圓臺磨粒隨機分布的砂輪圓周表面形貌建模

由于磨削過程的復雜性，磨削機理研究一直是精密制造領域的熱點[1，而砂輪圓周表面形貌建模是研究磨削機理的重要基礎。研究砂輪與工件表面的微觀接觸機理[2]，建立磨削力[3-4]與磨削熱[5-數學模型，進而探究磨削力與磨削熱耦合對磨削加工表面完整性的影響機制[等，其前提條件是建立準確的砂輪圓周表面形貌模型。因此，建立符合真實工況的砂輪圓周表面形貌模型，對于深入研究其磨削加工機理具有重要意義。

磨粒形狀建模是構建砂輪圓周表面形貌模型的第一步?？紤]到磨粒的負前角切削以及便于建模等因素，很多研究將磨粒假設為球形，但球形磨粒并不能反映磨粒的真實形狀。砂輪圓周表面形貌觀測顯示，剛玉磨粒形狀更符合球頂圓錐形，cBN磨粒形狀更接近于多棱錐[]，而隨機多面體[]或圓錐形[12]常被用來描述金剛石磨粒的形狀。但對于剛玉砂輪，考慮到其在磨削加工中的磨損現(xiàn)象，將剛玉磨粒假設為去除球頂的圓臺形，會更加符合其在磨削加工中的真實形狀。

同時，考慮磨粒在砂輪圓周表面的隨機分布特性，是砂輪圓周表面形貌準確建模的關鍵。在描述砂輪圓周表面形貌的早期模型中，為便于建模，一般假設磨粒在砂輪圓周表面均勻分布[13-14]，但這與真實工況不符。近年來，學者們提出了振動法[15]和隨機偏轉[1]等方法，實現(xiàn)了磨粒在砂輪表面位置的隨機分布。另外，目前的砂輪表面形貌建模方法，大部分是將砂輪圓周表面展開為平面，然后在此平面上構建位置隨機分布、尺寸和凸起高度符合正態(tài)分布的磨粒群，最后再經平面與圓周表面之間復雜的坐標變換，來實現(xiàn)砂輪圓周表面形貌建模[17]

因此，提出一種可直接在砂輪圓周表面實現(xiàn)磨粒位置隨機分布，且磨粒凸起高度和磨粒尺寸均符合正態(tài)分布的砂輪圓周表面形貌建模方法，無需將砂輪圓周表面展開為平面，避免了平面與圓周表面之間復雜的坐標變換，即可實現(xiàn)圓臺磨粒隨機分布的砂輪圓周表面形貌建模。

1砂輪圓周表面形貌模型輸入參數

以剛玉砂輪為對象，研究其圓周表面形貌建模方法，為后續(xù)建立磨削力與磨削熱數學模型，以及研究磨削表面形貌創(chuàng)成機理奠定基礎。

1.1磨粒形狀

言蘭利用白光干涉儀觀測砂輪表面形貌，發(fā)現(xiàn)剛玉砂輪中的磨粒形狀接近于球頂圓錐形。但考慮到剛玉砂輪表面的磨粒在磨削加工中會被磨損，磨粒的球形頂端會被磨平，因此將剛玉磨粒設為去除錐頂的圓臺形是合理的。圖1為 45^° 錐角的圓臺剛玉磨粒模型，其尺寸參數可基于體積不變原則[由對應尺寸的球形磨粒轉化得到。采用體積不變原則，一是為了保證所構建的砂輪模型的磨粒率不會因磨粒形狀改變而發(fā)生變化，二是為獲得圓臺磨粒的尺寸參數提供依據。

以圓臺磨粒小圓面中心為坐標原點，構建如圖2所示的坐標系，可得圓臺磨粒不同軸向高度下的半徑變化關系為：

r（D）=0.415D+0.185d

式中： D 表示圓臺磨粒的任意軸向高度； r（D） 表示磨粒任意軸向高度 D 處的半徑； d 表示磨粒尺寸，即圓臺磨粒高度，也是同體積球形磨粒的直徑（圖1）。

在建立砂輪圓周表面形貌模型時，可根據圓臺磨粒的大、小圓面的中心點坐標，以及如式（1）所示的不同軸向高度下的半徑變化關系，再利用Matlab中的cylinder（函數，構建出尺寸為 d 的任意圓臺磨粒，如圖3所示。

1.2 磨粒尺寸

研究表明[9]，某一粒度下的磨粒尺寸分布符合正態(tài)分布。因此，采用正態(tài)分布定量描述某粒度下磨粒的尺寸分布，其概率密度函數 P（d） 為：

式中： σ_d 是磨粒尺寸的標準差; d_mean 是平均磨粒尺寸，且 d_max 和 d_min 分別是磨粒的最大和最小尺寸。

磨粒尺寸分布示意圖如圖4所示，圖中不涉及磨粒位置分布。根據正態(tài)分布的 3σ 原則，磨粒尺寸的變化范圍為 [d_mean-3σ_d，d_mean+3σ_d] ，則 d_mean-3σ_d 和 d_mean+ 3σ_d 分別是磨粒的最小尺寸 d_min 和最大尺寸 d_max 。由此可得磨粒尺寸分布的標準差 σ_d 表達式為：

σ_d=（d_max-d_min）/6

1.3 磨粒凸起高度

磨粒凸起高度 h 是指磨粒頂端距砂輪結合劑平均表面的垂直高度。砂輪表面的形貌檢測結果顯示：磨粒凸起高度同樣符合正態(tài)分布，并且最大磨粒凸起高度 h_max 和平均磨粒凸起高度 h_mean 分別與最大磨粒尺寸d_max 和平均磨粒尺寸 d_mean 非常接近[13]。因此，同樣采用正態(tài)分布定量描述砂輪表面磨粒的凸起高度分布，其概率密度函數 P（h） 為：

式中： h 是任意磨粒的凸起高度，如圖5所示； σ_h 是磨粒凸起高度的標準差； h_mean 是平均磨粒凸起高度，且h_mean=d_mean 0 h_max 是最大磨粒凸起高度，且 h_max=d_max 。

同樣，根據正態(tài)分布的 3σ 原則，可得磨粒凸起高度分布的標準差 σ_h 表達式為：

σ_h=（h_max-h_mean）/3

1.4砂輪圓周表面單位面積磨粒數

實際上磨粒在砂輪內部的位置隨機分布，但為了便于推導單位面積磨粒數公式，假設磨粒在砂輪內部平均分布，并且基于砂輪磨粒率的定義，可得砂輪表面單位面積磨粒數 N_s 的表達式為：

式中： V_g 是砂輪的磨粒率，且 V_g=2（31-S）% 。其中 s 是砂輪組織號，如某砂輪組織號 S=7 ，可得此砂輪的磨粒率 V_g=48% 。

砂輪的圓周表面如圖6所示。砂輪圓周表面的磨?？倲?N_t 為：

N_t=2π?r_s?b_s?N_s

式中： r_s 是砂輪圓周表面的半徑， b_s 是砂輪圓周表面的寬度。

2砂輪圓周表面形貌模型的構建過程

2.1構建磨粒位置隨機分布的砂輪圓周表面

首先，采用Matlab在柱坐標系下建立如圖6所示的砂輪圓周表面。然后，利用randO隨機函數在圓周表面上隨機生成 N_t 個點，并將這些點作為圓臺磨粒小圓面的中心點，從而獲得在砂輪圓周表面隨機分布的圓臺磨粒位置坐標，如圖7所示。任意圓臺磨粒 i 的小圓面中心點坐標 （x_i，y_i，z_i） 的表達式為：

式中： θ_i 是任意圓臺磨粒 i 小圓面的中心點與 x 軸之間的夾角（見圖6），可利用Matlab中的randO隨機函數生成，其表達式為 θ_i=2π rand。

2.2構建磨粒尺寸符合正態(tài)分布的圓臺磨粒模型

利用2.1節(jié)生成的任意圓臺磨粒 i 的小圓面中心點坐標 （x_i，y_i，z_i） ，得到任意圓臺磨粒 i 的大圓面中心點坐標 （X_i，Y_i，Z_i） ，其計算公式為：

式中： d_i 表示任意磨粒 i 的尺寸。

如前所述，磨粒尺寸符合正態(tài)分布，可利用normrndO 函數生成，其表達式為 d_i=normrnd（d_mean，σ_d，[1，N_t]）_c （204然后，利用大、小圓面的中心點坐標和式（1），構建在砂輪圓周表面位置隨機分布的圓臺磨粒模型，其建模方法已在1.1節(jié)詳細描述，此處不再贅述。

此時還未對磨粒凸起高度施加正態(tài)分布約束，因而磨粒的小圓面均在砂輪圓周表面上。圖8為未施加凸起高度的砂輪表面示意圖。由圖8可知，已在砂輪圓周表面成功實現(xiàn)了磨粒尺寸符合正態(tài)分布的圓臺磨粒建模。

式中： h_i 是任意磨粒 i 的凸起高度（見圖5），其符合正態(tài)分布，可利用normrndO函數生成，其表達式為h_i=normrnd（h_mean，σ_h，[1，N_t]）

2.4磨粒干涉現(xiàn)象檢測

在真實砂輪圓周表面上，任意相鄰磨粒之間不存在干涉現(xiàn)象，因此在建立砂輪圓周表面模型時，需對任意相鄰2顆磨粒之間是否存在干涉現(xiàn)象進行檢測，以保證模型符合真實工況。采用碰撞檢測方法[20-21]檢查是否存在磨粒干涉現(xiàn)象，該方法認為當任意2顆磨粒之間的中心距離大于或等于2顆磨粒的半徑之和時，可以保證2顆磨粒之間不發(fā)生干涉，但該方法主要適用于球形磨粒模型。根據圓臺磨粒模型的尺寸要求，想要保證磨粒之間不發(fā)生重合干涉，應使任意2顆鄰圓臺磨粒的小圓面圓心的距離大于或等于2顆磨粒的大圓面半徑之和，即需要滿足：

2.3構建磨粒凸起高度符合正態(tài)分布的圓臺磨粒模型

首先，對任意磨粒i的大、小圓面的中心點坐標，施加符合正態(tài)分布的磨粒凸起高度值。然后，基于圓臺磨粒不同軸向高度下的半徑變化關系，利用cylinder（O函數構建圓臺磨粒，從而實現(xiàn)符合正態(tài)分布的磨粒凸起高度分布，結果如圖9所示。此時，任意磨粒i的大、小圓面的中心點坐標為：

式中： （x_m，y_m，z_m） 和 （x_n，y_n，z_n） 分別表示任意磨粒 m 和 n 的小圓面中心的坐標值， D_m 與 D_n 分別表示任意磨粒 m 和 n 的大圓面直徑。

如果在檢測過程中發(fā)現(xiàn)某處產生磨粒干涉現(xiàn)象，那么就去除此處已生成的磨粒位置坐標；然后利用randQ隨機函數重新生成新的磨粒位置坐標，再進行檢測，直到不再產生磨粒干涉現(xiàn)象。

2.5砂輪圓周表面形貌的建模流程

砂輪圓周表面形貌的建模流程如圖10所示，其具體過程如下：

第一，在柱坐標系下構建砂輪圓周表面;第二，利用rand（函數在所建的砂輪圓周表面上隨機生成任意圓臺磨粒的小圓面中心點坐標 （x_i，y_i，z_i） ，并生成磨?？倲?N_t ；第三，根據磨粒尺寸分布符合正態(tài)分布的要求，計算出磨粒的大圓面中心點坐標 （X_i，Y_i，Z_i） ；第四，對圓臺磨粒施加符合正態(tài)分布的凸起高度，并通過式（12）判斷任意相鄰磨粒之間是否產生干涉，確保磨粒間不發(fā)生重疊現(xiàn)象；第五，根據最終的所有磨粒大、小圓面的中心點坐標，并基于圓臺磨粒不同軸向高度下的半徑變化關系，利用cylinderO函數建立相應的圓臺磨粒模型，從而構建出圓臺磨粒隨機分布的砂輪圓周表面模型。

3結果分析與討論

3.1生成的砂輪圓周表面形貌特征分析

根據上述方法構建砂輪圓周表面形貌模型，采用的模型參數是：砂輪直徑與寬度分別為20.0和 4.5mm 砂輪磨料粒度標記為F80，陶瓷剛玉磨粒尺寸范圍為 152～178μm ，砂輪組織號 S=7 ，砂輪的磨粒率為 48% 。

圖11為具體建立的砂輪圓周表面形貌模型及其局部放大圖。圖11a是總體模型。為了便于分析砂輪圓周表面的形貌特征，對圖11a的局部區(qū)域1放大，結果如圖11b所示。由圖11b可知：圓臺磨粒在砂輪表面的位置分布符合隨機分布特征，雖然任意2顆相鄰磨粒之間的間距較小，但仍然有極少部分磨粒出現(xiàn)重疊，疑似發(fā)生干涉現(xiàn)象。為判斷重疊的磨粒是否產生干涉，需要對磨粒發(fā)生重疊現(xiàn)象的區(qū)域再次放大觀察，結果如圖11c、圖11d、圖11e所示。從圖11c、圖11d、圖11e這3幅局部放大圖可以看出：在2區(qū)、3區(qū)、4區(qū)內，疑似重疊的磨粒之間仍然存在極小的縫隙，實際并未發(fā)生干涉現(xiàn)象，磨粒疑似產生重疊現(xiàn)象的原因是模型的視角問題。

在圖11的砂輪模型中，總磨粒數為8626顆，而理論計算的總磨粒數為9342顆，理論值與模型值比較，其相對誤差僅為 7.66% ；同時，對模型中的磨粒尺寸分布和磨粒凸起高度分布分別進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)其分布規(guī)律均符合正態(tài)分布，且與建模時設定的正態(tài)分布曲線有很好的一致性，如圖12和圖13所示。

綜上所述，研究的建模方法適用于建立砂輪圓周表面的形貌模型。

3.2生成的砂輪圓周表面形貌與真實形貌對比

將構建的砂輪圓周表面形貌與真實砂輪的表面形貌進行對比。圖14與圖15分別為真實陶瓷剛玉砂輪的表面形貌[22與所建砂輪的表面形貌。

由圖14可知：真實砂輪中相鄰磨粒的間距狹小，磨粒位置呈現(xiàn)出無規(guī)則的隨機分布，使砂輪表面形貌產生塊狀和狹長帶狀的間隙區(qū)（圖14中紅色虛線標記的無磨粒區(qū)域）。在圖15中：同樣可觀察到相鄰磨粒的間距很小，磨粒較為緊湊，且磨粒位置的隨機分布特性強，也存在無規(guī)則的塊狀和帶狀間隙區(qū)域（圖15中藍色虛線標記的無磨粒區(qū)域）。圖15的現(xiàn)象表明：其與真實砂輪表面磨粒位置的隨機分布特征相似，說明基于本研究方法生成的砂輪圓周表面形貌與真實砂輪表面形貌具有較高的相似性。

綜上所述，基于本研究方法構建的砂輪圓周表面形貌具有真實砂輪表面形貌分布的特征。

4結論

（1）將磨粒形狀設為 45^° 錐角的圓臺形，并基于體積不變原則由球形磨粒尺寸轉化得到圓臺磨粒尺寸，其與磨削加工時真實砂輪中的磨粒形狀相符。

（2）先賦予磨粒在砂輪圓周表面隨機分布的位置坐標，再建立其尺寸分布和凸起高度分布均符合正態(tài)分布的圓臺磨粒模型。無需經過砂輪圓周表面與其展開平面間復雜的坐標變換，即可實現(xiàn)圓臺磨粒隨機分布的砂輪圓周表面形貌建模。

（3）建立的砂輪圓周表面形貌與真實砂輪圓周表面形貌的分布特征具有較高的相似性，砂輪圓周表面形成了無規(guī)則的塊狀和帶狀間隙區(qū)域；理論計算的磨粒數與所建砂輪模型的磨粒數比較，其相對誤差僅為 7.66% ；磨粒尺寸分布和磨粒凸起高度分布均符合正態(tài)分布，與建模時設定的正態(tài)分布曲線有很好的一致性。

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作者簡介

通信作者：王德祥，男，1988年生，副教授。主要研究方向：磨削加工。

E-mail：wangdexiang830@126.com

（編輯：周萬里）

Modelling of circumferential surface topography of grinding wheel with random distribution of circular truncated cone abrasive grains

CHEN Xiaodong1，WANG Dexiang12， GUO Feng12， LI Xinming12， JIANG Jingliang1

（1. College of Mechanical and Automotive Engineering of Qingdao University of Technology， Qingdao 266520，Shandong， China） （2.Shandong Zhilian Community Bearing Technology Co.，Ltd.，Liaocheng 252664，Shandong，China）

AbstractObjectives： Due to the complexity of the grinding process，the study of the grinding mechanism has always ben aresearch hotspot in the field of precision grinding.The establishment of an accurate surface topography model of the grinding wheel circumference is an important basis for studying the grinding mechanism.The surface topography of the corundum grinding wheel is accurately described using four parameters，namelythe shape of the abrasive grain，the size of the abrasive grain，the height of the abrasive grain bulge and the number ofabrasive grains per unit area.The corresponding grinding wheel model is established using Matlab.Methods： To construct a circumferential surface morphologymodelof the corundum grinding wheel using Matlab simulation software，the geometric shapeof the abrasive particles is first simplified to a truncated cone with a cone angle of 45^° based on the actual shape of the abrasive particle in the corundum grinding wheel.Byusing the center coordinates of the large and smallcircular surfaces of the truncated coneabrasive particles and the radius variation relationshipat diferent axial heights，anarbitrary truncated cone particle with size d is constructed using the cylinder function. Secondly， based on the corresponding grinding wheel circumferential surface established in thecylindrical coordinate system，the rand random function is used to randomly generate N_t grinding particle position coordinates on the circumferential surface. Based on the phenomenon that the grinding particle size and the protrusion height both follow the normal distribution law，the normrnd function is used to generate circular runcated grinding particles with randomly distributed positions on the grinding wheel circumferential surface.Then，acolisiondetection method isused to check whether there is interference between the abrasive grains，that is，the distance betweenthecenters of thesmallcircular surfaces of any twoadjacent truncated cone abrasive grains should be greater than or equal to the sumof theradiiofthe large circular surfaces of the two abrasive grains. Finaly， the real grinding wheel surface topography and the constructed grinding wheel surface topography model are compared and analyzed to determine the accuracy of the modeling method in this paper. Results： A corundum grinding wheel model is constructed with a diameter and width of 20mm and 4.5mm ，particle size code of F80， grinding wheel structure number of 7，abrasive rate of 48% and grinding particle size of 152 to 178μm . The following results are obtained：（1） The distancebetweenanyadjacent truncatedcone abrasive grains is narrow，and there is no interference between abrasive particles.The position distribution of abrasive particles on the surface ofthe grinding whel is in accordance with therandom distribution characteristics，and the surface topography of the grinding whel produces blocky and narrow strip-shaped gap areas. （2）The total number of abrasive grains calculated theoreticall is 9342，while the total number of abrasive grains generated in the model is 8626 ， with a relative error between the two of only 7.66% （3）The size distribution ofthe abrasive grains and the protrusion height distribution ofthe abrasive grains in the model are statisticallyanalyzed，anditis foundthatthe distribution paternsareconsistent withthe normal distributioncurve set in the modeling. Conclusions： The abrasive grain shape can be set to a truncated cone with a cone angle of 45^° ，and the size of the truncated cone abrasive grains can be converted from spherical abrasive grains based on the principle of volume invariance， which aligns with the actual abrasive grain shapes observed inreal grinding whels during the grinding proces. Compared with the traditional modeling method for grinding wheel morphology，the modeling method proposedin this paper does notrequire complex coordinate transformations betweenthe grinding wheelcircumferential surface and its unfolded plane，and canobtaina model ofthe grinding wheel circumferential surface morphology where the size of the truncated cone abrasive grains and the height of the protrusions folow the normal distribution law，and the position ofthe abrasive particles are randomly distributed.The model has high similarityto the distribution characteristics of real grinding wheel topography，and the grinding wheel surface forms irregular block-shaped and narrow stripshaped gap areas.Therefore，this modeling method is suitable for the establishment ofa corundum grinding wheel circumferentialsurface topography model.The microscopic contact mechanism between the grinding wheel and the workpiece surface can be further explored through this model，and a grinding surface topography prediction and analysis model can be established.

Key wordsgrinding wheel; surface topography; circular truncated cone abrasive grain;random distribution