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    一個(gè)限制排中律適用范圍的命題演算系統(tǒng)

    2015-08-20 02:18:44
    關(guān)鍵詞:命題定理符號(hào)

    曹 飛

    (中共陜西省委黨校哲學(xué)部,陜西西安710061)

    在經(jīng)典命題演算中,不矛盾律和排中律都普遍有效。直覺主義斷然否定排中律的普遍有效性,在直覺主義命題演算中,不矛盾律普遍有效,排中律無效。直覺主義的創(chuàng)始人布勞維(L.E.J.B r o u w e r)認(rèn)為:“排中律是從有限事物中概括出來的,任何一個(gè)涉及有限事物全體的命題,總是可以通過對(duì)這些事物逐一地加以驗(yàn)證,來判明該命題的真?zhèn)危@時(shí)排中律是有效的。但是如果忘記了排中律的有限來源,把排中律視為先于和高于數(shù)學(xué)的某種普遍適用的法則,并將它運(yùn)用于無限的場合,就會(huì)犯錯(cuò)誤。這是因?yàn)閷?duì)于無限的事物,往往不可能(哪怕是原則上)對(duì)它們一一加以鑒別?!盵1]49然而,經(jīng)典命題演算認(rèn)排中律為普遍有效式,這固然與直觀相違;直覺主義命題演算認(rèn)排中律為無效式,亦與直觀不盡相符。從直觀上看,正如布勞維所認(rèn)為的那樣,排中律對(duì)且只對(duì)有限事物有效;但無論是經(jīng)典命題演算,還是直覺主義命題演算,都沒有框定排中律的適用范圍。鑒于此,本文擬對(duì)經(jīng)典命題演算做適當(dāng)改動(dòng),構(gòu)造一個(gè)限制排中律適用范圍的命題演算系統(tǒng)P C5。

    一、命題演算系統(tǒng)PC5及其可靠性、完全性

    (一)PC5的語法和語義

    1.語法。

    初始符號(hào):甲、p1,p2,p3,…,pm,…,m 為自然數(shù);乙、┌ ,┐,∨;丙、(,)。

    在陳述形成規(guī)則以前,我們先引進(jìn)一些語法語言的符號(hào)并作如下說明:

    (1)Q、R、S代表任一甲類符號(hào)。

    (2)X、Y、Z代表任一符號(hào)序列。

    (3)A、B、C、D、E 代表任一合式公式。

    (4)語法符號(hào)“┠”寫在任一公式之前,它表示緊接在后面的公式是本系統(tǒng)所要肯定的。

    形成規(guī)則:

    (1)若X是甲類符號(hào),則┌X、┐X是合式公式。

    (2)若X是合式公式,則┌X、┐X是合式公式。

    (3)若X和Y都是合式公式,則(X∨Y)是合式公式。

    (4)只有適合以上三條的符號(hào)序列是合式公式。

    定義:

    (甲)(A→B)定義為(┐A∨B)。

    (乙)(A∧B)定義為┐(┐A∨┐B)。

    (丙)(A≡B)定義為((A→B)∧(B→A))。

    括號(hào)省略規(guī)則:

    (甲)最外面的一對(duì)括號(hào)可以省略。

    (乙)真值聯(lián)結(jié)詞的結(jié)合力依下列次序而遞增:≡,→,∧,∨,┌,┐。公理:

    公理 1:┠A∨A→A;

    公理 2:┠A→A∨B;

    公理 3:┠A∨B→B∨A;

    公理 4:┠(B→C)→(A∨B→A∨C);

    公理5:┠┌A≡A;

    公理6:┠ ┐(┌Q∧┐Q)。

    變形規(guī)則:

    (1)分離規(guī)則,從┠A和┠ ┐A∨B可得┠B。

    (2)定義置換規(guī)則,定義的左右兩方可相互替換。設(shè)原公式為A,替換后所得公式為B,則從┠A可得┠B。

    公式的級(jí)的遞歸定義:

    (1)若X是甲類符號(hào),則┌X和┐X均為原子公式,原子公式是1級(jí)公式。

    (2)若X是m級(jí)公式,則┌ X和┐X均為m+1級(jí)公式。

    (3)若 X 是 m 級(jí)公式,Y 是 n級(jí)公式,且 m≥n,則 X∨Y、Y∨X、X∧Y、Y∧X、X→Y、Y→X、X≡Y、Y≡X均為m級(jí)公式。

    2.語義。

    (1)甲類符號(hào)是0級(jí)命題變項(xiàng),代表任意的0級(jí)命題。

    (2)乙類符號(hào)是聯(lián)結(jié)詞符號(hào),其中┌代表肯定詞“是”,┐代表否定詞“不”,∨代表析取詞“或者”,它們的真值表如下(其中T表示“真”,F(xiàn)表示“假”,U表示“非真非假”):

    (表1)

    (表2)

    (表3)

    (3)丙類符號(hào)為左右括號(hào)。

    下面我們引入重言式的定義:A為重言式,當(dāng)且僅當(dāng)不管A中的0級(jí)命題變項(xiàng)取何值,A的值均為T。

    3.定理的證明。

    我們可以將PC5中相同的原子公式看作經(jīng)典命題演算中相同的命題變項(xiàng),將PC5的不同的原子公式看作經(jīng)典命題演算中不同的命題變項(xiàng),這樣我們就可以將PC5看作經(jīng)典命題演算的擴(kuò)充[2]37~39。因此,經(jīng)典命題演算的定理都是PC5的定理。PC5的其他定理的證明,這里僅舉4例。

    基本置換定理 令DA表示A是D的組成部分,設(shè)已證├A→B和├B→A,并且以公式B置換DA中的公式 A 得 DB,則可得├DA→DB和├DB→DA。因之,從├DA,可得├DB。本規(guī)則稱為“置換”。簡單地說,如果A和B等值,則從├DA可得├DB。

    基本置換定理的證明?;局脫Q定理的嚴(yán)格證明要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,要施歸納于合式公式的構(gòu)造。本文采取了較為簡單的、不完全嚴(yán)格的證明。

    茲證明此定理在以下最簡單的情況下是正確的:(1)A在DA中只出現(xiàn)一次;(2)DA的形式是:(甲)┌A,(乙)┐A,(丙)C∨A,或(丁)A∨C。根據(jù)形成規(guī)則,不論DA的形式如何復(fù)雜,總是由多次重復(fù)地運(yùn)用肯定、否定、析取構(gòu)成的,所以,一般的情況只是以上情況的簡單重復(fù)。

    在這里雖然沒有明確地提出數(shù)學(xué)歸納法,只提出“一般的情況是簡單情況的重復(fù)”,但是,證明的基本思想以及證明的保證還是數(shù)學(xué)歸納法。

    有了上述定理,我們就可以證明PC5的完全性。

    (二)PC5的可靠性

    PC5的可靠性定理:PC5的定理都是重言式。

    證明的思路是:第一,PC5的公理都是重言式;第二,應(yīng)用PC5變形規(guī)則,從重言式只能得到重言式。因之可得結(jié)論:PC5的定理都是重言式。證明從略。

    (三)PC5的完全性

    為了證明PC5的完全性,我們不妨先引進(jìn)合取范式這一概念。

    1.合取范式。

    定義1.1A是簡單析取式是指它是形如Al∨A2∨…∨An(n∈N且n≥1)的公式,其中每個(gè)Ai(1≤i≤n)皆為原子公式或原子公式的否定,稱Ai為簡單析取式的成員。

    定義1.2A是合取范式是指它是形如Al∧A2∧…∧An(n∈N且n≥1)的公式,其中每個(gè)Ai(1≤i≤n)皆為簡單析取式,稱Ai為合取范式的成員。

    定義1.3 A是一公式,A′是A的合取范式是指A′滿足:A與A′等值,即A≡A′是重言式,并且A′是合取范式。

    一個(gè)公式的合取范式是否一定存在?如何求一個(gè)公式的合取范式?

    根據(jù)定義,合取范式在表達(dá)方面的特征有:(1)沒有→和≡符號(hào);(2)肯定符┌只出現(xiàn)于0級(jí)命題變項(xiàng)之前;(3)否定符┐只出現(xiàn)于0級(jí)命題變項(xiàng)或原子公式之前;(4)是一個(gè)簡單析取式的合取或單獨(dú)的一個(gè)簡單析取式。

    因之,求一個(gè)公式的合取范式,包括這樣幾個(gè)具體步驟:

    第一,把公式中可能包含的→和≡完全銷去。即用(┐A∨B)置換A→B,用(A∧B)∨(┐A∧┐B)或(┐A∨B)∧(A∨┐B)置換 A≡B。

    第二,銷去多余的肯定符┌。即用A置換┌A。

    第三,將┐逐步內(nèi)移至原子公式之前,并銷去多余的否定符┐。即用┐A∧┐B置換┐(A∨B),用┐A∨┐B置換┐(A∧B),用A置換┐┐A。

    經(jīng)過上述三個(gè)步驟后,公式中只包含原子公式及其否定,以及∨和∧。

    第四,在上述步驟的基礎(chǔ)上,用(A∨B)∧(A∨C)置換A∨(B∧C)就得到原公式的合取范式。

    以上這些置換規(guī)則都有系統(tǒng)內(nèi)的根據(jù)?;蚴且粋€(gè)定義,例如→的銷去;或是定理,例如多余的肯定符┌和多余的否定符┐的銷去。置換的結(jié)果與原公式是等值的。

    任何公式,運(yùn)用上述方法,都能在有限步內(nèi)求得其合取范式。因此,任一公式都有其合取范式。

    2.PC5的完全性定理:重言式都是PC5的定理。

    證明:設(shè)A為一重言式。A有一合取范式。設(shè)A的合取范式為B,B也是重言式,并且B為B1∧B2∧…∧Bn,Bi(1≤i≤n)為簡單析取式,Bi必是重言式。每一Bi里必有一0級(jí)命題變項(xiàng)Q,并且至少滿足下列條件之一:(甲)┐┌Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn);(乙)┌Q和┐┌Q都作為Bi的析取支出現(xiàn);(丙)┐Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)。因?yàn)椋喝粲幸籅i里每一個(gè)0級(jí)命題變項(xiàng)Q,都不滿足(甲)(乙)(丙)三個(gè)條件中的任何一個(gè)條件,則該Bi里任何一個(gè)0級(jí)命題變項(xiàng)Q,必處于下述三種情形之一:(1)┌Q和┐┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn),或其中之一作為Bi的析取支出現(xiàn);(2)┐Q和┐┌Q都作為Bi的析取支出現(xiàn),或其中之一作為Bi的析取支出現(xiàn);(3)┌Q和┐Q都作為Bi的析取支出現(xiàn)。對(duì)于該Bi里任一0級(jí)命題變項(xiàng)Q,若它處于第一種情形則取值F,若它處于第二種情形則取值T,若它處于第三種情形則取值U,此時(shí)該Bi的每一個(gè)析取支的值均為F,該Bi的值為F。該Bi不是重言式。這與Bi必是重言式相矛盾。所以,每一Bi里必有一0級(jí)命題變項(xiàng)Q,并且至少滿足(甲)(乙)(丙)三條件之一,即每一Bi必具有形式┐┌Q∨┐┐Q或┐┌Q∨┐┐Q∨C或⊿∨┐⊿或⊿∨┐⊿∨C(其中⊿代表任一原子公式)。因┐┌Q∨┐┐Q、┐┌Q∨┐┐Q∨C、A∨┐A、A∨┐A∨C均可證,所以,每一Bi都可證。根據(jù)定理┠A→(B→A∧B),B1∧B2∧…∧Bn可證。所以,B可證。B是A的范式,是從A根據(jù)置換規(guī)則得到的,如B可證,則A也可證??梢娙鏏是重言式,則A可證。凡重言式皆可證,故PC5是完全的。

    二、PC5的一個(gè)重要特征:不矛盾律普遍有效,排中律在且只在一定范圍內(nèi)有效

    在PC5中有定理┠ ┐(┌A∧┐A)和┠ ┐(┌Q∧┐Q)。這說明,在PC5中對(duì)于任意的n(n∈N且n≥0)級(jí)命題而言,都不能同時(shí)既肯定又否定它,不矛盾律都成立。

    在PC5中雖有定理┠┌A∨┐A,但┌Q∨┐Q不是PC5的定理。這說明,在PC5中對(duì)于任意的n(n∈N且n≥1)級(jí)命題而言,或者肯定它,或者否定它,二者必居其一,排中律成立;但對(duì)于任意的0級(jí)命題而言,可以既不肯定它,也不否定它,排中律不成立。

    在PC5中有定理┠ ┐(┌┌A∧┌ ┐A)和┠ ┐(┐┌A∧ ┐┐A)。這說明,在PC5中不能同時(shí)肯定┌A和┐A,也不能同時(shí)否定┌A和┐A。從真值表看,┌A和┐A不能同真,也不能同假??梢?,在PC5中,肯定和否定同一個(gè)n(n∈N且n≥1)級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題,是矛盾關(guān)系。這說明,對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n(n∈N且n≥1)級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,不矛盾律和排中律均成立。

    在PC5中有定理┠ ┐(┌┌Q∧┌ ┐Q)。這說明,在PC5中不能同時(shí)肯定┌Q和┐Q。┐(┐┌Q∧┐┐Q)不是PC5的定理。這說明,在PC5中可以同時(shí)否定┌Q和┐Q。從真值表看,┌Q和┐Q不能同真,但可以同假。可見,在PC5中,肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題,并不是矛盾關(guān)系,而是反對(duì)關(guān)系。這說明,對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,不矛盾律成立,但排中律不成立。

    總之,對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n(n∈N且n≥0)級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,不矛盾律都成立;對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n(n∈N且n≥1)級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,排中律成立,但對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,排中律不成立。

    這里需要說明的是:從直觀上看,0級(jí)命題陳述的是對(duì)象情況,而對(duì)象可能是無限的事物,因而對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)0級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,排中律不成立;n(n∈N且n≥1)級(jí)命題陳述的是思想情況(例如:否定一個(gè)命題而形成的命題陳述的就是一命題之否定這一思想情況),而思想總是有限的(即使是無限的對(duì)象也只能用有限的思想來把握),因而對(duì)于任意的肯定和否定同一個(gè)n(n∈N且n≥1)級(jí)命題而形成的兩個(gè)相反命題而言,排中律成立。由此可見,PC5對(duì)排中律的適用范圍的限定是完全符合人們的直觀的。

    三、反證法的適用范圍問題

    下面我們以PC5為邏輯基礎(chǔ),簡要地討論反證法的適用范圍問題。

    在PC5中有下列定理:

    ┠┌A≡┐┐A

    這一定理表明,一個(gè)n(n∈N且n≥1)級(jí)命題的肯定命題和它的否定之否定命題可以互推,反證法適用于論證n(n∈N且n≥1)級(jí)命題的肯定命題。

    ┠┐A≡┐┌A

    這一定理表明,一個(gè)n(n∈N且n≥1)級(jí)命題的否定命題和它的肯定之否定命題可以互推,反證法適用于論證n(n∈N且n≥1)級(jí)命題的否定命題。

    在PC5中有下列定理:

    ┠┌Q→┐┐Q

    這一定理表明,從一個(gè)0級(jí)命題的肯定命題可推出該0級(jí)命題的否定之否定命題。

    ┐┐Q→┌Q不是PC5的定理。這說明,從一個(gè)0級(jí)命題的否定之否定命題不能推出該0級(jí)命題的肯定命題,也就是說,反證法不適用于論證0級(jí)命題的肯定命題。

    ┠┐Q→┐┌Q

    這一定理表明,從一個(gè)0級(jí)命題的否定命題可推出該0級(jí)命題的肯定之否定命題。

    ┐┌Q→┐Q不是PC5的定理。這說明,從一個(gè)0級(jí)命題的肯定之否定命題不能推出該0級(jí)命題的否定命題,也就是說,反證法不適用于論證0級(jí)命題的否定命題。

    綜上所述,反證法適用于論證n(n∈N且n≥1)級(jí)命題的肯定或否定命題,但不適用于論證0級(jí)命題的肯定或否定命題。

    四、對(duì)引入0級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)的一點(diǎn)說明

    如前文所述,0級(jí)命題變項(xiàng)代表任意的0級(jí)命題。0級(jí)命題就是不包含肯定詞或否定詞的命題。

    這里有一點(diǎn)需要說明,邏輯學(xué)界有一種普遍流行的觀點(diǎn),這種觀點(diǎn)認(rèn)為任何命題都肯定了自身。按照這種觀點(diǎn),人們必須承認(rèn):第一,任何命題都隱含著肯定詞;第二,一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的。這樣一來,也就不存在0級(jí)命題了。

    筆者認(rèn)為,上述普遍流行的觀點(diǎn)頗值得商榷。首先,沒有任何理由可以證明任何命題都肯定了自身。其次,有些命題很難說肯定了自身。例如,命題甲“圓周率π的小數(shù)表達(dá)式3.1415926…中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5”就很難說肯定了自身。π是一個(gè)無理數(shù),即無限的不循環(huán)的小數(shù)。到目前為止,我們還沒有發(fā)現(xiàn)(或證明)π的小數(shù)展開式中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5,因而不能肯定命題甲;我們也無法論證π一定沒有這樣一個(gè)特性,因而也不能否定命題甲[1]49~50。如果命題甲肯定了自身,那么只要提出命題甲,就提出了對(duì)命題甲的肯定。這與命題甲雖已提出來但到目前為止還未被肯定這一事實(shí)顯然不符。再次,“一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的”只是邏輯學(xué)的一個(gè)公設(shè),基于這一公設(shè),肯定詞在任何情況下都可以隨意消除,人們?cè)跇?gòu)造命題演算系統(tǒng)時(shí)根本無需引入肯定詞,這就造成了在現(xiàn)代邏輯中對(duì)肯定詞和否定詞的研究極為不平衡的奇特現(xiàn)象:人們建立了多種多樣的命題演算系統(tǒng)來刻畫否定詞的邏輯意義,區(qū)分了不同種類的否定(如經(jīng)典否定、直覺主義否定、弗協(xié)調(diào)否定等)[3]476~477;但人們對(duì)肯定詞的邏輯意義卻極少關(guān)注。然而,值得提出的是,上述公設(shè)從未得到過系統(tǒng)外的預(yù)先證明。鑒于此,本文所建構(gòu)的形式系統(tǒng)在限制上述公設(shè)適用范圍的基礎(chǔ)上引入了0級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)。

    [1]馮棉.經(jīng)典邏輯與直覺主義邏輯[M].上海:上海人民出版社,1989.

    [2]王憲鈞.?dāng)?shù)理邏輯引論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1982.

    [3]羅·格勃爾.哲學(xué)邏輯[M].張清宇,陳慕澤,等,譯.北京:中國人民大學(xué)出版社,2008.

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