基于關(guān)節(jié)扭矩平衡的機(jī)器人末端負(fù)載建模及辨識(shí)

中圖分類號(hào)：TP242.2

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.06.006 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Modeling and Identification of Robot End-payloads Based on Joint Torque Balance

GAO Guanbin1，2ZHAO Siguo1，2LI Yingjie1，2 * 1.Faculty of Mechanical and Electrical Engineering，Kunming University of Science and Technology， Kunming， 2.Yunnan Key Laboratory of Intelligent Control and Application，Kunming，

Abstract： To address the challenges of decoupling center of mass parameters in existing end-payload identification methods and the dificulty of implementation on robots with non-open controllers，a torque-balance-based modeling and identification method was proposed for robot end-payloads. The identifiability conditions of the end-payloads were analyzed under joint torque balance，and identification models for the end-payload mass and center of mass position were established. To further decouple the mass and center of mass parameters，a three-step identification strategy was designed，where the load mass was identified first，followed by the center of mass position in x and y ， and finally in z This strategy effectively eliminated the error terms introduced by the projection of joint torques in the identification models. The eficiency of the proposed method was validated through simulation and experiments. Compared with the built-in identification method of a non-open-source six-degree-of-freedom robot，the average error in mass identification is reduced from 0.103kg to 0.032kg ，while the average error in center of mass position identification is decreased from 50.25mm to 4.14mm . Furthermore，compared with dynamics parameter identification，the mass identification error is reduced from 0.179kg to 0.083kg ，and the center of mass position error is reduced from 10.13mm to 4.33mm

Key words： industrial robot;end-payload; torque balance；parameter identification；torque projection

0 引言

隨著裝備制造業(yè)對(duì)自動(dòng)化和智能化需求的不斷提高，工業(yè)機(jī)器人被廣泛應(yīng)用于裝配、噴涂、焊接、搬運(yùn)等一系列工業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)中[1]。實(shí)際應(yīng)用中工業(yè)機(jī)器人末端通常需要安裝不同類型的執(zhí)行器，如焊槍、激光切割頭、夾爪和加工主軸等，這些執(zhí)行器引人了額外末端負(fù)載[2]。在末端負(fù)載的重力和慣性力作用下，機(jī)器人空載時(shí)標(biāo)定的定位精度將大幅下降，甚至無法滿足實(shí)際應(yīng)用需求[]。為提高工業(yè)機(jī)器人定位精度，對(duì)末端負(fù)載進(jìn)行辨識(shí)和補(bǔ)償是當(dāng)前最重要的方法之一，而末端負(fù)載的辨識(shí)精度決定了誤差補(bǔ)償精度[4]。末端負(fù)載辨識(shí)包括質(zhì)量和質(zhì)心位置辨識(shí)。通常負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心可以通過稱量儀器和質(zhì)心測定方法[5]得到，但測量時(shí)需要將末端執(zhí)行器從工業(yè)機(jī)器人末端拆下，且重新安裝后的質(zhì)心坐標(biāo)系與測定坐標(biāo)系難以完全匹配，因此，在不拆卸情況下辨識(shí)負(fù)載對(duì)提高工業(yè)機(jī)器人定位精度具有重要的意義。

目前，常用末端負(fù)載辨識(shí)法主要包括CAD辨識(shí)法[、末端力矩傳感器辨識(shí)法和動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法[]。CAD辨識(shí)法先采用有限元分析軟件對(duì)需要辨識(shí)的對(duì)象進(jìn)行數(shù)字化建模，然后通過有限元理論[8]計(jì)算得到末端負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置。KLIMCHIK等9］提出了一種在CAD環(huán)境下利用虛擬實(shí)驗(yàn)辨識(shí)機(jī)械臂彈性靜力參數(shù)的方法。由于CAD辨識(shí)法不僅需要對(duì)辨識(shí)對(duì)象的外形進(jìn)行準(zhǔn)確三維建模，且末端執(zhí)行器在CAD環(huán)境下的安裝位姿與實(shí)際安裝位姿很難完全一致，所以它在實(shí)際中難以推廣應(yīng)用。末端力矩傳感器辨識(shí)法先通過在機(jī)器人末端安裝多維力傳感器來對(duì)末端負(fù)載作用力/力矩進(jìn)行測量，然后構(gòu)建扭矩平衡方程對(duì)負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置進(jìn)行求解。DUAN等[10]在機(jī)器人末端安裝包括重力/慣性力傳感功能的多維力傳感器，提出了一種基于激勵(lì)軌跡的末端負(fù)載快速識(shí)別方法，但該方法需要額外安裝傳感器，通用性較差。適用性更強(qiáng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法是將末端負(fù)載建模到動(dòng)力學(xué)模型中與動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一辨識(shí)。KHALIL等[1]建立了帶負(fù)載的動(dòng)力學(xué)辨識(shí)模型，通過空載和負(fù)載情況的力矩差值方程來計(jì)算末端負(fù)載。GAZ等[12]分析了負(fù)載引起的動(dòng)力學(xué)參數(shù)變化，根據(jù)變化關(guān)系估計(jì)了末端負(fù)載。此外，一些學(xué)者還提出了末端負(fù)載在線辨識(shí)方法，該方法通過遞歸最小二乘（RLS）方法[13]、卡爾曼濾波方法[14]和自適應(yīng)算法[15]等進(jìn)行末端負(fù)載辨識(shí)。為降低動(dòng)力學(xué)建模的復(fù)雜度，DONG等[16]對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了參數(shù)線性化，提高了辨識(shí)計(jì)算效率。為降低辨識(shí)參數(shù)對(duì)測量噪聲的敏感度，動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法需要在特定激勵(lì)軌跡下進(jìn)行[17]，但目前大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人的控制器不開放，難以實(shí)現(xiàn)激勵(lì)軌跡輸入。此外，動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法得到的辨識(shí)結(jié)果是組合參數(shù)[18]，質(zhì)心參數(shù)需通過解耦獲得。

現(xiàn)有的負(fù)載辨識(shí)方法依賴于機(jī)器人控制器的開放性，且負(fù)載質(zhì)心參數(shù)解耦較為困難，如文獻(xiàn)[19]中實(shí)驗(yàn)對(duì)象為控制器開放的機(jī)器人，辨識(shí)結(jié)果中質(zhì)量和質(zhì)心參數(shù)是耦合的。為解決上述問題，本文提出了一種基于扭矩平衡的末端負(fù)載建模及辨識(shí)方法，該方法不需要在機(jī)器人上加裝外部傳感器。

1扭矩平衡條件下的工業(yè)機(jī)器人末端負(fù)載辨識(shí)建模

由動(dòng)力學(xué)方程可知，關(guān)節(jié)加速度為零時(shí)，機(jī)器人末端負(fù)載與關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩滿足平衡條件（關(guān)節(jié)靜止或勻速運(yùn)動(dòng)），理論上利用該平衡條件可求解得到末端負(fù)載的質(zhì)量和質(zhì)心位置。與激勵(lì)軌跡運(yùn)動(dòng)條件相比，該平衡條件的實(shí)施與機(jī)器人控制器開放性無關(guān)?；谠撍枷胧紫冗M(jìn)行關(guān)節(jié)扭矩平衡分析，確定參數(shù)辨識(shí)的基本條件，然后建立末端負(fù)載辨識(shí)模型。

1.1 關(guān)節(jié)扭矩平衡分析

如圖1a所示，首先考慮一個(gè)關(guān)節(jié)的扭矩平衡。當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)處于平衡狀態(tài)時(shí)，可以分別得到包含末端負(fù)載和無負(fù)載情況下的方程：

式中： τ^'?τ 分別為負(fù)載和空載下的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩； m_c，mp （20號(hào)分別為連桿和負(fù)載質(zhì)量； g 為重力加速度； τ_f 為關(guān)節(jié)處的摩擦力矩。

為降低建模復(fù)雜性，假設(shè)摩擦力矩 τ_f 在相同運(yùn)動(dòng)速度下保持恒定，將式（1）中負(fù)載和空載的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩相減得到：

Δτ=m_pglcosθ_p

式（2）中除了包含未知負(fù)載參數(shù) m_p 和 ξ_l 外，還包含未知關(guān)節(jié)角 θ_p ，故通過該方程難以求解出負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置。進(jìn)一步放松條件，如圖1b所示，假設(shè)負(fù)載質(zhì)心位于連桿延長線上，同理可得

Δτ=m_pg（l_L+l_p）cosθ

式中： l_L?l_p 分別為桿長和質(zhì)心與連桿末端距離。

式（3）中僅包含末端負(fù)載參數(shù) m_p 和 l_p 。式（3）表明，僅考慮一個(gè)關(guān)節(jié)扭矩平衡條件無法求解末端負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置，需進(jìn)一步考慮兩關(guān)節(jié)扭矩平衡條件。

如圖2a所示，當(dāng)連桿2和連桿1共線且關(guān)節(jié)1處于平衡狀態(tài)時(shí)，由式（3）可得關(guān)節(jié)1負(fù)載和空載情況下的力矩差為

Δτ₁=m_pg（l_L1+l_L2+l_p）cosθ

式中： l_L1?l_L2 分別為連桿1和連桿2的長度。

然后考慮關(guān)節(jié)2扭矩平衡，如圖2b所示，當(dāng)關(guān)節(jié)2運(yùn)動(dòng)使得連桿2與水平方向夾角也為 θ 時(shí)，可得關(guān)節(jié)2在平衡狀態(tài)下負(fù)載和空載情況下的力矩差為

Δτ₂=m_pg（l_L2+l_p）cosθ

連桿長度 l_L1 和 l_L2 可通過機(jī)器人手冊(cè)或運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定得到，而 τ 和 θ 則可由機(jī)器人控制器獲得，故結(jié)合式（4）和式（5）可以容易求解出末端負(fù)載質(zhì)量m_p 和質(zhì)心位置 l_p 。

由上述分析可知，對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的串聯(lián)型機(jī)器人，當(dāng)機(jī)器人末端負(fù)載質(zhì)心位于圖2b所示的第二連桿延長線上或其質(zhì)心沿關(guān)節(jié)軸線的投影位于第二連桿延長線上時(shí)，根據(jù)式（4）和式（5）構(gòu)造機(jī)器人關(guān)節(jié)構(gòu)型，可以求出末端負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置。目前，大部分串聯(lián)型工業(yè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3互為平行關(guān)節(jié)，與圖3中兩連桿情況較為吻合，故可選擇關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3構(gòu)造條件來滿足式（4）和式（5）進(jìn)行末端負(fù)載的求解。

以6自由度機(jī)器人為例，當(dāng)機(jī)器人分別滿足圖3a和圖3b所示構(gòu)型時(shí)，可以得到如下方程：

式中： 分別為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的負(fù)載與空載時(shí)的力矩之差； a₂、a₃ 分別為連桿2、連桿3的長度； 為關(guān)節(jié)5的偏置。

求解方程式（6）可以得到機(jī)器人末端負(fù)載的質(zhì)量和質(zhì)心位置。

在上述方法中，通過構(gòu)造機(jī)器人關(guān)節(jié)滿足式（4）和式（5）的扭矩平衡來求解末端負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置，但前提是假設(shè)末端負(fù)載質(zhì)心位于第二連桿的延長線上。然而，現(xiàn)實(shí)中機(jī)器人的負(fù)載質(zhì)心位置一般不可能恰好處于該延長線上，通常位于某個(gè)偏離該延長線的未知位置，因此，為求解出一般情況下的負(fù)載質(zhì)心位置，仍需構(gòu)造額外關(guān)節(jié)條件。

圖4a為質(zhì)心安裝在連桿末端的示意圖，該質(zhì)心不在連桿的延長線上。旋轉(zhuǎn)末端坐標(biāo)系 O₁ 讓x 坐標(biāo)軸與連桿重合，末端負(fù)載的質(zhì)心隨著坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到新位置，如圖4b所示。坐標(biāo)變換后負(fù)載對(duì)關(guān)節(jié)的作用扭矩為

τ_t=lcos（θ-θ₁）m_pg

式（7）中的 l 和 θ₁ 未知，為了將作用角轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)角，將該作用扭矩投影到連桿的延長線上：

τ_s=（l_L+l_p）cosθm_pg

但投影扭矩和真實(shí)作用扭矩存在誤差，表示為

e=τ_t-τ_s=[（l_L+l_p）（1-cosθ₁）-

l_ssinθ₁]cos（θ-θ₁）m_pg

則用投影上的作用扭矩表示真實(shí)扭矩的表達(dá)式為

τ=（l_L+l_p）cosθm_pg+e

在圖4b中姿態(tài)時(shí)， l_p 代表 x 坐標(biāo)軸質(zhì)心坐標(biāo)。式（10）中的 Ψ_e 包含未知項(xiàng) l_p?l_s 和 θ₁ ，為了簡化求解過程，實(shí)際求解 m_p 時(shí)使用式（8），故引入了誤差項(xiàng) Ψ_e ，該誤差項(xiàng)對(duì)辨識(shí)質(zhì)量 m_p 的影響將在2.1節(jié)進(jìn)行分析。

由上述分析可知，末端負(fù)載辨識(shí)首先至少需要兩個(gè)平行關(guān)節(jié)參與，其次還需將末端坐標(biāo)系的x 軸或 y 軸旋轉(zhuǎn)至與圖4所示的第二連桿平行，最后使用投影后的扭矩平衡方程對(duì)負(fù)載參數(shù)進(jìn)行求解。

1.2 工業(yè)機(jī)器人末端負(fù)載辨識(shí)建模

由1.1節(jié)分析可知，當(dāng)工業(yè)機(jī)器人末端負(fù)載位于第二連桿延長線上或沿關(guān)節(jié)軸線投影在該延長線上時(shí)，負(fù)載辨識(shí)只需任意選擇兩個(gè)平行關(guān)節(jié)建立扭矩平衡方程，但針對(duì)一般情況下的質(zhì)心位置求解還需增加額外姿態(tài)變換條件。本文結(jié)合圖5所示6自由度工業(yè)機(jī)器人建立了末端負(fù)載辨識(shí)模型。根據(jù)式（6），以關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3建立扭矩平衡方程，通過調(diào)整關(guān)節(jié)4、5、6來變換末端負(fù)載姿態(tài)，然后對(duì)負(fù)載質(zhì)心坐標(biāo) x，y，z 和負(fù)載質(zhì)量進(jìn)行建模。由于對(duì)負(fù)載質(zhì)心坐標(biāo) x?y 和 z 的求解需采用不同姿態(tài)變換條件，故分別建立 x，y 和 z 的負(fù)載辨識(shí)模型。

首先，建立關(guān)于末端負(fù)載質(zhì)心 x 坐標(biāo)辨識(shí)模型，旋轉(zhuǎn)末端坐標(biāo)系的 x₆ 軸與 y₃ 坐標(biāo)軸平行，如圖5b所示，再將負(fù)載投影到坐標(biāo)系上。通過負(fù)載和空載扭矩之差建立關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3關(guān)于末端負(fù)載的平衡方程：

其中， 分別為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3在 x 坐標(biāo)辨識(shí)模型下負(fù)載和空載的扭矩之差； e_2（x） 和e_3（x） 分別為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的真實(shí)扭矩和投影扭矩之差。求解式（11）可得質(zhì)量和 x 坐標(biāo)：

然后，建立關(guān)于末端負(fù)載 y 坐標(biāo)辨識(shí)模型，旋轉(zhuǎn)末端坐標(biāo)系的 y₆ 軸與 y₃ 坐標(biāo)軸平行，如圖5c所示，將負(fù)載投影到坐標(biāo)系上。由負(fù)載和空載扭矩之差可以建立關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3關(guān)于末端負(fù)載的平衡方程：

同理，可以求解出質(zhì)量和 y 坐標(biāo)：

如圖5d所示，辨識(shí) z 方向的姿態(tài)中始終存在一個(gè)偏置 ，該偏置導(dǎo)致關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3扭矩誤差分別為

e₂=（a₃+a₂）（1-cosθ₂）-d₅sinθ₂

e₃=a₃（1-cosθ₃）-d₅sinθ₃

式中： θ₂ 為末端坐標(biāo)系偏置位置與連桿2的角度； θ₃ 為末端坐標(biāo)系偏置位置與連桿3的角度。

加上該偏置誤差后， z 方向的平衡方程表示為

e_2（z）^′=e₂+e_2（z）e_3（z）^′=e₃+e_3（z）

求解式（19）可得質(zhì)量和 z 坐標(biāo)：

通過上述三種情況分別建立質(zhì)心坐標(biāo) x，y 和 z 的模型，并通過相應(yīng)方程組分別解出負(fù)載質(zhì)量 m_p 和質(zhì)心坐標(biāo) （x，y，z） 。

2 末端負(fù)載辨識(shí)方法及仿真驗(yàn)證

2.1 末端負(fù)載辨識(shí)方法

由上述分析可得到末端負(fù)載模型，由式（12）、式（15）和式（20）可知，求解質(zhì)量 m_p 時(shí)等式中存在誤差 Δe=e₂-e₃ 。根據(jù)式（9）， Δe 可表示為

Δe=[（l_L2cosθ₂+l_ssinθ₂）cos（θ-θ₂）-…

（l_L1cosθ₁+l_ssinθ₁）cos（θ-θ₁）+…

（l_L1-l_L2）cosθ]m_pg

為了分析質(zhì)心位置對(duì) Δe 的影響，設(shè)置 l_s 和l_p 為自變量， Δe 作為因變量，分析質(zhì)心位置對(duì)質(zhì)量辨識(shí)的影響。 l_s 和 l_p 的范圍設(shè)置為 0～2000 mm ，其中末端負(fù)載質(zhì)量 m_p 設(shè)置為實(shí)驗(yàn)對(duì)象的最大負(fù)載 6kg，θ 設(shè)置為 π/4 。在自變量范圍內(nèi)取10mm 作為步長，可以得到誤差 Δe 關(guān)于質(zhì)心位置的函數(shù)曲面圖像，見圖6。從圖6中可以看出，誤差Δe 的值始終在 10^-14 的水平上，在實(shí)際計(jì)算中可以忽略不計(jì)。上述分析表明通過兩個(gè)包含誤差項(xiàng)的關(guān)節(jié)投影扭矩方程可以準(zhǔn)確計(jì)算質(zhì)量 m_p 。

結(jié)合數(shù)值分析可知求解 m_p 時(shí)投影扭矩和真實(shí)扭矩的誤差可以抵消，式（12）可以寫成

通過式（23）可以計(jì)算得到末端負(fù)載質(zhì)量。

求解質(zhì)心只用一個(gè)關(guān)節(jié)的信息時(shí)，無法對(duì)方程中的扭矩誤差進(jìn)行消除，會(huì)導(dǎo)致質(zhì)心坐標(biāo) x，y 和 z 辨識(shí)不準(zhǔn)確。由1.2節(jié)可知，辨識(shí) y 的姿態(tài)由辨識(shí) x 姿態(tài)下關(guān)節(jié)6旋轉(zhuǎn) 90^° 后得到。再結(jié)合1.1節(jié)中對(duì)投影扭矩和真實(shí)扭矩之間誤差的分析可知，辨識(shí) x 時(shí)存在的扭矩誤差是由 y 方向的坐標(biāo)導(dǎo)致的。同理，辨識(shí) 時(shí)存在的扭矩誤差也是由x 方向的坐標(biāo)導(dǎo)致。為消除辨識(shí)質(zhì)心時(shí)存在的誤差，在質(zhì)量 m_p 已知后，建立同時(shí)包含 x 和 y 的扭矩平衡方程。具體方法是：旋轉(zhuǎn)末端坐標(biāo)系的Oxy 平面到圖5b所示姿態(tài)，建立關(guān)于 x 和 y 的平衡方程：

已知 m_p 和 x 后，旋轉(zhuǎn)末端坐標(biāo)系的 Ozx 平面到圖5d所示姿態(tài)，建立關(guān)于 x 和 z 的平衡方程：z cos θ=Δτ₃/m_pg-（a₃+d₆）cosθ-（x+l_s）sinθ

在式 （23）～ 式（25）中，令等式右邊為 δ ，等式左邊的未知項(xiàng)為 ，等式左邊角度項(xiàng)為 φ 。式（23）～ 式（25）可以統(tǒng)一簡化為

φb=δ

在實(shí)際辨識(shí)時(shí)采集 n 組數(shù)據(jù)可得

令 ?[φ₁φ₂…φ_n] 為

δ_n 丁為 ψ ，使用最小二乘法對(duì)未知項(xiàng) 求解如下：

b=（?^T?）^-1?^Tψ

通過上述分析可以確定辨識(shí)方法為：第一步，通過圖5b所示姿態(tài)下的投影扭矩求解出質(zhì)量m_p ；第二步，利用已知的質(zhì)量 m_p 和圖5b姿態(tài)下建立的扭矩平衡方程求解出質(zhì)心坐標(biāo) x 和 y ；第三步，將已知的質(zhì)量 m_p 和質(zhì)心坐標(biāo) x 代人圖5d姿態(tài)下建立的扭矩平衡方程求解出質(zhì)心坐標(biāo) z 。

2.2 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，在Simulink中搭建了機(jī)器人模型并使用仿真數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證。首先使用SolidWorks和Simulink聯(lián)合搭建機(jī)器人模型，然后在Simulink中輸人關(guān)節(jié)角度并分別轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3，采集角度信息和扭矩信息對(duì)模型末端負(fù)載參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。仿真程序分為機(jī)器人角度輸入部分、機(jī)器人本體模型部分和數(shù)據(jù)采集部分，如圖7所示。

機(jī)器人角度輸入包括兩個(gè)平行關(guān)節(jié)的角度輸入和末端姿態(tài)角的輸入。首先，在空載情況下設(shè)置末端姿態(tài)，并將末端坐標(biāo)系 x₆ 軸旋轉(zhuǎn)到與 y₃ 平行的位置（圖5b）。在保持末端姿態(tài)不變的情況下先驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)2，關(guān)節(jié)2的運(yùn)動(dòng)起始范圍設(shè)置為0^°～55^° ，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度設(shè)置為 1^°/s ，關(guān)節(jié)3保持不動(dòng)，通過數(shù)據(jù)采集模塊中的out.t2_1采集關(guān)節(jié)2的扭矩，out.theta采集角度；繼續(xù)保持末端姿態(tài)不變，關(guān)節(jié)2在豎直位置，再以相同的速度和范圍驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)3，通過數(shù)據(jù)采集模塊out.t3采集關(guān)節(jié)3的扭矩。

裝載上末端負(fù)載后，以相同的姿態(tài)、轉(zhuǎn)動(dòng)范圍和轉(zhuǎn)動(dòng)速度分別驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3并采集扭矩。采集數(shù)據(jù)后，使用式（23）通過最小二乘法對(duì)質(zhì)量 m_p 進(jìn)行辨識(shí)。辨識(shí)得到質(zhì)量 m_p 后，將關(guān)節(jié)3的扭矩信息和角度信息代入式（24）對(duì)質(zhì)心 x 坐標(biāo)和 y 坐標(biāo)進(jìn)行辨識(shí)。之后再變換末端姿態(tài)，將末端坐標(biāo)系 z₆ 軸旋到與 y₃ 平行（圖5d），按照上述流程在空載和負(fù)載的情況下分別轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3并采集數(shù)據(jù)，將采集到的數(shù)據(jù)代入式（25）中對(duì)質(zhì)心 z 坐標(biāo)進(jìn)行辨識(shí)。辨識(shí)結(jié)果如表1所示。進(jìn)一步地，在扭矩上加入均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.3的白噪聲。使用加入白噪聲后的數(shù)據(jù)對(duì)末端負(fù)載進(jìn)行辨識(shí)，其辨識(shí)結(jié)果如表1所示。當(dāng)噪聲水平為0.3時(shí)，質(zhì)量辨識(shí)最大誤差為 0.047kg ，質(zhì)心辨識(shí)最大誤差為 0.373mm 。辨識(shí)結(jié)果表明扭矩信息存在噪聲時(shí)，辨識(shí)精度會(huì)有所下降。

表1不同噪聲水平下負(fù)載辨識(shí)仿真結(jié)果

3機(jī)器人末端負(fù)載實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證所提方法適用性及有效性，以EC66機(jī)器人為研究對(duì)象展開實(shí)驗(yàn)，該機(jī)器人控制器不開放，其末端最大負(fù)載為 6kg 。分別設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證質(zhì)量和質(zhì)心辨識(shí)的有效性，質(zhì)量實(shí)驗(yàn)裝置如圖8所示。圖中法蘭用于固定不同大小的質(zhì)量塊，通過更換不同質(zhì)量塊并辨識(shí)來驗(yàn)證質(zhì)量辨識(shí)的有效性。在質(zhì)心的實(shí)驗(yàn)裝置中法蘭用于固定滑軌，滑塊在滑軌上可自由移動(dòng)，通過改變滑軌的位置來改變末端負(fù)載的質(zhì)心位置。

末端負(fù)載辨識(shí)流程如圖9所示，一共設(shè)計(jì)了5個(gè)不同質(zhì)量的質(zhì)量塊進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)際質(zhì)量為0.744，1.238，1.489，2.468，2.963kg 。質(zhì)心實(shí)驗(yàn)的空載條件是在圖8所示機(jī)器人末端法蘭加裝滑軌，負(fù)載為圖8所示滑塊，滑塊在滑軌上移動(dòng)變換質(zhì)心位置，該負(fù)載質(zhì)量為 0.897kg 。該實(shí)驗(yàn)分別對(duì) x，y 和 z 坐標(biāo)辨識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證 x 時(shí)另外兩個(gè)坐標(biāo)保持不變， y 和 z 同理。 x，y 和 z 都分別設(shè)置 125mm，215mm 和 305mm 三個(gè)質(zhì)心進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

在空載運(yùn)行后分別采集兩關(guān)節(jié)的角度信息和電流信息，加裝上負(fù)載再次以相同的速度和運(yùn)動(dòng)范圍轉(zhuǎn)動(dòng)一次關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3并采集兩關(guān)節(jié)的角度和電流信息，兩次采集的信息分別為空載和負(fù)載條件下的角度和電流，使用2.1節(jié)中描述的方法依次對(duì)質(zhì)量和質(zhì)心進(jìn)行辨識(shí)。

3.2 辨識(shí)實(shí)驗(yàn)一

實(shí)驗(yàn)環(huán)境如圖10所示。根據(jù)圖9辨識(shí)流程，分別轉(zhuǎn)動(dòng)第2關(guān)節(jié)和第3關(guān)節(jié)，采集信息，使用最小二乘估計(jì)對(duì)質(zhì)量進(jìn)行辨識(shí)，并與機(jī)器人自身辨識(shí)程序的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示，根據(jù)表2得到誤差比較圖（圖11）。結(jié)果表明，所提方法的最大誤差為 0.052kg ，平均誤差為0.032kg ;機(jī)器人辨識(shí)程序的最大誤差為 0.135kg ，平均誤差為 0.103kg 。從圖11中可以看出，機(jī)器人程序的辨識(shí)誤差會(huì)隨著質(zhì)量的增大而增大，而所提方法的辨識(shí)誤差由于庫侖摩擦的影響也呈現(xiàn)出增大趨勢，但總體均小于機(jī)器人自帶程序的辨識(shí)誤差，這表明所提方法對(duì)末端負(fù)載質(zhì)量的辨識(shí)是有效的。

同時(shí)為了驗(yàn)證質(zhì)心辨識(shí)有效性，將圖8中所示負(fù)載移動(dòng)到 125，215，305mm 分別對(duì) x，y 和 z 坐標(biāo)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，辨識(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示，根據(jù)表3作出誤差比較圖（圖12）。其中橫坐標(biāo)字母表示x，y 和 z 方向，數(shù)字表示組別。結(jié)果表明，所提方法對(duì)質(zhì)心的辨識(shí)最大誤差為 6.65mm ，平均誤差為 4.14mm ；機(jī)器人程序辨識(shí)最大誤差為93.25mm ，平均誤差為 50.28mm. 。結(jié)合圖12可以看出，質(zhì)心辨識(shí)的總體誤差比機(jī)器人程序辨識(shí)的誤差小，可以驗(yàn)證所提方法對(duì)質(zhì)心辨識(shí)的有效性。

為驗(yàn)證本文所提方法在接近機(jī)器人最大負(fù)載時(shí)依然有效，設(shè)置一組負(fù)載質(zhì)量為 4.11kg ，質(zhì)心為 （60mm，115mm，150mm） 。最終本文所提方法辨識(shí)質(zhì)量為 4.225kg ，質(zhì)心為 （72.306mm 118.506mm，146.832mm） 。機(jī)器人程序辨識(shí)質(zhì)量為 4.024kg ，質(zhì)心為 （80.698mm，149.708mm 150.631mm） 。對(duì)比結(jié)果顯示所提方法在接近機(jī)器人最大負(fù)載時(shí)，其質(zhì)心的辨識(shí)精度仍優(yōu)于機(jī)器人自帶程序辨識(shí)方法，但質(zhì)量誤差從 0.086kg 增大至 0.115kg ，辨識(shí)精度有所下降。造成這一結(jié)果的原因可能是所提方法在建立關(guān)節(jié)扭矩平衡方程時(shí)簡化了摩擦力矩的影響，當(dāng)負(fù)載增大時(shí)關(guān)節(jié)摩擦力矩也隨之增大，導(dǎo)致質(zhì)量辨識(shí)精度降低。

綜上所述，雖然在 4.11kg 負(fù)載（機(jī)器人最大負(fù)載的 86.8% ：（負(fù)載 + 法蘭 1.1kg ）÷最大負(fù)載）的質(zhì)量辨識(shí)中，所提方法的質(zhì)量辨識(shí)精度降低，但在表2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，負(fù)載質(zhì)量小于 2.963kg （機(jī)器人最大負(fù)載的 67.7% ）時(shí)，所提方法的質(zhì)量和質(zhì)心辨識(shí)精度均優(yōu)于機(jī)器人程序辨識(shí)，這表明所提方法在機(jī)器人中、小負(fù)載情況下能夠有效辨識(shí)負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心。

由于建模是在扭矩平衡條件下進(jìn)行的，因此加速度對(duì)所提辨識(shí)方法沒有影響。為研究不同速度對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響，在同一組負(fù)載（質(zhì)量為1.46log，x 為 76mm，y 為 100mm，z 為 70mm 情況下，分別設(shè)計(jì)了機(jī)器人最大速度 （144^°/s） 的 1% 、3%.5%.10%.15%.20% 進(jìn)行負(fù)載辨識(shí)實(shí)驗(yàn)。機(jī)器人點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)程序從啟動(dòng)到停止的速度分為三段：第一段為加速階段，第二段為勻速階段，第三段為減速階段。根據(jù)上文，本文所提辨識(shí)方法是在勻速時(shí)辨識(shí)的，所以取中間勻速階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)速度為 25% 時(shí)，中間的勻速階段采集到的數(shù)據(jù)僅為20個(gè)，此時(shí)使用最小二乘辨識(shí)，由于數(shù)據(jù)量比較小，所提辨識(shí)方法失效，有效的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

由表4可知，當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度較小時(shí) （1% 、3%.5%） ，所提方法對(duì)負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心的辨識(shí)精度較好，辨識(shí)結(jié)果與前述實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)。隨著機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的增大，辨識(shí)誤差也逐漸增大。導(dǎo)致辨識(shí)精度下降的主要原因是隨著速度的增大黏滯摩擦力矩的影響逐漸顯著。此外，當(dāng)速度增大時(shí)勻速階段采集到的辨識(shí)數(shù)據(jù)量減少，進(jìn)而使辨識(shí)精度降低，所以采用所提方法時(shí)為了兼顧效率和辨識(shí)精度，需要選擇合適的速度。

3.3 辨識(shí)結(jié)果一致性分析

為驗(yàn)證本文末端負(fù)載辨識(shí)方法的穩(wěn)定性，進(jìn)行了10組重復(fù)實(shí)驗(yàn)，每組均使用同一組負(fù)載，該負(fù)載實(shí)際質(zhì)量為 0.897kg ，質(zhì)心坐標(biāo) x?y?z 均為125mm 。質(zhì)量和質(zhì)心辨識(shí)誤差如圖13所示。辨識(shí)質(zhì)心位置 x，y 和 z 的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 3.33mm 、3.38mm 和 2.32mm ，辨識(shí)質(zhì)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.017kg 。對(duì)多次重復(fù)辨識(shí)所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差及平均誤差的分析表明，所提方法辨識(shí)結(jié)果的一致性較好，同一個(gè)負(fù)載多次辨識(shí)結(jié)果較為穩(wěn)定。

3.4 辨識(shí)實(shí)驗(yàn)二

在3.2節(jié)中所用實(shí)驗(yàn)對(duì)象EliteEC66的控制器寫入權(quán)限并未開放，不能使機(jī)器人按照設(shè)計(jì)的激勵(lì)軌跡運(yùn)動(dòng)，故無法在該機(jī)器人上采用目前較為先進(jìn)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法[19]進(jìn)行負(fù)載參數(shù)（質(zhì)量和質(zhì)心）辨識(shí)實(shí)驗(yàn)。為了能進(jìn)一步比較所提方法與動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法，在另一臺(tái)控制器開源的機(jī)器人上開展了負(fù)載辨識(shí)實(shí)驗(yàn)，如圖14所示。該機(jī)器人最大負(fù)載質(zhì)量為 2kg ，實(shí)驗(yàn)采用3個(gè)質(zhì)量分別為 0.5，1.2kg 的砝碼作為辨識(shí)負(fù)載，其質(zhì)心的位置分別為 （0，0，18mm ）、 （0，0，24mm ）、（0，0，33mm ）。

實(shí)驗(yàn)中控制機(jī)器人沿同一軌跡運(yùn)行兩次，分別采集空載和負(fù)載情況下的關(guān)節(jié)力矩 τ_e?τ_load ，然后利用與負(fù)載相關(guān)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方程對(duì)含負(fù)載參數(shù)項(xiàng) H_load 進(jìn)行辨識(shí)：

式中： H_load 為含末端負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心的重組動(dòng)力學(xué)參數(shù)，具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[16]； W 為動(dòng)力學(xué)模型觀測矩陣； 、 分別為關(guān)節(jié)角、角速度和角加速度。

為降低測量噪聲對(duì)辨識(shí)結(jié)果的擾動(dòng)，提高辨識(shí)精度，需進(jìn)行激勵(lì)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)使得 ）的條件數(shù)最小。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，激勵(lì)軌跡采用5階傅里葉級(jí)數(shù)，通過遺傳算法對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)4、5、6的軌跡進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖15所示。

將優(yōu)化得到的激勵(lì)軌跡輸入CSPACE開源控制器，控制機(jī)器人在空載和負(fù)載情況下運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，采集關(guān)節(jié)角 θ 、角速度 、角加速度 、關(guān)節(jié)空載力矩 τ_e 和負(fù)載力矩 τ_load 數(shù)據(jù)，并利用式（29）進(jìn)行負(fù)載參數(shù)辨識(shí)。此外，在相同實(shí)驗(yàn)條件下，采用所提方法（圖9）對(duì)機(jī)器人末端負(fù)載進(jìn)行辨識(shí)。兩種方法的辨識(shí)結(jié)果如表5所示。由于三組砝碼的實(shí)際質(zhì)心位置在 x 和 y 方向均為0，故在辨識(shí)結(jié)果中僅給出了質(zhì)心 z 方向的值。根據(jù)辨識(shí)結(jié)果，實(shí)際值減去辨識(shí)值計(jì)算得到辨識(shí)誤差對(duì)比，見表5。

表5所提方法與動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法比較

辨識(shí)結(jié)果顯示，所提方法辨識(shí)后得到質(zhì)量和質(zhì)心誤差在三組實(shí)驗(yàn)下均小于動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法的結(jié)果。其中，動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法得到的質(zhì)量誤差平均值和質(zhì)心誤差平均值分別為 0.179kg 和10.13mm ，而所提方法辨識(shí)后的質(zhì)量誤差平均值和質(zhì)心誤差平均值分別為 0.083kg 和 4.33mm 因此，相比于目前較先進(jìn)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法，所提方法對(duì)機(jī)器人末端負(fù)載具有更高的辨識(shí)精度。這是由于所提方法能夠直接辨識(shí)出質(zhì)量和質(zhì)心參數(shù)，而動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法需先辨識(shí)出負(fù)載參數(shù)與慣性張量的耦合項(xiàng)，然后通過解耦得到辨識(shí)負(fù)載，該過程引人了慣性張量參數(shù)的辨識(shí)誤差，從而導(dǎo)致辨識(shí)精度降低。此外，對(duì)比實(shí)驗(yàn)一中所提方法的平均質(zhì)量辨識(shí)誤差 0.032kg ，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)二的平均質(zhì)量辨識(shí)誤差有所增大，導(dǎo)致該差異的主要原因是實(shí)驗(yàn)二所用的開源機(jī)器人控制精度比實(shí)驗(yàn)一所用的工業(yè)機(jī)器人較差。

4結(jié)論

提出了一種基于扭矩平衡的機(jī)器人末端負(fù)載辨識(shí)模型，與傳統(tǒng)基于動(dòng)力學(xué)模型的負(fù)載辨識(shí)模型相比，所提方法無需設(shè)計(jì)辨識(shí)激勵(lì)軌跡，對(duì)機(jī)器人控制器開放權(quán)限無要求，此外通過分步辨識(shí)的方法避免了質(zhì)心參數(shù)解耦困難的問題。設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置分別驗(yàn)證了質(zhì)量和質(zhì)心辨識(shí)的有效性，并通過重復(fù)性實(shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性進(jìn)行驗(yàn)證，主要結(jié)論如下。

1）通過扭矩平衡分析可知，具有兩個(gè)及以上的平行關(guān)節(jié)的機(jī)器人可辨識(shí)末端負(fù)載質(zhì)量，再變換末端姿態(tài)可以辨識(shí)到質(zhì)心參數(shù)。

2）數(shù)值分析表明，采用投影扭矩法進(jìn)行質(zhì)心辨識(shí)存在誤差，但是對(duì)兩個(gè)關(guān)節(jié)的投影扭矩作差后求解質(zhì)量，可消除投影扭矩誤差。

3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法能有效辨識(shí)機(jī)器人末端負(fù)載質(zhì)量和質(zhì)心位置。相比于機(jī)器人自帶程序和動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)法的結(jié)果，所提方法的平均辨識(shí)精度得到提高。

4）重復(fù)性實(shí)驗(yàn)表明，所提方法10次辨識(shí)同一個(gè)負(fù)載，質(zhì)心辨識(shí)的平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)差均在 4mm 以內(nèi)，質(zhì)量辨識(shí)的平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)差均在0.030kg 以內(nèi)，表明所提方法有較好的一致性。

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（編輯袁興玲）

作者簡介：高貫斌，男，1979年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)闄C(jī)器人學(xué)、精密測量與控制、智能康復(fù)外骨骼。E-mail：gbgao@kust.edu.cn。李映杰*（通信作者），男，1995年生，博士研究生。研究方向?yàn)闄C(jī)器人學(xué)、精密測量與控制。E-mail：yjli @ stu.kust.edu.cn。

本文引用格式：

高貫斌，趙思郭，李映杰.基于關(guān)節(jié)扭矩平衡的機(jī)器人末端負(fù)載建模及辨識(shí)[J].中國機(jī)械工程，2025，36（6）：1188-1197.GAOGuanbin，ZHAO Siguo，LI Yingjie.Modelingand Identifi-cation of Robot End-payloads Based on Joint Torque Balance[J].ChinaMechanical Engineering，2025，36（6）：1188-1197.