面積與代數(shù)恒等式

吳文獻(xiàn)

教學(xué)背景

《面積與代數(shù)恒等式》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（華東師大版）八年級上冊第14章《整式的乘法》后面安排的課題學(xué)習(xí)。學(xué)生已經(jīng)知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式，也從幾何圖形的面積關(guān)系中認(rèn)識了一些代數(shù)恒等式。他們以前參加過用硬紙片設(shè)計(jì)包裝盒、設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)對稱圖形等話動。課前要求學(xué)生用硬紙片盡可能多地制作邊長為a的大正方形、邊長為b的小正方形和長為a、寬為b的長方形。

教學(xué)目標(biāo)

1.探索如何從一些幾何圖形面積的不同表示法得出代數(shù)恒等式，來說明某些冪的運(yùn)算性質(zhì)和乘法法則的正確性以及一些代數(shù)恒等式的正確性，體會代數(shù)與圖形之間的聯(lián)系，初步體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

2.體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維能力.獲得一些研究問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法;體驗(yàn)戰(zhàn)勝困難和獲得成功的喜悅：體會探究與合作的重要性，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，形成良好的個(gè)性品質(zhì)。

課堂實(shí)錄

一、導(dǎo)入。

師：今天我們進(jìn)行課題學(xué)習(xí)《面積與代數(shù)恒等式》（板書），從標(biāo)題可知，本節(jié)課將探索如何從圖形面積的不同表示法中得到代數(shù)恒等式（代數(shù)恒等式的概念在前面的教學(xué)中已提及）以及如何用拼圖的方法來說明代數(shù)恒等式的正確性。這節(jié)課我們將利用課前準(zhǔn)備好的硬紙片來研究圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系。

二、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題。

師：下面大家先思考幾個(gè)問題（在白磁板上展示事先設(shè)計(jì)好豹問題）。

問題1：從你們所在小組6張課桌排列成的長方形中，利用面積的不同表示方法寫出一個(gè)代數(shù)恒等式。（課桌排列如圖：）

學(xué)生思考了一會兒，教師觀察到一部分同學(xué)有點(diǎn)困惑，適時(shí)提示：我們可以設(shè)每張課桌椅的長為a.寬為b.則6張課桌排列成的長方形的面積如何表示？

這時(shí)，學(xué)生的思路頓開，紛紛舉手。

生1：設(shè)6張課桌排列成的長方形的長為2a，寬為3b，則面積為2a· 3b。

生2：因?yàn)槊繌堈n桌的面積為ab.所以6張課桌排列成的長方形的面積為6ab。

師：回答得很好。剛才得到的兩個(gè)代數(shù)式2a -3b與6ab都表示同一個(gè)圖形的面積，它們有什么關(guān)系呢？

學(xué)生（齊聲）：相等。

師：由此我們從6張課桌面積的不同表示法中得出一個(gè)代數(shù)恒等式：2a·3h=6ah（畫圖板書），它驗(yàn)證了什么法則呢？

學(xué)生（齊聲）：單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則。

教師走到鋁合金窗旁，提出第二個(gè)問題。

問題2：設(shè)鋁臺金窗的長為a。寬為b，推開鋁合金窗一部分，設(shè)推開的距離為c.根據(jù)剩下的鋁合金窗的面積不同表示方法寫出一個(gè)代數(shù)恒等式。

學(xué)生思考了一會兒，有同學(xué)舉手回答。

生：剩下的鋁合金窗可以看作長為a.寬為（b-c）的長方形，所以面積為a （b-c），也可以看作是原來的面積減去推開部分的面積，就是ab-ac。所以可以得到一個(gè)代數(shù)恒等式a（b-c） =ab-ac。

教室里不由自主地響起一片掌聲。

師：從掌聲中可以說明她回答得非常好，值得我們學(xué)習(xí)。上面的過程又驗(yàn)證了什么法則呢？

學(xué)生（齊聲）：單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則。

師：剛才我們提出的兩個(gè)問題都是我們身邊所熟悉的，體能否列舉出日常生活中類似的例子.從中寫出一些代數(shù)恒等式（問題3）？

學(xué)生陷入深思，沒有人舉手，過了一會兒，我適時(shí)引導(dǎo)：可以仔細(xì)觀察我們的教室周圍，或者思考我們所熟悉的一些建筑。

片刻，有學(xué)生舉手回答。

生1：我們教室的玻璃窗（如圖：），設(shè)每扇的長為a.寬為b，則四扇玻璃窗組成的圖形可看作走長為2a，寬為2b的長方形，它的面積為2a-2b.也可以看作是四扇玻璃窗面積的和，即4ab，所以可以得到一個(gè)代數(shù)恒等武2a·2b=4ab。

生2：我們教室的鋁合金窗（如圖：）設(shè)下面的矩形長為b，寬為a，上面的矩形寬為c.則它的面積可以表示為b（a+c），也可以表示為ab+bc，所以可得代數(shù)恒等或：b（a+c）=ab+bc。

教師用目光巡稅一下，發(fā)現(xiàn)沒有其他學(xué)生舉手。

師：剛才兩住同學(xué)回答得很好，說明同學(xué)們平時(shí)有較強(qiáng)的問題意識爭應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，我們用掌聲表示贊賞（師生鼓掌）。課后我們再繼續(xù)探索這個(gè)問題，好嗎？

學(xué)生（一起回答）：好！

三、組織掌生活動。

活動一

摔：課前我們每個(gè)同學(xué)都準(zhǔn)備了三種不同形狀的硬紙片（出示）.請利用這些硬紙片拼成一些長方形或正方形，利用所拼成的圖形面積的不同表示方法寫出一些代數(shù)恒等式來。要求每位同學(xué)都至少要拼一十圖形并寫出相應(yīng)的代數(shù)恒等式，再把各自的成果在小組內(nèi)交流。如果拼成的圖形自己寫不出代數(shù)恒等式，可由小組討論解決，也可以請教老師。

學(xué)生在活動過程中，教師來回巡視指導(dǎo)。每個(gè)學(xué)生參與的積極性都很高，各小組活動都很有序。如，第四小組同學(xué)把各自的成果介紹給其他成員;有一個(gè)同學(xué)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果是正確的，這位同學(xué)露出滿意的笑容，教師讓他寫在磁性板上.再拿到臺上展示;第八小組中有一個(gè)同學(xué)拼出的圖形（如右圖l），自己只能寫出一個(gè)面積表示法，正在問聽課老師另一種表示式;還有幾個(gè)小組正在組間交流……可以說每個(gè)同學(xué)都真正動了起來，不同的學(xué)生拼出不同的圖形，即使基礎(chǔ)較差的同學(xué)也可以用一張長方形與一張正方形或四張正方形等拼成簡單的圖形，井寫出恒等式。等每個(gè)小組合作得差不多了，教師就選了4個(gè)結(jié)果在黑板上展示（如下圖）。

師：請同學(xué)們停下來，這個(gè)活動我們課后再繼續(xù)探索交流。現(xiàn)在我們一起來看板展示的四個(gè)圖形，思考一下相應(yīng)的代數(shù)恒等式如何得到，并且驗(yàn)證一下寫出的式子是否正確，不清楚的地方可以提問，聽不明白的也可以要求重新回答。

經(jīng)過一番思考后，有一學(xué)生提問。

生：我想請問第八小組，等式右邊的代數(shù)或是如何得到的？

第八小組的一個(gè)代表回答：整個(gè)圖形是由1張大的正方形，3張長方形.2張小的正方形拼成的，所以它的面積是a²+3ab+2b²。

師：清楚了嗎？

生：清楚了。

師：同學(xué)們還有什么疑問？

學(xué)生（齊聲）;沒有了。

接著師生對四個(gè)圖形簡要地加以分析。

師：我們利用圖形面積的不問表示法寫出的代數(shù)恒等式如何加以驗(yàn)證呢？

生：可以用冪的運(yùn)算性質(zhì)或整式乘法法則進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

活動二

師：回答得很好。剛才有幾十小組的同學(xué)拼出這樣一個(gè)圖形（把圖l展示在黑板上），請同學(xué)們思考一下，如何用a、b的代數(shù)式表示它的面積？

學(xué)生思考交流了一會兒，有學(xué)生舉手，我請舉手的同學(xué)上臺講解。

生1：可以看作是大正方形面積減去小正方形面積，而大正方形連長為（a+b）。面積為（a+b）²，小正方形邊長為（a-b）.面積為（a-b）²（邊講解邊用手在圖上比劃），所以圖形的面積就是（a+b）²-（a-b）²（邊講解邊在圖形的下方板書）。

生2：因?yàn)檫@個(gè)圖形是由四塊長方形圍成的，所以它的面積是4ab。

師：兩位同學(xué)都講得很好，由此我們可以得到一個(gè)代數(shù)恒等式——

學(xué)生（齊聲）：（a+b）²-（a-b）²=4ab。

活動三

要求學(xué)生思考用硬紙片拼成圖形面積來說明（a+2b） （2a+b）=2a²+5ab+2b²的正確性，各小組積極操作，很快有幾個(gè)小組拼出來了，圖形如右圖所示，解釋也是正確的。我繼續(xù)問道：“如果代數(shù)恒等式換成是（a+2b）（2a-b）=2a²+3ab-2b²呢？還記得我們什么時(shí)候用硬紙片演示過‘一（減）的例子？其中的‘一（減）如何處理？”“學(xué)習(xí)乘法公式（a-b）²=a²-2ab+b²演示過，其中‘一可用紙片重疊?！庇谑菐熒黄鹜瓿善磮D并講解驗(yàn)證方法。此時(shí)，下課鈴響了。我要求大家課后繼續(xù)本活動的探索，下節(jié)課再繼續(xù)研究。