單像素復(fù)振幅成像加密方案研究

摘" 要：在光學(xué)信息安全領(lǐng)域，計算鬼成像（CGI）技術(shù)作為一種新興的單像素成像（SPI）技術(shù)，因其數(shù)據(jù)壓縮和實值密文的加密性能而顯示出巨大潛力。然而，現(xiàn)有的基于計算鬼成像的加密技術(shù)存在解密結(jié)果噪聲嚴(yán)重、密鑰數(shù)量龐大以及復(fù)振幅圖像成像效果不理想等問題。為解決這些問題，文章提出了一種基于隨機正交調(diào)制的單像素復(fù)振幅成像加密方案。該方案利用正交復(fù)數(shù)矩陣逆變換的方法實現(xiàn)了復(fù)雜復(fù)振幅物體的成像，同時使用兩個隨機整數(shù)序列作為密鑰擾亂正交復(fù)數(shù)矩陣，從而實現(xiàn)對原始圖像的加密。這不僅增強了系統(tǒng)的安全性，還大幅減少了傳輸密鑰的數(shù)量。后續(xù)的仿真實驗驗證了該方案的可行性和安全性，該方案能夠抵御一些常見的噪聲干擾，展現(xiàn)出良好的魯棒性。

關(guān)鍵詞：圖像加密；復(fù)振幅成像；正交矩陣；隨機調(diào)制

中圖分類號：TP309.7" 文獻標(biāo)識碼：A" 文章編號：2096-4706（2025）03-0177-06

Research on Single-pixel Complex Amplitude Imaging Encryption Scheme

ZHANG Heng

（School of Information Engineering， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou" 450046， China）

Abstract： In the field of optical information security， Computational Ghost Imaging （CGI）， as an emerging Single-Pixel Imaging （SPI） technique， shows great potential due to its data compression and encryption performance of real-valued ciphertext. However， the existing encryption techniques based on computational ghost imaging have serious noise in the decryption results， a large number of keys， and unsatisfactory imaging effect of complex amplitude images. To solve these problems， a single-pixel complex-amplitude imaging encryption scheme based on random orthogonal modulation is proposed in this paper. The scheme realizes complex complex-amplitude object imaging by using orthogonal complex matrix inversion， and at the same time uses two random integer sequences as keys to scramble the orthogonal complex matrix to realize the encryption of the original images. This not only enhances the security of the system but also greatly reduces the number of transmitted keys. Subsequent simulation experiments verify the feasibility and security of the scheme， and the scheme can resist some common noise interference and show good robustness.

Keywords： image encryption; complex amplitude imaging; orthogonal matrix; random modulation

0" 引" 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)交互日益頻繁，個人隱私、商業(yè)機密、醫(yī)療等各個領(lǐng)域的信息都在通過網(wǎng)絡(luò)傳輸。互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)生、教育、銀行、國防等眾多領(lǐng)域。然而，任何信息在傳輸過程中都可能受到不法分子的網(wǎng)絡(luò)攻擊，導(dǎo)致信息泄露，嚴(yán)重時甚至可能危害國家安全和社會穩(wěn)定。因此，如何保障網(wǎng)絡(luò)傳輸中的信息安全顯得尤為重要。

在網(wǎng)絡(luò)中，我們經(jīng)常使用的信息包括文本信息、音頻信息、圖像和視頻信息。其中，圖像作為一種重要的信息載體，其傳輸安全尤為重要。目前，常見的圖像加密方式分為光學(xué)圖像加密和數(shù)字圖像加密。光學(xué)圖像加密技術(shù)主要通過光學(xué)變換的方法，將照明圖案的光場信息（如振幅和相位信息）隱藏起來，從而保證圖像在傳輸中的安全性。數(shù)字圖像加密則是通過計算機或特定算法改變明文圖像中像素的位置和值，使圖像失去原始信息，從而成為密文。這樣，即使攻擊者獲得密文圖像，也無法獲取有用的原始圖像信息。近年來，光學(xué)圖像加密技術(shù)因其高速并行、大容量、設(shè)計自由度高、復(fù)雜度高以及能夠與數(shù)字圖像加密技術(shù)聯(lián)合使用等特點，受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注和研究。

單像素成像，又稱為關(guān)聯(lián)成像或鬼成像（Ghost Imaging， GI），是一種基于量子光源實現(xiàn)非定域性成像的典型成像系統(tǒng)。最初，人們采用量子糾纏光源來完成成像實驗[1]，后來的研究證實，使用經(jīng)典光源同樣可以完成成像實驗[2]。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，單像素成像經(jīng)歷了從量子鬼成像到經(jīng)典鬼成像，再到計算鬼成像（Computational Ghost Imaging， CGI）[3]的歷史發(fā)展過程。2015年，Zhao等人[4]提出了一種基于二維快速反應(yīng)碼的關(guān)聯(lián)成像光學(xué)加密方案，該方案在保證解密圖像質(zhì)量的同時，提高了信息的安全性，對關(guān)聯(lián)成像技術(shù)在光學(xué)加密方面的發(fā)展起到了很大的促進作用。2016年，Wu等人[5]提出了一種基于計算鬼成像的多圖像加密方案。該方案利用不同衍射距離的計算鬼成像，將每幅平面圖像加密成一個強度向量，最終通過將所有強度向量疊加形成密文，從而實現(xiàn)了多圖像加密。2019年，Yuan等人[6]提出了一種基于Hadamard矩陣和空間復(fù)用的多圖像加密方案。該方案通過對原始圖像的像素進行升序重排以及空間復(fù)用技術(shù)，實現(xiàn)了對多幅圖像的同時加密。2020年，劉等人[7]提出了一種基于超混沌及壓縮感知的計算鬼成像加密方案。該方案通過DNA操作擴散，利用超混沌系統(tǒng)生成的偽隨機序列獲得相位掩膜序列，并以此作為加密密鑰。2022年，蔣等人提出了一種基于RSA公鑰加密的單像素圖像加密方案[8]，該方案利用兩組隨機序列生成所需的調(diào)制模板，并將其投影到秘密圖像上，然后通過探測器獲取密文信息。最后，通過RSA加密算法對隨機序列進行加密，完成整個加密過程。

上述加密方案存在一些不足。從加密類型來看，這些方案大多數(shù)基于單像素成像且采用對稱加密方式。然而，對于復(fù)雜的復(fù)振幅圖像，其成像效果不夠理想。因此，基于現(xiàn)有的單像素成像加密技術(shù)，本文提出了一種新的基于單像素復(fù)振幅成像的加密方案。該方案利用計算機生成兩個隨機整數(shù)序列，對正交復(fù)數(shù)矩陣進行行和列的置換，并通過兩個相位掩膜將置亂后的復(fù)數(shù)矩陣調(diào)制成所需的正交復(fù)數(shù)矩陣散斑，投影到目標(biāo)圖像上。最終，光電探測器收集并處理這些散斑，獲取目標(biāo)圖像的振幅和相位信息，并通過每次獲取的振幅和相位信息重組成復(fù)數(shù)矩陣，再進行逆變換以重構(gòu)目標(biāo)圖像。

該方法能夠?qū)蓚€隨機序列作為加密密鑰，實現(xiàn)對目標(biāo)圖像的加密，從而增強系統(tǒng)的安全性。在遭受常見的噪聲攻擊（如高斯噪聲）時，重構(gòu)出的復(fù)振幅圖像仍能辨認(rèn)出原始信息，展現(xiàn)出良好的魯棒性，同時提高了加密效率。

1" 基本原理

1.1" 正交復(fù)數(shù)矩陣

本文采用基于哈達瑪排序的共軛對稱復(fù)數(shù)哈達瑪變換[9]（Conjugate Symmetric Natural Complex Hadamard Transform， CS-NCHT）生成復(fù)數(shù)矩陣。隨后，對復(fù)數(shù)矩陣的行和列進行比特反轉(zhuǎn)（Bit Reversal Conversion， BRC），以生成正交復(fù)數(shù)矩陣。其過程如下所示：

令hN表示一個N階的復(fù)數(shù)矩陣，其中N=2n，且n為任意整數(shù)，則hN可表示成如下遞歸形式：

（1）

其中，SN/2、h'N/2、hN/2可通過遞歸形式生成，其數(shù)學(xué)表達式為：

（2）

（3）

（4）

其中，IN/4表示單位矩陣，SN、hN/2以及h'N/2的起始矩陣為：

（5）

其中，，另外式（4）中I 'N/4可表示為：

（6）

以8階復(fù)數(shù)矩陣為例，根據(jù)式（1）可知：

（7）

則8階復(fù)數(shù)矩陣可表示為：

（8）

將各個起始矩陣的值帶入式（8）中得到8階復(fù)數(shù)矩陣的值：

（9）

最終生成的矩陣是一個具有正交性質(zhì)的復(fù)數(shù)矩陣，因此可以將其作為調(diào)制散斑用于單像素復(fù)振幅成像。

1.2" "隨機向量

首先先生成兩個包含整數(shù)隨機排列的向量和作為加密密鑰，密鑰的長度可根據(jù)需要做出調(diào)整，以生成一個256×256大小的隨機正交矩陣為例，首先生成兩個含有1～64整數(shù)的隨機向量，然后隨機向量和可通過以下計算式生成：

（10）

1.3" 單像素復(fù)振幅成像方案

基于隨機正交調(diào)制的單像素復(fù)振幅成像實驗裝置如圖1所示，在光學(xué)實驗中，由于光束在傳播時會發(fā)生衍射現(xiàn)象，因此無法直接將正交復(fù)數(shù)矩陣作為投影圖案直接照射到目標(biāo)圖像上，針對此問題，本文采用光學(xué)干涉的方法，其利用兩個純相位掩膜M1、M2來生成正交復(fù)振幅數(shù)字投影圖案[10]。

首先，激光器光源發(fā)出的頻率為ω0的光束，經(jīng)過分術(shù)鏡B1、B2以及反射鏡R1之后，分別照射在兩個純相位掩模M1和M2上，經(jīng)過M1和M2相位調(diào)制后，兩束光由半透明反射鏡（HM1）組合在一起，在輸出平面處彼此干涉生成需要被投影的正交復(fù)數(shù)矩陣圖案，其中兩個相位掩膜到輸出平面的距離必須相同（假設(shè)距離為1）。將通過干涉的方法生成的正交復(fù)數(shù)矩陣投影散斑照射到目標(biāo)圖像上，經(jīng)目標(biāo)物體反射或散射的光信號與另一處分經(jīng)過分束鏡B1、B2以及反射鏡R2且被被頻率為ω0+ Ω的聲光調(diào)制器（Acousto-Optic Modulator， AOM）調(diào)制過的參考光束P1在目標(biāo)圖像后面的另一個半透明反射鏡（HM2）中組合在一起形成新的干涉光信號P，新的干涉光束經(jīng)過透鏡聚集后被放在后面的光電探測器（Photodetector， PH）收集。

假設(shè)目標(biāo)圖像圖像T（x，y，z）的大小為p×p，生成的復(fù)數(shù)正交矩陣大小為M×N，且N=p×p，因此，當(dāng)全部采樣完成后，計算機收集的所有探測結(jié)果可以寫成如下數(shù)學(xué)形式：

其中，d表示計算機收集的探測結(jié)果，H表示正交復(fù)數(shù)矩陣，T表示經(jīng)過變換后的待重構(gòu)的復(fù)振幅圖像矩陣。由于使用的復(fù)數(shù)矩陣散斑具有正交性，因此理論上可以通過逆矩陣變換的方法來重構(gòu)復(fù)振幅圖像：

其中，表示重建的目標(biāo)圖像，H'表示復(fù)數(shù)正交基圖案的逆矩陣，η表示一個常數(shù)。

2" 實驗仿真與分析

2.1" 實驗仿真

為了驗證所提方案的可行性，本文在計算機上使用MATLAB 2021a軟件進行了多次仿真測試。實驗中采用兩幅64×64像素大小的圖像，分別是學(xué)校英文簡稱“NCWU”（圖2（a））和“C”（圖2（b）），分別作為復(fù)振幅圖像的振幅和相位，從而構(gòu)成原始復(fù)振幅秘密圖像。根據(jù)本文1.1節(jié)提出的方法，利用計算機生成一個4 096×4 096的正交復(fù)數(shù)矩陣。然后，通過兩個隨機序列對正交復(fù)數(shù)矩陣的行和列進行置亂，得到一個隨機的正交復(fù)數(shù)矩陣（如圖2（c）所示）。這兩個隨機序列是在MATLAB 2021a軟件中通過隨機函數(shù)及式（2）生成的。具體步驟如下：首先，利用軟件生成兩個數(shù)值范圍在[1，256]的隨機整數(shù)序列（圖2（d）、圖2（e）），再利用式（2）將這兩個序列的隨機分布擴展到區(qū)間[1，4 096]。從圖中可以看出，隨機整數(shù)的分布散亂無序，具有良好的加密特性。接下來，利用兩個純相位掩膜干涉（圖2（f）、圖2（g））的方法，將隨機正交復(fù)數(shù)矩陣的每一行重組成投影散斑，并依次投影到目標(biāo)圖像上。與參考光束信號重組后，信號被光電探測器收集。將收集到的結(jié)果經(jīng)過一系列處理（包括外差頻率濾波）后得到檢測序列，并將所有檢測結(jié)果排列成64×64的矩陣形式，最終得到密文，結(jié)果如圖2（h）所示。

接收方利用從私人信道傳輸過來的隨機整數(shù)序列密鑰重新生成隨機正交復(fù)數(shù)矩陣圖案，采用逆矩陣變換的方法對從公共信道傳輸過來的加密圖像進行解密。解密結(jié)果如圖2（i）和（j）所示。從解密結(jié)果中可以看出，解密圖像依舊能夠清晰地還原原始圖像信息。

2.2" 加密特性

在本節(jié)所提到的單像素復(fù)振幅成像方案中，投影散斑是通過兩個隨機整數(shù)序列生成的，具有一定的加密功能。該方案將兩個隨機序列作為加密密鑰，用戶只有獲得正確的加密密鑰，才能通過逆矩陣的方法重構(gòu)秘密圖像。

2.2.1" 加密流程

加密流程圖如圖3所示，具體加密過程如下：

1）采用本文1.1小節(jié)提出的方法生成一個N階的正交復(fù)數(shù)矩陣HN，有正交矩陣的性質(zhì)可知，HN滿足如下數(shù)學(xué)關(guān)系式：

（14）

其中，E表示N階單位矩陣。

2）通過計算機生成兩個隨機整數(shù)向量和，兩個序列的長度大小可根據(jù)實際復(fù)振幅圖像的大小來設(shè)置，假設(shè)對一個64×64像素大小的復(fù)振幅圖像進行單像素成像及加密，則需要一個4 096×4 096大小的正交復(fù)數(shù)矩陣，那么可以生成兩個分別含有1至64整數(shù)的隨機序列并將其作為加密密鑰，然后通過式（2）來獲得隨機向量和，將兩個隨機向量里面的元素值分別作為矩陣的行數(shù)和列數(shù)對正交復(fù)數(shù)矩陣HN的行和列進行置亂，得到雜亂無序的隨機正交復(fù)數(shù)矩陣H。

3）將隨機正交復(fù)數(shù)矩陣H的每一行進行展開，展開后的每一行重新組合成復(fù)數(shù)矩陣Hi的形式，并采用兩個純相位掩膜干涉的方法生成投影調(diào)制散斑Hi照射到目標(biāo)圖像上，經(jīng)過目標(biāo)物體反射和散射的光與另一光路經(jīng)過聲光調(diào)制器調(diào)制的參考光信號相干涉并被光電探測器收集完成一次采樣，這樣的采樣過程需要4 096次。

4）將光電探測器每次收集的數(shù)據(jù)結(jié)果利用外差電流帶通、低通濾波的方法來獲取每次探測到的目標(biāo)圖像的振幅和相位信息di，最終將所有的di重新排列成64×64復(fù)數(shù)矩陣，即密文。

5）將密文通過公共信道傳輸給接收方，同時將密鑰通過私人信道傳輸給接收方，即完成整個加密過程。

2.2.2" 解密流程

秘密圖像的加密過程是加密的逆過程，其詳細過程如下所示：

1）接收者這邊利用通過私人信道獲得密鑰將正交復(fù)數(shù)矩陣的行和列進行重新排列，重新生成隨機正交復(fù)數(shù)矩陣H。

3）將通過公共信道獲得的密文數(shù)據(jù)利用逆矩陣變換就可以將秘密圖像進行解密。

其中，T '表示解密后的復(fù)振幅圖像，H '表示隨機正交復(fù)數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，η表示常數(shù)。

2.3" 性能分析

2.3.1" 安全性分析

安全性是加密系統(tǒng)的一個重要評價標(biāo)準(zhǔn)。在本節(jié)所提出的加密方案中，兩個隨機整數(shù)向量密鑰均為加密密鑰的一部分。如果攻擊者使用其中的一個或兩個錯誤的密鑰對加密圖像進行解密，且無法從解密圖像中獲取原始圖像信息，則證明該系統(tǒng)具有較高的安全性。圖4展示了使用錯誤行序列密鑰、錯誤列序列密鑰以及行列序列均錯誤的密鑰進行解密的振幅和相位結(jié)果。從解密結(jié)果可以看出，無論哪種序列出現(xiàn)錯誤，都無法還原秘密圖像。

2.3.2" 魯棒性分析

為了驗證加密系統(tǒng)的魯棒性，本文還模擬測試了密文的1/16 圖像像素被破壞（圖5（a））以及在密文上加入方差為 0.01和均值為0的高斯白噪聲（圖5（d））的解密情況，如圖5（b）、（c）、（e）、（f）所示分別為兩種情況的解密結(jié)果，其解密結(jié)果的峰值信噪比分別為19.577 3 dB、13.425 6 dB、16.325 8 dB、12.623 8 dB。從解密結(jié)果中可以看出，當(dāng)密文存在一定的破壞以及包含一定的高斯噪聲時，雖然質(zhì)量有所下降但依然能夠重建秘密圖像。

為了驗證加密系統(tǒng)的魯棒性，本文模擬測試了兩種情況：一是密文的1/16圖像像素被破壞（圖5（a）），二是密文上加入方差為0.01、均值為0的高斯白噪聲（圖5（d））。解密結(jié)果如圖5（b）、（c）、（e）、（f）所示，其對應(yīng)的峰值信噪比分別為19.577 3 dB、13.425 6 dB、16.325 8 dB、12.623 8 dB。從解密結(jié)果可以看出，當(dāng)密文存在一定程度的破壞或包含高斯噪聲時，雖然解密圖像質(zhì)量有所下降，但依然能夠重建秘密圖像。

3" 結(jié)" 論

本文提出了一種基于隨機正交調(diào)制的單像素復(fù)振幅成像加密方案。該方案利用正交復(fù)數(shù)矩陣的逆變換方法，實現(xiàn)了復(fù)雜復(fù)振幅物體的成像。同時，通過兩個隨機整數(shù)序列作為密鑰來擾亂正交復(fù)數(shù)矩陣，從而實現(xiàn)對原始圖像的加密。這不僅增強了系統(tǒng)的安全性，還顯著減少了密鑰的傳輸量。后續(xù)的仿真實驗證明，該方案能夠有效抵御常見的噪聲干擾，具有良好的魯棒性，從而驗證了其可行性和安全性。

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作者簡介：張恒（1998—），男，漢族，河南商丘人，碩士研究生在讀，研究方向：信息安全。