利用對(duì)稱思想，巧解概率問(wèn)題

摘要：對(duì)稱思想在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中有奇效，是充分挖掘題目條件內(nèi)涵基礎(chǔ)上的靈活應(yīng)用思想.而借助對(duì)稱性來(lái)解決與概率有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是對(duì)于隨機(jī)事件概率的計(jì)算、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用、正態(tài)分布的應(yīng)用等方面，對(duì)稱性是一種特殊的技巧與方法.本文中結(jié)合實(shí)例，就對(duì)稱性思維解決概率問(wèn)題的常規(guī)方法與對(duì)稱法加以比較，實(shí)現(xiàn)解題的最優(yōu)化.

關(guān)鍵詞：對(duì)稱思想；概率；計(jì)算；數(shù)學(xué)期望

對(duì)稱思想是借助數(shù)的結(jié)構(gòu)屬性或形的幾何特征的基本性質(zhì)來(lái)分析與解決問(wèn)題的一種常見(jiàn)思維方法.其基本思維是利用數(shù)的結(jié)構(gòu)屬性，挖掘代數(shù)式中各元素之間形式的對(duì)稱性或地位的一致性，比較常見(jiàn)的是輪換式對(duì)稱形式；利用形的幾何特征，直觀解決幾何圖形中的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，如軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等.而中學(xué)數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，在概率的求解與應(yīng)用問(wèn)題中經(jīng)常也有對(duì)稱思想的影子，借助概率問(wèn)題中相關(guān)的對(duì)稱性，從數(shù)的結(jié)構(gòu)屬性或形的幾何特征等方面切入與應(yīng)用，對(duì)于概率問(wèn)題的求解與應(yīng)用起到非常關(guān)鍵的作用，可有效提高解題效益，優(yōu)化解題過(guò)程.

1 隨機(jī)事件概率的計(jì)算問(wèn)題

根據(jù)隨機(jī)事件概率的實(shí)際場(chǎng)景，合理通過(guò)概率問(wèn)題中對(duì)應(yīng)事件的對(duì)稱思想，借助對(duì)稱性來(lái)分析與處理，有時(shí)會(huì)顯得更加簡(jiǎn)單、有效.

例1〔2023—2024學(xué)年四川省成都市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷〕九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對(duì)應(yīng)著從1到9九個(gè)數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個(gè)數(shù)字的和（這個(gè)和叫作幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽(yáng)數(shù)，四隅為陰數(shù).”其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個(gè)頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖1所示，若隨機(jī)填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件A=“a+b≥9”，則P（A）的值為.

解法1：常規(guī)方法——枚舉法.

如圖1所示，根據(jù)九宮格的特征，可知四個(gè)頂角a，c，h，f是偶數(shù)2，4，6，8的排列，另外b，e，g，d是奇數(shù)1，3，7，9的排列.

而九宮格的幻和等于15，則知（2，8），（4，6）出現(xiàn)在對(duì)稱線上，（1，9），（3，7）出現(xiàn)在上下（或左右）位置上.

枚舉情況如圖2所示：

結(jié)合以上枚舉的結(jié)論，利用古典概型的概率公式，可知P（A）=68=34.

故填答案：34.

解法2：對(duì)稱法.

根據(jù)九宮格的特征，可知a+b+c=15，而

a+b≥9

Symbol[C@ c≤6.

而九宮格的四個(gè)頂角為偶數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知c取偶數(shù)2，4，6，8是等可能的，則知P（A）=34.

所以P（A）的值為34.故填答案：34.

點(diǎn)評(píng)：以解法1中的枚舉法比較，“抓地位對(duì)等，定概率相同”，通過(guò)古典概型的概率公式來(lái)分析與處理；而借助隨機(jī)事件試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)稱性，解法2中應(yīng)用對(duì)稱法，解題方法更加靈活，技巧思維層次更高，數(shù)學(xué)運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，解題過(guò)程更加簡(jiǎn)捷，對(duì)于問(wèn)題的切入與應(yīng)用更加便捷簡(jiǎn)單.

2 數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題

根據(jù)數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用場(chǎng)景，結(jié)合隨機(jī)變量與對(duì)應(yīng)的分布列的對(duì)稱性來(lái)分析與處理，會(huì)使得數(shù)學(xué)期望的求解與應(yīng)用更加靈活多變.

例2一個(gè)口袋中共有n個(gè)除顏色外全部相同的小球（n∈N*，ngt;3），其中有3個(gè)白色的小球.從口袋中依次取出小球，直至取到第2個(gè)白球?yàn)橹?以隨機(jī)變量X表示取出球的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.

解法1：常規(guī)方法——定義法.

依題可知隨機(jī)變量X的分布列為P（X=x）=（x－1）（n－x）×3！×（n－3）！n！=6（x－1）（n－x）n（n－1）（n－2），其中2≤x≤n－1，且x∈N*

.

而取出小球的過(guò)程就是一個(gè)排列問(wèn)題，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算相應(yīng)的排列數(shù)問(wèn)題.這里要注意的是，取到第1個(gè)白色的小球有（x－1）種可能，第3個(gè)白色的小球有（n－x）種可能，同時(shí)這3個(gè)白色的小球之間的位置是可以任意變換的，而（n－3）個(gè)非白色的小球的位置也是可以任意變換的.

結(jié)合數(shù)學(xué)期望的定義，則有E（X）=∑n－1x=2xP（X=x）=6n（n－1）（n－2）×∑n－1x=2x（x－1）（n－x）=n+12.

故填答案：n+12.

解法2：對(duì)稱法.

設(shè)想將小球一個(gè)個(gè)依次取出，可以看成全部的小球的一個(gè)全排列，由此3個(gè)白色小球?qū)⒄麄€(gè)排列分割成4段，依次設(shè)第1個(gè)白色的小球之前的小球個(gè)數(shù)為X1，第1個(gè)白色的小球與第2個(gè)白色的小球之間的小球個(gè)數(shù)為X2，第2個(gè)白色的小球與第3個(gè)白色的小球之間的小球個(gè)數(shù)為X3，第3個(gè)白色的小球之后的小球個(gè)數(shù)為X4.

而由于每種排列的可能性是一致的，同時(shí)3個(gè)白色的小球的分布又是均勻的，則知隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4具有相同的分布列，以及與之對(duì)應(yīng)的相同的數(shù)學(xué)期望，且根據(jù)題設(shè)條件可知X1+X2+X3+X4=n－3.

所以，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的對(duì)稱性，可知E（X1）=E（X2）=E（X3）=E（X4）=n－34.

而X=X1+X2+2，所以E（X）=E（X1+X2+2）=E（X1）+E（X2）+2=n+12.

故填答案：n+12.

點(diǎn)評(píng)：解法1中的定義法，處理起來(lái)比較煩瑣，計(jì)算量也比較大；而解法2中的對(duì)稱法，充分利用了對(duì)稱性，思維層次高，簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，提高了解題速度.而在實(shí)際解題與應(yīng)用過(guò)程中，合理利用對(duì)稱性來(lái)處理古典概型的概率或數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)且與題設(shè)條件相吻合的樣本空間，注意每個(gè)基本事件的等可能性，這樣借助對(duì)稱性來(lái)處理就會(huì)顯得更加簡(jiǎn)單快捷.

3 正態(tài)分布的曲線問(wèn)題

根據(jù)正態(tài)分布的問(wèn)題場(chǎng)景，把握正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=μ的對(duì)稱性，對(duì)于解決一些相應(yīng)的概率問(wèn)題有奇效.

例3（2024年河南省開封市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（a，σ2）（agt;0），若P（alt;ξ≤a+1）=0.3，且f（x）=x2－2ax+6的最小值為－3，則P（ξlt;2）=.

解析：因?yàn)閒（x）=x2－2ax+6=（x－a）2－a2+6的最小值為－3，所以f（a）=－a2+6=－3，即a2=9.又agt;0，所以a=3.

所以正態(tài)分布N（3，σ2）的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則P（ξgt;3）=0.5.

而依題有P（3lt;ξ≤4）=0.3，所以P（ξgt;4）=0.2.

結(jié)合正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，可得P（ξlt;2）=P（ξgt;4）=0.2.故填答案：0.2.

點(diǎn)評(píng)：在解決與正態(tài)分布N（μ，σ2）有關(guān)的概率問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常離不開正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性及其應(yīng)用.正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，與對(duì)稱軸兩邊等距區(qū)間的概率是相等的，經(jīng)?？梢约右詫?duì)稱轉(zhuǎn)化與恒等變形，給概率的求解與應(yīng)用創(chuàng)造更廣闊的空間與應(yīng)用場(chǎng)景.

運(yùn)用對(duì)稱性思想，可以避免復(fù)雜的解法和冗長(zhǎng)的計(jì)算.對(duì)稱事件其發(fā)生的可能性相等，因此發(fā)掘?qū)ΨQ性是計(jì)算概率的一種特殊技巧.在概率及其應(yīng)用問(wèn)題中對(duì)稱思想的應(yīng)用，關(guān)鍵在于挖掘題設(shè)內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，特別是確定基本事件之間的對(duì)稱性、數(shù)學(xué)期望之間的數(shù)值的對(duì)稱性及正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性等，地位對(duì)等，位置對(duì)稱，可能性相同，這樣才能借助概率相等加以簡(jiǎn)化與解題，即“抓地位對(duì)等，定概率相同”.