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    淺談一般數(shù)列的求和問題

    2017-11-03 17:46陳盾初
    學(xué)周刊 2017年33期
    關(guān)鍵詞:數(shù)列高中數(shù)學(xué)

    陳盾初

    摘 要:數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一個重點,也是高考重要考點之一,所以掌握數(shù)列求和的方法非常重要,需要對各種題型,各種解題策略融會貫通,能夠?qū)⒏鱾€知識點全部擊破,從而提高數(shù)學(xué)成績?;诖耍瑢?shù)列求和的各種方法做出詳細講解,希望能夠幫助學(xué)生對數(shù)列求和方法有更深刻地掌握,能夠?qū)Ω鞣N題型得心應(yīng)手,從而提高數(shù)學(xué)成績。

    關(guān)鍵詞:數(shù)列;數(shù)列求和;高中數(shù)學(xué)

    中圖分類號:G63 文獻標識碼:A 文章編號:1673-9132(2017)33-0047-02

    DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.33.024

    數(shù)列的求和問題一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個非常重要的知識點,像一些簡單的等差數(shù)列、等比數(shù)列的解題方法比較簡單,有一些較為淺薄的題目可以直接用等差數(shù)列公式、等比數(shù)列公式解答出題目的答案,但是像一些非等差數(shù)列和非等比數(shù)列就需要改變解題方法,這樣的數(shù)列問題存在綜合性的特點,需要對基礎(chǔ)知識有較好地掌握才能夠解答出正確答案,下面我針對一般的數(shù)列求和方法通過例題簡單的講解。

    一、對數(shù)列求和方法的認識

    我們在進行數(shù)列求和的時候通常會用到這幾個方法,首先是直接法,直接法用起來簡單快捷,非常高效,在做非常簡單的題目的時候我們可以用這種方法,另外是公式法,通過前人已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律,我們只需要通過對問題的簡單觀察,查看是否符合公式要求,可以直接套用公式得出問題的答案,但是這個方法需要我們對有關(guān)公式要能夠準確記憶,如果不經(jīng)常運用可能很快就忘記公式,從而不能在遇到問題的時候有效解決,另外除了能夠運用之外還需要有深刻的理解,可以在題目多變的時候靈活運用公式,不能夠只是死板的將公式記住而不知道變通,所以綜合來說,通過公式法來解決數(shù)列求和,可以節(jié)省我們的解題時間,而且使我們的解題方法更加有效準確。其次是錯位相減法,這種方法我們在做有關(guān)數(shù)列求和問題的時候是我們經(jīng)常使用的一種方法,在運用這種方法的時候,要對題目仔細分析,再三反思,確定審題正確,而且在寫的時候要更加注意,以免出現(xiàn)寫錯的情況,究其原因是因為一般用到錯位相減法的題目項數(shù)是非常多的,所以如果沒有仔細細心的態(tài)度,就很容易出現(xiàn)錯誤。最后是裂項相消法,這個方法顧名思義,是把一項進行分裂,將其從一項分裂成兩項、三項甚至是多項、然后用消除的方法求出前面項的和,這種方法適合的題型非常多,例如:等差型,三角函數(shù)型等。這些題型都可以運用這種裂項相消法,因為可以運用的題型非常多,所以對這種方法我們要有具體的了解,將其徹底掌握,從而能夠在遇到各種題型的時候,能夠靈活地將這種方法運用上去,提高解題效率,下面我針對這幾種方法做具體講解與分析。

    二、直接法

    對數(shù)列的求和可以直接進行求和。

    例1:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+100的和。

    分析:這個題目幾乎是在小學(xué)一年級的時候就經(jīng)常是被老師問到的問題,但是當時只是涉及求和問題,并沒有引進數(shù)列的概念。而這個題目明顯是一個等差數(shù)列,針對于這個問題,我們可以直接通過高斯求和公式進行求和。

    高斯公式:和=(第一項的值 + 最后一項的值)×項數(shù) / 2

    解:第一項是1,最后一項是100,所以(1+100)×100 / 2,所以這個題目的最后結(jié)果是5050。

    三、公式法

    (一)等差公式

    等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。

    例如:1,3,5,7,9...2n-1。

    通項公式為:an = a1+(n-1)×d。首項a1=1,公差d=2。

    前n項和公式為:Sn = na1 + n(n-1)d/2 = n(a1 + an) / 2

    例題:假設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,而且S2 = 12,S4 = 0,求:{an}的通項公式、前n項的和Sn

    分析:從這個題目可以看出這是遞減等差數(shù)列,可以直接通等差公式進行解題。

    解:假設(shè)等差數(shù)列的第一項是a1,數(shù)列公差為d,那么可以得到2a1 + d = 12 和 4a1 + 6d = 0,通過運算,可以知道a1 = 9, d = -6,所以通過an= a1 + (n-1)d可以得出an= 9 - 6 (n- 1) = - 6n + 15,而Sn = na1 + n(n-1)d/2,將a1 帶入到其中去可以得到Sn = -3n2+12n。

    (二)等比公式

    公式:當q=1的時候,Sn=na1,當q≠1的時候,

    Sn=a1(1 - qn)/1-q性質(zhì):(1) an = amqn-m

    (2)若 m + n = p +q ,則 am × an = aq × ap

    例題:已知log2x = 1,求x + x2 + x3 +...+xn的前n項和。

    分析:從這個題目中可以很快地看出這是等比數(shù)列,所以可以直接將等比公式的公式運用在上面。

    解:因為log2x = 1,所以x = 2,所以通過求和公式Sn = x + x2 + x3 +...+xn = 2(1-2n) / (1-2)= 2n+1 - 2。

    四、錯位相減法

    例題:求和Sn = 1/2 + 3/22 + ... +(2n - 1)/2n 。

    分析:從這個題目可以看到被除數(shù)是等差數(shù)列,除數(shù)是等比數(shù)列,所以這個題目可以運用錯位相減法。

    解:Sn = 1/2 + 3/22 + ... + (2n - 1) /2n ,將這個等式兩邊同時乘以1/2,得到(1/2) Sn = 1/22 + 3/23 + ... + 2n -3 / 2n + (2n-1) / 2n+1然后將兩個等式相減,就可以得到Sn = 3 - (2n+3) / 2n

    五、裂項相消法

    通過上文對數(shù)列求和方法的簡單介紹與例題結(jié)合,分析了常用的數(shù)列求和方法,但是在數(shù)列求和上可以用的方法并不僅限于這幾種,其他的方法本文就不一一介紹了,希望可以對學(xué)生在做數(shù)列求和的時候有所幫助。

    參考文獻:

    [1] 鄒文楨.淺談一般數(shù)列的求和問題[J].理科考試研究(高中版),2017(1):32-34.

    [2] 樊冰清.淺談一般數(shù)列的求和問題[J].教育現(xiàn)代化-知網(wǎng),2017(5):103-74.endprint

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