三角函數(shù)周期確定的“四法”技巧

摘要：作為三角函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，三角函數(shù)周期的確定與應(yīng)用，是高考命題中比較常見的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)與考查點(diǎn).如何有效、合理、快速、簡(jiǎn)捷地確定三角函數(shù)的周期，為三角函數(shù)問題的分析與應(yīng)用創(chuàng)造條件？本文中結(jié)合典型實(shí)例，就確定三角函數(shù)周期的“四法”加以剖析，助力數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；周期；公式；定義；圖象

三角函數(shù)模塊作為高考命題中的基本知識(shí)與主干知識(shí)之一，其中三角函數(shù)的基本性質(zhì)的考查更是靈活多變，?？汲Ｐ?而其中涉及三角函數(shù)的周期確定與應(yīng)用問題，也是三角函數(shù)的基本性質(zhì)考查的一個(gè)重要方向，其巧妙融合三角函數(shù)的其他基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等），有效進(jìn)行知識(shí)的交匯與融合.而三角函數(shù)的周期確定與應(yīng)用，是有一定的規(guī)律可循的.

本文中結(jié)合典型實(shí)例，就確定三角函數(shù)周期的常見“四法”技巧、方法加以分析與應(yīng)用，拋磚引玉.

1 公式法

根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B（其中常數(shù)A≠0）的最小正周期為T=2π|ω|，函數(shù)y=Atan（ωx+φ）+B（其中常數(shù)A≠0）的最小正周期為T=π|ω|.

例1（2024年四川省遂寧市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知函數(shù)f（x）=sinωx+π6+cos ωx（ωgt;0），f（x1）=0，f（x2）=3，且|x1－x2|的最小值為π，則ω的值為（）.

A.23 B.12 C.1 D.2

解析：f（x）=32sin ωx+32cos ωx=3sinωx+π3，則3是函數(shù)f（x）的最大值.

由題意可知，|x1－x2|的最小值是14個(gè)周期，所以結(jié)合公式可得14×2πω=π，解得ω=12.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：公式法是確定三角函數(shù)周期中最為常用的一種基本技巧、方法，其主要適用于簡(jiǎn)單的正弦型、余弦型或正切型函數(shù)的周期的確定與應(yīng)用等.利用正弦型、余弦型或正切型函數(shù)的周期公式解題，其前提條件是對(duì)題設(shè)條件中給出的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，不能盲目直接應(yīng)用公式.

2 定義法

定義法是指把已知函數(shù)進(jìn)行恒等變形，利用函數(shù)的周期性的定義得到f（x+T）=f（x）（其中常數(shù)T≠0），從而求得三角函數(shù)的周期.由定義法得出的三角函數(shù)的周期T，并不一定是最小正周期.

例2下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（）.

A.f（x）=|2－cos x|

B.f（x）=ln|2+sin x|

C.f（x）=xcos x

D.f（x）=|2sin x|

解析：選項(xiàng)A中，f（x+π）=|2－cos（x+π）|=|2+cos x|，顯然|2－cos x|≠|(zhì)2+cos x|，根據(jù)定義可知f（x）=|2－cos x|不是最小正周期為π的函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B中，由于2+sin x≥1，因此可知函數(shù)f（x）=ln|2+sin x|的定義域?yàn)镽.而由于f（x+π）=ln|2+sin（x+π）|=ln|2－sin x|，又ln|2－sin x|≠ln|2+sin x|，根據(jù)定義可知f（x）=ln|2+sin x|不是最小正周期為π的函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C中，f（x+π）=（x+π）cos（x+π）=－（x+π）cos x.而顯然－（x+π）cos x≠xcos x，根據(jù)定義可知f（x）=xcos x不是最小正周期為π的函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D中，f（x+π）=|2sin（x+π）|=|－2sin x|=|2sin x|=f（x），根據(jù)定義可知π是f（x）=xcos x的周期，而僅有選項(xiàng)D的周期為π，則知其最小正周期為π.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：定義法是回歸函數(shù)周期性的概念，回歸問題的本質(zhì)，借助周期性的定義來分析與解決三角函數(shù)中的周期及其應(yīng)用問題.用定義法處理三角函數(shù)的周期問題時(shí)，主要是對(duì)一些復(fù)合三角函數(shù)、混合型函數(shù)類型三角函數(shù)問題加以定義化處理.借助定義來分析與處理周期問題時(shí)，定義域先行的思維要得以有效落實(shí).

3 圖象法

根據(jù)三角函數(shù)圖象的直觀形象，求解一些含有絕對(duì)值符號(hào)、具有分段函數(shù)結(jié)構(gòu)特征的三角函數(shù)的周期問題時(shí)，經(jīng)常可以通過畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，利用直觀形象來觀察圖象的特征，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的周期.

例3下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（）.

A.f（x）=sin x+cos 2x

B.f（x）=|cos x|

C.f（x）=tanx2

D.f（x）=sin|x|

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，利用定義法，有f（x+π）=sin（x+π）+cos 2（x+π）=－sin x+cos 2x≠f（x），故選項(xiàng)A不符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)B，作出函數(shù)f（x）=|cos x|的圖象，由圖（如圖1）可知，函數(shù)f（x）=|cos x|的最小正周期為π，故選項(xiàng)B符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)公式法，f（x）=tanx2的最小正周期為π12=2π，故選項(xiàng)C不符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)D，依題可得函數(shù)f（x）=sin |x|=sin x，x≥0，

－sin x，xlt;0，其圖象如圖2所示.由圖可知，函數(shù)f（x）=sin|x|不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)D不符合題意.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：圖象法的應(yīng)用場(chǎng)景中，比較常見的就是帶有絕對(duì)值符號(hào)的三角函數(shù)的周期確定問題，要求三角函數(shù)的圖象易于作出，方便數(shù)形結(jié)合，為正確、直觀確定對(duì)應(yīng)的周期創(chuàng)造條件.

4 最小公倍數(shù)法

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)“加（減）”混合類的三角函數(shù)y=f（x）±g（x）的最小正周期就是函數(shù)y=f（x），y=g（x）各自最小正周期的最小公倍數(shù).

例4干支紀(jì)年歷法（農(nóng)歷）始于黃帝時(shí)期，借助十個(gè)符號(hào)的天干與十二個(gè)符號(hào)的地支，順序相配正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一，與國(guó)際公歷歷法并存.受此周期規(guī)律的啟發(fā)，可以求得三角函數(shù)f（x）=cos2x3－sinx4（x∈R）的最小正周期為（）.

A.30πB.24πC.12πD.6π

解析：根據(jù)公式法，可知函數(shù)y=cos2x3的最小正周期為T1=2π23=3π，函數(shù)y=sinx4的最小正周期為T2=2π14=8π.

通過類比思維，可知三角函數(shù)f（x）=cos2x3－sinx4的最小正周期是函數(shù)y=cos2x3的最小正周期T1與函數(shù)y=sinx4的最小正周期T2的最小公倍數(shù).

所以三角函數(shù)f（x）=cos2x3－sinx4的最小正周期為24π.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：最小公倍數(shù)法是確定“加（減）”混合類的三角函數(shù)的最小正周期的一種特殊技巧、方法，解題時(shí)先確定各自的最小正周期，再確定其最小公倍數(shù)即為混合類的三角函數(shù)的最小正周期.作為三角函數(shù)的一個(gè)“二級(jí)性質(zhì)”，在解決一些相關(guān)的三角函數(shù)的最小正周期時(shí)有奇效.

在實(shí)際確定三角函數(shù)的周期來解決與之相關(guān)的問題時(shí)，要合理結(jié)合三角函數(shù)問題的場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用，選取公式法、定義法、圖象法或最小公倍數(shù)法中比較合適的一種方法，或應(yīng)用單一方法，或混用多種方法，或從代數(shù)運(yùn)算方面加以推理運(yùn)算，或從幾何直觀方面加以數(shù)形結(jié)合，都可以有效確定對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的周期.