在APO算法與GWO算法背景下的變分模態(tài)分解優(yōu)化對(duì)比研究

摘 要：變分模態(tài)分解（VMD）是一種信號(hào)處理技術(shù)，它能夠?qū)?fù)雜信號(hào)分解為多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)（IMF）。在處理非線性和非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，VMD相較于傅里葉變換、小波變換、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和希爾伯特-黃變換等同類信號(hào)處理技術(shù)，具有明顯優(yōu)勢。然而，VMD的性能與上述這些信號(hào)處理技術(shù)一樣，高度依賴參數(shù)的選擇，特別是分解數(shù)k和懲罰因子α。為此，文中重點(diǎn)討論了對(duì)這些參數(shù)的優(yōu)化?；谏鲜銮闆r，選用了性能較高的北極海雀算法（APO）來優(yōu)化VMD參數(shù)，并采用傳統(tǒng)的基礎(chǔ)優(yōu)化算法——灰狼優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，最終分析了原始信號(hào)圖像、目標(biāo)函數(shù)圖像以及k個(gè)本征模態(tài)函數(shù)圖像。成功優(yōu)化VMD參數(shù)對(duì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用有著重要意義，能讓VMD在后續(xù)的研究和發(fā)展中適應(yīng)各種復(fù)雜信號(hào)的處理需求。

關(guān)鍵詞：變分模態(tài)分解；參數(shù)優(yōu)化；本征模態(tài)；北極海雀優(yōu)化算法；灰狼優(yōu)化算法；原始信號(hào)處理

中圖分類號(hào)：TP39；TN911.23 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-1302（2025）07-00-06

0 引 言

變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition， VMD）技術(shù)于2014年由Konstantin Dragomiretskiy和Dominik Zosso提出，其靈感來源于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition， EMD）技術(shù)。VMD能夠適應(yīng)并匹配每種模態(tài)的最佳中心頻率和有線帶寬，從而實(shí)現(xiàn)本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function， IMF）的有效分離。此外，它還具有自適應(yīng)分解、頻率分離以及抗噪性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[1]。

在當(dāng)前計(jì)算機(jī)通信的發(fā)展進(jìn)程中，VMD發(fā)揮著重要作用，其應(yīng)用涵蓋工學(xué)、機(jī)械故障診斷、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理和地震數(shù)據(jù)分析以及人類日常通信領(lǐng)域。在機(jī)械故障診斷方面，VMD常用于滾動(dòng)軸承、齒輪箱等機(jī)械設(shè)備的故障診斷。它通過分析振動(dòng)信號(hào)來提取故障特征頻率，從而精準(zhǔn)識(shí)別設(shè)備的故障類型和位置[2]。在醫(yī)學(xué)信號(hào)處理領(lǐng)域，VMD在心電圖（ECG）、腦電圖（EEG）等醫(yī)學(xué)信號(hào)中也有著諸多應(yīng)用。VMD對(duì)醫(yī)學(xué)信號(hào)進(jìn)行分解，并提取出患者的生理、病理信息，以此輔助醫(yī)生治療[3]。在地震數(shù)據(jù)分析方面，VMD常被用于對(duì)地震信號(hào)（橫波與縱波）進(jìn)行分解和分析，通過這種方式可以提取出地震波的主要成分，進(jìn)而協(xié)助人類開展地震預(yù)測和災(zāi)害預(yù)警工作。

目前，眾多研究者已將VMD信號(hào)處理技術(shù)廣泛應(yīng)用在工程設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[4]采用基于ISCSO-VMD-GRU的方法對(duì)帶式輸送機(jī)電動(dòng)滾筒音頻進(jìn)行故障診斷，使用改進(jìn)的SCSO優(yōu)化VMD，從而獲取音頻信號(hào)的本征模態(tài)函數(shù)（IMF）分量，再基于Pearson相關(guān)系數(shù)與復(fù)合縮放排列熵（CZPE）篩選有效IMF分量并計(jì)算其CZPE值以進(jìn)行特征重構(gòu)，最終提升GRU的診斷精度。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于變分模態(tài)分解與優(yōu)化LightGBM的混凝土拱壩變形預(yù)測模型。采用VMD將變形實(shí)測數(shù)據(jù)分解為多個(gè)模態(tài)分量，通過有效地分解重構(gòu)，構(gòu)建出具有較高預(yù)測精度和較好泛化性能的變形預(yù)測模型。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于變分模態(tài)分解技術(shù)并利用改進(jìn)的蜣螂優(yōu)化算法（IDBO）來優(yōu)化雙向門控循環(huán)單元（BiGRU）的短期負(fù)荷預(yù)測模型，其采用VMD算法對(duì)負(fù)荷序列進(jìn)行分解，得到多個(gè)固有模態(tài)函數(shù)和一個(gè)殘差量，在將數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)集構(gòu)建BiGRU模型后，采用改進(jìn)的DBO算法優(yōu)化其超參數(shù)，并且通過對(duì)比選取滾動(dòng)負(fù)荷預(yù)測機(jī)制進(jìn)一步提升預(yù)測性能。文獻(xiàn)[7]采用VMD和模糊C均值（Fuzzy C-Means， FCM）聚類的狀態(tài)監(jiān)測方法，針對(duì)振動(dòng)信號(hào)的非平穩(wěn)性和難以提取有效故障特征的問題進(jìn)行了優(yōu)化。

受上述研究啟發(fā)，本文在北極海雀算法（Arctic Puffin Optimization， APO）與灰狼優(yōu)化算法（Grey Wolf Optimizer， GWO）背景下，對(duì)變分模態(tài)分解進(jìn)行優(yōu)化和對(duì)比研究。具體而言，采用性能較高的新晉優(yōu)化算法——北極海雀算法和灰狼優(yōu)化算法對(duì)VMD的分解數(shù)和懲罰因子進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)原始信號(hào)曲線進(jìn)行分析。通過選擇包絡(luò)熵最小以及信息熵最小這兩個(gè)目標(biāo)測試函數(shù)進(jìn)行測試，最后對(duì)比本征模態(tài)函數(shù)圖像。

1 變分模態(tài)分解

1.1 傳統(tǒng)信號(hào)處理方式

在工程設(shè)計(jì)、醫(yī)學(xué)、地震預(yù)警等眾多領(lǐng)域中，信號(hào)通常具有復(fù)雜的非線性和非平穩(wěn)特征。根據(jù)這些情況，傳統(tǒng)信號(hào)處理方法有傅里葉變換、小波變換等。

1.1.1 傅里葉變換

傅里葉變換的核心在于將時(shí)域中的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻率域，這使得可以更直觀地觀察信號(hào)的頻率特性。其定義公式為：

小波變換具有多頻率分析、時(shí)頻局部化、適應(yīng)性強(qiáng)以及去噪效果好的優(yōu)點(diǎn)。然而，小波變換也存在一些不足之處。一方面，它需要多次卷積操作和下采樣操作，計(jì)算量較大，處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)計(jì)算時(shí)間較長；另一方面，小波變換在處理復(fù)雜頻譜信號(hào)時(shí)，可能無法給出準(zhǔn)確的分析結(jié)果，并且在處理有限信號(hào)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生邊界效應(yīng)，從而影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1.1.3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的核心思想為：通過篩分，把復(fù)雜信號(hào)分解成若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)（IMFs）和一個(gè)殘余量，且每個(gè)IMF需滿足兩個(gè)條件[8]。其一，在整個(gè)數(shù)據(jù)范圍中，極值點(diǎn)與過零點(diǎn)的數(shù)量相等或者最多相差一個(gè)；其二，在任意時(shí)刻，IMF的上下包絡(luò)線平均值為零。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性，適用于非線性和非平穩(wěn)信號(hào)的處理，適合進(jìn)行多頻率分析，并且能夠保留信號(hào)的原始特性。然而，在處理突變信號(hào)時(shí)，EMD可能會(huì)出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，也就是一個(gè)本征模態(tài)函數(shù)（IMF）中包含多個(gè)時(shí)間尺度的成分。當(dāng)處理有限長度信號(hào)時(shí)，EMD可能會(huì)產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng)，從而影響分解結(jié)果的準(zhǔn)確性。與上述兩種情況類似，EMD還存在計(jì)算量較大的缺點(diǎn)。

1.1.4 希爾伯特-黃變換

希爾伯特-黃變換包含兩個(gè)核心步驟：其一為經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，該步驟可將信號(hào)分解成若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)；其二是希爾伯特變換，即對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解得到的本征模態(tài)函數(shù)（IMF）進(jìn)行希爾伯特變換，從而得到相應(yīng)的希爾伯特譜。

希爾伯特-黃變換具有多頻率分析能力以及高時(shí)間-頻率分辨率。然而，它也存在一些問題，比如可能出現(xiàn)模態(tài)混疊、產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng)、計(jì)算量較大，并且缺乏相應(yīng)的理論基礎(chǔ)。

1.2 VMD特點(diǎn)

相比傳統(tǒng)的信號(hào)處理方式，VMD技術(shù)更加成熟和穩(wěn)定。它通過變分方法將信號(hào)分解為若干個(gè)模態(tài)函數(shù)，每個(gè)模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)中心頻率。其特點(diǎn)具體如下：

（1）自適應(yīng)性：VMD能夠根據(jù)輸入信號(hào)的特性自適應(yīng)地調(diào)整模態(tài)函數(shù)的頻率，以適應(yīng)不同頻率成分的提取。

（2）高精度：VMD能夠提供較高的分解精度和分解速度，可以快速地提取信號(hào)中的局部特征。

（3）多分辨率分析：VMD能夠分析不同尺度的信號(hào)，并提供高精度的頻率信息。

（4）物理意義明確：VMD分解得到的每個(gè)IMF都有著明確的物理含義，有助于對(duì)信號(hào)處理進(jìn)行分析和理解。

2 算法介紹

2.1 北極海雀優(yōu)化算法

北極海雀是北極特有的小型鳥類，它們主要棲息于海洋環(huán)境中，因受其生活環(huán)境的影響，北極海雀與其他飛行鳥類相比具有更短更粗的翅膀，這有助于它們在飛行過程中減少能量消耗，并保持較高的飛行速度[9]。當(dāng)北極海雀發(fā)現(xiàn)冰下有魚時(shí)，它們會(huì)以400次/min的頻率拍打短小的翅膀來降低飛行高度，然后加速?zèng)_向獵物，俯沖時(shí)最高時(shí)速可達(dá)88 km/h。在足夠動(dòng)量的加持下，北極海雀會(huì)沖破冰面輕松獲取目標(biāo)食物。

北極海雀優(yōu)化算法是根據(jù)北極海雀在特定環(huán)境中的生存行為而模擬建模的智能優(yōu)化算法，主要包括空中搜索階段和水下捕食階段。

2.1.1 空中搜索階段

（1）空中搜索

北極海雀以群居生活為主，在外出捕獵時(shí)，它們往往會(huì)以編隊(duì)形式飛行來搜索獵物，這種協(xié)作捕獵方式會(huì)大大提高捕食成功的概率。

位置更新公式如下：

間的隨機(jī)數(shù)；Xit為當(dāng)前種群的第i個(gè)個(gè)體；Xrt為在當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的個(gè)體；L（D）為通過Levy生成的隨機(jī)數(shù)；D為維度常數(shù)；a1為符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

算法中用到的Levy飛行主要用來模擬北極海雀的飛行過程，通過Levy飛行系數(shù)來改變北極海雀在不同時(shí)段的位置，這種策略能夠有效地增強(qiáng)獵物搜索能力。另外，當(dāng)北極海雀在空中遇到海鷗等天敵時(shí)，它們會(huì)在空中盤旋，以防御捕食者。

（2）猛撲捕食

北極海雀在空中飛行鎖定獵物后，它們會(huì)迅速改變飛行方式，并加快煽動(dòng)翅膀俯沖向目標(biāo)獵物，這種快速攻擊的捕食策略可以提高它們的捕食成功率。在此階段，引入了速度系數(shù)S來調(diào)整北極海雀在俯沖過程中的狀態(tài)。位置更新公式如下：

式中：T代表總迭代次數(shù)；t代表當(dāng)前迭代次數(shù)；rand代表隨機(jī)數(shù)。

（3）躲避掠食者

在北極海雀捕食或者搜尋獵物時(shí)，若它們察覺出周圍有天敵或者掠食者，海雀會(huì)發(fā)出一種叫聲以引起種群中其他個(gè)體的警覺，并改變自身位置，飛往安全區(qū)域避險(xiǎn)。位置更新公式如下：

2.2 APO算法流程

APO算法流程如下：

Step1：對(duì)北極海雀種群進(jìn)行初始化，定義了種群個(gè)體數(shù)N、最大迭代次數(shù)T、合作因子F、過渡系數(shù)B以及特定參數(shù)C。

Step2：計(jì)算每個(gè)種群的適應(yīng)度值，選取最優(yōu)種群和最優(yōu)個(gè)體。

Step3：使用式（17）計(jì)算過渡系數(shù)B，并與特定系數(shù)C對(duì)比，若Bgt;C則進(jìn)入空中搜索階段，否則進(jìn)入水下覓食階段。

Phase1：空中搜索階段

Step4：使用式（4）、式（7）、式（9）～式（11）更新北極海雀的位置和數(shù)量。

Phase2：水下覓食階段

Step5：使用式（10）～式（13）、式（15）更新北極海雀的位置和數(shù)量。

Step6：計(jì)算并對(duì)比所有種群適應(yīng)度值，更新最優(yōu)值。

Step7：判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)T，若滿足終止條件則算法停止，否則返回Step2。

2.3 灰狼優(yōu)化算法

在灰狼優(yōu)化（GWO）算法中[10]，野生灰狼群以群居為主，其社會(huì)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，每一個(gè)群體都有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者。在野外生存遇到獵物時(shí)，灰狼群會(huì)根據(jù)其內(nèi)部的社會(huì)等級(jí)結(jié)構(gòu)有秩序地包圍獵物，并隨著獵物的移動(dòng)而移動(dòng)。根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者和其他等級(jí)較高灰狼的位置引導(dǎo)等級(jí)較低灰狼圍捕獵物，最終攻擊獵物。

GWO算法是根據(jù)灰狼群體的等級(jí)制度以及自然界中的狩獵捕食行為模擬的算法，主要包括包圍獵物階段、狩獵階段和攻擊獵物階段。

（1）包圍獵物階段

包圍獵物階段公式如下：

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

2.4 GWO算法流程

GWO算法流程如下：

Step1：設(shè)最大迭代次數(shù)為T，灰狼種群數(shù)量為N，初始化種群，計(jì)算A、C、a2等參數(shù)。

Step2：計(jì)算每一頭灰狼的適應(yīng)度值，并將最優(yōu)的三個(gè)適應(yīng)度值依次賦值給α、β、δ三頭灰狼。

Step3：根據(jù)α、β、δ三頭灰狼的位置更新其余灰狼ω的位置。

Step4：更新參數(shù)a2、A、C的值。

Step5：計(jì)算全部灰狼的適應(yīng)度值，更新α、β、δ三頭灰狼的適應(yīng)度值和位置。

Step6：判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)T，若滿足終止條件則算法停止，否則返回Step3。

3 變分模態(tài)分解優(yōu)化對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本節(jié)著重從智能優(yōu)化算法角度研究VMD參數(shù)優(yōu)化以及優(yōu)化后VMD的信號(hào)分解效果。

3.1 參數(shù)討論

在變分模態(tài)分解中，懲罰因子λ和分解數(shù)k的選擇對(duì)分解結(jié)果有著重要的影響。當(dāng)懲罰因子過小時(shí)會(huì)導(dǎo)致模態(tài)混疊，從而影響特征提取；當(dāng)懲罰因子過大時(shí)會(huì)導(dǎo)致分解頁面的局部信息丟失，造成數(shù)據(jù)損失。當(dāng)分解數(shù)過大時(shí)會(huì)導(dǎo)致過度分解的情況，容易產(chǎn)生虛假模態(tài)；當(dāng)分解數(shù)過小時(shí)會(huì)導(dǎo)致欠分解，無法充分提取時(shí)間序列中的隱含特征，致使結(jié)果不準(zhǔn)確。

綜上，在信號(hào)處理中VMD參數(shù)優(yōu)化有著極為重要的意義。其可通過優(yōu)化懲罰因子λ和分解數(shù)k，提高分解精度和現(xiàn)實(shí)適應(yīng)性，減少主觀誤差。

本文將懲罰因子的范圍設(shè)定為[2 000， 3 000]，將分解數(shù)的范圍設(shè)定[5， 10]。

3.2 目標(biāo)函數(shù)選擇

目標(biāo)函數(shù)包括包絡(luò)熵、信息熵以及排列熵。

包絡(luò)熵主要用于衡量信號(hào)的系數(shù)特性，通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換得到包絡(luò)信號(hào)，然后對(duì)包絡(luò)值進(jìn)行歸一化處理。包絡(luò)熵常用于滾動(dòng)軸承的故障診斷等領(lǐng)域。

信息熵主要用來描述不確定程度的物理量，反映信號(hào)中信息的混亂程度和不確定性。信息熵常用于通信、數(shù)據(jù)壓縮以及故障診斷等領(lǐng)域。

排列熵主要用來衡量時(shí)間序列的復(fù)雜程度，它通過計(jì)算時(shí)間序列中不同排列模式的概率分布來反映序列的規(guī)則性和隨機(jī)性。排列熵常用于優(yōu)化信號(hào)分解和故障診斷等領(lǐng)域。

本文實(shí)驗(yàn)選用排列熵作為目標(biāo)函數(shù)。

3.3 信號(hào)分解結(jié)果

本文使用了一段長度為1 024的信號(hào)數(shù)據(jù)作為待分解數(shù)據(jù)，總迭代次數(shù)為100。圖1為原始信號(hào)。圖2～圖3為基于排列熵最小原則，分別運(yùn)用APO算法和GWO算法進(jìn)行信號(hào)分解的實(shí)驗(yàn)效果圖。圖4、圖5分別為APO算法和GWO算法排列熵目標(biāo)函數(shù)的收斂曲線圖。

由圖2和圖3可知，相較于GWO算法，APO算法在IMF1、IMF5、IMF9以及IMF10上表現(xiàn)得更加平穩(wěn)；在IMF4上，APO算法的隨機(jī)性更強(qiáng)。由圖4和圖5中可知，相較于GWO算法，APO算法在排列熵目標(biāo)函數(shù)上收斂速度更快，精準(zhǔn)度更高，能夠在有限的收斂次數(shù)內(nèi)找到最優(yōu)值，說明了APO算法具有高性能特點(diǎn)。

從表1可以看出，經(jīng)APO算法優(yōu)化后的懲罰因子較大。這意味著在VMD分解過程中分解精度有所提升，主觀性降低，時(shí)間序列更具隨機(jī)性。

4 結(jié) 語

本文分別利用北極海雀優(yōu)化算法和灰狼優(yōu)化算法對(duì)VMD的懲罰因子和分解數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化后的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。APO算法因具有空中搜索階段和水下覓食階段的獨(dú)特生物行為，相比GWO算法，具有更快的收斂速度和更高的收斂精度，魯棒性和穩(wěn)定性也更高，算法性能優(yōu)于GWO。APO的精準(zhǔn)搜索和局部調(diào)整性能使其能在較短時(shí)間內(nèi)找到最優(yōu)解群，進(jìn)而選擇所需要的最優(yōu)解。在使用經(jīng)APO算法優(yōu)化后的懲罰因子λ和分解數(shù)k去處理某段復(fù)雜信號(hào)時(shí)，能夠較為準(zhǔn)確地分解出信號(hào)的本征模態(tài)函數(shù)圖像。而GWO算法下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)主觀性、隨機(jī)性較低。由此可知，經(jīng)APO算法優(yōu)化后的VMD參數(shù)在分解信號(hào)數(shù)據(jù)時(shí)有著更高的效率和精度，這能為未來研究提供有效指導(dǎo)，在故障診斷、數(shù)據(jù)傳輸和工程應(yīng)用等領(lǐng)域發(fā)揮價(jià)值。

注：本文通訊作者為孫莉。

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收稿日期：2024-07-28 修回日期：2024-08-30

基金項(xiàng)目：寧夏自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2023AAC03031）

作者簡介：任慶欣（1999—），男，研究方向?yàn)槲锫?lián)網(wǎng)技術(shù)及應(yīng)用。

孫 莉（1975—），女，副教授，研究方向?yàn)樾畔⑾到y(tǒng)工程、無線通信技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)等。