固結與游離磨粒協(xié)同作用硬脆材料磨拋加工機理

中圖分類號：TG58DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.06.003 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Grinding and Polishing Mechanism of Hard and Brittle Materials under Cooperation of Fixed and Free Abrasive Grains

LUO Chenyangl，2 GUO Lei1，2 * CAO Chuqing2 CAO Leilei2SHI Pengfei1，2

1.Key Laboratory of Road Construction and Technical Equipment（Ministry of Education）， Chang'an University，Xi'an，710064 2.Wuhu HIT Robot Technology Research Institute Co.，Ltd.，Wuhu，Anhui，241007

3.Guangxi Key Lab of Manufacturing System and Advanced Manufacturing Technology， Guilin，Guangxi，530003

Abstract： To investigate the material removal mechanism of hard and brittle materials during elastic grinding and polishing involving fixed and free abrasive grains，a diamond sandpaper grinding and polishing tool integrated with silicone rubber matrix was developed. The elastic tool was paired with varying concentrations of diamond polishing slurry. The contact stress and velocity distributions between the elastic tool and workpiece，as well as the abrasive grain-workpiece contact mechanics were analyzed to establish the material removal models for hard and britle materials. Subsequently， silicon carbide workpieces were used as test samples，with grinding and polishing pressure，tool speed，and abrasive concentration as processing parameters in single-point experiments，which were conducted to characterize the material removal profile on the machined surfaces. The experimental results reveal that the discrepancies between the established material removal models and the actual material removal depth range from 4.68% to 8.22% . The removal depth is positively correlated with grinding and polishing pressure，tool speed，and abrasive concentration. The established models may accurately predict material removal behaviors in elastic grinding and polishing processes.

Key words： hard and brittle material; material removal mechanism;elastic grinding and polishing tool；fixed abrasive grain;free abrasive grain

0 引言

石英玻璃、藍寶石、碳化硅陶瓷等硬脆材料具有高硬度、高溫穩(wěn)定性、化學穩(wěn)定性等優(yōu)異的材料性能以及良好的透光、吸波性能，被廣泛應用于光學元件、半導體芯片等高端精密裝備[1-2]。相比金屬材料，硬脆材料在受到外力與沖擊作用時極易產生斷裂破碎，基于傳統(tǒng)剛性加工系統(tǒng)與剛性工具的工藝方法難以滿足硬脆材料日益增長的加工效率與加工精度需求。

磨削與拋光是降低工件表面粗糙度、去除損傷層，從而獲得高精度與表面完整性的磨粒加工方法，也是目前應用最為廣泛的硬脆材料超精密加工方法。根據(jù)加工過程中磨粒不同的運動狀態(tài)，磨粒加工方法可分為游離磨粒加工與固結磨粒加工[3]，在理論研究中被認為是通過二體磨粒磨損與三體磨粒磨損行為來實現(xiàn)材料表面形貌創(chuàng)成。游離磨粒加工表面平整性較好，但磨粒運動行為的隨機性導致其加工工藝穩(wěn)定性差、加工效率不足[4；固結磨粒加工中磨粒運動軌跡可控性好，材料去除函數(shù)較為準確且磨拋效率較高，但固結磨粒加工過程多為剛性接觸，磨粒切削深度大，在硬脆材料加工過程中易對工件表面及亞表面造成損傷，影響加工表面質量與完整性。

為了應對固結磨粒磨削與游離磨粒拋光工藝無法兼顧硬脆材料表面加工質量與加工效率的共性問題，近年來國內外學者通過不同方法探尋融合磨削與拋光工藝優(yōu)勢的可控柔性磨拋加工技術，如應力盤拋光[5]、氣囊拋光[6]、百葉輪磨拋[7]、彈性體磨拋[8-9]等彈性工具磨拋加工方法。以上工藝方法在保證加工效率的同時對硬脆材料磨拋加工過程中的表面及亞表面損傷有所改善，然而針對此類具有柔性特點的磨拋加工方法研究仍處于起步階段，其磨拋加工機理研究尚不完善，尤其磨拋加工過程中由磨粒運動狀態(tài)主導的加工表面創(chuàng)成機制對加工質量、加工效率與表面完整性的影響有待深人研究。

目前，對柔性磨拋加工的研究主要從微觀去除機理、材料去除函數(shù)、加工質量預測等方面展開。ZHU等[10]對基于彈性工具的形狀自適應磨削工藝（shape adaptive grinding，SAG）材料去除機理開展研究，建立了考慮工具彈性形變行為的磨具-工件與磨粒-工件跨尺度力學接觸模型，分析了磨粒劃擦、犁耕、切削行為之間的轉變機制。VERMA等[1]進一步結合彈性接觸理論計算了氣囊拋光過程有效參與磨粒數(shù)量，對作用在單個磨粒上的法向力、剪切力和摩擦力進行建模，并依據(jù)磨粒切入深度建立了偏差為 11.8%～16.5% 的氣囊拋光表面粗糙度預測理論模型。

對于固結磨粒的材料去除機制，TAO等[12]設計了磨粒尺寸、形狀、位置隨機分布的固結磨粒磨拋工具，基于彈性理論對硅晶圓材料塑性側流、彈性回彈、脆性斷裂等綜合效應進行分析。CHEN等[13]采用固結磨料墊（fixedabrasivepads，F(xiàn)APs）研磨藍寶石晶片，建立了研磨墊-磨粒-工件的力學接觸模型，并基于彈塑性理論和修正的球冠模型分析了材料去除機制。

對于游離磨粒的材料去除機制，YAO等[14]采用聚氨酯拋光軟墊結合游離氧化鋁磨粒拋光圓柱滾子軸承，并通過正交試驗驗證了基于Hertz理論和G-W模型的多尺度材料去除模型。TIAN等[15]采用小口徑永磁球頭對熔融石英玻璃工件進行拋光，研究了拋光坑的形貌并對拋光坑偏移現(xiàn)象進行了解釋。

在固結磨粒與游離磨粒材料去除機制研究的基礎上，TREZONA等[16]對固結磨粒主導的二體磨粒加工與游離磨粒主導的三體磨粒加工之間的轉變機制進行了初步討論，并通過微尺度磨損實驗對二體磨粒與三體磨粒協(xié)同作用的現(xiàn)象進行了表征。RAJENDHRAN等[17]采用游離磨料加工陶瓷工件，發(fā)現(xiàn)隨著磨粒粒徑的增大，材料去除機制逐漸從三體磨粒加工向二體磨粒加工轉變。

對于硬脆材料磨削機理和磨粒狀態(tài)轉變機制，以往研究多側重于固結磨粒加工或游離磨粒加工的單獨討論，對固結與游離磨粒協(xié)同作用下的磨拋加工過程材料去除機理涉及較少，現(xiàn)有研究亦多以實驗方法進行定性分析，定量研究集中于硬脆材料磨拋加工的表面粗糙度預測，對其磨粒狀態(tài)影響下的材料去除函數(shù)研究尚需深入。本研究以碳化硅材料為加工對象，設計了基于彈性工具的固結磨粒與游離磨粒協(xié)同作用磨拋加工實驗。本研究首先從宏觀尺度對彈性磨具與工件間的力學接觸行為進行分析，然后分別解析固結金剛石磨粒和游離金剛石磨粒對工件的作用力，進而基于單顆金剛石磨粒材料去除體積建立了磨拋加工過程的材料去除輪廓預測模型，最后通過碳化硅定點磨拋實驗驗證了理論模型的準確性。

1彈性工具磨拋加工過程

本研究涉及的彈性工具磨拋加工系統(tǒng)如圖1所示，主要由電主軸、彈性磨具、蠕動泵、測力系統(tǒng)、磁力攪拌器和拋光漿料等裝置組成。具體磨拋加工過程為：彈性磨具表面由固結金剛石磨粒砂紙覆蓋，在加工過程中由主軸帶動轉動并以固結磨粒二體加工形式工作；拋光漿料中的游離磨粒通過蠕動泵經由噴嘴泵人加工區(qū)域，在磨具與工件相對運動帶動下以三體磨粒加工形式參與磨拋。為防止拋光槳料中的磨料沉積，磨拋加工過程中采用磁力攪拌器持續(xù)攪拌磨拋漿料，磨具與工件間的作用力通過測力儀采集。

2彈性磨拋加工材料去除模型

為研究彈性磨具磨拋加工過程的材料去除模型，本研究在不同尺度上對磨具-磨粒-工件進行接觸分析。在宏觀尺度上，基于Hertz接觸理論分析彈性磨拋工具與工件的彈性接觸情況，求出其壓力分布和速度分布；在微觀尺度上，考慮單顆磨粒對工件材料的去除，通過計算實際參與加工的磨粒數(shù)量，疊加求得總的材料去除體積，進一步求得工件表面的材料去除深度和材料去除率。對相關因素作以下假設以簡化模型： ① 金剛石磨粒的圓度近似為0.91，接近球體，假設磨粒形狀為球體； ② 不考慮磨拋過程中固結磨粒的脫落和磨損；③ 磨粒在彈性基體中和拋光漿料中分布均勻；④ 磨粒呈剛性，在磨拋過程中不發(fā)生變形。建立的材料去除理論模型計算流程如圖2所示。

2.1 磨拋工具

本研究采用的彈性磨具結構及表面形貌如圖3所示。彈性磨具由3D打印的鋁合金夾具與硅膠半球組合而成，如圖3a所示。硅膠半球的組成如圖3b所示，金剛石砂紙被裁剪并粘接在硅膠半球上，以保證磨具在具備較好變形能力的同時磨粒均勻分布。

金剛石砂紙上磨粒大小、高度分布的顯微形貌如圖3c所示，可以看到，砂紙上磨粒的數(shù)量分布相對均勻，然而由于砂紙上的磨粒大小、分布位置不一，導致砂紙上磨粒的出露高度不盡相同。在計算整個砂紙上磨粒的切削深度時，應當考慮該因素導致的部分磨粒不參與磨拋過程的影響，有研究通過實驗和數(shù)學統(tǒng)計的方式計算了此類拋光磨具上的磨粒出露高度的分布函數(shù)，近似服從于正態(tài)分布，概率分布函數(shù)可表示為[18]

式中： z_g 為砂紙上的每顆磨粒出露高度； σ_g?μ_g 分別為 z_g 的標準差和期望；下標 max，min 分別表示最大和最小。

聯(lián)立式（1）、式（2）可得磨粒出露高度的概率分布，通過與后續(xù)計算的磨?？倲?shù)、材料去除體積等參數(shù)的積分可以求得實際參與加工的磨粒對工件表面的材料去除體積。

2.2 宏觀接觸分析

由于彈性磨拋工具與工件接觸區(qū)域內的應力分布直接影響磨拋區(qū)域內所有參與加工過程磨粒的切削深度，從而影響工件表面的材料去除體積，因此首先對彈性磨具-工件之間的接觸壓力分布進行求解。由于該接觸模型是在毫米尺度上建立的，工件表面的粗糙度和磨粒粒徑遠小于磨具與工件的接觸半徑，且工件硬度遠大于彈性磨具，主軸施加在彈性磨具上的法向壓力也較小，接觸區(qū)域內的應力分布遠小于工件的屈服強度，故工件在與彈性磨具的宏觀接觸過程中不發(fā)生塑性變形。為了簡化模型，彈性磨具與硬脆平面工件的接觸可以看作是彈性球體和剛性理想平面的接觸，磨具與工件之間的接觸應力可根據(jù)Hertz接觸理論求解。根據(jù)Hertz接觸理論計算出磨具與工件接觸區(qū)域內的壓力分布，若接觸點處曲面曲率半徑遠大于磨具半徑，接觸區(qū)域形貌可近似看作為圓形。磨具與工件接觸區(qū)域內壓力分布_p（_x，_y） 可根據(jù)下式[19」求得：

式中： b 為彈性磨拋工具與平面工件接觸區(qū)域內的接觸半徑； F_n 為施加在磨具上的法向壓力； R 為彈性磨拋工具與工件的等效曲率半徑，其數(shù)值可近似等同為彈性磨具的半徑大??； E^* 為彈性磨拋工具與工件的等效彈性模量；R_t，E_t，ν_t 分別為彈性磨拋工具的半徑、彈性模量和泊松比 ，R_t=15mm，E_t=5.8MPa，ν_t=0.47;R_w，E_w，ν_w 分別為工件的半徑、彈性模量和泊松比； Σ_P 為彈性磨拋工具與工件接觸中心處的壓力。

接觸區(qū)域內壓力分布情況如圖4a所示，接觸壓力 ?_P（x，y） 從接觸中心至邊緣逐漸減小，呈高斯分布。為直觀地觀測磨具與工件之間的壓力分布，將法向壓力、彈性模量和泊松比隨機賦予一定數(shù)值，利用MATLAB對式（3）進行數(shù)值仿真，得到接觸區(qū)域內壓力分布的三維函數(shù)輪廓，如圖4b所示，可以看到，根據(jù)Hertz接觸理論數(shù)值仿真得到的壓力分布和圖4a一致，呈中心處壓力大、邊緣區(qū)域壓力小的高斯分布。

2.3 材料去除機理

2.3.1 磨粒運動狀態(tài)

彈性磨具磨拋硬脆材料時，工件表面的材料去除源于多磨粒協(xié)同作用。該過程屬于微米級去除，需先建立單磨粒壓人工件模型，當磨粒壓入深度達到臨界值時，材料開始去除。結合有效作用磨粒數(shù)量疊加單顆去除效應，可得到一次加工過程中的材料去除量，進一步推導出材料去除模型。同時，表面形貌分析需以材料去除深度為關鍵參數(shù)，表征加工后表面狀態(tài)，因此要分析工件磨拋后表面形貌，首先需要得到材料去除深度。

硬脆材料磨拋過程中，固結磨粒與游離磨粒共同主導材料去除。前者固結在磨具表面，隨著磨具壓入工件表面，實現(xiàn)切深有規(guī)律的材料去除；后者（脫落的磨粒和拋光液中的一部分磨粒）夾持在磨具與工件表面之間的縫隙中，由蠕動泵上連接的噴嘴泵入到彈性磨具與工件的接觸區(qū)域內參與加工，不同粒度大小的磨粒對工件表面產生深度不一的凹痕。兩種狀態(tài)的磨粒去除形式如圖5所示。

由于固結磨粒和游離磨粒與磨具的接觸面積不同，因此所受到來自磨具的壓力也不同，應當單獨分析兩種不同接觸狀態(tài)的磨粒與工件之間的接觸情況，本研究對兩種磨粒分別建立單顆磨粒-工件材料去除模型。

此外，只有當磨粒與工件的接觸形式達到塑性階段時，工件表面的材料才能被磨粒去除，故應先計算碳化硅工件彈塑性變形的臨界去除深度δp，表達式為[12]

式中相關參數(shù)含義及數(shù)值大小如表1所示。

表1磨粒-工件接觸計算參數(shù)含義及數(shù)值

將以上參數(shù)值代入式（4）中，計算得到金剛石磨粒與碳化硅工件接觸的彈塑性轉變臨界切削深度 δ_p=0.167nm ，當金剛石磨粒的切入深度大于 0.167nm 時，碳化硅工件表面材料開始以塑性去除的方式脫落。在加工過程中，磨粒切入工件的深度一般大于該深度，即磨粒切入工件的初始階段便可實現(xiàn)對工件表面的材料去除。

2.3.2 固結磨粒

部分金剛石磨粒最初固結在金剛石砂紙上，隨著彈性磨具向下運動壓入工件，對工件表面進行材料去除。其作用形式如圖6所示，設定單顆固結磨粒受到來自磨具的法向壓力為 F_gn ，磨粒的瞬時切向速度為 v 。

磨粒切入工件時受到來自工件的法向反作用力 F_wn ，其大小與工件自身的顯微硬度 H_w 和磨粒-工件之間的接觸面積 A 有關，可以表示為[20]

F_wn=H_wA

其中，接觸面積 A 為半徑為 a_w 的圓的面積，接觸半徑 a_w 和切削深度 d_w 存在如下幾何關系：

則單顆磨粒切入工件表面的法向接觸面積

A=πa_w²=2πR_gd_w

故第 i 顆磨粒與工件接觸時受到來自工件的法向壓力 F_wni 以及受到磨具所施加的法向壓力F_gni 可表示為工件顯微硬度、磨粒半徑的函數(shù)：

F_wni=2πH_wR_gd_wi

F_gni=πR_g²/（x_i，y_i）

磨具作用在單顆磨粒上的法向壓力 F_gni 和工件作用在磨粒上的法向壓力 F_wni 相互平衡，即

F_wni=F_gni

根據(jù)式 （8）～ 式（10），可得第 i 顆磨粒切削深度 d_wi 與 Φ_P（x_i，y_i） 之間的函數(shù)關系：

由于磨具相比于磨粒具有較大的彈性，故磨粒在受到磨具施加的法向壓力后會使磨具本身發(fā)生一定的形變，磨粒會產生退讓。假定其退讓距離為 d_p ，它與法向壓力的數(shù)學關系可由赫茲理論求得：

式中： E_gt^* 為金剛石磨粒與彈性磨具的相對彈性模量。

根據(jù)式（10）、式（12），計算得到加工區(qū)域內第i 顆磨粒切削深度與其在磨具中退讓量的關系：

得到單顆磨粒的切削深度后，可進一步求得磨粒在工件內切削部分的凹槽橫截面積，單顆磨粒去除工件材料的體積可由該橫截面積和切削過程中磨粒運動的路徑長度相乘來計算，加工過程中磨粒運動路徑長度為接觸區(qū)域內切向速度和加工時間的乘積。接觸區(qū)域內的切向速度分布v（x，y） 可根據(jù)文獻[21]的運動學模型求得。

如圖7所示，彈性磨拋工具以一定的偏角 θ 由電主軸帶動旋轉，接觸區(qū)域內任意一點 N（x ，y∈0） 處的速度 ν_N 可由角速度 ω 和磨具中心點 M 到點 N 處的向量 MN 的向量積求得：

v_N=ω×MN

將 ω=（0，-ωsinθ，ωcosθ），MN=（x，y， （20 代人式（14）得

計算接觸區(qū)域內的總材料去除量還需得到彈性磨具與工件接觸區(qū)域內的速度分布，速度分布v（x，y） 為 ν_N 在 x 軸的速度分量 v_Nx 與 y 軸的速度分量 的合速度，其函數(shù)關系可以表示為

根據(jù)式（6）式（11）、式（16），單顆固結磨粒在一次加工過程中（加工時間為 T ）對工件表面的材料去除體積 ΔV_MRg 可以近似表示為磨粒切削深度 d_w 、切削寬度 a_w 和磨削路徑長度 L_w 的函數(shù)：

由式（17）求得單顆固結磨粒在一次加工過程中對工件表面的材料去除體積。在一次磨拋過程中，固結磨粒對工件表面的總材料去除量是磨拋區(qū)域內彈性磨具上所有參與加工的磨粒造成的材料去除量的疊加，故要求得實際參與加工過程的固結磨粒對工件表面的整體材料去除量，還需先求磨具與工件接觸部分上的磨粒數(shù)量 。本研究選取 600～2000 目的金剛石砂紙粘接在彈性硅膠基體上，接觸區(qū)域內的固結金剛石磨粒數(shù)量可通過金剛石砂紙上單位面積的磨粒數(shù)量乘以接觸區(qū)域內彈性磨具壓縮部分的表面積計算得到。彈性磨具在與工件接觸過程中，其壓縮量為h ，接觸半徑為 b ，接觸過程如圖7所示。接觸半徑 b 可由式（3）求出，圓弧 AB 為彈性磨具被壓縮的部分，扇球MAB的表面積

S_c=4φR_t²=4arcsin（b/R_t）R_t²

固結磨粒在金剛石砂紙上分布均勻，設金剛石砂紙單位面積上分布的磨粒數(shù)目為 N_d ，則彈性磨具與工件接觸區(qū)域內的固結金剛石磨粒總數(shù)

N_t=N_dS_c=4N_darcsin（b/R_t）R_t²

若磨粒出露高度分布均勻，則接觸區(qū)域內參與磨拋加工的固結磨?？倲?shù)與單顆磨粒的材料去除量的乘積即為一次磨拋加工過程中固結磨粒總的材料去除量。然而，根據(jù)2.1節(jié)所述，實際情況下的磨粒在砂紙上的出露高度各不相同，近似服從于正態(tài)分布[22]（式（1））。由于彈性磨具與工件之間存在一定的間隙 h_g ，只有當磨粒出露高度大于該間隙時磨粒才開始與工件表面接觸，實現(xiàn)對工件表面的材料去除。實際參與加工過程的磨粒的出露高度范圍為 [h_g，2R_g] ，結合式（1）、式（17）式（19），一次磨拋加工過程中固結磨?？偟牟牧先コw積

固結磨粒對工件表面的材料去除深度 D_MRg 可近似看作材料去除量 V_MRg 與磨具-工件接觸區(qū)域面積的比值：

D_MRg=V_MRg/（πb²）

由材料去除深度 D_MRg 除以加工時間可得單位時間內的材料去除深度，即材料去除率

R_MRg=D_MRg/T=V_MRg/（πb²T）

將式 （20）～ 式（22）在MATLAB軟件中進行數(shù)值計算，通過給定的參數(shù)組合和材料去除函數(shù)繪制得到固結磨粒對工件表面的材料去除輪廓，對固結磨粒材料去除函數(shù)進行可視化模擬，可具象化地觀測到加工過程中固結磨粒作用下的工件表面的材料去除體積，與后續(xù)游離磨粒對工件表面的去除體積進行疊加得到總的材料去除體積。

2.3.3游離磨粒

游離金剛石磨粒最初在拋光漿料中以一定的質量分數(shù)均勻分布，為防止磨粒沉積，在磨拋過程中采用磁力攪拌器不斷攪拌拋光漿料，使懸濁液處于一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著磨拋過程進行，部分金剛石磨粒通過蠕動泵經由噴嘴注入到彈性磨具與工件的接觸區(qū)域內，當彈性磨具與工件之間的間隙足夠小時，部分流動的游離磨粒可以夾持在兩者間隙之間，隨著磨具的旋轉運動對工件表面的材料進行去除，計算游離磨粒對工件表面的材料去除作用時，磨粒的切向速度可近似看作彈性磨具旋轉所施加的速度。游離磨粒與工件的接觸模型如圖8所示。

磨拋加工過程中，拋光漿料中的金剛石磨粒被壓人彈性磨具，使磨具表面發(fā)生彈性變形。彈性磨具與單顆磨粒之間的有效接觸面積可近似看作為彈性磨具上距離磨粒頂端 δ_m 處的截面圓的面積 S_j ，其大小可表示為 S_j=2πR_yδ_m（R_y 為單顆游離金剛石磨粒的半徑），則第 j 顆磨粒所受到的法向壓力 F_anj 可表示為接觸面積與壓力分布的函數(shù)：

F_anj=S_j?（x_j，y_j）=2πR_yδ_m?（x_j，y_j）

考慮金剛石磨粒與碳化硅工件產生塑性接觸變形，其接觸力 F_w 與接觸半徑 b_w 和切削深度 δ_w 的函數(shù)關系為

F_w=H_wπb_w²

F_wne=F_wcosα-f_wsinαf_w=μF_w

求解上述方程，得到加工區(qū)域內第 j 顆游離磨粒所受到工件的反作用力：

根據(jù) F_wne 與 F_an 的相互平衡關系，可得磨粒退讓深度 δ_m 和磨粒切入工件深度 δ_w 的函數(shù)關系式：

由式 （25）～ 式（27）可得到單顆磨粒的切削深度 δ_w ，要求得游離磨粒對工件的總材料去除體積，還需知拋光漿料內參與磨拋的總磨粒數(shù)N_th 。拋光漿料中的金剛石磨粒密度為 C_a ，漿料中加入的金剛石磨?？傎|量為 M_at ，載體介質的總質量為 M_ct ，載體的密度為 C_c ，則漿料中金剛石磨粒的體積分數(shù)

φ=V_at/（V_at+V_ct）

V_at=M_at/C_aV_ct=M_ct/C_c

式中： V_at 為拋光漿料中金剛石磨料的總體積： V_ct 為載體介質的總體積。

通過已知金剛石磨粒體積分數(shù)及接觸區(qū)拋光漿料總體積，即可計算參與磨拋的游離金剛石磨粒數(shù)量。接觸區(qū)域內磨粒分布簡化模型如圖9所示，假設磨拋過程中彈性磨具與工件之間的接觸區(qū)域內只有單層金剛石磨粒作用，其接觸半寬為b ，高度為單顆游離金剛石磨粒的直徑 D 。

根據(jù)圖9所示磨粒排布以及式（28），可計算得到此接觸區(qū)域內漿料的體積 、金剛石磨?？傮w積 V_i 和實際參與加工的游離金剛石磨粒總數(shù) N_th ：

V_t=πb²D

V_j=V_tφ

式中： V_a 為單顆金剛石磨粒的體積，其大小可簡化計算為

結合式（16）、式（25）、式（27）、式（28）式（31）可計算出游離金剛石磨粒的材料去除總量：

根據(jù)式（32），計算得到接觸區(qū)域內游離磨料的材料去除體積。根據(jù)上節(jié)所述，工件表面的材料去除深度是材料去除體積與接觸區(qū)域面積的函數(shù)，一次磨拋加工過程中的材料去除率是材料去除深度與加工時間的函數(shù)，進一步可計算得到游離金剛石磨粒的材料去除深度 D_MRy 和材料去除率 R_MRy ：

綜合上述兩種不同狀態(tài)的磨粒對工件表面材料去除的影響，可以得到在一次磨拋過程中碳化硅工件表面總的材料去除體積，其數(shù)值大小為游離磨粒和固結磨粒兩者材料去除體積的數(shù)值疊加：

V_MR=V_MRg+V_MRy

在MATLAB中對總的材料去除深度 D_MR 進行數(shù)值仿真，通過對式（3）、式（11）、式（13）、式（16）、式（17）、式（20）、式（21）、式 （32）～ 式（35）進行計算，繪制得到理論材料去除函數(shù)的三維輪廓，并與后續(xù)實驗測量的工件表面材料去除輪廓數(shù)據(jù)進行對比。

2.4 材料去除輪廓

為了使材料去除函數(shù)具象化，將各參數(shù)賦予相應的數(shù)值，在MATLAB中按照圖1O所示流程對材料去除輪廓進行數(shù)值模擬，計算得到材料去除深度。由圖11可以看到，材料去除輪廓開口處，即彈性磨拋工具與工件的接觸區(qū)域形狀為橢圓，材料去除的最深處并不在底部中心，而是偏向磨具旋轉的一側。推測造成此現(xiàn)象的原因可能是加工時磨拋工具與工件之間存在一定偏角，導致壓力和速度分布不均勻，使壓力較大的一側材料去除體積較多。

接觸分析輸入接觸計算數(shù)據(jù)R、Rw、E、Ew、v、Vw、Fn求解式（3），計算得到接觸壓力彈性拋光工具與工件的接觸分析分布p和接觸圓半徑b固結磨粒：求解式（5）＼～式（13）， 材料去除分析得到切削深度dw和磨粒退讓深度dp 單顆磨粒切削深度分析游離磨粒：求解式（23）＼～式（27）， 輸入Rg、Eg、Ry、Ey、μ計算得到切削深度δw求解式（14）＼～式（20）、式（28）＼～式材料去除體積分析計算 一（作2）分得到固摩粒和游離磨粒 輸入ω、θ、T、Nd、C、Mat、Mct、Cc求解式（1）、式（2）、式（21）、式（22）、式（33）＼～式（35），得到固結磨 材料去除深度和材料去除率計算粒和游離磨粒作用下的材料去除深 輸入zgrax、Zgnin、T、hg度和材料去除率。

為了探究法向壓力 F 轉速 n 和磨料濃度（質量分數(shù)） n_w 對材料去除深度的交互影響，設置了多組參數(shù)組合對材料去除深度進行模擬分析，分別研究了法向壓力 F=4～8N ，磨料濃度（質量分數(shù) n_w=2%～6% ，主軸轉速 n=2500～3500 r/min 的參數(shù)組合下的材料去除深度，模擬結果如表2所示。由表2可以看到，材料去除深度與法向壓力、磨料濃度和主軸轉速成正相關，材料去除深度隨著這幾種加工參數(shù)的增加呈現(xiàn)不同程度的增大趨勢。

表2不同參數(shù)組合下的材料去除深度

為了探究影響材料去除深度的主要參數(shù)，分別對這三種因素對材料去除深度的影響進行了數(shù)值計算，最大材料去除深度隨著法向壓力、主軸轉速和磨料濃度變化的模擬計算結果如圖12所示。如圖12a所示，在磨料濃度 n_w=6% 、轉速n=3500r/min 的情況下，分別模擬了壓力為2、4.6，8.10N 時的材料去除深度值，可以看到，隨著壓力從2N增至 10N ，材料去除深度從1.04μm 增至 2.35μm ，增量為 1.31μm 。如圖12b所示，在壓力 F=6N. 、游離磨料濃度 n_w=6% 的情況下，隨著轉速從 2500r/min 增至 4500r/min ，材料去除深度從 1.3μm 增至 2.33μm ，增量為1.03μm 。如圖12c所示，在壓力 F=6N 轉速n=3500r/min 的情況下，隨著游離磨料濃度從2% 增至 10% ，材料去除深度從 1.77μm 增至1.85μm ，增量為 0.08μm 。從以上三組數(shù)據(jù)可以得到，材料去除深度隨著法向壓力變化的增量最大，隨著磨料濃度變化的增量最小。由此可推測：影響材料去除深度的主要因素為法向壓力和磨具轉速，游離磨料濃度對工件表面的材料去除影響較小，對加工過程的材料去除率起輔助作用。

3 實驗驗證

3.1 實驗設置

本研究以碳化硅工件為加工對象，設置磨拋實驗驗證所建立的材料去除理論模型的合理性，實驗裝置如圖13所示。

材料去除理論模型的驗證實驗在CNC數(shù)控加工中心上進行，整體磨拋加工實驗裝置如圖13a所示，平面碳化硅工件放置在萬向虎鉗上，其幾何尺寸為 50mm×50mm×4mm ，相關材料屬性如表3所示。為了避免彈性磨具旋轉中心處速度為零，調整夾具偏角為 15^° ，萬向虎鉗下方放置測力臺，在加工過程中實時監(jiān)測拋光壓力的大小以控制磨具的下壓深度，通過顯示器顯示力信號。磨拋工具采用彈性硅膠半球頭和金剛石拋光墊組合而成，它與工件的裝夾設置情況如圖13b所示，彈性磨具一側設置噴嘴，用于補充游離磨料。游離金剛石磨料混入裝有切削液的燒杯中，分別配置了 2%～6% 的濃度，游離磨料通過蠕動泵經由噴嘴泵人到彈性磨拋工具與工件的間隙中參與輔助加工。

3.2 工藝參數(shù)

本研究通過考慮法向壓力、磨料濃度和主軸轉速三種加工因素對材料去除深度的影響，以碳化硅工件為加工對象設置定點拋光實驗來驗證材料去除函數(shù)的合理性。分別設定不同的加工工藝參數(shù)組合進行加工，三組加工參數(shù) 分別為 （4N ， 、 6N ， 2% ，4500r/min） 、 （8N ， 4%，3500r/min） ，對碳化硅表面進行單點磨拋實驗，每組參數(shù)的加工時間恒定為120s 。

3.3 結果分析

按照上述參數(shù)組合加工結束后，通過三維共聚焦顯微鏡分別觀測了這三組工件的表面輪廓形貌，并與相對應的理論模型計算得到的仿真輪廓進行對比，如圖14所示。可以看到，實驗測得的工件表面的材料去除輪廓與仿真得到的工件表面材料去除輪廓圖像有較高的相似性，均呈現(xiàn)中間去除量多、邊緣去除量少的非均勻的類高斯分布；三組理論計算的最大材料去除深度和實驗得到的最大材料去除深度的數(shù)值誤差均不超過 10% ，具有較高的一致性；此外，由理論材料去除函數(shù)相關公式模擬的材料去除輪廓與實驗測量值有較好的貼合性，均符合上述材料去除函數(shù)解釋的輪廓形貌。

為了更清晰地看出材料去除輪廓的形貌，從圖14中提取了三組仿真工件表面輪廓形貌圖像和實驗測量的工件表面輪廓形貌圖像的中間輪廓線，以對比兩者去除深度的貼合性。采集的中間輪廓線如圖15所示，可以看到，仿真與實驗的材料去除輪廓值呈現(xiàn)相同的趨勢，材料去除最深處均處于靠近磨拋中心的位置，且仿真與實驗的最大材料去除深度差別較小，同時也驗證了仿真得到的結論，即材料去除深度隨著法向壓力、轉速和磨料濃度增大而呈現(xiàn)不同程度的增大趨勢。

圖15a、圖15b、圖15c三組加工參數(shù)下仿真得到的材料去除率與實驗測量得到的材料去除率分別為 0.683，0.968，1.255μm/min 和0.743、1.015、1.368μm/min ；最大材料去除深度分別為1.366、1.935，2.51μm 和 1.486，2.03，2.735μm 。分別根據(jù)下式計算仿真的材料去除深度 和最大接觸區(qū)域半徑 b_sim 與實驗測量值 D_{MR，exp}?b_exp 的

誤差：

將以上三組仿真值與實驗值代人式（36）和式（37），分別得到兩者最大材料去除深度的誤差為8.1%.4.68% 和 8.22% ，最大接觸區(qū)域半徑的誤差為 9.53%，37.8% 和 30.03% 。結果表明：材料去除深度的實驗值略大于仿真值，接觸區(qū)域半徑的實驗值略小于仿真值。由圖15可以看出，實驗結果與仿真結果有相似的變化趨勢，材料去除深度最大處均出現(xiàn)在偏離中心處一段距離的一側；實驗和仿真得到的材料去除輪廓截面線均呈現(xiàn)不對稱的高斯分布?？紤]到實際加工過程中彈性磨拋工具的形變以及測量工具的誤差，認為實驗與仿真結果具有較高的一致性，驗證了本研究所建立的材料去除理論模型的合理性和準確性。

4結論

1）彈性工具磨拋加工過程不是單一狀態(tài)的磨粒作用，而是固結磨粒和游離磨粒相互轉換、共同作用的復雜過程，在理論上被認為是二體磨粒與三體磨粒協(xié)同加工。針對這一問題，本研究結合Hertz接觸理論與運動學分析建立了考慮有效磨粒數(shù)量、磨拋壓力、磨具轉速等因素的彈性工具磨拋加工材料去除理論模型。

2）基于材料去除理論模型對材料去除輪廓進行數(shù)值仿真模擬，結果表明：材料去除深度最大值出現(xiàn)在偏離接觸中心的一側，沿該處材料去除深度逐漸減小，接觸區(qū)域邊緣處材料去除深度最小。同時，分析了磨拋壓力、磨具轉速和磨料濃度對材料去除深度的影響程度，發(fā)現(xiàn)磨拋壓力變化對材料去除深度的影響最大，磨具轉速次之，游離磨料濃度最小。

3）完成彈性工具磨拋加工碳化硅材料的材料去除輪廓驗證實驗，分別將三組實驗結果與數(shù)值仿真輪廓進行對比，材料去除深度的誤差范圍在4.68% 到 8.22% 之間，接觸區(qū)域半寬的誤差范圍在 9.53% 到 37.8% 之間，結果表明理論模型能較好地反映不同加工參數(shù)下的材料去除深度。

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