討價(jià)還價(jià)博弈及其子博弈精煉納什均衡

(武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 湖北 武漢 430072)

一、引言

在現(xiàn)實(shí)生活中，資源往往是稀缺的，因此經(jīng)濟(jì)個(gè)體的利益常常會(huì)產(chǎn)生沖突。就像一群人分一塊蛋糕，一個(gè)參與者得到更多的蛋糕就必然意味著其他參與者的收益減少。而博弈論的一個(gè)經(jīng)典假設(shè)就是所有的參與者都是理性的，這就意味著他們?cè)谶M(jìn)行博弈時(shí)都會(huì)追求個(gè)人利益最大化。因此，為了可能得到的更多的利益，他們往往不會(huì)就這種博弈的最優(yōu)結(jié)果達(dá)成共識(shí)。

在這種情況下，博弈參與者企圖采取對(duì)所有參與者而言都有利的決策來緩解這種沖突。如果存在多個(gè)決策最終能使每個(gè)參與者獲得比一無所獲更好的收益，并且不同的參與者對(duì)各種決策都有不同的偏好時(shí)，他們往往會(huì)達(dá)成某種協(xié)議(通常情況下如果參與者們沒能達(dá)成協(xié)議，那么他們不會(huì)獲得任何收益)。博弈論作為一種有助于分析決策主體相互作用的工具，可以用來分析協(xié)議形成的過程。

根據(jù)博弈進(jìn)行的次數(shù)不同，模型主要分為兩種情況，分別為有限期和無限期模型。有限期的情況可以通過逆向歸納來得出博弈的最優(yōu)結(jié)果。無限期的情況則比較復(fù)雜。博弈終點(diǎn)的缺失使得我們不能用研究有限期的方法來得出博弈的均衡，因此我們必須考慮“一次偏離性質(zhì)”。

二、模型的基本前提

兩個(gè)參與者就1美元進(jìn)行分配。設(shè)xi是參與者i(i=1,2)所得到的美元(0≤xi≤1).兩個(gè)參與者可能得到的結(jié)果可以由如下集合表示

X={(x1,x2)|x1,x2≥0,x1+x2=1}

如果沒能達(dá)成協(xié)議，在第3期，參與者1是出價(jià)者。在第4期，參與者2.以此類推。

博弈持續(xù)到其中一方接受對(duì)方的提議或者期末(第T期)。

如果這場(chǎng)博弈在第t期結(jié)束(1

如果直到第T期，雙方還沒有達(dá)成共識(shí)，那么博弈過程結(jié)束。最終他們的收入為(s1,s2)，其中s1+s2≤1?？梢约僭O(shè)s1=s2=0。在現(xiàn)實(shí)生活中，談判的不歡而散往往不會(huì)給雙方帶來任何利益，因此這是一個(gè)合理的假設(shè)。

三、有限期限的情況

(一)簡(jiǎn)單模型——三期的模型。下面來考慮T為有限值的情況?？紤]T=3的情況，如圖3.1.1所示。

現(xiàn)在給出納什均衡的定義。

定義3.1.1：在一個(gè)多期拓展博弈中，如果一個(gè)策略s*使得對(duì)于每個(gè)參與者i的所有策略si，都有

那么稱這個(gè)策略為納什均衡(Nash equilibrium)。

因此納什均衡可以理解為，在均衡中，不改變其他人的策略，某個(gè)參與者的策略時(shí)最優(yōu)的。由于討價(jià)還價(jià)博弈可以看成是一個(gè)完全信息的拓展博弈，所以它的子博弈可以看成是從某個(gè)博弈節(jié)點(diǎn)開始重新進(jìn)行的博弈。子博弈均衡也由此定義。

采用逆向歸納法。

圖3.1.1

參與者1在第1期出價(jià)

出價(jià)被接受。

(二)推廣的模型——任意有限期的情況

現(xiàn)在考慮T=2n+1的情況。當(dāng)T=5時(shí)，情況如圖3.2.1所示。

且被接受。當(dāng)T=2n+1時(shí)，在子博弈精煉納什均衡中，參與者1的收入是

用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。

即當(dāng)T=2n+3時(shí)原式也成立。

下面考慮T為偶數(shù)，即T=2n+2的情況。此情況相當(dāng)于將第2期作為博弈起點(diǎn)而兩個(gè)參與者角色互換的博弈。運(yùn)用上面的結(jié)論可得，當(dāng)博弈過程進(jìn)行到第2期的時(shí)候，參與者2所得到的美元為

因此消費(fèi)者1的均衡出價(jià)為

四、無限期限的情況

(一)模型的基本前提

下面考慮T=∞的情況。如圖4.1.1所示。

首先假設(shè)d=(0,0)，由于貼現(xiàn)因子δi會(huì)使得下一期的收益總比當(dāng)期小，當(dāng)T→∞時(shí)可以認(rèn)為兩個(gè)參與者的收益都趨近于0，這個(gè)假設(shè)變得十分合理。納什均衡的定義沒有排除不可信威脅的可能性。所以，納什均衡的個(gè)數(shù)非常多。幾乎所有的方案都是均衡。

(二)Rubinstein定理

圖4.1.1

取T→∞得

現(xiàn)在我們將兩個(gè)參與者的角色互換，即參與者2在第1期出價(jià)，同理可得他的出價(jià)為

上面的極限即是無限期的均衡結(jié)果。證明如下(Rubinstein 1982)。

首先證明子博弈精煉性。只需考慮參與者在某一期偏離這個(gè)策略但在其后遵守均衡情況的策略的情況。從收益最大化的角度考慮，在出價(jià)中，參與者盡可能的增加自己的收益，因此在偏離的策略中，出價(jià)人的份額只可能比均衡策略中的大，所以其他的情況都可以歸納為這種情況。

在偶數(shù)期的情況與此類似。

下面證明此均衡的唯一性。

將這兩個(gè)不等式聯(lián)立，得

因此，均衡結(jié)果中參與者僅可能有唯一一種收益。均衡的唯一性得證。

綜上所述，Rubinstein定理得證。

五、有成本的討價(jià)還價(jià)博弈

(一)模型的改動(dòng)

在Rubinstein的模型中，參與者的收益會(huì)隨時(shí)間減小，這與參與者對(duì)美元收入的時(shí)間偏好有關(guān)。當(dāng)期1美元給參與者帶來的效用必然會(huì)比未來的1美元大。在在現(xiàn)實(shí)生活中，協(xié)商或者談判之類的活動(dòng)都會(huì)涉及到成本。除了時(shí)間偏好以外，該成本還涉及到場(chǎng)地、設(shè)備等因素。

將模型的其他條件不變，但每次出價(jià)的過程都會(huì)產(chǎn)生成本，參與者的收益函數(shù)中不再有貼現(xiàn)率(也可以理解為，貼現(xiàn)率作為一個(gè)因素包含在成本系數(shù)中)，并且對(duì)于不同的參與者來說這個(gè)成本也是不同的。設(shè)參與者i的成本為ci。也就是說，收益函數(shù)變?yōu)閤i-cit。

(二)模型的均衡結(jié)果

一個(gè)重要的結(jié)論如下所述：在有成本的兩人討價(jià)還價(jià)博弈中，如果c1

在奇數(shù)期，參與者1出價(jià)(1,0)，參與者2接受任何滿足x2≥0的出價(jià)；

在偶數(shù)期，參與者2出價(jià)(1-c1,c1)，參與者1接受任何滿足y1≥1-c1的出價(jià)。

證明：子博弈精煉性：與Rubinstein定理證明類似。同樣只需考慮，參與者在某一期偏離這個(gè)策略但在其后遵守均衡情況的策略的情況。

設(shè)參與者1的出價(jià)為(x1,x2)。

如果x1<1，參與者1的收益會(huì)減少。

參與者2如果不接受均衡出價(jià)，下一期會(huì)得到c1。而在均衡策略中，當(dāng)期收益為0。因此在當(dāng)期接受x2≥c1-c2是最優(yōu)選擇。而c1

對(duì)應(yīng)的，設(shè)參與者2的出價(jià)為(y1,y2)。

如果y2

如果y2>c1，參與者1會(huì)拒絕他的出價(jià)，而在下一期遵守均衡策略。因此在下一期，參與者1的收益為1，相當(dāng)于在當(dāng)期獲得1-c1的收益。這與接受出價(jià)時(shí)的收益相等。而根據(jù)假設(shè)，他應(yīng)該接受出價(jià)。所以這個(gè)策略組合是子博弈精煉的。

現(xiàn)在證明唯一性。

綜上所述，均衡結(jié)果中兩人收益唯一。均衡也是唯一的。

綜上所述，結(jié)論得證。

六、總結(jié)

本文的主要分析方法均來自于博弈論.在本文的模型中，參與者們的利益會(huì)產(chǎn)生沖突。博弈論作為一種研究參與者策略的工具，在這種情況下顯得十分有效。誠(chéng)然，與經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容由于一些看起來不切實(shí)際(有時(shí)也可稱為過多)的假設(shè)而顯得與現(xiàn)實(shí)生活相去甚遠(yuǎn)。但在處理實(shí)際問題時(shí)，以這種理性的思維方式思考對(duì)策也往往會(huì)使我們處于有利地位。

[1]Osborne,M.J.,and A.Rubinstein(1990),Bargaining and Markets[M].San Diego:Academic Press.

[2]Reny,P.J.(1992),Backward Induction,Normal Form Perfection and Explicable Equilibria,[J]Econometrica60,627-649.

[3]Rubinstein,A.(1991),Comments on the Interpretation of Game Theory[J],Econometrica59,909-924.

[4]Binmore,K.G.(1985),Bargaining and Coalitions[A],inGame-TheoreticModelsofBargaining[C],269-304 Cambridge University Press.