基于插值法的浮標(biāo)優(yōu)化布放

張 丹，時(shí) 光，余義德，王紅萍

(1.中國人民解放軍91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023；2.海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧 大連 116018)

0 引言

聲納浮標(biāo)具有使用方便、隱蔽和受地域限制小等優(yōu)點(diǎn)，是航空聲納搜索水下目標(biāo)的首選[1-2]。聲納浮標(biāo)搜索目標(biāo)一般在已知有目標(biāo)活動的概略信息條件下進(jìn)行應(yīng)召搜索。既為了取得好的搜潛效果，又要考慮節(jié)省浮標(biāo)，正確地選擇搜索陣形是反潛機(jī)使用聲納浮標(biāo)需要考慮的重要環(huán)節(jié)，通常用一定搜索時(shí)間內(nèi)的搜索概率來衡量陣形的優(yōu)劣[3-5]。文獻(xiàn)[6-8]基于蒙特卡洛方法，分析了不同參數(shù)對聲納浮標(biāo)搜索效能的影響，但是并未給出不同陣型如何進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化選擇，且都未考慮目標(biāo)航向變化的情況。應(yīng)召搜索條件下，通常目標(biāo)初始概略位置服從圓正態(tài)分布[9-10]，在搜索過程中目標(biāo)、目標(biāo)航向未知[11-12]，也可能采取變向規(guī)避運(yùn)動[13-14]。文獻(xiàn)[15-16]針對航向不變的簡單擴(kuò)散運(yùn)動目標(biāo)的情況，提出了搜索擴(kuò)散運(yùn)動目標(biāo)的定量計(jì)算方法。本文針對目標(biāo)航向不變和航向多次改變的情況，建立了浮標(biāo)探測概率數(shù)學(xué)模型，基于牛頓插值算法，給出了圓形陣布陣半徑優(yōu)化選擇方法。

1 擴(kuò)散運(yùn)動目標(biāo)的搜索概率計(jì)算

設(shè)在一定海區(qū)Q，一批次投放N枚聲納浮標(biāo)搜索單個(gè)目標(biāo)。假設(shè)目標(biāo)初始狀態(tài)服從圓正態(tài)分布，目標(biāo)運(yùn)動方式為勻速直線運(yùn)動，速度為v，航向在(0，2π]內(nèi)均勻分布，t時(shí)刻目標(biāo)位置為X(t)。B表示(0，t)之間目標(biāo)被搜索事件，定義目標(biāo)不被搜索概率為b(x，t)：

(1)

搜索密度為γ(x，t)，

γ(x，t)Δt+o(Δt)=P{B(t，t+Δt)|x=X(t)}。

(2)

對于多個(gè)相互獨(dú)立的搜索器[17-18]：

(3)

對于b(x，t+Δt)，結(jié)合式(3)有

(4)

式(4)可轉(zhuǎn)換為：

(5)

解微分方程得

(6)

設(shè)目標(biāo)位置分布概率為ρ(x，t)，在時(shí)間t內(nèi)累積探測概率P(t)為：

(7)

設(shè)ρ0(x)為目標(biāo)初始概率密度，對于θ航向，t時(shí)刻不被搜索概率pθ(x，t)為：

(8)

則在時(shí)間t內(nèi)累積探測概率P(t)為：

(9)

若目標(biāo)多次改變航向，設(shè)搜索從T1開始，每Δt改變一次航向，共改變n次，搜潛概率計(jì)算公式為:

P(T1+nΔt)=1-Q(1)Q(2)…Q(n)。

(10)

Q(i)為(T1+(i-1)Δt，T1+iΔt)之間不被搜索的概率。

初始不被搜索概率密度為：

(11)

(12)

對于Q(2)，初始不被搜索的概率分布為：

p(x，T1+Δt)=p(x，T1+Δt)/Q(1)，

(13)

以此類推計(jì)算Q(n)，即可計(jì)算得到。

2 基于插值法的浮標(biāo)優(yōu)化布陣

若初始定位誤差服從截尾圓周正態(tài)分布，航向未知條件下通常采用圓陣搜索。若可供投放的浮標(biāo)數(shù)確定，陣半徑成為唯一需要確定的參數(shù)，顯然陣半徑過大和過小均不利于搜索，肯定存在一個(gè)最優(yōu)半徑。通過計(jì)算若干陣半徑對應(yīng)的探測概率，然后采用插值法進(jìn)行曲線擬合，從而提取最優(yōu)陣半徑，另外對于后者雖然航向改變次數(shù)對探測概率也有影響，但仍然可用插值法求解最優(yōu)陣半徑。

2.1 目標(biāo)航向不變的最佳圓陣獲取

假設(shè)目標(biāo)初始狀態(tài)服從圓周正態(tài)分布，勻速直線運(yùn)動，航向在[0，2π)服從均勻分布。根據(jù)目標(biāo)分布以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，此時(shí)布放圓陣較為適合。對于浮標(biāo)圓陣布放如圖1所示，R為圓陣半徑，d為浮標(biāo)作用距離半徑，浮標(biāo)均勻分布在半徑為R的圓上。

圖1 圓陣示意

仿真參數(shù)：聲納浮標(biāo)個(gè)數(shù)n取4，8，12；目標(biāo)運(yùn)動速度u=6 kt；初始圓周正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ=20 nm；浮標(biāo)有效作用距離d為4 nm或10 nm。搜索延遲時(shí)間T1和搜索持續(xù)時(shí)間T2-T1分別為4 hr和6 hr。對于每種參數(shù)n，u，σ，d的組合，計(jì)算搜索概率并用插值法得到圓陣半徑與搜索概率的關(guān)系曲線，從而獲得最優(yōu)圓陣半徑。不同參數(shù)組合下圓陣的最優(yōu)半徑R*和搜索概率P*(T2)如表1所示。由表1可知，航向不變目標(biāo)進(jìn)行搜索，使用4個(gè)聲納浮標(biāo)，其中每個(gè)聲納浮標(biāo)的搜索范圍是10 nm，與使用12個(gè)聲納浮標(biāo)，其中每個(gè)聲納浮標(biāo)的搜索范圍是4 nm所起的作用大致相同。

表1 最佳圓陣半徑

浮標(biāo)數(shù)探測距離d/nm最優(yōu)陣半徑R*/nmi最大搜索概率P*(T2)44280.107 120410310.296 46884280.212 358810320.573 632124280.212 3581210320.582 295

對于T1=4 hr，T2=7 hr，目標(biāo)速度12 kt，浮標(biāo)探測半徑10 nm，標(biāo)準(zhǔn)差為20 nm，不斷改變圓陣半徑，相應(yīng)概率曲線如圖2所示，可見R=56 nmi時(shí)，探測概率最大0.341 2。圖3描繪了這種情況下不被搜索的概率密度分布，區(qū)域顏色越深，搜索不成功概率越大。

圖2 浮標(biāo)圓陣半徑與搜索概率的關(guān)系

圖3 目標(biāo)不被搜索的概率密度分布

2.2 目標(biāo)航向多次改變的最佳圓陣獲取

假設(shè)目標(biāo)的運(yùn)動在每個(gè)Δt時(shí)間單元目標(biāo)都會隨機(jī)選擇一個(gè)新方向。在t=0時(shí)，目標(biāo)的分布為圓形正態(tài)分布；t=T1時(shí)，目標(biāo)選擇一個(gè)新的方向，試圖避開探測，并且每個(gè)Δt時(shí)間單元繼續(xù)選擇一個(gè)新的方向。

表1中的第4種情況，8個(gè)聲納浮標(biāo)的最佳圓形模式的半徑R*=32 nm。保持其他的輸入不變，航向在[T1，T2)內(nèi)變化m次。對于圓形陣，計(jì)算Pm(T2)。在m=0時(shí)，Pm(T2)的值是在最佳圓形陣條件下目標(biāo)以隨機(jī)航向勻速運(yùn)動條件得到的搜索概率。對于m=0，1，…，6，Pm(T2)>P0(T2)=0.573 626，目標(biāo)通過數(shù)次改變航向，試圖避開檢測。目標(biāo)航向改變次數(shù)對搜潛概率的影響如圖4所示，仿真結(jié)果表明在時(shí)間間隔[T1，T2)內(nèi)任意次的方向改變對搜索概率影響較小(即對于所有的m>7，|Pm(T2)-P0(T2)|<0.05)。

圖4 目標(biāo)航向改變次數(shù)對搜潛概率的影響

對于表1中情況4條件下，m=6時(shí)，圓陣半徑與搜索概率的關(guān)系曲線如圖5所示。該條件下最佳圓陣半徑為29 nm(0.598 529)，而對于m=0時(shí)，最佳半徑為32 nmi(0.573 632)。

圖5 圓陣半徑與搜索概率的關(guān)系(m=6)

3 結(jié)束語

以上論述均假設(shè)初始狀態(tài)服從圓周正態(tài)分布，目標(biāo)所有航向上均勻分布，這時(shí)用規(guī)則的圓陣能達(dá)到較好的搜潛效率，該條件下只改變了一個(gè)陣形參數(shù)。如果有更確定或不同的先驗(yàn)信息，如目標(biāo)某航向范圍內(nèi)均勻分布，這時(shí)最佳陣形并不好找，陣形參數(shù)增多，此時(shí)曲線擬合不再適用，需要合適的智能搜索算法，如模擬退火算法、進(jìn)化策略和遺傳算法等。