基于譜圖小波變換的圖濾波器研究

摘 要：圖濾波器設計是圖信號處理領域中一個備受關注且富有挑戰(zhàn)性的課題。隨著圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的迅速發(fā)展，圖濾波器的設計變得尤為重要，由于它們能夠有效捕捉圖中節(jié)點之間的復雜關系和局部模式，生成更具信息量的節(jié)點從而提升節(jié)點表示的能力，因此在圖數(shù)據(jù)的分析與學習中發(fā)揮著關鍵作用。圖傅里葉變換和圖小波變換已被嵌入到圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡中：圖傅里葉變換能夠提供頻域信息，而圖小波變換則引入了多尺度分析的思想，使濾波器能夠更靈活地適應不同尺度上的圖信號特征。研究圖小波變換濾波器，并對Heat kernel、Mexican-hat和Meyer三種濾波器的性能進行對比與分析，為基于圖小波變換的圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡濾波器的選擇提供參考依據(jù)。

關鍵詞：譜圖小波變換；圖濾波器；圖信號處理；圖拉普拉斯矩陣；圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡；多尺度分析

中圖分類號：TP391.4 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2025）08-00-05

0 引 言

圖濾波研究已在多個領域得到廣泛應用，例如多智能體系統(tǒng)[1]、腦網(wǎng)絡連接分析[2]以及圖像去噪[3-4]等。在圖信號處理中，圖濾波器被定義為對給定圖信號的頻譜中各頻率分量進行增強或衰減的操作。圖濾波器主要分為空間域濾波和譜域濾波兩類，本文研究的譜圖小波變換圖濾波器屬于譜域濾波器。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡的快速發(fā)展，研究者們開始將神經(jīng)網(wǎng)絡應用于圖這一特殊的數(shù)據(jù)結構，圖神經(jīng)網(wǎng)絡因此備受關注。在此背景下，許多研究者致力于探索圖卷積濾波器的研究，而圖的時域卷積通常通過轉化為頻域計算來實現(xiàn)。因此，頻域濾波器的選擇尤為重要。

譜圖理論是微分幾何的一個分支，其起源可以追溯到古希臘時期的等周問題（Isoperimetric Problems）。1997年，文獻[5]首次系統(tǒng)性地提出了譜圖理論，使其成為一個相對獨立的理論領域。該理論的核心思想是通過研究圖的鄰接矩陣、拉普拉斯矩陣等的譜性質，深入挖掘圖結構中所蘊含的信息。譜圖理論結合了微分幾何、矩陣分析和線性代數(shù)等方法，在離散與連續(xù)空間之間建立了橋梁。2012年，文獻[6]將雙通道小波濾波器組應用于分析任意有限加權無向圖頂點上定義的函數(shù)。2013年，文獻[7]將傳統(tǒng)離散信號理論推廣到圖信號上，并首次引入了圖濾波器的概念。2015年，文獻[8]提出了自回歸移動平均（ARMA）濾波器。2016年，文獻[9]設計了一種在譜域中定義的三邊濾波器，這是一種與數(shù)據(jù)相關的濾波器，用于圖信號去噪。同年，文獻[10]通過引入對離散圖差異的L1范數(shù)懲罰，擴展了趨勢濾波器的思想，提出了一系列自適應估計器。2017年，Gavili和Zhang定義了一組能量守恒的圖移位算子，并證明了圖的鄰接矩陣相對于這些移位算子是線性移位不變（LSI）的。在此基礎上，他們引入了圖有限脈沖響應（GFIR）濾波器和圖無限脈沖響應（GIIR）濾波器。此外，文獻[11]利用經(jīng)典的正交鏡像濾波器和線性相位、臨界/過采樣濾波器組構造了幾乎緊致的譜圖小波，其濾波函數(shù)為多項式形式，無需進行特征分解，適用于大規(guī)模圖濾波。2018年，文獻[12]提出了熱核局部擴散方法。2019年，文獻[13]使用圖小波基替代圖傅里葉基，提出了圖小波神經(jīng)網(wǎng)絡，并利用熱核構造了圖數(shù)據(jù)上的低通濾波器。同年，文獻[14]設計了邊變圖濾波器，該濾波器擴展了分布式圖濾波器的功能，允許每個節(jié)點以不同的權重對鄰居信號進行加權。2020年，文獻[15]提出了一種從多信號/數(shù)據(jù)觀測中聯(lián)合識別圖及基于圖濾波器（圖拉普拉斯矩陣的函數(shù)）的方法，該方法可用于學習擴散（熱）核。同年，文獻[3]將圖濾波器應用于圖像去噪，顯著提升了去噪效果。2021年，文獻[16]提出了頻率濾波嵌入（Frequency Filtering Embedding， FFE）算法，該算法通過濾波函數(shù)對選定頻率進行放大或衰減，并利用圖傅里葉變換將圖信號轉換到譜域進行頻率濾波，以提取圖的特征。同年，文獻[17]對雙通道臨界采樣樣條圖濾波器組（SGFB）進行了改進，提出了一種基于多項式濾波器的算法，避免了計算圖拉普拉斯矩陣的特征分解，優(yōu)化了分析濾波器在頻譜域中的形狀，降低了計算復雜度。文獻[18]提出了分布式非線性多項式圖濾波器（Distributed Nonlinear Polynomial Graph Filter， NPGF），該濾波器基于Hadamard乘積多項式來刻畫系統(tǒng)的非線性輸入輸出關系，并通過繪制頻率響應系數(shù)圖研究了濾波器結構因素對輸出圖譜的影響。2022年，文獻[19]提出了一種基于擴展圖的濾波模型，該模型包含兩個并行圖濾波操作：一個操作在原始圖上，其中有向邊指向節(jié)點；另一個操作在擴展圖上，其中有向邊從節(jié)點離開。與單一圖濾波器相比，這種設計能夠更靈活地控制信息在擴展圖上的流動，并具有更強的數(shù)學可處理性。同年，文獻[20]提出了基于環(huán)分解濾波器（Ring-Decomposition-based Filter， RDF）框架，其基本原理是通過添加路徑從環(huán)構建2連通圖。實驗表明，該濾波器在去噪和異常值檢測任務中表現(xiàn)優(yōu)越。2023年，文獻[21]提出了一種新的圖濾波器和基于高階二分圖的多視圖聚類方法。該方法首先對原始數(shù)據(jù)特征空間進行圖濾波，然后采用兩步隨機游走方法構建每個視圖的二部圖結構關系，全面考慮了噪聲特征和復雜圖結構對結果的影響，降低了權重參數(shù)選擇的復雜性。同年，文獻[22]提出了非線性圖濾波器—中值自回歸圖濾波器（Median Autoregressive Graph Filter， MAF），該濾波器是一階ARMA圖濾波器的擴展，具有與線性濾波器類似的局部化特性，并且能夠以分布式方式實現(xiàn)。

在前述研究的啟發(fā)下，本文研究基于譜圖小波變換（Spectral Graph Wavelet Transform， SGWT）的圖濾波器，對Heat kernel、Mexican-hat、Meyer三種濾波器進行研究，并對濾波結果進行分析。

1 圖小波變換原理

1.1 圖的定義

首先，定義N個節(jié)點的無向圖G（V， E， X），包括一個節(jié)點集合V，一個節(jié)點集合E和一個節(jié)點屬性集合X。其中X也是圖信號，即圖節(jié)點上信號的值集，屬性矩陣X=[xl]N×k由節(jié)點屬性向量組成。其中xl是第l-th節(jié)點的屬性向量，k為向量的維度（“屬性”和“特征”可以互換使用）。

1.2 圖傅里葉變換

1.3 譜圖小波變換

在給定小波變換的情況下，譜圖小波變換的步驟如下：

（1）通過傅里葉變換將定點域上的圖信號和小波基函數(shù)轉換到頻譜域。

（2）利用小波函數(shù)在頻域上的濾波性質，對圖傅里葉頻譜域上的圖信號進行濾波。

（3）利用圖傅里葉逆變換[23]將濾波結果重投影回空間域。

2 基于圖小波變換的濾波器

2.1 Heat kernel

2.2 Mexican-hat

2.3 Meyer

3 實驗結果

Heat kernel 是一種基于熱核函數(shù)的小波濾波器，具有指數(shù)衰減特性。尺度參數(shù)s越大，衰減速度越快，同時 Heat kernel具有低通濾波特性，如圖1所示。通過調整 Heat kernel的尺度參數(shù)s，可以在不同尺度上捕捉圖中的局部結構，在平滑和去噪任務中表現(xiàn)出較好的效果。

如圖2所示，Mexican-hat 小波濾波器具有尖峰和谷的小波形狀，在頻域上表現(xiàn)出明顯的帶阻特性。它適用于突出高頻部分，能夠有效捕捉圖中的局部極值和尖峰。Mexican-hat小波濾波器的尺度參數(shù)s的計算公式如下：

Mexican-hat和 Meyer小波濾波器在頻域上具有明顯的帶阻特性，適用于高頻信息的提取。Heat kernel小波濾波器主要用于頻譜平滑的圖結構，能夠較好地保留低頻信息。Meyer小波濾波器和Mexican-hat小波濾波器具有多尺度適應性，能夠處理不同尺度上的圖結構。相比之下，Mexican-hat小波濾波器更加局部化。Mexican-hat適用于高頻信息的提取，Heat kernel適用于平滑和去噪，而Meyer則適用于包含多尺度信息的復雜圖結構。Meyer小波濾波器濾波結果如圖3所示。

4 結 語

圖濾波器在圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（GCN）中被用于學習圖結構中的節(jié)點特征。通過卷積操作，圖濾波器能夠有效捕捉圖中節(jié)點之間的關系和局部模式，從而生成更具信息量的節(jié)點表示，這對于圖結構數(shù)據(jù)的特征學習至關重要。本文專注于圖小波變換濾波器的研究，并對三種不同濾波器的性能進行了對比。通過深入分析這些濾波器的特性和效果，我們旨在為基于圖小波變換的圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡提供選擇濾波器的參考。這不僅有助于理解圖濾波器的設計原理，還為未來在圖信號處理領域的進一步研究奠定了基礎。這一工作有望為提升圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡在復雜圖結構數(shù)據(jù)中的性能做出重要貢獻[23]。

參考文獻

[1]李玉婷. 基于圖濾波的多智能體系統(tǒng)編隊控制[D].武漢：武漢科技大學，2021.

[2]楊曦潔. 基于圖度量與圖濾波的臆想癥患者腦網(wǎng)絡功能連接分析[D].武漢：武漢科技大學，2021.

[3]陳瑛. 基于圖濾波器優(yōu)化的圖像去噪算法研究[D].南京：東南大學，2020.

[4] MEYER F G， SHEN X L. Perturbation of the eigenvectors of the graph laplacian： application to image denoising [J]. Applied and computational harmonic analysis， 2014， 36（2）： 326-334.

[5] CHUNG F K. Spectral graph theory [M]. Providence， RI： American mathematical society， 1997.

[6] NARANG S K， ORTEGA A. Perfect reconstruction two-channel wavelet filter banks for graph structured data [J]. IEEE transactions on signal processing， 2012， 60（6）： 2786-2799.

[7] SANDRYHAILA A， MOURA J M F. Discrete signal processing on graphs： Graph filters [C]// 2013 IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing. [S.l.]： IEEE， 2013： 6163-6166.

[8] LOUKAS A， SIMONETTO A， LEUS G. Distributed autoregressive moving average graph filters [J]. IEEE signal process letters， 2015， 22（11）： 1931-1935.

[9] ONUKI M， ONO S， YAMAGISHI M， et al. Graph signal denoising via trilateral filter on graph spectral domain [J]. IEEE transactions on signal and information processing over networks， 2016， 2（2）： 137-148.

[10] WANG Y X， SHARPNACK J， SMOLA A， et al. Trend filtering on graphs [J]. The journal of machine learning research， 2016， 17（1）： 3651-3691.

[11] TAY D B H， TANAKA Y， SAKIYAMA A， et al. Almost tight spectral graph wavelets with polynomial filters [J]. IEEE journal on selected topics in signal processing， 2017， 11（6）： 812-824.

[12] GAMA F， RIBEIRO A， BRUNA J. Diffusion scattering transforms on graphs [C]// in International Conference on Learning Representations （ICLR）. [S.l.]： [s.n.]， 2018.

[13] XU B， SHEN H， CAO Q， et al. Graph wavelet neural network [J]. IEEE transactions on neural networks and learning systems， 2020， 31（9）： 3401-3412.

[14] COUTINO M， ISUFI E， LEUS G. Advances in distributed graph filtering [J]. IEEE transactions on signal processing， 2019， 67（9）： 2320-2333.

[15] EGILMEZ H E， PAVEZ E， ORTEGA A. Graph learning from filtered signals： graph system and diffusion kernel identification [J]. IEEE transactions signal information process network， 2019， 5（2）： 360-374.

[16] BAHONAR H， MIRZAEI A， SADRI S， et al. Graph embedding using frequency filtering [J]. IEEE transactions on pattern analysis and machine， 2021， 43（2）： 473-484.

[17] MIRAKI A， SAEEDI S H. A modified spline graph filter bank [J]. Circuits system signal process， 2021， 40（4）： 2025-2035.

[18] XIAO Z， FANG H， WANG X. Distributed nonlinear polynomial graph filter and its output graph spectrum： filter analysis and design [J]. IEEE transactions on signal processing， 2021， 69（7）： 123-135.

[19] DAS B， ISUFI E. Graph filtering over expanding graphs [C]// in 2022 IEEE Data Science and Learning Workshop （DSLW）. Grenoble， France： IEEE， 2022： 1-8.

[20] YANG Z， ZHENG X， YU Z， et al. Graph filter design by ring-decomposition for 2-connected graphs [J]. Signal processing， 2022， 8（2）： 456-468.

[21] ZHAO X Y， YAN W Q， REN J R， et al. Graph-filtering and high-order bipartite graph based multiview graph clustering [J]. Digital signal processing： a review journal， 2023， 133： 103847.

[22] TAY D B. Median autoregressive graph filters [J]. IEEE signal processing letters， 2023， 30： 833-837.

[23] HAMMOND D K， VANDERGHEYNST P， GRIBONVAL R. Wavelets on graphs via spectral graph theory [J]. Applied and computational harmonic analysis， 2011， 30 （2）： 129-150.