載荷作用下球軸承旋轉(zhuǎn)精度的Copula估算方法

李麗紅，李濟(jì)順，薛玉君，禹統(tǒng)帥，余永鍵

(1.河南科技大學(xué) 車(chē)輛與交通工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003；2.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471003)

球軸承可以看做是一個(gè)由內(nèi)圈、外圈、球、保持架組成的系統(tǒng)，這些零件都有其自身的幾何精度，零件幾何精度的差異和運(yùn)動(dòng)副間隙及其相互作用必定會(huì)影響球軸承的旋轉(zhuǎn)精度。在載荷平衡約束和幾何協(xié)調(diào)約束作用下，軸承零件的幾何精度及其相互作用最終影響著軸承旋轉(zhuǎn)精度。球軸承零件的幾何精度可通過(guò)測(cè)量得到，而軸承旋轉(zhuǎn)精度則通過(guò)對(duì)軸承內(nèi)外圈的徑向和端面跳動(dòng)等進(jìn)行測(cè)量得到，很少用零件的幾何精度去估算成品軸承的旋轉(zhuǎn)精度。軸承旋轉(zhuǎn)精度與其零件的幾何精度必然存在一定的關(guān)系，但這種關(guān)系很難用數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)。因此，用統(tǒng)計(jì)的方法尋求零件尺寸精度的分布規(guī)律，再用聯(lián)合分布Copula函數(shù)建立軸承旋轉(zhuǎn)精度的聯(lián)合分布與其零件幾何精度多元分布之間的傳遞和映射關(guān)系,嘗試在裝配之前估算軸承的旋轉(zhuǎn)精度。

1 Copula函數(shù)理論

Copula函數(shù)也稱(chēng)為連接函數(shù)或相依函數(shù)，是將多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)連接起來(lái)的函數(shù)，其作用就是在多元分布中將相依性結(jié)構(gòu)從邊際特征中區(qū)分出來(lái)。這種思想來(lái)源于著名的Sklar定理：可將聯(lián)合分布分解成多個(gè)邊際分布和一個(gè)聯(lián)合的Copula函數(shù)，此函數(shù)能把多個(gè)邊緣分布聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行變量間的相依性描述。

Copula理論于1959年提出[1]，20世紀(jì)90年代以來(lái)，Copula理論和方法在國(guó)內(nèi)外迅速發(fā)展，并應(yīng)用到交通、金融、保險(xiǎn)、建筑動(dòng)力風(fēng)荷載、機(jī)械系統(tǒng)的可靠性分析等多個(gè)領(lǐng)域[2-14],并取得了良好效果。一般分布估算法無(wú)法構(gòu)造適當(dāng)?shù)亩嘧兞柯?lián)合分布函數(shù)，使其具有指定的單變量邊緣分布函數(shù)以及多個(gè)變量之間的相關(guān)性。Copula函數(shù)可以把聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)聯(lián)系起來(lái)構(gòu)造多元分布函數(shù)對(duì)變量之間的相關(guān)性進(jìn)行分析，而且與PPCA，BOA算法相比運(yùn)算量小，能較好地反映優(yōu)勢(shì)群體的分布情況[13]。

設(shè)F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn)為連續(xù)的邊際分布函數(shù)，其聯(lián)合分布函數(shù)為H(x1,x2,…,xn)，存在一個(gè) Copula 函數(shù),使

C(F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn))=

H(x1,x2, …,xn)，

(1)

令W1=F1(x1),W2=F2(x2),…,Wn=Fn(xn),則

C(W1,W2,…,Wn)=

(2)

常用的多元正態(tài)Copula函數(shù)和密度函數(shù)的表達(dá)式為

C(u1,u2,…,uN;ρ)=

Φρ(Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN))，

(3)

c(u1,u2,…,uN;ρ)=

(4)

ζ=(ζ1，ζ2,…,ζN)′，ζN=Φ-1(uN)，

式中：ρ為對(duì)角線上的元素為1的對(duì)稱(chēng)正定矩陣；|ρ|為矩陣相對(duì)應(yīng)的行列式的值；Φρ(u)表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ的標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布函數(shù)；Φ-1(u)為Φ(u)的逆函數(shù)；I為單位矩陣。

Copula方法在建立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布時(shí)有如下優(yōu)點(diǎn)：1)Copula理論不限制邊緣分布的選擇，結(jié)合Copula函數(shù)可以靈活地構(gòu)建聯(lián)合分布函數(shù)；2)在運(yùn)用Copula理論建立模型時(shí)，邊緣分布反映的僅是單變量的個(gè)體信息，變量間的相關(guān)信息完全由Copula函數(shù)體現(xiàn)，可以將隨機(jī)變量的邊緣分布和變量間的相關(guān)性分開(kāi)研究[10]。

2 軸承旋轉(zhuǎn)精度

滾動(dòng)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，為了保證傳動(dòng)零件的旋轉(zhuǎn)精度，需要將軸承內(nèi)、外圈和端面的跳動(dòng)控制在一定范圍內(nèi)，因此軸承的旋轉(zhuǎn)精度涉及內(nèi)外圈的徑向跳動(dòng)、內(nèi)外圈端面對(duì)滾道的跳動(dòng)、內(nèi)圈基準(zhǔn)端面對(duì)內(nèi)徑的跳動(dòng)、外圈素線對(duì)基準(zhǔn)端面傾斜度變動(dòng)量以及內(nèi)外圈滾道對(duì)底面厚度的變動(dòng)量。對(duì)于球軸承，軸承外圈的徑向跳動(dòng)與端面跳動(dòng)是判斷軸承旋轉(zhuǎn)精度的重要指標(biāo)[15-16]。

影響滾動(dòng)軸承旋轉(zhuǎn)精度的因素很多，滾動(dòng)軸承旋轉(zhuǎn)精度除受載荷影響外，主要受滾動(dòng)軸承零件的幾何精度(外圈的尺寸精度、形狀精度，內(nèi)圈的尺寸精度、形狀精度，滾動(dòng)體的尺寸精度等)、徑向游隙、滾動(dòng)體個(gè)數(shù)等參數(shù)的影響。滾動(dòng)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其旋轉(zhuǎn)精度還會(huì)受到安裝方式、預(yù)緊力、工作載荷、溫度及潤(rùn)滑等多種因素的影響。

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 隨機(jī)變量

軸承裝配合套前，各零件在幾何精度分布上是獨(dú)立的，存在一定的自相關(guān)性，但裝配后，彼此相互影響，為互相關(guān)。由于加工的偶然因素影響，軸承的內(nèi)圈、外圈及滾動(dòng)體尺寸和形狀在其公差范圍內(nèi)的誤差是隨機(jī)變量，將其組合在一起是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

以6204深溝球軸承為例進(jìn)行分析，僅對(duì)影響其旋轉(zhuǎn)精度的重要指標(biāo)外圈徑向跳動(dòng)Kea與端面跳動(dòng)Sea進(jìn)行分析，不考慮保持架的影響。內(nèi)圈溝道直徑、外圈溝道直徑、球直徑對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響組成各零件對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的整體影響，將內(nèi)圈溝道直徑下偏差Xir、外圈溝道直徑上偏差Xer、軸承所有球中直徑最大值與最小值之差的絕對(duì)值Xr作為隨機(jī)變量。取100套軸承零件進(jìn)行測(cè)量，裝配后由軸承外圈和端面跳動(dòng)測(cè)量?jī)x測(cè)量Kea，Ssa[16]。向測(cè)試儀芯軸施加40 N·m的扭矩，得到100組原始數(shù)據(jù)，考慮測(cè)量時(shí)試驗(yàn)設(shè)備自身的誤差，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分離得到100組測(cè)量數(shù)據(jù),由于篇幅所限，僅給出部分?jǐn)?shù)據(jù)，見(jiàn)表1。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)

3.2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析

3.2.1 隨機(jī)變量分布參數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)

表2 參數(shù)估計(jì)及正態(tài)檢驗(yàn)結(jié)果

圖1 Xer，Xir，Xr的直方圖及核密度圖

圖2 跳動(dòng)量Sea，Kea的直方圖及核密度圖

3.2.2 隨機(jī)變量的相關(guān)性分析

上述5種隨機(jī)變量之間的協(xié)方差矩陣見(jiàn)表3，可以看出，軸承的外圈徑向跳動(dòng)、端面跳動(dòng)與軸承外圈溝道、內(nèi)圈溝道和球的尺寸有很強(qiáng)的相關(guān)性，由于球尺寸的差異，在軸承運(yùn)行過(guò)程中必然會(huì)造成軸承外圈跳動(dòng)，差異越大，跳動(dòng)程度越嚴(yán)重。此外，內(nèi)圈溝道比外圈溝道與軸承徑向跳動(dòng)的相關(guān)程度更強(qiáng)。軸承外圈溝道、內(nèi)圈溝道和球尺寸在未裝配之前相互獨(dú)立，但裝配后其對(duì)軸承整體性能的影響彼此相關(guān)。變量Xer，Xir，Xr，Kea，Sea兩兩之間的相關(guān)性如圖3所示(橫、縱坐標(biāo)單位均為mm)，從圖中可以看出，Kea，Sea與Xir，Xer，Xr都具有相關(guān)性，尤其是與Xr有很強(qiáng)的相關(guān)性，這說(shuō)明軸承的旋轉(zhuǎn)精度與球尺寸的均勻性有很大關(guān)系，在其公差范圍內(nèi)，尺寸差值越小，即越均勻，軸承跳動(dòng)程度就越小。

表3 隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣

圖3 Xir，Xer，Xr和Kea，Sea兩兩相關(guān)的關(guān)系圖

3.2.3 模型建立

軸承內(nèi)外圈溝道以及球的尺寸偏差對(duì)軸承的運(yùn)動(dòng)精度都存在相關(guān)性，且組合在一起會(huì)產(chǎn)生聯(lián)合作用，形成多維隨機(jī)變量?？梢杂肅oupla函數(shù)來(lái)估計(jì)。為方便起見(jiàn)，將變量Xer，Xir，Xr和Kea，Sea分別用u，v，w，y1，y2表示。由于u，v，w服從正態(tài)分布，設(shè)其分布函數(shù)及密度函數(shù)分別為

(5)

(6)

式中：μu，μv，μw分別為u，v，w的均值；σu，σv，σw分別為u，v，w的均方根。

同理，外圈的徑向跳動(dòng)量和端面跳動(dòng)量也服從正態(tài)分布，可以將其分布函數(shù)分別寫(xiě)為F(y1)和F(y2)，則其與u，v，w的聯(lián)合分布函數(shù)F(u,v,w)之間的關(guān)系為

(7)

隨機(jī)變量u，v，w雖說(shuō)聯(lián)合起作用，但對(duì)外圈的徑向跳動(dòng)和端面跳動(dòng)的影響不同，從圖3可以看出，其影響相當(dāng)復(fù)雜。為便于參數(shù)估計(jì)，將這種復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化，先考慮尺寸誤差兩兩之間相互作用的影響，再輔以修正參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行修正，設(shè)u，v，w的兩兩聯(lián)合分布函數(shù)分別為F(u,v)，F(xiàn)(v,w)，F(xiàn)(w,u)，建立模型

(8)

式中：λ1,λ2,λ3，κ1，κ2，κ3均為估計(jì)參數(shù)。

4 構(gòu)建Copula函數(shù)

Copula可以解釋為相依函數(shù)或連接函數(shù)，是把多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用其一維邊際分布連接起來(lái)的函數(shù)。以F(u,v)為例進(jìn)行分析，其邊緣分布函數(shù)分別為F(u),F(v)，存在一個(gè)Coupla函數(shù)C(F(u)，F(xiàn)(v))使

F(u,v)=C(F(u)，F(xiàn)(v))。

(9)

由圖2可以看出，軸承的外圈徑向跳動(dòng)和端面跳動(dòng)接近于正態(tài)分布，在構(gòu)建Coupla函數(shù)時(shí)可使用高斯Copula函數(shù)。存在高斯Copula函數(shù)使

F(u,v)=C(F(u),F(v))=

CG(F(u)，F(xiàn)(v)),

(10)

變換得

CG(F(u)，F(xiàn)(v))=Φ(F-1(u),F-1(v)),

(11)

式中：Φ為二元正態(tài)分布函數(shù)；F-1為一維正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。則

(12)

式中：ρuv為u，v的相關(guān)系數(shù)。

用極大似然函數(shù)方法對(duì)Coupla函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。通過(guò)CG(F(u)，F(xiàn)(v))的密度函數(shù)c(F(u)，F(xiàn)(v))和邊緣密度函數(shù)φ(u),φ(v)可以求出聯(lián)合分布函數(shù)F(u,v)的密度為

f(u,v,ρuv)=c(F(u)，F(xiàn)(v))φ(u)φ(v)，

(13)

則

(14)

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

lnL(f(u,v,ρuv))=Πf(u,v,ρuv)=

(15)

通過(guò)計(jì)算可得到參數(shù)估計(jì)值ρuv=0.036 4。

同理可得：ρvw=0.191 2，ρwu=0.263 8。

由(8)和(10)式得到其概率密度模型為

(16)

由于隨機(jī)變量y1服從正態(tài)分布，其概率密度為

(17)

將(13)式代入(16)式得

(18)

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，通過(guò)概率密度最小二乘法使等式兩邊最接近時(shí)估計(jì)參數(shù)λi(i=1,2,3)為λ1=0.276 1，λ2=-0.081 6，λ3=0.018 3。同理對(duì)(16)式進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可得κ1=0.067 5，κ2=-0.264 3，κ3=0.197 4。

將λi和κi代入(8)式和(16)式得變量之間的數(shù)學(xué)模型為

(19)

概率密度的數(shù)學(xué)模型為

(20)

從該模型中可以看出，在載荷作用下軸承內(nèi)外圈溝道的相互作用對(duì)外圈徑向跳動(dòng)影響最大，其次是外圈溝道與球之間的相互配合。而外圈溝道與球的相互作用對(duì)外圈端面跳動(dòng)影響最大，其次是球與內(nèi)圈的相互作用。

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)所建立數(shù)學(xué)模型的有效性和精確性，另外隨機(jī)抽取100套6204深溝球軸承進(jìn)行試驗(yàn)，部分?jǐn)?shù)據(jù)見(jiàn)表4。模型計(jì)算數(shù)據(jù)與測(cè)量值的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表5。由表可知，數(shù)學(xué)模型模擬出來(lái)的結(jié)果與實(shí)際測(cè)量結(jié)果接近。

表4 測(cè)量數(shù)據(jù)

表5 實(shí)測(cè)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比

6 結(jié)束語(yǔ)

將軸承視為多個(gè)零件組合在一起的系統(tǒng)，各零件相互作用、相互配合。軸承零件幾何精度及其相互作用影響著軸承的旋轉(zhuǎn)精度?；贑oupla函數(shù)分布估算法，通過(guò)研究軸承內(nèi)外圈溝道和球的尺寸精度對(duì)軸承外圈徑向與端面跳動(dòng)量的關(guān)系，用概率密度構(gòu)建其數(shù)學(xué)模型，將滾動(dòng)軸承旋轉(zhuǎn)精度與零件的幾何精度聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)該理論可以對(duì)軸承的精度等級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)。但建立的模型僅適應(yīng)于單一型號(hào)軸承旋轉(zhuǎn)精度的估算，其他型號(hào)軸承旋轉(zhuǎn)精度的估算需另外建立模型。