基于效率最大化和公平原則的固定成本分攤方法研究

摘要：生產(chǎn)管理過程中經(jīng)常伴隨各種費用的產(chǎn)生，所有決策單元（Decision Making Unit，DMU）都必須共同承擔(dān)。成本分攤過程中，每個DMU都希望分攤到的成本盡可能少，因此，選擇一個合適的分攤方法尤為重要。基于此，通過使用交叉效率來解決固定成本分攤問題，從而使分攤方案更加公平。在保證所有DMU都有效的情況下，通過結(jié)合自評和他評來獲得一個交叉成本矩陣，使用基尼準(zhǔn)則，在進一步考慮分攤結(jié)果公平性的同時，實現(xiàn)交叉成本矩陣的集結(jié)，進而得到每個DMU的最終分攤結(jié)果。所提出的方法不僅保證了分攤過程的客觀性和公平性，還解決了傳統(tǒng)交叉效率評價方法中最佳權(quán)重的選擇問題。最后，通過一個算例，驗證了所提方法的可行性。

關(guān)鍵詞：固定成本分攤 交叉效率 效率最大化 公平原則

Research on Fixed Cost Allocation Method Based on Efficiency Maximum and Fairness Principles

LI Yajuan

School of Economics and Management， Shanxi University of Electronic Science and Technology， Linfen， Shanxi Province， 041000 China

Abstract： In the process of production management， various costs are often incurred， and all decision making units （DMUs） must share the responsibility. In the process of cost allocation， each DMU hopes to allocate as little cost as possible， so choosing a suitable allocation method is especially crucial. Based on this， using cross efficiency to address fixed cost allocation problems can make the allocation scheme more fairness. Under the premise of ensuring the effectiveness of all DMUs， a cross cost matrix is obtained by combining self-evaluation and other evaluation. Using the Gini criterion， while further considering the fairness of the allocation results， the cross cost matrix is aggregated to obtain the final allocation results for each DMU. The proposed method not only ensures the objectivity and fairness of the allocation process， but also solves the problem of selecting the optimal weight in traditional cross efficiency evaluation methods. Finally， the feasibility of the proposed method was verified through a numerical example.

Key Words： Fixed cost allocation; Cross-efficiency; Efficiency maximum; Fairness principle

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展和市場競爭的日益激烈，企業(yè)在生產(chǎn)管理過程中面臨的成本問題愈發(fā)復(fù)雜。固定成本分攤的合理性和公平性直接關(guān)系到企業(yè)的運營效率和經(jīng)濟效益。國內(nèi)外眾多學(xué)者對此進行了深入研究并提出了多種分攤方法[1-2]。然而，這些方法大多側(cè)重效率[3-4]或公平單一維度[5]，未能實現(xiàn)二者的有效結(jié)合，導(dǎo)致分攤結(jié)果不盡如人意。因此，探索一種既考慮效率又兼顧公平的固定成本分攤方法顯得尤為重要。本文旨在通過引入交叉效率和基尼準(zhǔn)則，為解決固定成本分攤問題提供一種新思路。

1 相關(guān)概念

1.1 成本分攤下的效率評估模型

有n個決策單元（Decision making Unit，DMU），每個使用m個投入來產(chǎn)生s個產(chǎn)出。CHARNES A等人[6]提出了以下的CCR模型，用于評估其相對效率。

式（1）中：表示的效率；分別表示產(chǎn)出和投入的系數(shù)。

假設(shè)固定成本為R，每個對應(yīng)的成本為，。LI Y J等人[7]提出了以下模型來確定每個的成本分攤效率。

式（2）中，固定成本被視為投入，并且為了簡化，其權(quán)重被設(shè)定為1[8]。

定理1[7]：從式（2）導(dǎo)出的權(quán)重中存在一種成本分配，使每個DMU與DMU群組都是CCR有效的。

證明：令，那么，是模型（2）的可行解，其能滿足式（2）的所有約束條件。使

因此，

此外，可以使用式（5）來描述不同DMU的效率得分：

因此，

然而，由于每個DMU的效率得分不能超過1，

因此，根據(jù)式（6）和（7），

因此，式（2）的可行解可以使所有DMU達到CCR有效。是隨機的，至少存在一種成本分攤和一組權(quán)重使每個DMU達到CCR有效。

由于式（2）是非線性的不易求解，因此可以通過Charnes-Cooper變化[9]將其轉(zhuǎn)化為線性模型。

式（9）中，是非線性的，令，可以得到

通過求解式（10），可以得到每個的最優(yōu)權(quán)重與每個DMU的成本值，同時，通過他評可以得到表1所示的成本交叉矩陣。

1.2 基尼系數(shù)

基尼系數(shù)[10]最初出現(xiàn)在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，用于衡量國家收入分配的公平性。假設(shè)實際收入曲線與絕對平等收入分配曲線之間的區(qū)域為A，實際收入分配曲線以下的區(qū)域為B，那么A與A+B的比率被稱為基尼系數(shù)。其經(jīng)濟意義在于計算所有國民收入之間收入比率的差異。常用的計算方法如下：

式（11）中：表示個人收入占總收入的比例：表示國家的人數(shù)。需要注意的是，在計算基尼系數(shù)時，個人收入的排列呈現(xiàn)階梯狀，也就是說，如果，那么必定有。

考慮到當(dāng)前的基尼系數(shù)算法較為復(fù)雜，胡祖光[11]將其簡化為式（12）。

隨后，基尼系數(shù)擴展為基尼準(zhǔn)則，用來衡量決策信息的純度[12]，其值可以表示為

式（13）中：表示類別在整體中的比例。越大，信息的純度越?。幌喾?，越小，信息的純度越大。因此，決策信息的信息純度也可以定義為

2 固定成本分攤模型

在這一部分，將基于效率最大化和公平的原則提出一個新的模型用于固定成本分攤。

2.1 步驟1：交叉成本矩陣的獲取

通過求解式（10），在每個都達到最優(yōu)效率值1的前提下，可以確定每個的最優(yōu)解。進一步利用他評可以得到DMU的交叉成本矩陣。

2.2 步驟2：交叉成本矩陣的集結(jié)

為了確定每個的最終成本，同時考慮到分攤結(jié)果的公平性，將使用基尼準(zhǔn)則來集結(jié)交叉成本矩陣。通過提取交叉成本矩陣中每列成本的信息純度，可以得到每個DMU的權(quán)重。考慮到每個DMU在成本分攤中的重要性，可以得到每個DMU的最終成本分攤值。

（1）計算交叉成本矩陣中每個成本的p值。

（2）計算交叉成本矩陣中每列成本所含信息的純度。

（3）對進行標(biāo)準(zhǔn)化，得到每一列成本的權(quán)重。

根據(jù)式（17），可以得到每個DMU在最終成本分攤結(jié)果中的重要性。然后，根據(jù)每個DMU的權(quán)重，可以得到最終的分攤結(jié)果。

（4）根據(jù)，可以對交叉成本矩陣進行集結(jié)，得到每個的最終成本分攤值。

最終，根據(jù)公平原則得到每個DMU的最終成本分攤值，使分攤結(jié)果更易接受。

3 算例

在本節(jié)通過使用算例[8]證明本文提出的方法。5個DMU共用一條電信電纜，語音、電子郵件和視頻是產(chǎn)出，如表2所示。分攤的總固定成本。

通過求解式（10），可以得到每個DMU的理想權(quán)重，并使每個DMU的效率達到1，實現(xiàn)了CCR有效。通過應(yīng)用所選的最佳權(quán)重，可以得到表3所示的交叉成本矩陣，從而為每個DMU提供不同的成本分攤值。

從表3可以看出，當(dāng)所有DMU達到CCR有效時，每個DMU都希望分攤更少的成本，因此，通過自評得到的成本分攤要低于通過他評得到的成本。因此，將自評和他評結(jié)合起來為每個決策單元分攤成本，從而使分攤結(jié)果更容易接受。

考慮到分攤結(jié)果的公平性，通過基尼準(zhǔn)則來集結(jié)交叉成本矩陣，從而獲得最終的分攤結(jié)果。通過求解式（15）、式（16）、式（17），可以得到每個DMU的權(quán)重：

通過求解式（18），可以得到每個DMU最終的成本分攤結(jié)果。

與DU J等人[13]的模型相比，此方法在效率最大化的基礎(chǔ)上考慮了分攤結(jié)果的公平性。引入的基尼準(zhǔn)則使分攤結(jié)果更加公平和可接受。此外，與它們的迭代過程相比，此方法更容易求解。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于效率最大化和公平原則的固定成本分攤方法。在成本分攤過程中，同時考慮了自評和他評，每個DMU在成本分攤過程中既考慮了自己視角下應(yīng)該分攤的成本值，也考慮了其他DMU視角下應(yīng)該分攤的成本值，從而使結(jié)果更加合理。此外，成本作為額外的投入，每個DMU都希望分攤得更少。因此，當(dāng)每個DMU達到有效時，為了最終分攤結(jié)果的公平性，引入了基尼準(zhǔn)則來獲得最終的分攤結(jié)果。最后，通過算例來證明該方法的有效性。未來，該方法可以用來解決資源分配問題，并且可以擴展到網(wǎng)絡(luò)DEA數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，以解決更復(fù)雜的固定成本分攤問題。此外，它還可以用于模糊環(huán)境，以解決由不精確數(shù)據(jù)組成的成本和資源分攤問題。

參考文獻

[1]XI J，LI F，XIE Q W， et al.Allocating the fixed cost as a complementary input in two-stage system： A DEA approach[J].RAIRO - Operations Research，2024，58（5）：3871-3893.

[2]XU G C， WU J，ZHU Q Y， et al.Fixed cost allocation based on data envelopment analysis from inequality aversion perspectives[J].European Journal of Operational Research，2024，313（1）：281-295.

[3]CHU J F，SU W，WU J， et al.DEA-based proportional-sharing fixed cost allocation considering bi-objective optimization[J].OR Spectrum，2023，45（4）：1333-1360.

[4]閆春霞，林萍，朱衛(wèi)未.產(chǎn)學(xué)研協(xié)同創(chuàng)新最佳成本分攤策略：基于共享投入兩階段數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型的研究[J].科技管理研究，2024，44（18）：98-107.

[5]昂勝，范婷婷，楊鋒.考慮公平性的兩階段系統(tǒng)固定成本分攤DEA模型[J].運籌與管理，2022，31（5）：93-100.

[6]CHARNES A，COOPER W W， RHODES E. Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978， 2（6）：429-444.

[7]LI Y J，YANG M，CHEN Y，et al. Allocating a fixed cost based on data envelopment analysis and satisfaction degree[J]. Omega， 2013，41（1）：55-60.

[8]BEASLEY J E. Allocating fixed costs and resources via data envelopment analysis[J].European Journal of Operational Research， 2003，147（1）：198–216.

[9]CHARNES A， COOPER W W. Programming with linear fractional functions[J].Naval Research Logistics Quarterly，1962，9（3-4）：181–186.

[10]HIRSCHMAN A O. The paternity of an index[J].The American Economic Review，1964，54（5）：761-762.

[11]胡祖光.基尼系數(shù)理論最佳值及其簡易計算公式研究[J].經(jīng)濟研究，2004（9）：60-69.

[12]王海燕，于榮，鄭繼媛，等.DEA-Gini準(zhǔn)則在城市公共交通企業(yè)績效評價中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2012，32（5）：1083-1090.

[13]DU J， COOK W D， LIANG L，et al. Fixed cost and resource allocation based on DEA cross-efficiency[J].European Journal of Operational Research， 2014，235（1）：206-214.