基于高考評(píng)價(jià)體系的近兩年新高考Ⅰ卷數(shù)列試題分析

摘要：高考評(píng)價(jià)體系為試題分析提供了重要指導(dǎo).文章梳理了2023和2024年新高考Ⅰ卷中的數(shù)列試題，基于高考試題評(píng)價(jià)體系，從核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)四個(gè)方面對(duì)試題進(jìn)行分析，給出關(guān)于數(shù)列教學(xué)的備考建議.

關(guān)鍵詞：高考評(píng)價(jià)體系；數(shù)學(xué)試題；備考建議

通過梳理發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷中，數(shù)列試題占據(jù)了重要地位，主要體現(xiàn)在其考查內(nèi)容的廣泛性和對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的綜合考查.數(shù)列問題不僅涉及基礎(chǔ)的數(shù)列性質(zhì)和求解技巧，還要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用能力.

1 試題呈現(xiàn)

題1（2023年新高考Ⅰ卷第7題）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：Snn為等差數(shù)列，則（）.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

題2（2023年新高考Ⅰ卷第20題）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且dgt;1.令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和.

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99=99，求d.

題3（2024年新高考Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，……，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj（ilt;j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，……，a4m+2是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列.

（1）寫出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使數(shù)列a1，a2，……，a6是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列;

（2）當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，……，a4m+2是（2，13）—可分?jǐn)?shù)列;

（3）從1，2，……，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（ilt;j），記數(shù)列a1，a2，……，a4m+2是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pmgt;18.

2 高考評(píng)價(jià)體系下的試題分析

2.1 核心價(jià)值分析：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象與結(jié)構(gòu)化思維

2023年新高考Ⅰ卷第7題（題1）和第20題（題2）及2024年新高考Ⅰ卷第19題（題3），均體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)核心價(jià)值的要求，尤其在數(shù)列問題中對(duì)抽象思維的考查.這些問題不僅要求學(xué)生理解數(shù)列的基本性質(zhì)，還要求他們能夠通過數(shù)學(xué)推理和邏輯推導(dǎo)，構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型.在題1中，考生需運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及充分必要條件的判定方法，分析出“甲是乙的充要條件”.這種問題結(jié)構(gòu)考查學(xué)生是否具備將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，并通過演繹推理求解.而題2的第一問，要求學(xué)生利用已知條件推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，這不僅考查了數(shù)列的構(gòu)造能力，還考查了學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜題目時(shí)，如何將抽象的符號(hào)化公式和實(shí)際的數(shù)列行為相結(jié)合，展現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化思維的深度.

2.2 學(xué)科素養(yǎng)分析：培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與推理能力

從學(xué)科素養(yǎng)的角度看，以上三道題都緊密關(guān)聯(lián)了數(shù)學(xué)建模與推理能力.題1不僅考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解，還涉及如何通過足夠的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，確認(rèn)不同條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，這對(duì)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用具有重要意義.在題2中，第一問求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，要求學(xué)生能夠?qū)⒕唧w的數(shù)列行為通過代數(shù)式表達(dá)出來，并進(jìn)一步使用已知條件建立方程進(jìn)行推導(dǎo).第二問不僅要解方程，還要理解等差數(shù)列的性質(zhì)及如何通過這些性質(zhì)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題.題3則更加注重從更大范圍（如四組數(shù)列分法）的角度，考查學(xué)生如何根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行劃分與推理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理在解決復(fù)雜問題中的重要作用.

2.3 關(guān)鍵能力分析：強(qiáng)化綜合應(yīng)用與創(chuàng)新思維

關(guān)鍵能力方面，以上題目強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)推理、問題分解和綜合應(yīng)用的能力.在題1中，考生需判斷等差數(shù)列之間的關(guān)系，并分析其充要條件，這不僅考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，還考查了他們?cè)趶?fù)雜情境中進(jìn)行邏輯推理的能力.在題2的第二問中，要求考生求解未知的數(shù)列公差，考查了學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，如何通過方程組等工具進(jìn)行求解，反映出學(xué)生在多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間進(jìn)行綜合應(yīng)用的能力.題3則通過設(shè)計(jì)（i，j）-可分?jǐn)?shù)列的概念，考查學(xué)生能否運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行分組，確定具體的分組方式，并進(jìn)一步解決概率問題.這要求學(xué)生具備創(chuàng)新思維和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，能在解題過程中主動(dòng)探索新思路.

2.4 必備知識(shí)分析：從基本到復(fù)雜的逐步遞進(jìn)

高考評(píng)價(jià)體系中對(duì)“必備知識(shí)”的要求，在這三道題中得到了充分體現(xiàn).從題1的基本等差數(shù)列的性質(zhì)到題2的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，再到題3的數(shù)列分組問題，考試內(nèi)容涉及了等差數(shù)列的基本知識(shí)與復(fù)雜應(yīng)用的深度結(jié)合.在解答過程中，學(xué)生需要牢固掌握數(shù)列的基本性質(zhì)、公式推導(dǎo)方法，以及如何運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)解決更復(fù)雜的問題.

題1通過充要條件的判定，促使學(xué)生在掌握數(shù)列基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和及其性質(zhì)的理解.題2則在此基礎(chǔ)上引入了方程的解法及數(shù)列通項(xiàng)的求解，使得學(xué)生在熟練掌握基本公式的同時(shí)，能在更多應(yīng)用場(chǎng)景中進(jìn)行靈活運(yùn)用.題3則拓展了題目情境，通過具體的數(shù)列條件，考查了學(xué)生的綜合能力，尤其是在不規(guī)則條件下進(jìn)行數(shù)列劃分的能力.這一系列題目的解答，要求學(xué)生不僅具備扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，更要能夠靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題，展示出在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷深化對(duì)知識(shí)體系理解的過程.

3 備考建議

3.1 強(qiáng)化對(duì)數(shù)列概念的深度理解與應(yīng)用

2023和2024年新高考Ⅰ卷數(shù)列試題突出考查了數(shù)列的基礎(chǔ)概念及學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.試題的設(shè)計(jì)既注重了數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，又結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行靈活應(yīng)用，要求考生不僅能夠熟練掌握數(shù)列基本類型，還能在復(fù)雜情境下快速作出判斷.因此，備考時(shí)需要特別強(qiáng)化對(duì)數(shù)列概念的理解，尤其是等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推數(shù)列等基本形式，確保學(xué)生能夠靈活運(yùn)用各種數(shù)列知識(shí)解題.對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容，應(yīng)通過大量的練習(xí)進(jìn)行鞏固，并注重?cái)?shù)列與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的融合.通過反復(fù)訓(xùn)練，幫助學(xué)生提高解題速度和準(zhǔn)確度，特別是在涉及數(shù)列遞推關(guān)系與實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，能夠快速找到解決思路和方法.此外，對(duì)于數(shù)列的實(shí)際問題，備考時(shí)要加強(qiáng)理解和分析題意的能力，避免僅僅依賴公式化解答，而忽視了其實(shí)際背景與應(yīng)用情境.

3.2 提升數(shù)列求解的靈活性與多樣性

從2023和2024年新高考Ⅰ卷數(shù)列題型的變化來看，試題不僅考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的掌握程度，還強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在面對(duì)不同題型時(shí)的解題靈活性與綜合能力.試卷中的數(shù)列題呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性，涵蓋了數(shù)列的遞推、求和、極限、最大值等多種求解方式.因此，備考時(shí)，學(xué)生應(yīng)注重提升數(shù)列求解的靈活性與多樣性，不局限于單一的解法或公式，學(xué)會(huì)根據(jù)不同題型選擇合適的解題方法；要通過習(xí)題的積累，熟悉數(shù)列的各種常見變形與拓展，掌握遞推法、數(shù)學(xué)歸納法、差分法等解題技巧，并能夠靈活運(yùn)用于實(shí)際問題中.例如，數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與幾何、數(shù)列與概率等知識(shí)的結(jié)合，都會(huì)成為解題中的關(guān)鍵點(diǎn).通過加強(qiáng)思維訓(xùn)練，學(xué)生能夠應(yīng)對(duì)各種數(shù)列問題的難度提升，并形成靈活多變的解題策略.

3.3 注重?cái)?shù)列題目中的邏輯推理與數(shù) 學(xué)建模

數(shù)列問題的復(fù)雜性不僅僅體現(xiàn)在計(jì)算量上，更體現(xiàn)在其對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力的要求上.2023和2024年新高考Ⅰ卷數(shù)列題型強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)結(jié)合，尤其是問題中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)建模與邏輯推理，要求考生能夠從不同角度思考問題，運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行有效建模，并通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程得出結(jié)論.因此，備考時(shí)要特別注重學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模能力的提升.在解答數(shù)列題目時(shí)，除了關(guān)注直接的數(shù)列運(yùn)算，更要從題目中挖掘出數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生構(gòu)建出清晰的解題框架.通過對(duì)邏輯推理的訓(xùn)練，學(xué)生能夠在數(shù)列應(yīng)用題中找到更多的解決思路，避免陷入機(jī)械的公式推導(dǎo)而忽略了問題本質(zhì).強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力，不僅能幫助學(xué)生在數(shù)列問題中提高解題效率，也為今后面對(duì)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了有力的支持［1］.

參考文獻(xiàn)：

[1]王紅梅.基于核心素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)試題導(dǎo)向分析與應(yīng)對(duì)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（12）：6870.