依托復(fù)數(shù)幾何意義，巧妙解決應(yīng)用問(wèn)題

摘要：復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)自身基本知識(shí)的延伸與拓展，也是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典型例證.本文中結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，依托一些常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景與實(shí)例，就復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算、軌跡問(wèn)題及創(chuàng)新問(wèn)題等方面，剖析復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，歸納總結(jié)解題規(guī)律與技巧，優(yōu)化解題效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；幾何意義；概念；運(yùn)算；軌跡

借助平面直角坐標(biāo)系的建立與復(fù)平面的引入，巧妙將代數(shù)問(wèn)題中的復(fù)數(shù)與幾何問(wèn)題中復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)加以合理聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的巧妙融合，為復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用場(chǎng)景創(chuàng)造條件.借助復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，合理聯(lián)系點(diǎn)（復(fù)平面上的點(diǎn)Z（a，b））、向量（OZ=（a，b））、復(fù)數(shù)（z=a+bi，其中a，b∈R）這三者之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可以把復(fù)數(shù)、平面向量與解析幾何聯(lián)系在一起.解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.特別是復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，可以為復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算、復(fù)數(shù)的軌跡方程及創(chuàng)新方面的應(yīng)用等創(chuàng)造條件.

1 概念方面的應(yīng)用

例1（多選題）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，－1），則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是z=1+i

B.|z|=2

C.復(fù)數(shù)z的虛部為－1

D.復(fù)數(shù)i（z+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上

解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，z=1－i.

所以z=1+i，|z|=12+（－1）2=2，復(fù)數(shù)z的虛部為－1，故選項(xiàng)A，B，C正確.

復(fù)數(shù)i（z+i）=i（1－i+i）=i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（0，1），在虛軸上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

綜上分析，選擇答案：ABC.

點(diǎn)評(píng)：借助復(fù)數(shù)的基本概念，依托點(diǎn)（復(fù)平面上的點(diǎn)Z（a，b））、向量（OZ=（a，b））、復(fù)數(shù)（z=a+bi，其中a，b∈R）這三者之間的關(guān)系加以轉(zhuǎn)化與變形，利用復(fù)數(shù)的幾何意義來(lái)解決一些相應(yīng)的幾何問(wèn)題、向量問(wèn)題等，還可以利用逆向思維來(lái)分析與解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙轉(zhuǎn)化與合理應(yīng)用.

2 運(yùn)算方面的應(yīng)用

例2在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量OM=（a，b），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為a+bi（a，b∈R），將OM繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π4，且將向量OM的模變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到向量ON，此時(shí)向量ON對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（a+bi）（1+i）=a－b+（a+b）i.現(xiàn)有一平行四邊形ABCD，如圖1所示，點(diǎn)A（1，1），B（3，2），|AD|=2|AB|，∠BAD=45°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）.

A.（1，3）B.（2，4）C.（2，1）D.（4，2）

解析：依題意，由A（1，1），B（3，2），可得AB=（2，1），故AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i.

由題意根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，可知AD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（2+i）（1+i）=2－1+（2+1）i=1+3i，即AD=（1，3）.

所以O(shè)D=OA+AD=（2，4），即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：借助復(fù)數(shù)加法、減法、乘法等運(yùn)算的幾何意義，化數(shù)的問(wèn)題為形的特征，進(jìn)而將復(fù)數(shù)運(yùn)算的代數(shù)形式巧妙轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，借助形的視角切入與形的直觀應(yīng)用，特別是結(jié)合形的意識(shí)來(lái)直觀想象與數(shù)形結(jié)合，有時(shí)對(duì)于運(yùn)算與解題等都有明顯的效果.

3 軌跡方面的應(yīng)用

例3已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），且|z－2|=1，則yx的取值范圍是.

解析：依題，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（x，y）.

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，|z－2|=1表示點(diǎn)Z的集合是以（2，0）為圓心，1為半徑的圓，即（x－2）2+y2=1，如圖2所示.

而yx=y－0x－0表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，yx分別取得最大值和最小值.

結(jié)合圖形直觀，設(shè)點(diǎn)A，D為切點(diǎn)，點(diǎn)C為圓心，ACOC=12，所以∠AOC=30°，則kOA=33，kOD=－33.

所以yx的取值范圍是－33，33.

故填答案：－33，33.

例4（2025屆廣東省普通高中畢業(yè)班調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷·10）（多選題）設(shè)z1，z2是非零復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）.

A.z21=z21

B.|z1+z2|=|z1|+|z2|

C.|z1－2－2i|=2，則|z1+1－6i|的最小值為3

D.|z2+i|+|z2－i|=4，則|z2|的最小值為3

解析：依題，取特殊值z(mì)1=1+i，則z21=2i，z21=－2i，顯然z21≠z21，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

取特殊值z(mì)1=i，z2=－i，則|z1+z2|=0，|z1|+|z2|=2，顯然|z1+z2|≠|(zhì)z1|+|z2|，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

依托復(fù)數(shù)的幾何意義，則知滿(mǎn)足關(guān)系|z1－2－2i|=2的復(fù)數(shù)z1，其對(duì)應(yīng)的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)A（2，2）為圓心，且半徑r=2的圓，而|z1+1－6i|表示的是復(fù)數(shù)z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1到點(diǎn)B（－1，6）的距離.根據(jù)平面幾何知識(shí)，可知|z1+1－6i|min=|AB|－r=5－2=3，故選項(xiàng)C正確.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知|z2+i|+|z2－i|=4表示的軌跡是以點(diǎn)F1（0，1），F(xiàn)2（0，－1）為焦點(diǎn)的橢圓，對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，短軸長(zhǎng)為23，則知|z2|的最小值為3，故選項(xiàng)D正確.

綜上分析，選擇答案：CD.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些復(fù)數(shù)的相關(guān)綜合應(yīng)用問(wèn)題，特別是與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，利用對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)的基本屬性，利用復(fù)數(shù)的幾何意義加以巧妙等價(jià)轉(zhuǎn)化，變形為相應(yīng)的形的結(jié)構(gòu)特征.由|z1－z2|的幾何意義是已知復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1，Z2之間的距離，從而根據(jù)曲線的定義得到對(duì)應(yīng)曲線的復(fù)數(shù)方程|z1－2－2i|=2是圓的復(fù)數(shù)方程，|z2+i|+|z2－i|=4是橢圓的復(fù)數(shù)方程等.

4 創(chuàng)新方面的應(yīng)用

例5〔2023—2024學(xué)年廣西河池市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷〕歐拉恒等公式eiπ+1=0（i為虛數(shù)單，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱(chēng)為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式eix=cos x+isin x的特例：當(dāng)自變量x=π時(shí)，eix=cos π+isin π=－1，得eiπ+1=0.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)z=e3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

解析：依題，z=e3i=cos 3+isin 3.而π2lt;3lt;π，則有cos 3lt;0，sin 3gt;0.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知復(fù)數(shù)z=e3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（cos 3，sin 3）位于第二象限.

故填答案：二.

點(diǎn)評(píng)：借助復(fù)數(shù)中創(chuàng)新定義、數(shù)學(xué)文化等場(chǎng)景應(yīng)用，將復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算等與相應(yīng)的幾何意義加以巧妙聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)形的幾何特征，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合應(yīng)用與合理轉(zhuǎn)化，通過(guò)不同思維視角，借助不同基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)分析與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題的突破與求解.

合理挖掘與應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義，可以很好地構(gòu)建起復(fù)數(shù)問(wèn)題中的“數(shù)”與幾何問(wèn)題中的“形”之間的聯(lián)系與過(guò)渡轉(zhuǎn)化，從而采用更加合理、有效的技巧、方法來(lái)分析與處理，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的優(yōu)化解決與合理應(yīng)用.而借助復(fù)數(shù)的幾何意義的挖掘與應(yīng)用，對(duì)于問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與優(yōu)化有很大的幫助，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的聯(lián)系，從而更加有效地通過(guò)形的意識(shí)來(lái)直觀分析，通過(guò)數(shù)的意識(shí)來(lái)數(shù)學(xué)運(yùn)算，全面提升數(shù)學(xué)解題能力，優(yōu)化解題效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).