廣義更新過程下生產(chǎn)系統(tǒng)最優(yōu)維修策略

摘 要：當(dāng)生產(chǎn)系統(tǒng)的部件發(fā)生故障時(shí)，選擇何種維修策略進(jìn)行維修對(duì)生產(chǎn)制造企業(yè)具有重要意義。以往對(duì)維修策略的研究多集中于將維修成本最低作為研究目標(biāo)，而忽略了維修活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)凈收益產(chǎn)生的潛在價(jià)值。為此，針對(duì)如何最大化系統(tǒng)生命周期內(nèi)獲得的凈收益問題，設(shè)計(jì)了基于廣義更新過程的維修/更換策略，該策略通過引入維修次數(shù)和虛擬年齡刻畫系統(tǒng)可靠度，利用模擬技術(shù)實(shí)現(xiàn)相鄰兩次維修策略時(shí)的可靠度轉(zhuǎn)移概率。通過定義維修成本、更換成本、運(yùn)行收益、運(yùn)行成本給出每個(gè)策略周期內(nèi)的系統(tǒng)凈收益，以此構(gòu)造系統(tǒng)生命周期內(nèi)凈收益的函數(shù)表示，以該凈收益的最大值為目標(biāo)函數(shù)建立維修策略模型。為求解該模型，提出了基于半Markov策略過程、參數(shù)估計(jì)、模擬技術(shù)和動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)的求解算法。為了驗(yàn)證模型的正確性和求解算法的有效性，以數(shù)控機(jī)床主軸為研究對(duì)象，對(duì)維修策略進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)并與Rosqvist模型結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了維修模型的正確性和高效性。敏感性分析結(jié)果表明，關(guān)鍵參數(shù)對(duì)最優(yōu)維修活動(dòng)均具有顯著影響。該模型能夠?yàn)槠髽I(yè)在系統(tǒng)生命周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)凈收益最大化提供有效維修決策。

關(guān)鍵詞：維修策略；可靠性；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；Weibull分布

中圖分類號(hào)：TP391.9"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""" 文章編號(hào)：1001-3695（2025）04-025-1150-08

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.08.0260

Optimal maintenance strategy of production system under general renewal process

Jin Haibo1， 2， Chen Saidong1

（1.College of Software， Liaoning Technical University， Huludao Liaoning 125105， China; 2. National amp; Local Joint Laboratory of Energy-saving Control Technology for Industrial Equipment， Dalian University of Technology， Dalian Liaoning 116024， China）

Abstract：When a component in a production system fails， selecting an appropriate maintenance strategy is crucial for manufacturing enterprises. Most previous studies focus on minimizing maintenance costs， overlooking the potential impact on the system’s net profit. To maximize net profit over the system’s life cycle， this paper designed a maintenance/replacement strate-gy based on the generalized renewal process. This strategy used maintenance count and virtual age to model system reliability， and simulation techniques to capture reliability transitions between maintenance decisions. This paper established a maintenance model that maximized net profit by defining maintenance and replacement costs， as well as operating profit and cost. This paper solved the model using a semi-Markov decision process， parameter estimation， and dynamic programming. To verify the correctness of the model and the effectiveness of the algorithm， humerical experiments on maintenance strategies were conducted with the CNC machine tool spindle as the research object and compared with the results of the Rosqvist model. The comparison of the experimental results verify the correctness and efficiency of maintenance model. Sensitivity analysis reveals that key parameters significantly affect optimal maintenance decisions. In conclusion， this model provides an effective approach for maximizing net profit in the system’s life cycle.

Key words：maintenance decision; reliability; dynamic programming; Weibull distribution

0 引言

在工業(yè)設(shè)備維修領(lǐng)域，制定有效的維修策略對(duì)生產(chǎn)制造企業(yè)至關(guān)重要。隨著工業(yè)自動(dòng)化和智能化水平的不斷提升，設(shè)備的復(fù)雜性和對(duì)高效運(yùn)行的需求日益增加。在此背景下，科學(xué)的維修策略不僅能夠確保設(shè)備的高效運(yùn)行、降低故障風(fēng)險(xiǎn)、延長使用壽命，還能對(duì)整個(gè)生產(chǎn)流程和企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。因此，有效的維修活動(dòng)已成為企業(yè)運(yùn)營的重要環(huán)節(jié)，直接影響運(yùn)營成本和生產(chǎn)效率，同時(shí)也是企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)管理的重要組成部分。

在維修策略領(lǐng)域，一類重要的研究問題是對(duì)于可修系統(tǒng)，何時(shí)維修、何時(shí)更換以及維修到何種程度，為此學(xué)者們提出了許多基于成本、設(shè)備使用年限或故障次數(shù)的最優(yōu)策略，這些策略通常被稱為“維修限制”策略。其目標(biāo)是在保證設(shè)備運(yùn)行效率和運(yùn)行安全的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)成本或效益的最優(yōu)化。Wang［1］認(rèn)為維修限制策略最早是由Gardent等人［2］以及Drinkwater等人［3］提出。Drinkwater等人指出盡管許多生產(chǎn)企業(yè)和相關(guān)組織使用基于系統(tǒng)類型、年齡或位置的“維修限制”策略，但當(dāng)時(shí)沒有可用的工具和模型指導(dǎo)最優(yōu)策略，因此Drinkwater等人通過分析和模擬研究如何制定“維修限制”的最優(yōu)策略，并將該策略應(yīng)用到一組車輛的年均維修成本最小化上。然而，該方法存在一定問題，即當(dāng)前維修或更換活動(dòng)如何選擇，只取決于前一個(gè)維修活動(dòng)而不考慮系統(tǒng)的維修歷史，導(dǎo)致維修活動(dòng)的選擇并非最優(yōu)。Beichelt［4］提出了基于維修成本率限制的最優(yōu)維修策略模型，該模型的核心思想是以歷史維修數(shù)據(jù)為依據(jù)得到單位時(shí)間的維修成本，即成本率，當(dāng)維修活動(dòng)對(duì)應(yīng)的成本超過該成本率時(shí)，選擇更換活動(dòng)，從而解決何時(shí)維修、何時(shí)更換的問題。之后，文獻(xiàn)［5，6］將長期單位時(shí)間維修成本函數(shù)擴(kuò)展為與維修次數(shù)和時(shí)間相關(guān)的函數(shù)C（N，t）。當(dāng)設(shè)備發(fā)生第N次故障時(shí)，如果維修成本大于C（N，t），則直接進(jìn)行更換，否則進(jìn)行小修。該研究進(jìn)一步拓寬了維修限制策略的應(yīng)用范圍。

盡管這些維修限制策略在一定程度上解決了維修策略中的何時(shí)維修、何時(shí)更換的問題，但在實(shí)際應(yīng)用中，“維修限制”模型仍存在一定的局限。原因在于，此類模型中的完美維修和最小維修活動(dòng)在實(shí)施后沒有考慮系統(tǒng)的“健康”程度，無法充分反映維修后設(shè)備的實(shí)際狀態(tài)。為解決該問題，Kijima等人［7］提出了廣義更新過程（generalized renewal process， GRP）。該過程通過引入虛擬年齡的概念刻畫設(shè)備在維修后其狀態(tài)介于“全新”和“故障前”之間的何種狀態(tài)，從而更精確地描述和量化不同類型維修活動(dòng)的維修效果。 自GRP模型提出以來，相關(guān)研究發(fā)展迅速并取得了許多成果。主要體現(xiàn)在：Wu等人［8］研究了一個(gè)由三個(gè)子系統(tǒng)組成的可修系統(tǒng)，建立了基于GRP的預(yù)防維修策略，該策略考慮了最小維修、完美維修和不完美維修三種維修活動(dòng)并給出了系統(tǒng)可靠度評(píng)估的逼近方法。與GRP模型類似，Doyen等人［9］基于故障強(qiáng)度的視角，探討了維修活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)修復(fù)后未來故障率的影響，并提出一種降低系統(tǒng)自上次修復(fù)后故障率增長的模型。正如Wu等人［10］指出“與傳統(tǒng)的馬爾可夫過程不同，半馬爾可夫過程允許狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時(shí)間間隔服從任意分布，這使得它特別適用于描述維修效果不確定、維修時(shí)間不固定的情況”。通過使用半馬爾可夫過程，可以更靈活地模擬系統(tǒng)在不同維修周期間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移行為，從而為決策提供更準(zhǔn)確的依據(jù)。Martorell等人［11］利用半Markov過程對(duì)GRP模型進(jìn)行了深入研究，通過定義由故障次數(shù)和系統(tǒng)實(shí)際年齡組成的二元組，設(shè)計(jì)了最小化單位時(shí)間內(nèi)平均維修成本的最優(yōu)策略。然而，該方法沒有考慮故障歷史對(duì)故障發(fā)生概率的影響。為此，Love等人［12］研究了一種基于故障次數(shù)與故障時(shí)間二元組（n，tn）的半馬爾可夫策略結(jié)構(gòu)，并提出了一種數(shù)值搜索算法尋找系統(tǒng)中最小化維修成本的維修策略。該研究中，維修成本和故障發(fā)生概率都依賴于系統(tǒng)故障歷史。Wang等人［13］ 通過半馬爾可夫策略過程（SMDP）優(yōu)化的重新排列和預(yù)防性維修策略，以最小化平均維修成本，并通過摩托車系統(tǒng)案例驗(yàn)證了模型的有效性。張新生等人［14］提出了一種分階段非線性不完美維修模型，該模型同時(shí)考慮了維修活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)退化量和退化率的影響，利用狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)和維修數(shù)據(jù)對(duì)退化模型的參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)和貝葉斯更新，實(shí)現(xiàn)了對(duì)海底腐蝕管道剩余壽命的精準(zhǔn)預(yù)測。Zheng等人［15］提出了一種針對(duì)依賴軟故障和硬故障系統(tǒng)的狀態(tài)維修策略，利用比例風(fēng)險(xiǎn)模型描述硬故障率，并通過策略迭代算法確定最優(yōu)維修策略，從而最小化長期平均成本。馬驍志等人［16］以預(yù)防維修周期和零庫存時(shí)間為聯(lián)合決策變量，提出新的庫存控制策略，從而降低單位時(shí)間內(nèi)總成本。王紅等人［17］提出了一種基于動(dòng)態(tài)時(shí)間窗的兩級(jí)非完美機(jī)會(huì)維修策略，通過引入可靠度，利用價(jià)值與延遲懲罰成本優(yōu)化停機(jī)時(shí)機(jī)，從而減少停機(jī)次數(shù)和降低維修總成本。

當(dāng)前該領(lǐng)域中的主要問題在于：許多研究將維修后的部件狀態(tài)設(shè)定為完美修復(fù)或最小修復(fù)，未能準(zhǔn)確反映維修活動(dòng)對(duì)部件狀態(tài)的實(shí)際影響［18］。這些模型無法有效應(yīng)對(duì)維修效果介于完美修復(fù)和最小修復(fù)之間的情況，導(dǎo)致維修決策效果欠佳。為解決這一問題，本文采用廣義更新過程（GRP），通過引入“虛擬年齡”這一概念，描述部件在不同維修活動(dòng)后健康狀態(tài)的變化。此外，正如Dekker［19］指出“維修管理面臨的主要問題是，維修產(chǎn)出是否對(duì)公司利潤產(chǎn)生有效貢獻(xiàn)，這點(diǎn)很難回答”?，F(xiàn)有的維修模型大多集中于以最小化維修成本為目標(biāo)，忽視了部件在維修后對(duì)系統(tǒng)整體凈收益的影響。因此，本文采用半Markov過程對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)行建模，不僅能夠應(yīng)對(duì)維修后狀態(tài)的隨機(jī)性，還能夠優(yōu)化系統(tǒng)的長期凈收益，確保維修決策與系統(tǒng)整體盈利能力的提升緊密相關(guān)。最后，正如Yang等人［20］指出“動(dòng)態(tài)規(guī)劃在優(yōu)化復(fù)雜系統(tǒng)中的多階段維修決策時(shí)，能夠有效應(yīng)對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的不確定性和復(fù)雜的收益動(dòng)態(tài)，特別是在設(shè)備健康管理和長期維修策略制定中具有廣泛應(yīng)用”。因此，本文采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來求解最優(yōu)的維修決策，提升系統(tǒng)的長期凈收益。

綜上，為了最大化生產(chǎn)系統(tǒng)的長期凈收益。本文以數(shù)控機(jī)床主軸為研究對(duì)象，研究了在有限時(shí)間范圍內(nèi)基于GRP的半Markov策略問題，通過采用極大似然估計(jì)確定主軸的故障分布，并利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)策略，從而使該部件在各階段的維修活動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)報(bào)廢年限內(nèi)的最大凈收益。

1 系統(tǒng)維修模型

本文考慮一個(gè)多狀態(tài)生產(chǎn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)部件隨著工作年限的增加逐漸惡化，其惡化過程符合GRP。GRP引入了系統(tǒng)虛擬年齡的概念，即

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證模型的有效性，以Haas TL-1型號(hào)的數(shù)控機(jī)床的A2-5主軸 （如圖3（a）所示）為研究對(duì)象，給出數(shù)值算例并對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析。

Haas TL-1是一款經(jīng)濟(jì)型的數(shù)控機(jī)床，以其簡便易用和高性價(jià)比著稱，適合車削和銑削各種材料的簡單和復(fù)雜零件，該機(jī)床的主軸A2-5（如圖3（b）所示）是核心部件之一，負(fù)責(zé)夾持和驅(qū)動(dòng)工件進(jìn)行旋轉(zhuǎn)加工。主軸的性能直接影響加工的效率和精度。因此，為保證主軸A2-5的性能，對(duì)主軸的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，給出最優(yōu)維修策略，從而分析主軸發(fā)生故障后所作維修決策對(duì)數(shù)控機(jī)床整體系統(tǒng)所產(chǎn)生的凈收益的影響。

表1記錄了單臺(tái)Haas TL-1數(shù)控機(jī)床的主軸故障間隔時(shí)間［22］。

根據(jù)式（14）（15），對(duì)表1中的故障間隔時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，計(jì)算后得到α^=8.12，β^=1.81。因此主軸的概率密度函數(shù)為

f（t）=0.04×t0.81×e－t/8.121.81 "t≥00""""""""""" tlt;0

（22）

根據(jù)Weibull分布的PDF （如式（22）所示）結(jié)合式（16）～（18）可模擬得到轉(zhuǎn)移概率p（0，0）（1，x）和p（k，v）（k+1，v′+x）。

3.1 計(jì)算最優(yōu)策略

為了計(jì)算主軸A2-5的最優(yōu)維修策略，給出模型中涉及的各項(xiàng)參數(shù)值，如表2所示。

圖4給出了主軸從投入使用到報(bào)廢年限期間的每次維修時(shí)刻的最佳維修活動(dòng)的選擇區(qū)域。選擇區(qū)域由實(shí)際年齡（x軸）和虛擬年齡（y軸）組成，紅色區(qū)域表示維修策略時(shí)，更換是最優(yōu)策略，黑色區(qū)域則表示維修是最優(yōu)策略（見電子版）。例如，圖4中的藍(lán)色原點(diǎn)●對(duì)應(yīng)的實(shí)際年齡是3.5年，虛擬年齡是0.5年，落在紅色區(qū)域。因此此時(shí)的最優(yōu)維修策略是更換。綠色矩形 對(duì)應(yīng)的實(shí)際年齡是4.5年，虛擬年齡是0.5年，落在黑色區(qū)域，因此此時(shí)的最優(yōu)策略是維修。以上最優(yōu)結(jié)果與實(shí)際情況吻合，原因在于：●情況下主軸A2-5虛擬年齡較低，運(yùn)行狀態(tài)良好，可靠性高，距離報(bào)廢年限較遠(yuǎn)，預(yù)期凈收益較高，因此，若此時(shí)進(jìn)行維修策略，更換是最佳策略； 情況下，雖然虛擬年齡是0.5年，設(shè)備健康狀態(tài)良好，可靠性高，但距離報(bào)廢年限較近，若選擇更換新軸，在較短期限內(nèi)凈收益較低，甚至達(dá)不到更換新軸的費(fèi)用，因此此時(shí)維修是最優(yōu)策略。

至此，通過最優(yōu)維修活動(dòng)選擇區(qū)域便可得到各維修時(shí)刻的最優(yōu)維修活動(dòng)。對(duì)于主軸A2-5，通過Monte Carlo方法模擬該主軸生命周期（五年）內(nèi)的故障次數(shù)k和故障發(fā)生時(shí)刻tk，得到以下故障數(shù)據(jù)（用二元組（k，tk）表示）：{（1，0.216），（2，0.572），（3，1.083），（4，1.846），（5，2.736），（6，3.594），（7，3.749），（8，4.634）}。將以上故障數(shù)據(jù)和表1中的參數(shù)代入算法1得到最優(yōu)維修策略，即π*={am，am，ar，ar，ar，ar，am，am}。

為了驗(yàn)證模型的先進(jìn)性，本文實(shí)現(xiàn)了Rosqvist等人［23］建立的系統(tǒng)維修模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其模型假設(shè)部件在發(fā)生故障后可以進(jìn)行維修或更換。模型的核心思想是將成本最小化作為目標(biāo)函數(shù)，系統(tǒng)在每次維修策略時(shí)刻需要在維修和更換之間進(jìn)行選擇，通過部件的維修成本來得出最優(yōu)維修決策。在同參數(shù)值情況下，Rosqvist等人的最優(yōu)維修策略如圖5所示（見電子版）。從圖5中可以看出，紅色區(qū)域明顯變小。原因在于該模型沒有考慮虛擬年齡較低時(shí)系統(tǒng)帶來的高收益。此外由于更換費(fèi)用通常高于維修成本，所以僅當(dāng)虛擬年齡和實(shí)際年齡都較大且距離報(bào)廢年限還有一定時(shí)間時(shí)，更換才是最優(yōu)策略。

為了比較本文模型與Rosqvist建立的模型在凈收益方面的優(yōu)劣，本文實(shí)現(xiàn)了Rosqvist模型在報(bào)廢年限（五年）內(nèi)的凈收益，并與本文模型凈收益進(jìn)行了對(duì)比。

表3為對(duì)比兩種模型在上述通過Monte Carlo模擬的故障數(shù)據(jù)下所做決策以及對(duì)應(yīng)的凈收益對(duì)比，并且對(duì)比半Markov各決策點(diǎn)的預(yù)期最大凈收益，如圖6所示。圖6中上方鋸齒形曲面是本文凈收益，下方鋸齒形曲面是Rosqvist模型的凈收益。本文模型凈收益比Rosqvist模型平均提高19.96%?？梢姳疚哪Ｐ驮谙到y(tǒng)獲得凈收益方面表現(xiàn)優(yōu)異。

3.2 關(guān)鍵參數(shù)對(duì)維修模型的影響

模型中幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：更換費(fèi)用cr，維修成本c0mkv，運(yùn)行成本c0okv，系統(tǒng)收益r0kv，最大年限tmax，故障特征和維修程度對(duì)系統(tǒng)凈收益均有重要影響，因此為了考察模型的健壯性，以成本結(jié)構(gòu)的方式對(duì)這些參數(shù)給模型帶來的影響進(jìn)行定量分析。

3.2.1 更換與維修成本對(duì)維修策略的影響

更換成本與維修成本的比例結(jié)構(gòu)對(duì)最大凈收益和最優(yōu)維修策略有影響。通常情況下，更換成本高于維修成本，因此令c0r/c0mkv∈［1，12）在區(qū)間內(nèi)逐漸變化，以此考察成本結(jié)構(gòu)對(duì)最大凈收益和維修策略的影響。圖7描繪了最大凈收益隨成本結(jié)構(gòu)的變化情況。

從中可以看出，最大凈收益是成本結(jié)構(gòu)的單調(diào)遞減函數(shù)，說明當(dāng)更換費(fèi)用與維修成本相同時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的凈收益最大。實(shí)際中，如果上述條件無法滿足，但為了獲得較高收益，當(dāng)維修成本一定時(shí)，應(yīng)盡量降低更換費(fèi)用。隨著比例結(jié)構(gòu)逐漸增大，當(dāng)增大到c0r/c0kvm=6.44時(shí)，最大凈收益減小到零，說明更換費(fèi)用過高時(shí)，系統(tǒng)無法產(chǎn)生收益。

為了進(jìn)一步考察成本比例結(jié)構(gòu)對(duì)維修策略的影響，分別選取c0r=c0mkv=5和c0r=50，c0mkv=5兩種情況進(jìn)行分析。圖8顯示了這兩種不同情況下每次策略時(shí)刻的最優(yōu)活動(dòng)選擇區(qū)域。圖8（a）反映了更換費(fèi)用和維修成本相同時(shí)，維修活動(dòng)沒有任何優(yōu)勢，即每次策略時(shí)刻，更換活動(dòng)均是最優(yōu)策略。圖8（b）反映了隨著更換費(fèi)用相對(duì)于維修成本的逐步增加，系統(tǒng)產(chǎn)生凈收益逐漸降低的同時(shí)，維修活動(dòng)逐漸顯現(xiàn)優(yōu)勢，當(dāng)超過某一閾值時(shí)，由于更換費(fèi)用遠(yuǎn)大于維修成本，維修活動(dòng)將代替更換活動(dòng)成為最優(yōu)策略。

在以上討論中，均是固定維修成本，變化更換費(fèi)用。然而，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于設(shè)備老化、性能退化、隱性故障積累、零部件供應(yīng)稀缺以及維修資源消耗增加等多種因素綜合作用下［24］，維修成本通常會(huì)隨著設(shè)備使用時(shí)間的增加而上升。因此本文根據(jù)文獻(xiàn)［25］的維修成本隨虛擬年齡變化的如下函數(shù)

cm=μ×v1.5+1

（23）

進(jìn)行分析。圖9為當(dāng)μ設(shè)置為0，0.1，0.2和0.5時(shí)該成本函數(shù)隨虛擬年齡v的變化曲線。

圖10描繪了這四種不同維修成本下的最優(yōu)維修策略。隨著虛擬年齡的增加，維修成本逐漸增大，更換費(fèi)用則相對(duì)下降。根據(jù)式（23）可知，維修成本在相同的虛擬年齡v下隨著μ的增加而變大。如圖10所示，當(dāng)設(shè)備維修成本迅速上升時(shí)，紅色區(qū)域的面積顯著增大，此時(shí)更換活動(dòng)將逐漸成為最優(yōu)策略。

3.2.2 運(yùn)行成本與收益對(duì)維修策略的影響

上述關(guān)于維修成本比例結(jié)構(gòu)對(duì)凈收益和維修策略影響的分析是基于系統(tǒng)運(yùn)行成本和收益呈線性變化的理想情況 （如圖11藍(lán)色與紅色實(shí)線所示，見電子版）。這種情況下，系統(tǒng)惡化并不會(huì)加速降低收益，此時(shí)更換活動(dòng)除了能夠降低主軸故障率之外，不會(huì)帶來顯著價(jià)值。因此，當(dāng)系統(tǒng)處于較低虛擬年齡的狀態(tài)下會(huì)增加額外收益未能體現(xiàn)。反之，當(dāng)系統(tǒng)虛擬年齡較大，狀態(tài)惡化加速，消耗能量過多，導(dǎo)致系統(tǒng)凈收益急劇降低時(shí)，更換活動(dòng)方能凸顯其凈收益，因?yàn)楦鼡Q不僅能降低設(shè)備故障率，而且能提高凈收益。

因此，首先分析系統(tǒng)收益對(duì)維修策略的影響。其次，分析運(yùn)行成本對(duì)維修策略的影響。圖12描繪了在兩種不同收益情況下的最優(yōu)策略結(jié)果，圖12（a）是收益不變的情況，圖12（b）是收益隨系統(tǒng)狀態(tài)急劇下降的情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)虛擬年齡較低且距離報(bào)廢年限較長時(shí)，或虛擬年齡較高且接近報(bào)廢年限時(shí)，收益驟減情況會(huì)顯著增加最優(yōu)策略中更換活動(dòng)的比例。原因在于收益迅速下降時(shí)，更換活動(dòng)能使系統(tǒng)維持在較低的虛擬年齡，從而保證系統(tǒng)高可靠性，并能實(shí)現(xiàn)較高的凈收益。

圖13描繪了在兩種不同運(yùn)行成本情況下的最優(yōu)策略結(jié)果，圖13（a）是運(yùn)行成本不變的情況，圖13（b）是運(yùn)行成本隨系統(tǒng)狀態(tài)急劇上升的情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)的虛擬年齡較低且距離報(bào)廢年限較長時(shí)，或虛擬年齡較高且接近報(bào)廢年限時(shí)，運(yùn)行成本驟增情況會(huì)顯著增加最優(yōu)策略中更換活動(dòng)的比例。原因在于運(yùn)行成本迅速升高時(shí)，更換活動(dòng)能使系統(tǒng)維持在較低的虛擬年齡，從而保證系統(tǒng)較低的運(yùn)行成本和較高的凈收益。

3.2.3 預(yù)期報(bào)廢年限對(duì)最優(yōu)策略的影響

最優(yōu)維修策略同樣受系統(tǒng)剩余壽命的影響，因此最優(yōu)維修策略也取決于系統(tǒng)預(yù)期的報(bào)廢年限。圖14描繪了兩種不同預(yù)期報(bào)廢年限下系統(tǒng)的最優(yōu)維修策略（見電子版）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)預(yù)期報(bào)廢年限較短時(shí)，維修是最優(yōu)策略結(jié)果，其原因主要包括：a）幾乎沒有時(shí)間收回對(duì)新設(shè)備的投資；b）由于系統(tǒng)的虛擬年齡始終很低，所以提高可靠性增加凈收益的效果甚微。反之，隨著預(yù)期報(bào)廢年限的增加，更換活動(dòng)將逐漸成為最優(yōu)策略結(jié)果。因此不建議在系統(tǒng)接近報(bào)廢時(shí)進(jìn)行更換，除非該操作能夠延長生命周期。

3.2.4 故障率對(duì)維修策略的影響

Saleh等人［26］指出當(dāng)成本和收入保持不變時(shí)，提升系統(tǒng)可靠度將顯著提高系統(tǒng)的凈收益。因此，本節(jié)對(duì)不同故障率對(duì)維修策略的影響進(jìn)行分析。

圖15繪制了兩組不同參數(shù)組合下Weibull分布的故障率隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線（見電子版）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖16所示（見電子版），當(dāng)系統(tǒng)的故障概率較低且隨時(shí)間推移并不顯著增加時(shí)（圖15中的藍(lán)色曲線），僅在虛擬年齡和實(shí)際年齡都處于中間年限時(shí)（如圖16（a）所示很小的紅色選擇區(qū)域）更換活動(dòng)是最優(yōu)策略結(jié)果。原因在于，此情況下更換所帶來的可靠性提升效果較小。然而，當(dāng)系統(tǒng)故障率隨時(shí)間增加較為顯著時(shí)（圖15中的紅色曲線），多數(shù)情況下更換活動(dòng)會(huì)顯著提升系統(tǒng)的凈收益，如圖16（b）所示。原因在于更換能夠?qū)⒏吖收下实脑O(shè)備恢復(fù)到較低的虛擬年齡，從而大幅降低設(shè)備故障的可能性。

3.2.5 維修程度對(duì)維修策略的影響

實(shí)際上，設(shè)備的修復(fù)程度反映了系統(tǒng)修復(fù)后其“健康”狀況得到多大程度的改善，本節(jié)研究了四組不同維修程度，分別是q=0.98（接近最小維修），q=0.8（不完美維修），q=0.4（不完美維修）和q=0.2（接近完美維修）從大到小變化時(shí)，最優(yōu)維修策略的變化情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖17所示。當(dāng)維修程度接近最小維修（q=0.98）時(shí)，由于選擇維修對(duì)于減少設(shè)備故障概率和增加凈收益的作用均很小。所以，多數(shù)情況下更換是最優(yōu)維修策略。當(dāng)修復(fù)程度逐漸提高（q從0.8變化到0.2），維修活動(dòng)在減少故障概率和系統(tǒng)凈收益方面均體現(xiàn)出更好的效果，因此，黑色區(qū)域面積逐漸變大，維修活動(dòng)成為最優(yōu)策略結(jié)果情況逐漸增多。

綜上所述，不同的維修程度對(duì)維修策略的選擇有顯著影響。在維修程度較低時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇更換設(shè)備，以確保系統(tǒng)的高效運(yùn)行。而在維修程度較高時(shí)，則可以通過有效的維修手段提高設(shè)備的運(yùn)行狀況，從而降低設(shè)備運(yùn)行成本和故障率，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)凈收益的最大化。

4 結(jié)束語

本文建立了基于GRP的最優(yōu)維修/更換模型，該模型通過引入GRP中的虛擬年齡充分刻畫了系統(tǒng)“健康”狀態(tài)。通過維修成本、更換成本、運(yùn)行收益和運(yùn)行成本等關(guān)鍵參數(shù)優(yōu)化了系統(tǒng)生命周期內(nèi)的凈收益，并通過改進(jìn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法得到了每個(gè)維修周期的最優(yōu)維修活動(dòng)。最后以實(shí)際的Haas TL-1型號(hào)數(shù)控機(jī)床的A2-5主軸為實(shí)例，進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果反映了每次維修策略時(shí)刻維修/更換活動(dòng)選擇區(qū)域，以此得到最優(yōu)維修活動(dòng)序列。之后又與Rosqvist建立的模型進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明本文模型凈收益比Rosqvist模型平均提高19.96%，可見本文模型在提高系統(tǒng)凈收益方面表現(xiàn)優(yōu)異。最后對(duì)模型中關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析。敏感性結(jié)果表明維修成本、更換成本、運(yùn)行成本和運(yùn)行收益對(duì)最優(yōu)策略結(jié)果均具有顯著影響。由于本文模型的最優(yōu)策略只考慮維修和更換活動(dòng)，這種做法符合實(shí)際又易于實(shí)現(xiàn)。所以，本文模型具有可解釋性強(qiáng)、實(shí)現(xiàn)簡單、易于企業(yè)實(shí)際部署的優(yōu)點(diǎn)。

未來的研究重點(diǎn)是根據(jù)主軸A2-5的實(shí)際故障數(shù)據(jù)對(duì)下一次故障時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，而非用模擬技術(shù)得到每次故障時(shí)間，從而進(jìn)一步增加模型的實(shí)用性。

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