角接觸球軸承的應(yīng)力場(chǎng)與相對(duì)疲勞壽命分析

程超，汪久根，王愛林，洪玉芳

(浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系，杭州 310027)

角接觸球軸承廣泛應(yīng)用于機(jī)床主軸和汽車輪轂單元中，要求有高的耐磨性和較長(zhǎng)的疲勞壽命。然而，軸承的耐磨性和疲勞壽命都與鋼球與內(nèi)、外溝道的應(yīng)力場(chǎng)密切相關(guān)。軸承的疲勞裂紋源有表面粗糙峰微小裂紋和零件表層的疲勞導(dǎo)致的裂紋[1]，可以通過表面精加工減少或消除；但是在一定應(yīng)力循環(huán)次數(shù)后，由于零件表層材料受交變應(yīng)力作用，會(huì)在表層產(chǎn)生裂紋，裂紋擴(kuò)展后形成疲勞剝落。因此，零件表層應(yīng)力場(chǎng)的研究就成為長(zhǎng)期以來關(guān)注的問題[2]。

角接觸球軸承的接觸問題為橢圓接觸。文獻(xiàn)[3]提出了橢圓參數(shù)和最大正交剪應(yīng)力的簡(jiǎn)易計(jì)算方法。文獻(xiàn)[4]認(rèn)為接觸角隨鋼球位置角和徑向載荷變化。文獻(xiàn)[5]提出了用Excel編程計(jì)算橢圓接觸問題的方法，得到了接觸應(yīng)力，橢圓長(zhǎng)、短半軸和彈性趨近量。文獻(xiàn)[6]給出了橢圓參數(shù)計(jì)算的擬合公式，但在主曲率相等時(shí)誤差較大。文獻(xiàn)[7]認(rèn)為，細(xì)化網(wǎng)格和增大計(jì)算區(qū)域可以提高接觸問題的計(jì)算精度。文獻(xiàn)[8]給出了橢圓接觸區(qū)方向角的計(jì)算公式，用于求解一般橢圓接觸問題。文獻(xiàn)[9]計(jì)入球組壽命，計(jì)算了整套深溝球軸承和角接觸球軸承的疲勞壽命，并分析了密合度對(duì)軸承疲勞壽命的影響。文獻(xiàn)[10]分析了真空處理軸承鋼的應(yīng)力壽命指數(shù)。文獻(xiàn)[2-7]對(duì)接觸應(yīng)力的分析已經(jīng)十分詳細(xì)，然而軸承的疲勞壽命與應(yīng)力場(chǎng)之間關(guān)系的分析仍沿用Hertz理論，這方面有待進(jìn)一步的詳細(xì)分析。另一方面，軸承零件的加工誤差對(duì)軸承壽命的影響也有待研究。

軸承的球徑誤差和接觸角、溝道曲率半徑等幾何參數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力場(chǎng)有影響，文中擬研究角接觸球軸承的Mises應(yīng)力場(chǎng)，分析球徑變化、溝曲率半徑系數(shù)和接觸角對(duì)接觸應(yīng)力場(chǎng)的影響，進(jìn)而得到其對(duì)滾動(dòng)軸承疲勞壽命的影響。

1 彈性接觸的計(jì)算模型

將鋼球與溝道作為兩個(gè)彈性體，施加徑向載荷Fr后產(chǎn)生彈性變形，形成橢圓接觸區(qū)域Ω。定義δ為兩個(gè)彈性體之間產(chǎn)生的彈性趨近量，則

ω1+ω2+f1+f2=δ，

(1)

式中：ω1,ω2分別為鋼球和溝道在接觸點(diǎn)產(chǎn)生的彈性變形；f1,f2分別為鋼球和溝道表面在加載載荷前距名義接觸點(diǎn)切線的垂直距離。ω1,ω2可由彈性力學(xué)中的Boussinesg公式求得

(2)

式中：E1,E2分別為鋼球和套圈的彈性模量；ν1,ν2分別為鋼球和套圈的泊松比；s,t為接觸區(qū)域Ω中點(diǎn)的坐標(biāo)；p(s,t)為徑向載荷作用下分布在接觸區(qū)域Ω上的接觸應(yīng)力。

同時(shí)，根據(jù)平衡條件，表面應(yīng)力分布沿接觸區(qū)域的積分應(yīng)與所作用的總載荷相等，即

(3)

(1)～(3)式組成了角接觸球軸承鋼球與溝道接觸問題的基本方程。計(jì)算中將接觸區(qū)域劃分為多個(gè)單元，在每個(gè)單元格上假定接觸應(yīng)力為定值，然后將(1)、(3)式離散成一個(gè)線性方程組，通過求解方程組求得每個(gè)單元格上的接觸應(yīng)力。

(4)

鋼球與溝道在接觸點(diǎn)的彈性變形經(jīng)離散化后可以寫為

(5)

軸承的接觸疲勞是裂紋發(fā)生和擴(kuò)展的結(jié)果。裂紋可能先從表面下某一深度產(chǎn)生，繼而擴(kuò)展到表面，裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展，除了與物體表面或內(nèi)部的材料缺陷有關(guān)外，主要受零件表層內(nèi)的應(yīng)力分布影響。要分析角接觸球軸承的疲勞機(jī)理和壽命，就需要分析接觸表面下的Mises應(yīng)力場(chǎng)。在上述計(jì)算獲得接觸應(yīng)力p(s,t)，并取鋼球與溝道的摩擦因數(shù)為0.08后，可得到切向摩擦力F(s,t)分布，然后用文獻(xiàn)[11]的方法計(jì)算出零件表層的Mises應(yīng)力場(chǎng)。軸承的疲勞壽命與其內(nèi)、外溝道和鋼球的壽命存在以下關(guān)系[9]

(6)

式中：Lir，Ler分別為內(nèi)、外溝道的疲勞壽命；e為系數(shù)，對(duì)于點(diǎn)接觸，e=10/9。

接觸表面下平行于滾動(dòng)方向的最大Mises應(yīng)力決定疲勞裂紋的發(fā)生，應(yīng)力循環(huán)次數(shù)越大和受應(yīng)力體積越小，則材料疲勞破壞的概率越大。Ioannides和Harris疲勞壽命計(jì)算模型可表示為[12]

(7)

式中：σM為最大Mises應(yīng)力；z0為最大Mises應(yīng)力所在深度；N為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)，以百萬次計(jì)；V為受應(yīng)力體積；c，h為待定指數(shù)，對(duì)于點(diǎn)接觸，c=31/3，h=7/3。應(yīng)力循環(huán)次數(shù)可表示為

N∝uL，

(8)

式中：u為軸承轉(zhuǎn)動(dòng)一周的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；L為以百萬轉(zhuǎn)為單位的壽命。在獲得接觸表面下的Mises應(yīng)力分布后，可根據(jù)(6)～(8)式計(jì)算出軸承的相對(duì)疲勞壽命。

2 分析結(jié)果

這里采用的為7010C角接觸球軸承，材料為GCr15鋼，軸承具體參數(shù)為：外徑D=80 mm；內(nèi)徑d=50 mm；球組節(jié)圓直徑Dpw=65 mm；球徑Dw=8.73 mm；接觸角α0=15°；內(nèi)溝道曲率半徑系數(shù)fi=0.52；外溝道曲率半徑系數(shù)fe=0.52。取鋼球與溝道的接觸載荷F=200 N，并設(shè)定軸承內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，外圈固定。根據(jù)以上參數(shù)計(jì)算得到的鋼球與內(nèi)、外溝道的接觸應(yīng)力分布呈半橢球體狀，接觸應(yīng)力的最大值p0=1.348 GPa。

計(jì)算得到的零件表層Mises應(yīng)力分布如圖1和圖2所示。沿軸承周向上，最大Mises應(yīng)力為0.413 GPa，約為0.31p0，距接觸表面的深度為79.7 μm，此處即為疲勞裂紋的擴(kuò)展源。在摩擦力的作用下，接觸區(qū)內(nèi)的最大Mises應(yīng)力位置偏離接觸中心線，如圖2所示。

圖1 沿軸承軸向的Mises應(yīng)力場(chǎng)

圖2 沿軸承周向的Mises應(yīng)力場(chǎng)

2.1 球徑變化的影響

鋼球制造過程中，每批鋼球之間的直徑存在變化。鋼球直徑的改變對(duì)Mises應(yīng)力會(huì)產(chǎn)生影響。取鋼球直徑變化范圍為-1%～1%，其他參數(shù)不變，計(jì)算Mises應(yīng)力，結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，隨著鋼球直徑的增大，最大Mises應(yīng)力值減小，而最大Mises應(yīng)力值所處的深度值增大；在軸承周向平面內(nèi)的最大Mises應(yīng)力值始終大于軸向平面內(nèi)的值，說明疲勞首先發(fā)生在軸承周向上。鋼球直徑變化會(huì)對(duì)接觸橢圓面積的大小產(chǎn)生影響，也會(huì)使接觸應(yīng)力分布發(fā)生變化，這些都會(huì)影響到最大Mises應(yīng)力的深度值。以公稱球徑的壽命為基準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，軸承疲勞壽命隨著鋼球直徑的增大而提高。

圖3 球徑變化對(duì)Mises應(yīng)力的影響

圖4 球徑變化對(duì)軸承疲勞壽命的影響

2.2 溝曲率半徑系數(shù)的影響

考慮內(nèi)溝道曲率半徑系數(shù)fi的影響時(shí)，設(shè)定外溝道曲率半徑系數(shù)fe=0.520，fi的變化范圍為0.510～0.530，如圖5所示。考慮fe的影響時(shí)，設(shè)定fi=0.520，fe的變化范圍為0.510～0.530，如圖6所示。最大Mises應(yīng)力隨溝曲率半徑系數(shù)的增大而增大；而其深度值卻隨溝曲率半徑系數(shù)的增大而減小，即疲勞擴(kuò)展源的深度變小。

圖5 軸承周向上fi的影響曲線

圖6 軸承周向上fe的影響曲線

同樣的，以軸承周向上的最大Mises應(yīng)力進(jìn)行壽命計(jì)算，并與內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)為0.52時(shí)的壽命進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。從圖中可以看出，軸承疲勞壽命隨著溝曲率半徑系數(shù)的增大而減小，且內(nèi)溝道曲率半徑系數(shù)fi對(duì)軸承疲勞壽命的影響比外溝道曲率半徑系數(shù)fe的影響要顯著得多。

圖7 溝曲率半徑系數(shù)對(duì)軸承疲勞壽命的影響曲線

2.3 徑向游隙的影響

選取0組(標(biāo)準(zhǔn)組)、1組和2組徑向游隙，分析其對(duì)最大Mises應(yīng)力及軸承壽命的影響，結(jié)果如圖8～圖10所示。由圖可知，最大Mises應(yīng)力隨徑向游隙的增大而減小，其深度值在徑向游隙增大時(shí)基本保持不變。徑向游隙對(duì)軸承壽命的影響曲線如圖11所示。從圖11可以看出，軸承疲勞壽命隨徑向游隙的增大而減小，但受徑向游隙的影響較小。

圖8 0組游隙的影響曲線

圖9 1組游隙的影響曲線

圖10 2組游隙的影響曲線

圖11 徑向游隙對(duì)軸承壽命的影響曲線

3 結(jié)論

(1)零件表層內(nèi)Mises應(yīng)力的最大值總是出現(xiàn)在軸承周向上，即表層疲勞源出現(xiàn)在軸承周向中間面內(nèi)。

(2)軸承疲勞壽命隨著球徑的增大而增大，隨溝曲率半徑系數(shù)和徑向游隙的增大而減小。

(3)球徑、溝曲率半徑系數(shù)和徑向游隙對(duì)軸承疲勞壽命的影響程度是不相同的；內(nèi)溝道曲率半徑系數(shù)和球徑的變化對(duì)軸承疲勞壽命影響較大，而外溝道曲率半徑系數(shù)和徑向游隙對(duì)軸承疲勞壽命的影響較小。