基于特征模型和跟蹤微分器的主動磁軸承自適應控制方法

關鍵詞：特征模型；跟蹤微分器；主動磁軸承；自適應控制

中圖分類號：TP273

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.06.024 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Adaptive Control Method of AMB Based on Characteristic Model and Tracking Differentiator

JI Li CHEN Meihao* Information Engineering College，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou，311305

Abstract： In order to improve the robustness of AMB systems in the face of noise interference and external shocks，an adaptive control method was proposed based on characteristic model and tracking differentiator. The characteristic model parameters of AMB systems were identified online through the input and output data of the control system，and the golden section adaptive controler was designed based on the identified characteristic model. The range of characteristic parameters of AMB systems was derived，the projection gradient method with nonlinear saturation function was used to identify the parameters of the systems，and the tracking differentiator was used to track and filter the measurement data of the control system，which further improved the robustness of AMB systems in the face of noise interference. The proposed control method was tested on the test platform of high-speed magnetic levitation motor. The experimental results show that the tracking diferentiator may effectively filter out the interference of external noises on the measured data.Compared with the commonly used incomplete differential PID control method，the proposed adaptive control method may effectively improve the control accuracy and robustness of AMB systems，and the vibration peak values of the magnetic suspension rotor are reduced by 51.4% ：

Key words： characteristic model; tracking differentiator; active magnetic bearing（AMB）； adaptive control

0 引言

主動磁軸承（activemagnetic bearing，AMB）是一種利用可控電磁力使轉子穩(wěn)定懸浮于設定位置的新型軸承。AMB的性能極其依賴控制器的設計，改進控制算法是提高AMB整體性能最直接的方式。

PID控制方法不依賴對象模型，結構簡單，在AMB控制器中使用最為廣泛[1-2]，然而該方法很難保證系統(tǒng)在非理想工況下的控制性能。為了適應AMB動態(tài)特性和環(huán)境條件的變化，學者們將模糊控制[3-4]、神經(jīng)網(wǎng)絡[5-6]等方法與自適應控制相結合來設計控制器，但這些方法在提高系統(tǒng)魯棒性的同時也使控制器的設計變得復雜，增加了大量的待調參數(shù)，且對于非線性與不確定性不可參數(shù)化的系統(tǒng)自適應控制很容易失效]。

基于特征模型的全系數(shù)自適應控制方法由吳宏鑫等[8提出，其核心思想在于以低階離散差分方程的形式來描述復雜的高階非線性系統(tǒng)。已有研究將基于特征模型的全系數(shù)自適應控制方法應用于磁懸浮飛輪系統(tǒng)中[9]，證明了該方法具有強大的閉環(huán)穩(wěn)定性與魯棒性。

對AMB系統(tǒng)進行特征建模時，開關功率放大器的電磁噪聲、位移信號在傳輸過程中攜帶的環(huán)境干擾等都會被壓縮到系統(tǒng)的特征參數(shù)中，使其不能反映被控對象的真實狀態(tài)，如何從帶噪的量測數(shù)據(jù)中提煉出有效的特征模型是控制器設計時無法回避的問題。

本文推導了以功率放大器、AMB、位移采樣電路為廣義被控對象的二階特征模型，并且引入跟蹤微分器（trackingdifferentiator，TD）對量測信號進行跟蹤濾波，以辨識得到的特征模型為依據(jù)設計了黃金分割自適應（golden sectionadaptive，GSA）控制器，通過仿真和試驗證明了所提控制方法的有效性。

1AMB系統(tǒng)的特征建模

AMB系統(tǒng)的工作原理如圖1所示。其中，REF為系統(tǒng)給定的參考量；控制器輸出用于矯正轉子位置的控制量 u ；功率放大器輸出勵磁電流I₀±i ；磁懸浮軸承在勵磁電流的作用下為磁懸浮轉子提供差動電磁力，使其能夠穩(wěn)定懸浮于軸承間的中心位置；位移采樣電路將轉子位移 x 轉換為電信號 y 以后反饋到控制器。

在設計控制系統(tǒng)時，通常將功率放大器等效為增益環(huán)節(jié)，考慮到功放噪聲 v_a 的影響，該環(huán)節(jié)可以描述為

i=K_au+v_a

式中： K_a 為功率放大器增益。

考慮到傳輸路徑中存在的量測噪聲 v_s ，位移采樣環(huán)節(jié)可以描述為

y=K_sx+v_s

式中： K_s 為位移采樣增益。

控制器需要對轉子三維空間中的五個自由度進行控制，在合理的機械結構下，每個自由度上轉子的受力情況基本相同。以轉子徑向單自由度為例，其受力情況如圖2所示。根據(jù)等效磁路法可以推導出軸承與轉子之間的動力學關系為

式中： α 為磁極中心與 X 方向之間的夾角； F_x 為轉子在 X 方向上受到的電磁力合力； μ₀ 為真空磁導率； A 為磁極面積； N 為磁軸承的繞線匝數(shù)； Σ_m 為轉子在該自由度上的等效質量； g 為重力加速度； δ_?0 為轉子處于平衡位置時與磁極的間距。

數(shù)字控制器根據(jù)量測數(shù)據(jù)來明確系統(tǒng)當前時刻的狀態(tài)，進而作出相應的控制行為，因此可建立以功率放大器、AMB、位移傳感器為廣義被控對象的非線性模型。令

則AMB系統(tǒng)在單自由度上的廣義非線性模型可以描述為

式中： x₁…x₂ 為系統(tǒng)的狀態(tài)變量； ?_p（t） 為轉子各自由度間耦合作用和功放噪聲引起的擾動項。

對于式（5）所述的廣義被控對象，以徑向單自由度為例，其狀態(tài)變量 x₁ 的范圍為徑向保護軸承的雙邊間隙，即 x₁∈[-0.1，0.1]mm 。由式（4）可知，函數(shù) f（x₁，u） 和 g（x₁） 滿足以下條件：

1）系統(tǒng)函數(shù) f（x₁，u） 是有界的，即存在一個正常數(shù) M₁ ，使得函數(shù) f（x₁，u） 滿足

∣f（x₁，u）∣?M₁

2）控制增益函數(shù) g（x₁） 是有界的，即存在正常數(shù) b₂gt;b₁gt;0 ，使得函數(shù) g（x₁） 滿足

01?∣g（x₁）∣?b₂

根據(jù)特征建模理論的基本思想，對式（5）所表示的廣義被控對象模型進行精確離散化，得到系統(tǒng)的精確離散模型如下：

對式（8）中的第一項進行向右一個采樣周期T 的偏移并與原式作差，即 x₁（k+1）-x₁（k） ，可以得到

x₁（k+1）=2x₁（k）-x₁（k-1）+

由式（8）中的第三項可以進一步得到

v（k）=v_s（k+1）-v_s（k）

式中： u（k） 為位移采樣誤差在一個采樣周期內(nèi)的差值。

假設系統(tǒng)擾動項 ?_p（t） 和量測噪聲的差值u（k） 有界，即存在正常數(shù) M₂?_?M₃ ，使得

取 τ=t+T ，對式（10）中的積分項進行變量替換，可以得到以下結果：

考慮到 u（t） 具有分段連續(xù)性，在同一控制周期 T 內(nèi)控制器的輸出控制量為常數(shù)，則由式（10）和式（12）可以進一步得到

式（13）可以寫為

由式（6）、式（7）和式（11）可知

根據(jù)二階特征模型的基本形式，可將式（14）中的 η₁（k） 分配到系統(tǒng)輸出項 y（k） 和 y（k-1） 前的系數(shù)當中，即

式中： ε 為一正常數(shù)。

由此得到AMB系統(tǒng)的二階廣義特征模型為

對于式（17）所述的特征模型，其特征模型系數(shù)的范圍 可以由式（15）和式（16）提前確定：

f₂（k）∈[-1-LT²，-1+LT²]，

其中， L 為與函數(shù) f（x₁，u） 上界以及擾動上界相關的正常數(shù)。

2基于特征模型的黃金分割自適應控制

基于特征模型和跟蹤微分器的AMB控制系統(tǒng)結構如圖3所示，圖中， y_r（k） 為系統(tǒng)的參考輸人； e^（k） 為系統(tǒng)的跟蹤控制誤差； θ（k） 為在線辨識的特征參數(shù)；PGD為投影梯度下降辨識算法，

用于辨識特征參數(shù)。

首先將式（17）改寫為

式中：0（k）為待辨識的特征參數(shù)向量； φ（k） 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量。

定義模型估計誤差為

定義辨識模型的代價函數(shù)為

J（k）=（e₀（k））²=（y（k）-θ^T（k-1）φ（k-1））²

利用梯度下降的思想迭代搜索最合適的特征參數(shù)向量 ，再將結果投影到提前確定的參數(shù)范圍 中，該過程的表達式為

其中， ρ₁、ρ₂ 為控制迭代步長的可調參數(shù)，其取值范圍一般為 表示辨識結果在已知的特征參數(shù)范圍 上作正交投影。

文獻[7提出在模型估計誤差 e₀（k） 的基礎上引入非線性飽和函數(shù)可以提高參數(shù)辨識算法的收斂性，即

其中， σ 為一正常數(shù)， sat（?） 為飽和函數(shù)。綜上，參數(shù)辨識算法的最終表達式為

為保證特征參數(shù)未完全收斂時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9]，設計黃金分割自適應控制律為

其中，λ為可調參數(shù)，其作用是防止因 g₀（k） 項過小而出現(xiàn)過大的控制量； l₁…l₂ 為黃金分割系數(shù)，l₁=0.382，l₂=0.618， 0

為了進一步改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，同時消除系統(tǒng)進人穩(wěn)態(tài)后存在的靜態(tài)誤差，可在黃金分割控制律的基礎上加入微分控制量和積分控制量：

式中： k_d 為微分系數(shù)； k_i 為積分系數(shù)。

由式（16）可以看出，量測噪聲也將被壓縮到特征參數(shù)內(nèi)，因此，本文引入了跟蹤微分器對量測信號進行跟蹤濾波。

跟蹤微分器是自抗擾控制器中（ADRC）的經(jīng)典環(huán)節(jié)[10]，其作用在于從不連續(xù)或是夾帶隨機噪聲的量測信號中提取出有效的連續(xù)信號及其微分項，在機電系統(tǒng)中有著廣泛的應用[11-12]

非線性跟蹤微分器的離散化形式為 其中， y（k） 為TD要跟蹤的輸入信號； c₀ 為濾波因子； r 為跟蹤速度； x₁（k） 為輸人信號的跟蹤結果； x₂（k） 為跟蹤輸人信號得到的近似微分； h 為系統(tǒng)的采樣步長； fhan（x₁，x₂，r，c_?h） 為經(jīng)典的TD最速綜合控制函數(shù)，其表達式為

文獻[12]提出可以用提前預報的方法來克服跟蹤信號的相位滯后，改進后的跟蹤微分器為

式中： r₂ 為提前預報的步數(shù)，一般為濾波因子 Φ_c0 的 1～2 倍； x₁^′（k） 為預報后的跟蹤結果； x_ι2^′（k） 為預報后的近似微分。

3仿真與實驗

在MATLAB/Simulink中建立圖3所示的AMB控制系統(tǒng)，分別采用黃金分割自適應控制器和不完全微分PID控制器對磁懸浮轉子的位移進行閉環(huán)控制，經(jīng)大量的仿真和實驗調試后確定黃金分割自適應控制器和不完全微分PID控制器的控制參數(shù)。其中，黃金分割自適應控制器的控制參數(shù)如表1所示，不完全微分PID控制器的控制參數(shù)設置為： K_p=1.8，K_I=0.0001，K_D=20，f_H= 4kHz 。其中： K_P 為比例系數(shù)； K_I 為積分系數(shù)；K_D 為微分系數(shù)； f_H 為上限截止頻率。

首先觀察單自由度AMB系統(tǒng)的階躍響應，得到的系統(tǒng)響應如圖4所示。在無外界干擾的情況下，不完全微分PID和本文方法均能保證AMB系統(tǒng)在啟動階段有較好的動態(tài)性能，系統(tǒng)的特征參數(shù)在經(jīng)過 1.2ms 后收斂至穩(wěn)定值，滿足特征模型理論中全系數(shù)之和約等于1的特點。

當轉子位置進人穩(wěn)態(tài)之后，在轉子所受電磁力的基礎上加入幅值為 300N 頻率為 500Hz 的正弦干擾力，轉子的振動情況如圖5a所示。兩種控制方法對正弦擾動均具有較好的抑制能力，其中不完全微分PID 控制下的振動幅值為 2.8μm 本文方法控制下的振動幅值為 2.4μm 。

在控制系統(tǒng)的采樣反饋信號中混人信號強度為0.03的白噪聲之后，轉子的振動情況如圖5b所示，幾種控制方法下的轉子均出現(xiàn)了不同程度的位移波動。其中不完全微分PID控制下的轉子位移峰值為 8.67μm ，GSA控制下的轉子位移峰值為 6.43μm ，而本文所提方法控制下的轉子位移峰值僅為 3.44μm 。由此可以看出，當采用跟蹤微分器對轉子的位移信號進行跟蹤濾波后，GSA控制下的轉子振動情況得到了很大的改善。

為了檢驗本文所提方法對提高AMB控制系統(tǒng)魯棒性和控制精度的有效性，建立了由變頻器、高速永磁同步電機（內(nèi)部采用主動磁軸承，電機額定轉速為 30 000r/min 、數(shù)字控制器所構成的AMB系統(tǒng)試驗平臺，試驗平臺的具體結構如圖6所示，AMB系統(tǒng)的相關參數(shù)如表2所示。

由于功放電路中的電磁噪聲和信號傳輸路徑中的環(huán)境噪聲對采樣信號有干擾，反饋信號的采樣結果存在著一定程度的跳動，從而使得AMB閉環(huán)系統(tǒng)難以滿足特征模型理論中系統(tǒng)參數(shù)慢時變的條件。TD處理前后系統(tǒng)的特征參數(shù)辨識情況如圖7所示。當采用系統(tǒng)的原始量測數(shù)據(jù)來辨識其特征參數(shù)時，辨識過程如圖7a所示，特征參數(shù)在預設的參數(shù)范圍內(nèi)激烈變化，辨識結果一直無法到達收斂狀態(tài)，導致控制器輸出的控制量也隨之快速變化，此時特征參數(shù)的辨識環(huán)節(jié)已然失效。當加人跟蹤微分器對轉子位移的量測數(shù)據(jù)進行預處理之后，量測信號中的野值基本上被剔除，特征參數(shù)的辨識結果趨于穩(wěn)定，如圖7b和圖7c所示。

表2主動磁軸承系統(tǒng)的相關參數(shù)

將磁懸浮轉子從靜態(tài)懸浮狀態(tài)逐漸加速至500Hz 額定轉速的高速旋轉狀態(tài)，轉子在升速過程中的位移峰值曲線見圖8。由于轉子本身存在剛性模態(tài)，當轉速接近 100Hz 時，轉子的振動量達到峰值，相比于不完全微分PID控制，本文所提控制方法作用下轉子五個自由度上的位移峰值分別下降了 47.9%.24.2%.46.1%.34.6% 51.4% 。磁懸浮轉子在額定轉速下的位移曲線、頻率特性和軸心軌跡如圖9所示，本文所提控制方法作用下轉子的軸心軌跡更集中于平衡位置，各頻率分量上的轉子振動幅度更小，具有優(yōu)于傳統(tǒng)不完全微分PID控制器的控制精度和穩(wěn)定性。

為了驗證本文所設計控制器的魯棒性能，當轉子處于靜態(tài)懸浮狀態(tài)時從軸向對其施加力度為200N 的撞擊力，模擬AMB系統(tǒng)在運行過程中遇到的突發(fā)沖擊。圖10為轉子軸向自由度遭受外界沖擊時的位移曲線，本文方法控制下的轉子遭受突發(fā)沖擊時，轉子的位移波動相較于不完全微分PID更小，由此可見本文所提的控制策略具有更好的魯棒性能。

4結論

本文針對帶有非線性和不確定性的主動磁軸承系統(tǒng)進行了特征建模，將主動磁軸承系統(tǒng)等效為一個二階的差分方程，在此基礎上設計了黃金分割自適應控制器對磁懸浮轉子的五個自由度作分散控制。同時，為了削弱噪聲對控制系統(tǒng)性能的不利影響，引入跟蹤微分器對位移量測信號進行了跟蹤濾波。系列實驗證明，跟蹤微分器可有效剔除量測信號中的野值，并解決特征參數(shù)辨識失效的問題。本文所提控制方法能保證轉子在0～30000r/min 的全轉速范圍內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，相比于不完全微分PID控制，在轉子的升速過程中振動峰值最高下降了 51.4% 。在面對外界的突發(fā)沖擊時，本文所提控制方法能顯著降低轉子位移的波動幅度，證明了該方法能夠有效提高主動磁軸承控制系統(tǒng)的魯棒性。

參考文獻：

[1]LALDINGLIANAJ，BISWASPK.Artificial Intelligence Based Fractional Order PID Control Strategy for Active Magnetic Bearing[J]. Journal of Electrical Engineering and Technology，2022，17（6）： 3389-3398.

[2] GUPTA S，DEBNATH S，BISWAS PK. Control of an Active Magnetic Bearing System Using Swarm Intelligence Based Optimization Techniques [J]. Electrical Engineering，2023，105（2）：935-952.

[3]MA Zhihao，LIU Gai，LIU Yichen，et al. Research of a Six-pole Active Magnetic Bearing System Based on a Fuzzy Active Controller[J]. Electronics，2022， 11（11）：1723.

[4]NAGI F H，INAYAT-HUSSAINJI，AHMED S K.Fuzzy Bang-Bang Relay Control of a Rigid Rotor Supported by Active Magnetic Bearings[J].Energies，2022，15（11） ：3975.

[5]LUNGU R，LUNGU M，EFRIMC. Adaptive Control of DGMSCMG Using Dynamic Inversion and Neural Networks[J]. Advances in Space Research， 2021，68（8）：3478-3494.

[6]YOO SJ，KIM S，CHO K H，et al.Data-driven Self-sensing Technique for Active Magnetic Bearing [J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing，2021，22（6）：1031-1038.

[7] 常亞菲.一類不確定非線性系統(tǒng)基于特征模型的復 合自適應控制[J].控制理論與應用，2019，36（7）： 1137-1146. CHANG Yafei.Characteristic Model-based Composite Adaptive Control for a Class of Uncertain Nonlinear Systems[J].Control Theory and Applications，2019，36（7）：1137-1146.

[8] 吳宏鑫，胡軍，解永春.基于特征模型的智能自適 應控制[M].北京：中國科學技術出版社，2009：8- 36. WU Hongxin，HU Jun，XIE Yongchun. Characteristic Model-based Intelligent Adaptive Control[M]. Beijing：China Science and Technology Press，2009： 8-36.

[9] LYU Xujun，DI Long，LIN Zongli，et al.Characteristic Model Based All-coefficient Adaptive Con trol of an AMB Suspended Energy Storage Flywheel Test Rig[J].Science China-information Sciences， 2018，61（11）：1-15.

[10] 韓京清.自抗擾控制技術：估計補償不確定因素的 控制技術[M].北京：國防工業(yè)出版社，2008：66- 73. HAN Jingqing. Active Disturbance Rejection Control Technology ：the Technique for Estimating and Compensating the Uncertainties[M].Beijing：Academic Press，2008：66-73.

[11］YANG Hongjiu，CHENG Lei， ZHANG Jinhui，et al.Leader Follower Trajectory Control forQuadro