常規(guī)三角變換，特殊思維應用

摘要：借助三角恒等變換公式來合理考查邏輯推理與數(shù)學運算，通常是高考中三角函數(shù)模塊考查的熱點與難點.以一道模擬題中的三角函數(shù)值的求解為例，從三角恒等變換公式與特殊值等視角切入，剖析問題的解決技巧與方法，歸納總結(jié)解題技巧與策略，引領(lǐng)并指導數(shù)學教學與復習備考.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；三角恒等變換；特殊值；變式

三角函數(shù)中的三角恒等變換公式，是涉及一個角或兩個角之間的一組特殊恒等公式，是滿足條件的角的變化情境中恒成立的一組基本公式.依托三角函數(shù)的一些關(guān)系式，由不同角之間變化的狀態(tài)中，提取不變的三角函數(shù)值，是高考數(shù)學試卷中三角函數(shù)模塊的一個熱點與基本考查題型之一，其實質(zhì)也是簡單的三角恒等變換的綜合應用，備受各方關(guān)注.本文中以一道三角題的探究為例，剖析問題的解決技巧與方法，歸納總結(jié)解題技巧與策略.

1 問題呈現(xiàn)

問題（湘豫名校聯(lián)考2024屆春季學期高三第二次模擬考試數(shù)學試卷·13）已知角α，β滿足β≠kπ，α+β≠kπ（k∈Z），且tan（α+β）cos β=sin β+tan αcos β，則sin α=.

此題以兩個角所滿足的三角函數(shù)關(guān)系式為問題場景，其中涉及角的正弦值、余弦值與正切值等，同時結(jié)合兩角和與其中另一個角的取值限制條件，進而求解另一個角的三角函數(shù)值.

問題從兩角所滿足的三角函數(shù)關(guān)系式，借助角的取值變化的情境出發(fā)，確定其中一角的三角函數(shù)值，實現(xiàn)變化與不變之間的巧妙轉(zhuǎn)化，突出辯證唯物主義思想.

而在實際解題與應用過程中，從題設(shè)的三角函數(shù)關(guān)系式入手，或合理進行三角恒等變換處理，或巧妙運用特殊值法，都可以給問題的切入與求解開拓一個全新的局面，為問題的求解創(chuàng)造條件.

2 問題破解

2.1 常規(guī)變換思維

解法1：三角恒等變換法1.

依題，由已知tan（α+β）cos β=sin β+tan αcos β，可得[tan（α+β）－tan α]cos β=sin β.若cos β=0，則sin β=0，有sin 2β+cos 2β=0，這與sin 2β+cos 2β=1矛盾，所以cos β≠0.

所以tan（α+β）－tan α=tan β，即tan（α+β）－（tan α+tan β）=0.

結(jié)合兩角和正切公式的變式，可得tan（α+β）－tan（α+β）（1－tan αtan β）=0，則有tan（α+β）5tan αtan β=0.

因為β≠kπ，α+β≠kπ（k∈Z），所以tan α=0，則有sin α=0.

故填答案：0.

點評：根據(jù)題設(shè)條件中的三角關(guān)系式進行合理的變形與轉(zhuǎn)化，巧妙配湊與合理拆分，可以為進一步的三角恒等變換與轉(zhuǎn)化創(chuàng)造條件，這也是解決涉及三角函數(shù)關(guān)系式問題的一種基本技巧方法.抓住本質(zhì)，化弦為切，綜合題設(shè)條件，給問題的突破與切入開拓一個全新的局面，也給相應三角函數(shù)值的求解鋪平道路.

解法2：三角恒等變換法2.

依題，由已知tan（α+β）cos β=sin β+tan αcos β，可得sin（α+β）cos（α+β）·cos β=sin β+sin αcos α·cos β，等式兩邊同時乘cos（α+β）cos α，可得sin（α+β）cos βcos α=sin βcos（α+β）cos α+sin αcos βcos（α+β）.

所以cos β[sin（α+β）cos α－sin αcos（α+β）]=sin βcos（α+β）cos α，即cos βsin [（α+β）－α]=sin βcos（α+β）cos α，亦即cos β=cos（α+β）cos α.

所以cos [（α+β）－α]=cos（α+β）cos α，展開可得cos（α+β）cos α+sin（α+β）sin α=cos（α+β）cos α，即sin（α+β）sin α=0.

因為α+β≠kπ（k∈Z），所以sin α=0.

故填答案：0.

點評：根據(jù)題設(shè)條件中三角函數(shù)關(guān)系式的形式特征，以及所求三角函數(shù)式的形式，合理抓住內(nèi)涵，化切為弦，逐步整理，為進一步利用三角恒等變換公式提供條件.在三角恒等變換過程中，要注意對相關(guān)角進行必要的配湊與分拆，借助整體思維來分析與應用，給問題的突破與解決奠定基礎(chǔ).

2.2 特殊應用思維

解法3：特殊值法.

依題，由已知tan（α+β）cos β=sin β+tan αcos β，β≠kπ（k∈Z），取特殊值β=π4，代入可得tanα+π4·22=22+tan α·22，整理可得tan（α+π4）=1+tan α.

而結(jié)合兩角和正切公式的變式，可得tanα+π4=1+tan α1－tan α=1+tan α，整理可得tan 2α+tan α=0.

由tan α（tan α+1）=0，可得tan α=0或tan α=－1.

當tan α=－1時，取α的一個值為－π4，此時α+β=0，這與條件α+β≠kπ（k∈Z）矛盾，舍去.

所以tan α=0，則有sin α=0.

故填答案：0.

點評：根據(jù)題設(shè)條件中三角函數(shù)關(guān)系式的一般性與限制性，合理進行特殊值處理，有時會給問題的解決與突破創(chuàng)造一個更加適宜的環(huán)境.這里抓住三角函數(shù)關(guān)系式中兩邊的形式及限制條件，以特殊值切入來轉(zhuǎn)化，合理消參處理.

3 變式拓展

變式1〔2024年湖北省騰云聯(lián)盟高三（上）聯(lián)考數(shù)學試卷（8月份）〕已知π2lt;αlt;3π2，－π2lt;βlt;0，且sin α+sin β=3（cos α+cos β），則下列結(jié)論一定不正確的是（）.

A.cos（α－β）=－1B.sin（α－β）=0

C.cos（α+β）=－12D.sin（α+β）=－32

解析：依題，由sin α+sin β=3（cos α+cos β），借助三角恒等變換中的和差化積公式，可得2sinα+β2×cosα－β2=23cosα+β2cosα－β2，整理可得cosα－β2×sinα+β2－3cosα+β2=0.

結(jié)合三角函數(shù)中的輔助角公式，可得2cosα－β2×sinα+β2－π3=0.

由π2lt;αlt;3π2，－π2lt;βlt;0，得π4lt;α－β2lt;π，－π3lt;α+β2－π3lt;5π12，則α－β2=π2或α+β2－π3=0，解得α－β=π或α+β=2π3.

由以上求解結(jié)果，得cos（α－β）=－1，sin（α－β）=0，cos（α+β）=－12，sin（α+β）=32.故選擇答案：D.

變式2（2024年九省普通高考適應性測試數(shù)學試卷）已知θ∈3π4，π，tan 2θ=－4tanθ+π4，則1+sin 2θ2cos 2θ+sin 2θ=（）.

A.14 B.34 C.1 D.32

解析：根據(jù)tan 2θ=－4tanθ+π4，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系及正切的半角公式，可得sin 2θcos 2θ=－4×1－cos2θ+π2sin2θ+π2，即sin 2θcos 2θ=－4×1+sin 2θcos 2θ，解得sin 2θ=－45.

由θ∈3π4，π，可知2θ∈3π2，2π，則cos 2θ=1－sin 22θ=35.

所以1+sin 2θ2cos 2θ+sin 2θ=1+sin 2θ1+cos 2θ+sin 2θ=1－451+35－45=14.故選擇答案：A.

4 教學啟示

三角函數(shù)的三角恒等變換問題，是依托三角函數(shù)中的基本概念、關(guān)系等，在此基礎(chǔ)上深入探究與拓展應用.熟練理解并掌握相應的三角恒等變換公式及其兩種不同思維形式（正向思維與逆向思維），對于解決三角函數(shù)中的綜合應用問題有奇效.

在實際應用過程中，合理依托題設(shè)條件中給出的三角函數(shù)關(guān)系式，挖掘其本質(zhì)與內(nèi)涵，以及關(guān)系式中的結(jié)構(gòu)特征等，理解并掌握對應的三角恒等變換公式及一些相關(guān)的變式，厘清公式的應用場景、條件限制及變化規(guī)律，給進一步的三角函數(shù)綜合應用問題的分析與求解創(chuàng)造條件.