反序數(shù)仍為３４３，像這種與它的反序數(shù)相等的數(shù)就稱(chēng)為回文數(shù)．２ ００２、３４３都是回文數(shù)．除此之外，還有其他的回文數(shù)，如５５、１ ００１．

回文數(shù)有許多有趣的性質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行了深入的研究，但還有許多問(wèn)題沒(méi)有解決，留下了不少關(guān)于回文數(shù)的猜想．

我們看一個(gè)有趣的操作：

隨便一個(gè)數(shù)，例如９７，它不是回文數(shù)，把它與它的反序數(shù)相加，９７的反序數(shù)是７９，將兩數(shù)相加９７＋７９＝１７６．

１７６仍然不是回文數(shù)，再將上述運(yùn)算過(guò)程繼續(xù)下去，將１７６與其反序數(shù)６７１相加１７６＋６７１＝８４７，如此繼續(xù)下去，便逐步得到８４７＋７４８＝１ ５９５，１ ５９５＋５ ９５１＝７ ５４６，７ ５４６＋６ ４５７＝１４ ００３，１４ ００３＋３０ ０４１＝４４ ０４４．

終于得到了一個(gè)回文數(shù)．事實(shí)上可以證明：任何一個(gè)兩位數(shù)，若不是回文數(shù)，則加上它的反序數(shù)．如果其和仍不是回文數(shù)，那么再重復(fù)上述步驟，經(jīng)過(guò)有限次這樣的加法運(yùn)算之后，一定能得到一個(gè)回文數(shù)．

對(duì)于大多數(shù)不是兩位數(shù)的自然數(shù)，也有類(lèi)似的性質(zhì)．例如對(duì)三位數(shù)１９７來(lái)說(shuō)，我們有：

１９７＋７９１＝９８８，

９８８＋８８９＝１ ８７７，

１ ８７７＋７ ７８１＝９ ６５８，

９ ６５８＋８ ５６９＝１８ ２２７，

１８ ２２７＋７２ ２８１＝９０ ５０８，

９０ ５０８＋８０ ５０９＝１７１ ０１７，

１７１ ０１７＋７１０ １７１＝８８１ １８８．

最后也得到了一個(gè)回文數(shù)．能不能將這些結(jié)果推廣，得到下面的猜想呢？

任何一個(gè)不是回文數(shù)的正整數(shù)，加上它的反序數(shù)，若其和仍不是回文數(shù)，則再加上其和的反序數(shù)．如此不斷地重復(fù)上述步驟，經(jīng)過(guò)有限次這樣的運(yùn)算之后，一定能得到一個(gè)回文數(shù)．

這個(gè)猜想是否成立？目前尚未證明也未否定．雖然電子計(jì)算機(jī)對(duì)很多數(shù)的檢驗(yàn)都支持這一結(jié)論，但有些數(shù)并不“馴服”．１９７這個(gè)數(shù)，我們只做了七次加法運(yùn)算就得到了回文數(shù)，但對(duì)１９６來(lái)說(shuō)，情況就完全不是那么一回事了．據(jù)說(shuō)有人用計(jì)算機(jī)作過(guò)幾十萬(wàn)次運(yùn)算，尚未得到回文數(shù)，也未能證明它不能產(chǎn)生回文數(shù)．

這個(gè)猜想與著名的哥德巴赫猜想一樣，猜想的內(nèi)容小學(xué)生都能聽(tīng)懂，但要解決它，大學(xué)者也無(wú)能為力．也許和哥德巴赫猜想一樣，它也是一個(gè)世界級(jí)的難題．