矩形平板的聲輻射效率計(jì)算

鐘 策，陳 赫

（上海索辰信息科技股份有限公司，上海 201204）

振動結(jié)構(gòu)的聲輻射效率是其聲輻射性能的一個重要表征參量，反映了振動結(jié)構(gòu)向周圍介質(zhì)中輻射聲能量的能力，是工程技術(shù)人員在進(jìn)行聲學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時需要考慮的重要參數(shù)。其中平板的輻射效率計(jì)算是統(tǒng)計(jì)能量分析方法的基礎(chǔ)問題，可用于平板與聲腔耦合結(jié)構(gòu)的聲振問題求解。

Xie 等[1]使用瑞利積分求得球坐標(biāo)系下遠(yuǎn)場任意一點(diǎn)的聲強(qiáng)，再將聲強(qiáng)對球面進(jìn)行積分，得到了矩形簡支板各階模態(tài)輻射效率的解析表達(dá)式。梁健等[2]推導(dǎo)了帶剛性障板的平板各階彎曲振動模態(tài)的聲輻射效率冪級數(shù)表達(dá)式，計(jì)算了不同邊界條件下平板的聲輻射效率。任惠娟等[3]通過聲強(qiáng)對輻射面積分，得到了四邊簡支矩形板的模態(tài)輻射聲功率的精確解析表達(dá)式，并采用了十節(jié)點(diǎn)的高斯-勒讓得求積法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算精度較高。張凱等[4]基于Mindlin 厚板理論建立了四邊簡支矩形平板的振動聲輻射數(shù)學(xué)計(jì)算模型，通過Rayleigh 積分法得到模態(tài)聲輻射系數(shù)，并得到結(jié)論：由于Mindlin 厚板模型考慮了板的橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量，其動力學(xué)計(jì)算結(jié)果比經(jīng)典薄板理論更精確，但由于聲輻射僅與平板的橫向振動相關(guān)，因此2 種模型計(jì)算出來的平均輻射效率沒有明顯區(qū)別。

1 輻射效率積分

假設(shè)一個面積為S（00 的半無限大空間?；赗ayleigh 積分，板對空間的時域平均輻射功率為

對于簡支板，板的模態(tài)振型可表示為

式中：kx=mπ/a，ky=nπ/b 分別表示x 和y 2 個方向的波數(shù)分量。

對波數(shù)進(jìn)行無量綱化

板的輻射效率σ 可表示為

進(jìn)行變換

射效率σ 可表示為

可將積分式化為

積分區(qū)間：C（10<θ<θ0），θ0），C4（π-θ0<θ<π），C5（π<θ<π+θ0），C6（π+θ0<θ<3π/2），C7（3π/2<θ<2π-θ0），C8（2π-θ0<θ<2π），其中θ0=arctan（b/a），積分函數(shù)如下

注意到積分函數(shù)Gn是連續(xù)函數(shù)，其中l(wèi)（θ）=1-αcos θ-βsin θ。

2 奇點(diǎn)近似處理

在計(jì)算積分時需要把l（θ）=0 的奇點(diǎn)排除，如圖1所示，2 個切點(diǎn)即為奇點(diǎn)，給定任意點(diǎn)（α，β）可以畫出單位圓的2 條切線，對應(yīng)2 個零點(diǎn)θ1、θ2。圖1 中給出了對一個特定的（α，β）對應(yīng)的2 個零點(diǎn)θ1、θ2的幾何結(jié)構(gòu)。2 個零點(diǎn)的位置在圖2 中表示，若（α，β）在Z28區(qū)域，則其中一個零點(diǎn)在C2范圍內(nèi)，另外一個零點(diǎn)在C8范圍內(nèi)。當(dāng)（α，β）穿過邊界線Lij，一個零點(diǎn)從Cn穿越到另一個范圍。

圖1 l（θ）的零點(diǎn)幾何結(jié)構(gòu)圖

圖2 波數(shù)圖（Zij 表示奇點(diǎn)位于Ci 和Cj）

由式（9）—式（12）可知，積分項(xiàng)主要貢獻(xiàn)來自于奇點(diǎn)附近，將積分公式化為分段積分，并在奇點(diǎn)附近進(jìn)行簡化可得出近似公式[5]。近似公式分為3 種情況：①α2+β2<1-?；②α2+β2≈1；③α2+β2>1+?。不同α 和β 的取值分別計(jì)算出對應(yīng)的σ，平均輻射效率σˉ需要對所有可能的模態(tài)進(jìn)行平均

式中：α=μcosφ，β=μsinφ，小量?的定義為?=π（k2ab）-0.5。

在不考慮Transition region（上圖中各邊界線附近區(qū)域）的情況下，有如下幾種形式

3 過渡區(qū)

3.1 過渡線L18

假設(shè)（α，β）靠近L18（α+1），但是不太靠近β=0，在這種情況下將會存在2 個分開的奇點(diǎn)，其中一個奇點(diǎn)θ*靠近θ=0，此奇點(diǎn)會對σ 產(chǎn)生附加項(xiàng)

式中：sgn（1-α）為±1，符號由1-α 的符號確定，Si（x）=dt。

3.2 過渡線L23

L23與L18同理，可以得到附加項(xiàng)

其余過渡線對輻射效率產(chǎn)生的附加項(xiàng)為0。

4 數(shù)值算例

4.1 半無限聲場輻射

以1 m×1 m×0.005 m 的方形鋁板為例計(jì)算輻射效率，材料參數(shù)：楊氏模量E=7.0×1010Pa，密度ρ=2700kg/m3，泊松比μ=0.33。計(jì)算結(jié)果與成熟商業(yè)軟件VAONE 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，圖3 為輻射效率對比曲線，圖4 為輻射效率偏差曲線。

圖3 輻射效率對比曲線

由圖3 和圖4 可知，平板輻射效率計(jì)算結(jié)果在主要頻率范圍內(nèi)均與VAONE 吻合較好，考慮過渡區(qū)與不考慮過渡區(qū)計(jì)算結(jié)果區(qū)別較小，當(dāng)固定過渡區(qū)小量時，在高頻時計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，是由于頻率增加，小量?=π（k2ab）-0.5也增加，固定的小量不滿足計(jì)算精度要求。

圖4 輻射效率偏差曲線

添加一個半無限場，半無限場與平板耦合連接，聲學(xué)介質(zhì)為空氣，密度ρ=1.225 kg/m3，聲速c=343 m/s。計(jì)算平板輻射聲壓；載荷采用1 N 點(diǎn)力，計(jì)算頻率為1/3倍頻程100～8000 Hz，統(tǒng)計(jì)能量模型如圖5 所示。得到半無限聲場的聲壓曲線，如圖6 所示。

圖5 平板與半無限場耦合統(tǒng)計(jì)能量模型

圖6 半無限場聲壓曲線

4.2 平板與聲腔耦合

以平板與聲腔耦合為例，平板結(jié)構(gòu)為1 m×1 m×0.005 m 的方形鋁板，材料參數(shù)：楊氏模量E=7.0×1010Pa，密度ρ=2700 kg/m3，泊松比μ=0.33，聲腔幾何尺寸為1 m×1 m×1 m，聲學(xué)介質(zhì)為空氣。建立統(tǒng)計(jì)能量模型，子系統(tǒng)包括一個平板結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)和一個聲腔子系統(tǒng)，平板與聲腔直接建立一個面連接，統(tǒng)計(jì)能量模型如圖7 所示。將本文計(jì)算結(jié)果與成熟商業(yè)軟件VAONE 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，平板結(jié)構(gòu)的平均速度曲線如圖8 所示，聲腔的聲壓級1/3 倍頻程曲線如圖9所示。

圖7 平板與聲腔耦合統(tǒng)計(jì)能量模型

圖8 平板平均速度曲線

由圖8 和圖9 可知，平板速度結(jié)果與VAONE 軟件結(jié)果基本一致，同時采用本文方法計(jì)算得到的聲腔聲壓級結(jié)果與VAONE 計(jì)算結(jié)果基本吻合，表明本文方法平板聲輻射效率與成熟振動噪聲商業(yè)軟件VAONE 結(jié)果一致，驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖9 聲腔聲壓級曲線

5 結(jié)論

本文基于Rayleigh 積分推導(dǎo)了四邊簡支平板結(jié)構(gòu)的聲輻射效率積分表達(dá)式，對奇異點(diǎn)處進(jìn)行了近似處理。最后計(jì)算了1 m×1 m×0.005 m 矩形鋁板結(jié)構(gòu)與半無限場和聲腔耦合下的聲輻射效率，振動噪聲計(jì)算結(jié)果與振動噪聲領(lǐng)域成熟商業(yè)軟件VAONE 進(jìn)行對比，計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文方法可應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)能量分析中平板的聲輻射效率計(jì)算。