短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制新方法

摘要： 為了減小現(xiàn)有時變短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析與控制結(jié)論的保守性， 提出一種新的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計方法。首先將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為具有指數(shù)不確定的線性離散系統(tǒng)， 根據(jù)系統(tǒng)矩陣的不同的特征值選擇不同的標稱點， 將指數(shù)不確定項轉(zhuǎn)化為一個常數(shù)項和范數(shù)有界的不確定性之和， 給出范數(shù)上界的最小值的確定方法； 然后選擇一般形式的Lyapunov函數(shù)， 采用魯棒控制理論和矩陣不等式技術(shù)， 給出使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定和狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件。算例結(jié)果表明， 本文中提出的方法能顯著改善控制質(zhì)量， 提高最大允許時延上界， 減小了結(jié)論的保守性。

關(guān)鍵詞： 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)； 時變時延； 矩陣不等式； 魯棒控制

文章編號：1671-3559（2025）02-0291-09

中圖分類號： TP273

文獻標志碼： A

A Novel Method for Stability Analysis and Control of Networked Control Systems with Short Time-delay

ZOU Quan1， SHI Junye2， JU Jintao1

（1. School of Electrical and Information Engineering， Changzhou Institute of Technology， Changzhou 213032， Jiangsu， China;

2. School of Mechanical Engineering， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China）

Abstract： A novel stability analysis and controller design method was proposed to reduce the conservatism of existing conclusions for networked control system （NCS） with short time-varying delay（STVD）. A NCS with STVD was modeled as a linear discrete system with exponential uncertainty. Different nominal point was selected according to different eigenvalue of system matrix， and then the exponential uncertainty was transformed into the sum ofaconstantpartandanorm-bounded uncertainty.Themethodfordeterminetheminimum value of the norm of uncertainty was given. Using robust control theory and matrix inequalities method， a common form Lyapunov function was selected to derive the sufficient conditions of asymptotic stability and the existence of the state feedback controller. Three numerical examples show that the proposed method can significantly improve control quality， increase the upper bound of maximum allowable delay bound， so the conservatism of the conclusions is reduced.

Keywords： networked control system; time-varying delay; matrix inequality; robust control

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（networked control system，NCS）是指通過數(shù)據(jù)通信網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)，具有如布線簡單、 診斷與維護容易、 系統(tǒng)靈活性高等諸多優(yōu)點。在NCS中，由于傳感器信息與控制器信息須要通過通信網(wǎng)絡(luò)進行傳輸，因此不可避免地產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延受調(diào)度策略、 網(wǎng)絡(luò)及節(jié)點負載的影響，通常是時變的，若網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延小于采樣周期，則稱作為短時延。當將通信網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于閉環(huán)控制場合時，在系統(tǒng)設(shè)計過程中必須充分考慮通信網(wǎng)絡(luò)的實時性。由于網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延較小，通常小于采樣周期，如以太網(wǎng)等，因此研究具有短時延的NCS既有理論意義又有實用價值。

對于NCS中存在的時變時延，通常采用2種方法來處理。第一種方法是將有時變時延的NCS建模為具有不確定性的離散系統(tǒng)，然后用魯棒控制方法來處理不確定性。樊衛(wèi)華等^［1］利用線性變換方法，將時變不確定短時延所引起的不確定性分解為一個固定部分與一個范數(shù)有界不確定性之和的形式，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法。崔桂梅等^［2］研究了短時延NCS的狀態(tài)反饋保性能控制問題。邱占芝等^［3-4］研究了短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題。謝成祥等^［5］改進了文獻［1］中的建模方法，避免了標稱模型不可控的問題，但未考慮如何減小不確定性的范圍，所得結(jié)果具有一定的保守性。

為了減小穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計過程中的保守性，Zhang等^［6］將短時延NCS建模為具有范數(shù)有界不確定性的線性離散系統(tǒng)的過程，提出了一種標稱點方法，使不確定性的范數(shù)極小化，從而減小了結(jié)論的保守性。周紅艷等^［7-9］將文獻［6］的結(jié)果應(yīng)用于短時延廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，得到了指數(shù)保性能控制和最優(yōu)指數(shù)H∞控制。Zhang等^［10-11］采用非脆弱控制方法，分別研究了短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的有界輸入-有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性和輸出反饋H∞指數(shù)穩(wěn)定性問題。

處理時變時延的第二種常用方法是時滯系統(tǒng)方法，即將有時變時延的NCS視為時延可變的時滯系統(tǒng)，用時滯系統(tǒng)理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并設(shè)計控制器。這類方法主要圍繞Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF）的構(gòu)造和LKF的導(dǎo)數(shù)中的積分項的處理來實施。吳金晶等^［12］同時使用Wirtinger不等式和Jenson不等式來處理LKF的導(dǎo)數(shù)中的積分項，從而得到保守性較小的穩(wěn)定性結(jié)論，并減少待求解問題中的決策變量數(shù)。Rouamel等^［13］通過引入新的交叉項，用Wirtinger不等式來處理LKF導(dǎo)數(shù)中的積分項，減小了結(jié)論中的保守性。Lin等^［14］針對一類具有時變時延的線性系統(tǒng)，通過構(gòu)造一種新的時延乘積型增廣LKF，采用廣義自由矩陣的積分不等式，獲得了保守性較小的穩(wěn)定性準則。Zhang等^［15］將傳感器到控制器時延和控制器到傳感器時延視作2個獨立的部分，構(gòu)建了一個新的含2個自由參數(shù)的LKF，然后得出了一個參數(shù)相關(guān)的保守性較小的穩(wěn)定性準則。上述文獻中所得出的結(jié)論均未考慮傳感器的采樣周期。

學(xué)者們針對網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延為常數(shù)且存在數(shù)據(jù)包丟失的情況開展了相關(guān)研究。Cai等^［16］給出了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的充分必要條件。Wang等^［17］設(shè)計了狀態(tài)預(yù)測器獲取狀態(tài)預(yù)測值， 在此基礎(chǔ)上設(shè)計了模型預(yù)測控制器。Steinberger等^［18］針對離散被控對象，在時延為采樣周期正整數(shù)倍的情況下，采用小增益定理得到保守性較小的穩(wěn)定性準則。Hu等^［19］建立了一個考慮噪聲影響的采樣周期和隨機時變時延的統(tǒng)一框架，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一個易于處理的隨機增廣模型，并設(shè)計了一個穩(wěn)定控制器。文獻［16-17］中僅考慮了固定時延，因而應(yīng)用場合受到限制，文獻［18］中則人為擴大了網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延，因此產(chǎn)生了一定的保守性。

本文中提出一種改進的標稱點方法，將時變短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一個時變參數(shù)的離散系統(tǒng)，選擇合適的標稱模型，使不確定部分的范數(shù)上界最小，并選擇一般形式的Lyapunov函數(shù)來得出保守性更小的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和狀態(tài)反饋矩陣的確定方法。

1 問題描述

考慮如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，設(shè)τ_sc（k）、 τ_cs（k）分別為第k個采樣時刻傳感器到控制器時延和控制器到執(zhí)行器時延， x（t）∈Rn、 u（t）∈Rm分別為被控對象t時刻的n維狀態(tài)向量和m維控制輸入向量， xk、 uk分別為第k個采樣時刻的狀態(tài)向量和按此狀態(tài)向量計算得到的控制輸入向量，連續(xù)時間被控對象用線性定常系統(tǒng)來表示，即

x·（t）=Ax（t）+Bu（t） ，（1）

式中： x·（t）為狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)； A和B為適維常數(shù)矩陣。

τ_sc（k）、 τ_cs（k）—第k個采樣時刻傳感器到控制器時延和控制器到執(zhí)行器時延； x（t）∈Rn、 u（t）∈Rm—被控對象t時刻的n維狀態(tài)向量和m維控制輸入向量； xk、 uk—第k個采樣時刻的狀態(tài)向量和按此狀態(tài)向量計算得到的控制輸入向量。

設(shè)x（t）在離散時間點0lt;t0lt;t1lt;…lt;tklt;…上采樣，采樣周期為常數(shù)，定義為T=t_k+1-tk， k≥0。本文中作如下假設(shè)：

假設(shè)1 傳感器為時間驅(qū)動，控制器和執(zhí)行器均為事件驅(qū)動。

假設(shè)2 在tk時刻的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延為τk，定義為τkτ_sc（k）+τ_cs（k）， 其中， τk滿足0≤τm≤τk≤τM≤T，τm和τM分別為網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延的下界和上界。

記xk=x（tk）， uk=u（tk），由上述假設(shè)，在一個采樣周期內(nèi)，作用于被控對象上的控制輸入為

u（t）=u_k-1， t∈［tk， tk+τk），

uk，t∈［tk+τk， t_k+1）。（2）

于是，在考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延時，對系統(tǒng)（1）按采樣周期離散化，可得

x_k+1=Gxk+H0（τk）uk+H1（τk）u_k-1 ，（3）

式中： G=e^AT； H0（τk）=∫^T-τk0e^AsdsB和H1（τk）=∫T_T-τke^AsdsB為時延所導(dǎo)致的不確定項，稱為指數(shù)不確定性。顯然，有

HH0（τk）+H1（τk）=∫T0e^AsdsB"，（4）

式中s為時間積分變量。

由于0≤τm≤τk≤τM≤T，式（3）是一個具有輸入時延的線性時變系統(tǒng)?，F(xiàn)有文獻中，大多采用無記憶狀態(tài)反饋控制，即

uk=Kxk ，（5）

式中K為狀態(tài)反饋矩陣， 并選擇Lyapunov函數(shù)為

V（k）=xTkPxk+xT_k-1Qx_k-1 ，（6）

式中P、 Q均為對稱正定矩陣。

令ΔV（k）=V（k+1）-V（k）lt;0，將式（3）代入，將式（3）中的時變項轉(zhuǎn)化成范數(shù)有界的不確定項，利用魯棒控制理論得到以線性矩陣不等式表示的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，通過線性不等式的可行解獲得狀態(tài)反饋矩陣K。若時延上界等于采樣周期，即τM=T，那么，如果系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，即矩陣A具有正實部的特征值（等價于矩陣G有單位圓外的特征值）時，所得到的線性矩陣不等式將沒有可行解。證明如下：

將式（5）代入式（3），有

x_k+1=Gxk+H0（τk）Kxk+H1（τk）Kx_k-1 。

如果在某個時刻tk， k≥0， τk=τM=T， 那么H0（τk）=0，有

x_k+1=Gxk+HKx_k-1 ，

于是有

ΔV（k）=V（k+1）-V（k）=xT_k+1Px_k+1+xTkQxk-xTkPxk+xT_k-1Qx_k-1=xkx_k-1TGTPG+Q-PGTPHK*（HK）TPHK-Pxkx_k-1 ，

式中“*”表示矩陣的對稱項。

由于Lyapunov定理要求對任意的k，ΔV（k）lt;0均成立，因此ΔV（k）lt;0是閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，上式等價于

GTPG+Q-PGTPHK*（HK）TPHK-Plt;0 。

由負定矩陣的性質(zhì)， 上式成立必然有GTPG+Q-Plt;0成立。 進一步地， 由于Q是正定的， 因此GTPG-Plt;0成立， 而這要求G的全部特征值都要位于單位圓內(nèi)， 即系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定。如果系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定， 則GTPG-Plt;0不成立，說明當系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定時，選擇式（6）所示的Lyapunov函數(shù)，使用魯棒控制理論推導(dǎo)得到的線性矩陣不等式將沒有可行解。

事實上，即使τMlt;T，由于在處理不確定項的過程中須要對不確定項的范數(shù)的上界進行估計，上界一般都會被放大，可能將時延等于采樣周期的情況包含進去；因此，如果系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，那么所得到的線性矩陣不等式可能沒有可行解。從另一方面考慮， τM=T相當于是一個線性矩陣不等式是否有可行解的邊界， τM與T越接近，就越不容易求得線性矩陣不等式的可行解，因而結(jié)論存在較大的保守性。

本文中將研究一種新的標稱模型確定方法， 以更準確地求得不確定部分范數(shù)的上界， 并采用一般形式的Lyapunov函數(shù)得出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件以及控制器的設(shè)計方法， 從而減小結(jié)論的保守性。

2 不確定項的處理

不同于文獻［6］中所使用的標稱點方法，本文中先將系統(tǒng)矩陣A轉(zhuǎn)化為Jordan標準型，然后根據(jù)特征值的不同情形來選擇標稱模型，將H0（τk）轉(zhuǎn)化為以下形式：

H0（τk）=H_n0+DF（τk）E ，（7）

式中： H_n0、 D和E為待確定的適維常數(shù)矩陣；當τm≤τk≤τM時， F（τk）滿足FT（τk）F（τk）≤I， I為單位矩陣。

考慮系統(tǒng)矩陣A有p個一重實特征值λ1、 λ2、 …、 λp， 一對共軛復(fù)數(shù)特征值σ+jω、 σ-jω，一個r重實特征值λ的情形。令v1、 v2、 …、 vp為與一重實特征值相對應(yīng)的特征向量， v_p+1+jq、 v_p+1-jq為與共軛復(fù)數(shù)特征值對應(yīng)的特征向量， v_p+2、 v_p+3、 …、 v_p+r+1為與r重特征值對應(yīng)的特征向量（廣義特征向量）。根據(jù)矩陣理論，構(gòu)造變換矩陣

V=（v1v2…vpv_p+1qv_p+2v_p+3…v_p+r+1） ，

使得

Λ=V^-1AV=diag{λ1， λ2， …， λp， Jc， J} ，

其中Jc=σω-ωσ；

J=λ1

λ…

…1

λ 。

這樣，在處理復(fù)數(shù)特征值時就可以避免復(fù)數(shù)運算，于是， H0（τk）可以表示為

H0（τk）=V∫^T-τk0e^AsdsV^-1B=

Vdiag{S1（τk），S2（τk），…，Sp（τk），

S_p+1（τk），S_p+2（τk）}V^-1B，（8）

其中Si（τk）=∫^T-τk0e^λisds， i=1， 2， …， p ；

S_p+1=（τk）=∫^T-τk0e^Jcsds ；

S_p+2（τk）=∫^T-τk0e^Jsds 。

針對特征值的不同情況，將式（8）所示的指數(shù)不確定項轉(zhuǎn)換成一個常數(shù)項與一個范數(shù)有界不確定項之和的形式。

首先考慮一重實數(shù)特征值的情形。當i=1， 2， …， p時，按照文獻［6］中的方法，選取一個標稱點τ_ni滿足

τm≤τk≤τM ，（9）

則

Si（τk）=∫^T-τk0e^λisds=S_i0+DiFi（τk） ，（10）

式中： S_i0=∫^T-τ_ni0e^λisds； DiFi（τk）=∫^T-τk_T-τnie^λisds。

定義

δiτk-τ_ni ，（11）

因此δi在區(qū)間［τm-τ_ni， τM-τ_ni］上變化， τ_ni的選取應(yīng)使得不確定項DiFi（τk）的變化范圍最小。

當λi=0時，不確定項DiFi（τk）=-（τk-τ_ni）=-δi， 因此，取

τ_ni=τm+τM2 ，（12a）

可使得不確定的變化范圍最小，且

DiFi（τk）≤αi=τM-τm2 。

當λi≠0時，不確定項為

DiFi（τκ）=e^λi（T-τ_ni）λi （e^-λiδi-1） 。

這是一個關(guān)于δi的單調(diào)函數(shù)，且當δi=0，即τk=τ_ni時， DiFi（τ_ni）=0，因此， τ_ni的選取應(yīng)使得

DiFi（τm）=-DiFi（τM）。

由此可以解得

τ_ni=1λi ln 2e^-λiτm+e^-λiτM"，（12b）

此時，DiFi（τk）≤αi=DiFi（τm）=DiFi（τM）。

綜上，針對一重實特征值情形，可根據(jù)式（12）確定標稱點，然后選擇Di=αi，使得F2i（τk）≤1。

以下研究共軛復(fù)數(shù)特征值的情況。同樣，選取一個標稱點τ_n（p+1）滿足式（9），并采用與式（11）相同的方式定義δ_p+1，使得

S_p+1（τk）=∫^T-τk0e^Jcsds=S_（p+1）0+D_p+1F_p+1（τk） ，（13）

其中

S_（p+1）0=∫^T-τ_n（p+1）0e^Jcsds;

D_p+1F_p+1（τk）=∫^T-τk_{T-τn（p+1）}e^Jcsds 。

考慮到

e^Jcs=e^σscos ωssin ωs

-sin ωscos ωs，

因此

D_p+1F_p+1（τk）=e^Jc［T-τ_n（p+1）］∫^-δi0e^Jcsds=

e^Jc（T-τ_n（p+1））1σ2+ω2 M（δ_p+1），

其中

M（δ_p+1）=m1-m2m2m1，

m1=e^-σδ_p+1sin（-ωδ_p+1+φ）-sin φ ，

m2=e^-σδ_p+1cos（-ωδ_p+1+φ）-cos φ ，

φ=arcsinσσ2+ω2 。

由于

MT（δ_p+1）M（δ_p+1）=η（δ_p+1）00η（δ_p+1），

式中

η（δ_p+1）=（1-e^-σδ_p+1）2+2e^-σδ_p-1（1-cos ωδ_p+1）≥0

，（14）

也即M（δ_p+1）2=η（δ_p+1），因此， τ_n（p+1）的選擇應(yīng)使得η（δ_p+1）的最大值最小。上述結(jié)果可以通過以下優(yōu)化問題的求解得到

minτm≤τ_n（p+1）≤τM

minτm-τ_n（p+1）≤δ_p+1≤τM-τ_n（p+1）η（δ_p+1） 。（15）

求出τ_n（p+1）后代入式（14），然后再求出η（δ_p+1）的最大值，記為α2_p+1，此時，D_p+1可取為

D_p+1=α_p+1σ2+ω2 e^Jc［T-Τ_n（p+1）］

，（16）

這樣可使FT_p+1（τk）F_p+1（τk）≤I。

最后，處理不確定項

S_p+2（τk）=∫^T-τk0e^Jsds=S_（p+2）0+D_p+2F_p+2（τk） ，（17）

其中S_（p+2）0=∫^T-τ_n（p+2）e^Jsds;

D_p+2F_p+2（τk）=∫^T-τk_{T-τn（p+2）}e^Jsds 。

τ_n（p+2）為與J所對應(yīng)的標稱點， δ_p+2=τk-τ_n（p+2），這樣，對不確定項D_p+2F_p+2（τk），采用文獻［6］中的方法求出標稱點τ_n（p+2），并得到不確定項的范數(shù)的上界ρ，即

∫^-δ_p+20e^Jsds2lt;ρ 。

取α_p+2=ρ， D_p+2=α_p+2e^J［T-τ_n（p+2）］，則

FT_p+2（τk）F_p+2（τk）≤I 。

由上述分析可以發(fā)現(xiàn)，在式（7）中，可取

H_n0=Vdiag{S₁₀， S₂₀， …， S_p0， S_（p+1）0， S_（p+2）0}V^-1B，

D=Vdiag{D1， D2， …， Dp， D_p+1， D_p+2}，

F（τk）=diag{F1（τk），F(xiàn)2（τk），…，F(xiàn)p（τk），F(xiàn)_p+1（τk），F(xiàn)_p+2（τk）}，

E=V^-1B，

其中F（τk）滿足FT（τk）F（τk）≤I。而由式（4）可得

H1（τk）=H-H0（τk）=H-H_n0-DF（τk）E=

H_n1-DF（τk）E 。（18）

與文獻［6］中的處理方法相比，本文中提出的處理方法是針對不同的特征值選擇不同的標稱點，只有重特征值部分的指數(shù)不確定性的范數(shù)上界的估計存在保守性，其他情況下的指數(shù)不確定性的范數(shù)上界可以精確計算，因此，指數(shù)不確定性上界估計值的保守性更小。對于重特征值部分，也可以采用文獻［6］中的方法2，使用多標稱點方法處理，可以進一步減小指數(shù)不確定性上界估計值的保守性。

3 穩(wěn)定性分析與狀態(tài)反饋控制律設(shè)計

考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延時，時變短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的離散化模型如式（3）所示，將式（7）、 （18）代入，得

x_k+1=Gxk+［H_n0+DF（τk）E］uk+

［H_n1-DF（τk）E］u_k-1。（19）

取如式（5）所示的控制律，得到

x_k+1=Gxk+［H_n0+DF（τk）E］Kxk+

［H_n1-DF（τk）E］Kx_k-1。（20）

為了得到更一般形式的穩(wěn)定性結(jié)論，將式（20）作狀態(tài)增廣，得

z_k+1=［Ξ0+D—F（τk）E—］zk ，（21）

式中： zk=xkx_k-1；

Ξ0=G+H_n0KH_n1K

I0；

D—=D

0；

E—=（EK -EK）。

取Lyapunov函數(shù)為

V（k）=zTkPzk 。（22）

沿zk的軌跡求差分并令其小于0，并將式（21）代入，可得

ΔV（k）=zTk｛［Ξ0+D—F（τk）E—）TP（Ξ0+D—F（τk）E—］-

P｝zklt;0，（23）

式（23）等價于

［Ξ0+D—F（τk）E—］TP［Ξ0+D—F（τk）E—］-Plt;0 。（24）

由Schur補引理，式（24）等價于

-P^-1Ξ0+D—F（τk）E—

*-Plt;0 。（25）

式（25）可以寫成以下形式：

-P^-1Ξ0*-P

+D—0

F（τk）（0 E—）+

（0 E—）TFT（τk）D—

0

Tlt;0，（26）

式（26）等價于

-P^-1+εD— D—TΞ00

*-PE—T

**-εIlt;0 ，（27）

其中εgt;0。對式（27）兩邊左乘、 右乘diag{I， P^-1， I}，并令X=P^-1，則式（27）可化為

-X+εD— D—TΞ0X0

*-XXE—T

**-εIlt;0 。（28）

根據(jù)以上推證可得定理1。

定理1 對式（19）所示的離散線性不確定系統(tǒng)，采用式（5）所示的控制律，則閉環(huán)系統(tǒng)（20）漸近穩(wěn)定的充分條件是存在對稱正定矩陣X，標量εgt;0，使得不等式（28）成立。

說明 當狀態(tài)反饋矩陣K已知時， Ξ0和E—中中均不含未知項，于是式（28）是一個線性矩陣不等式。由此可以發(fā)現(xiàn)，式（6）所使用的Lyapunov函數(shù)是式（22）的特殊情況，即當式（22）中的矩陣P取成分塊對角矩陣時，式（22）就可以變成式（6）的形式。由于放寬了對Lyapunov函數(shù)的約束，因此

使結(jié)論的保守性顯著減小。當K已知時，可以根據(jù)式（28）是否有可行解來判斷是否可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；但是，如果狀態(tài)反饋矩陣K未知，即在須要設(shè)計狀態(tài)反饋控制律以使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的情況下，式（28）則是一個雙線性矩陣不等式，須要借助專業(yè)工具包如TOMLAB、 PENLAB等求解。

如果不要求無記憶狀態(tài)反饋控制，那么也可以通過線性不等式的可行解來求取控制律。根據(jù)文獻［5］中的方法，對式（19）作狀態(tài)增廣，得

z_k+1=Ψzk+［H～_n0+D～F（τk）E］μk ，（29）

式中： zk=xku_k-1；

Ψ=GH0I； H～_n0=H_n0I；

D～=D0； μk=uk-u_k-1。

取控制律為

μk=K～zk ，（30）

則閉環(huán)系統(tǒng)方程為

z_k+1=［Ψ+H～_n0K～+D～F（τk）EK～］zk ，（31）

由此得到定理2。

定理2 對系統(tǒng)（29），采用式（30）所示的控制律，閉環(huán)系統(tǒng)（31）漸近穩(wěn)定的充分條件是存在對稱正定矩陣X、 矩陣Y，標量εgt;0，使得線性矩陣不等式（32）成立，并且K～=YX^-1為待求的狀態(tài)反饋矩陣，

-X+εD～ D～TΨX+H～_n0Y0

*-X（EY）T

**-εI

。（32）

證明 取Lyapunov函數(shù)為V（k）=zTkPzk，令

ΔV（k）=zT_k+1Pz_k+1-zTkPzklt;0 ，

將式（31）代入，則上式等價于

［Ψ+H～_n0K～+D～F（τk）EK～］TP［Ψ+H～_n0K～+

D～F（τk）EK］-Plt;0 。

與定理1的推導(dǎo)過程相同，可得式（32），具體過程從略。證畢。

4 算例研究

為了便于比較，本文中采用與文獻［6］中相同的3個算例。

算例1 雙質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖2所示，

m1、 m2—質(zhì)量塊1、 2的質(zhì)量； k1、 k2—彈簧1、 2的彈性系數(shù)；

b1、 b2—阻尼器1、 2的阻尼常數(shù)； f1、 f2—作用在質(zhì)量塊1、 2上

的力； y1、 y2—質(zhì)量塊1、 2的位移； v1、 v2—質(zhì)量塊1、2的速度。

圖2 雙質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

設(shè)m1和m2分別為質(zhì)量塊1、 2的質(zhì)量，k1和k2分別為彈簧1、 2的彈性系數(shù)，b1和b2分別為阻尼器1、 2的阻尼常數(shù)， f1和f2分別為作用在質(zhì)量塊1、 2上的力， y1和y2分別為質(zhì)量塊1、 2的位移， v1和v2分別為質(zhì)量塊1、 2的速度。

定義狀態(tài)變量為x=（y1， y2， v1， v2）T，控制輸入u=（f1， f2）T，則系統(tǒng)模型可表示為

x·（t）=0010

0001

-k1-k2m1k2m1-b1-b2m1b2m1

k2m2-k2m2b2m2-b2m2

x（t）+00

00

1m10

01m2

u（t）

式中： m1=2 kg； m2=1 kg； k1=1.5 N/m； k2=1 N/m； b1=2 N·s/m； b1=0.5 N·s/m?？梢园l(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)矩陣有2對共軛復(fù)數(shù)特征值， λ_1，2=-0.635 5±j1.138 5， λ_3，4=-0.239 5±j0.619 5。取采樣周期T=0.2 s， τm=0， τM=T。根據(jù)前述方法，可求出λ_1，2所對應(yīng)的指數(shù)不確定項的范數(shù)上界為0.099 8，標稱點為τ_n1=0.103 2，λ_3，4所對應(yīng)的指數(shù)不確定項的范數(shù)上界為0.100 0，標稱點為τ_n2=0.101 2，范數(shù)上界均小于文獻［6］中的結(jié)果。根據(jù)定理2，將式（32）中的Y用K～X代替，并令K～=（K-I），這樣，式（32）就轉(zhuǎn)化為關(guān)于K、 X和ε的雙線性矩陣不等式，用PENLAB軟件求解該矩陣不等式，可求得狀態(tài)反饋矩陣為

K=0.021 30.061 4-0.092 7-0.010 1

-0.225 8-0.157 5-0.133 1-0.427 6。

假設(shè)初始條件x0=x（0）=（1， 0.5， 0， 0）T， u_-1=（0， 0）T，在用文獻［6］的定理2求得的狀態(tài)反饋控制律作用下的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3（a）所示，在用本文中定理2所得狀態(tài)反饋控制律作用下的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3（b）所示。由圖3可見，在用本文中定理2所得的狀態(tài)反饋控制器作用下，其狀態(tài)響應(yīng)在10 s處已接近于0，而文獻［6］中得到的控制器，其狀態(tài)響應(yīng)在15 s時才接近0，因此，本文中定理2的結(jié)果的響應(yīng)過程明顯優(yōu)于文獻［6］中定理2的結(jié)果。事實上，如采用如式（30）所示的有記憶狀態(tài)反饋控制器，能取得更好的控制效果。

算例2 考慮如下的線性定常對象：

x·（t）=010-0.1x（t）+0

0.1u（t） ，

采樣周期T=1.0 s。在無網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延時， 狀態(tài)反饋矩陣K=（-3.75 -11.5）能使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。 存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延時， 時延下界從τm=0 s開始逐步增大， 按文獻［6］中的正向搜索方法， 求出與不同的時延下界相對應(yīng)的時延上界， 結(jié)果見表1。 由表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)， 由于本文中提出的方法采用了一般形式的Lyapunov函數(shù)， 因此在各種時延下界的情況下所得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時延上界要大于文獻［6］中定理1的計算結(jié)果。 同時， 在時延下界大于0.424 3 s時， 文獻［6］中的定理1的線性矩陣不等式?jīng)]有可行解，而本文中方法依然有可行解，直到時延下界達到約0.712 0 s時， 才沒有可行解， 此時對應(yīng)的固定時延的系統(tǒng)在狀態(tài)反饋矩陣不變時將變得不穩(wěn)定。

算例3 考慮如下狀態(tài)方程所描述的被控對象：

x·（t）=-10-0.51-0.50000.5

x（t）+001u（t） ，

取采樣周期為T=0.5 s。文獻［6］中在不同的時延下界的情況下計算了存在狀態(tài)反饋控制律以保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最大允許時延的上界的估計值，根據(jù)本文中定理2，通過觀察線性矩陣不等式（32）是否存在可行解（即是否存在狀態(tài)反饋控制律（30）使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定）的方法來估計最大允許時延的上界，結(jié)果見表2。由表可知，運用本文中提出的方法可將最大允許時延上界增大到一個采樣周期，大大減小了結(jié)論的保守性。求解線性矩陣不等式（32），得控制律（30）中的K～=（0.042 5，0.026 3，-0.871 4， -1.070 5），取系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0=（-5， 0， 5）T， u_-1=0，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖4所示。由圖可見，該狀態(tài)響應(yīng)過程雖然與文獻［20］中的狀態(tài)響應(yīng)過程差別不大， 但圖中狀態(tài)響應(yīng)過程是在τM=T的情況下得到的，而文獻［20］中響應(yīng)曲線對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延的上界為0.2T，因此，本文中提出的方法能適應(yīng)更大的時延的情況，因而時延上界估計值的保守性較小。

5 結(jié)論

本文中研究了一種新的時變短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計方法，提出一種改進的標稱點方法，通過線性變換對系統(tǒng)進行Jordan分解，根據(jù)不同的特征值選擇不同的子系統(tǒng)的標稱點，將短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為范數(shù)有界的離散不確定系統(tǒng)，給出了不確定項的范數(shù)上界。本文中給出的范數(shù)的上界僅在子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣存在重特征值時具有保守性，其余情況下均是準確的上界，因此，采用本文中提出的建模方法可使不確定項的范數(shù)上界估計的保守性大大減小。在穩(wěn)定性分析中，采用更一般形式的Lyapunov函數(shù)，適應(yīng)范圍更加廣泛，同樣也減小了控制器設(shè)計過程中的保守性。最后通過仿真算例與現(xiàn)有文獻中的結(jié)果進行了比較，結(jié)果證明了本文中提出的方法的有效性。

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（責(zé)任編輯：劉 飚）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金項目（62303075）

第一作者簡介： 鄒全（1980—），女，江蘇常州人。講師，碩士，研究方向為信號與信息處理。E-mail： 16718161@qq.com。