挖掘特征巧換元，最值求解妙突破

摘要：基于代數(shù)式最值（或取值范圍）問題的求解，換元法是比較常見的一種技巧、方法.本文中結(jié)合題設(shè)場(chǎng)景的不同形式，就比較常見的分式問題、積式問題、混式問題及創(chuàng)新問題等典型實(shí)例加以剖析與應(yīng)用，歸納總結(jié)換元技巧與對(duì)應(yīng)策略，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：代數(shù)式；最值；分式；積式；基本不等式

借助換元法思維處理代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，是基于不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的放縮與應(yīng)用下的一種基本思維方式.根據(jù)不同問題場(chǎng)景，對(duì)應(yīng)的換元技巧與方法也各不相同，依托比較常見的分式問題、積式問題、混式問題及創(chuàng)新問題等幾類典型應(yīng)用場(chǎng)景，采用不同的技巧、方法加以變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而結(jié)合換元法思維來處理，實(shí)現(xiàn)最值（或取值范圍）問題的突破與求解.

1 分式問題分母為主

分式問題，是指題設(shè)條件中或所求結(jié)論中的代數(shù)式含有分式關(guān)系式的和，此時(shí)經(jīng)常采用雙變量換元法來處理.

例1〔2024年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）〕（1）已知正數(shù)x，y滿足1x+2y+12x+y=1，則x+y的最小值為.

（2）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則x2x+y+yx+2y的最大值為.

（3）若x＞0，y＞0，且x+2y=1，則x2x+1+2y2y+2的最小值為.

解析：（1）令x+2y=m，2x+y=n，則1m+1n=1，m+n=（x+2y）+（2x+y）=3（x+y）.

利用基本不等式，可得x+y=m+n3=13×（m+n）1m+1n=132+mn+nm≥132+2mn×nm=43，當(dāng)且僅當(dāng)mn=nm，即m=2，n=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=y=23.

所以x+y的最小值為43.

（2）令2x+y=m，x+2y=n，則x=2m－n3，y=－m+2n3，且m＞0，n＞0.

利用基本不等式，可得x2x+y+yx+2y=2m－n3m+－m+2n3n=43－n3m+m3n≤43－2n3m×m3n=23，當(dāng)且僅當(dāng)n3m=m3n，即m=n時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=y.

所以x2x+y+yx+2y的最大值為23.

（3）令m=x+1，n=y+2，則x=m－1，y=n－2，則x+2y=m－1+2（n－2）=1，即m+2n=6.

利用基本不等式，可得x2x+1+2y2y+2=（m－1）2m+2（n－2）2n=m+2n+1m+8n－10=1m+8n－4=161m+8n（m+2n）－4=162nm+8mn+17－4≥1622nm×8mn+17－4=16，當(dāng)且僅當(dāng)2nm=8mn，即m=65，n=125時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=15，y=25.

所以x2x+1+2y2y+2的最小值為16.

點(diǎn)評(píng)：解決此類代數(shù)式的最值問題時(shí)，往往以分式問題的分母為主加以雙變量換元處理，進(jìn)而利用配湊或者常數(shù)代換法的拓展，結(jié)合基本不等式的放縮與應(yīng)用來分析與求解.

2 積式問題因式分解

積式問題，是指題設(shè)條件中的代數(shù)式或關(guān)系式可以進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)多變量的一次式線性關(guān)系的乘積為定值的問題，此時(shí)經(jīng)常采用雙變量或單變量換元法來處理.

例2〔2024年江蘇省鹽城市亭湖區(qū)伍佑中學(xué)高三（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷〕已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4（a+b）=4ab+3，則a+2b的最大值為（）.

A.2B.22C.3－2D.3－22

解析：因?yàn)?（a+b）=4ab+3，所以4ab－4a－4b+3=0，配湊可得4ab－4a－4b+4=1，兩邊同時(shí)除以4得ab－a－b+1=14，即（1－a）（1－b）=14.

令x=1－a＞0，y=1－b＞0，則a=1－x，b=1－y，y=14x.

利用基本不等式，可得a+2b=1－x+2（1－y）=－x－2y+3=－x－12x+3=－x+12x+3≤－2x×12x+3=3－2，當(dāng)且僅當(dāng)x=12x，即x=22時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=1-22，b=1-24.

所以a+2b的最大值為3－2.

點(diǎn)評(píng)：解決此類代數(shù)式的最值問題時(shí)，往往基于積式問題的因式進(jìn)行雙變量或單變量換元處理.其代數(shù)式或關(guān)系式的特征是條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理.例如，最常見的因式分解式為a+b+ab+1=（a+1）（b+1）.

3 混式問題整體思維

混式問題，是指題設(shè)條件中的代數(shù)式或關(guān)系式是一個(gè)多變量的一次式的和、一個(gè)多變量分式的和這兩類式子混合在一起的關(guān)系式，此時(shí)經(jīng)常結(jié)合所求結(jié)論采用單變量換元法來處理.

例3（2024年安徽省江淮十校高考數(shù)學(xué)第三次質(zhì)檢試卷）已知正數(shù)a，b滿足a+b+1a+4b=10，則a+b的最大值是.

解析：設(shè)a+b=x，則1a+4b=10－x.因?yàn)閍，b均為正數(shù)，所以xgt;0，

10－xgt;0，解得0＜x＜10.

利用基本不等式，可得x（10－x）=（a+b）1a+4b=5+ba+4ab≥5+2ba×4ab=9，當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，即b=2a=6時(shí)等號(hào)成立.

所以x（10－x）≥9，即x2－10x+9≤0，解得1≤x≤9，滿足0＜x＜10.

所以a+b的最大值為9.

例4〔2023—2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春二中高一（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷〕已知x，y＞0，若x+4y+6=4x+1y，則4x+1y的最小值是.

解析：設(shè)4x+1y=k（k＞0），則x+4y+6=k，所以4x+1y（x+4y+6）=k2，所以4x+1y×（x+4y）+6k=k2，整理得k2－6k－8=16yx+xy.

由x，y＞0，利用基本不等式，可得k2－6k－8=16yx+xy≥216yx×xy=8，當(dāng)且僅當(dāng)16yx=xy，即x=4y=8k時(shí)等號(hào)成立.

所以k2－6k－16≥0，解得k≥8或k≤－2（舍去），即當(dāng)x=1，y=14時(shí)等號(hào)成立.

所以4x+1y的最小值為8.

點(diǎn)評(píng)：解決此類代數(shù)式的最值問題時(shí)，比較常見的處理辦法有三種.（1）問誰設(shè)誰，換元處理，即求誰，設(shè)誰就是k；（2）代入整理，構(gòu)建關(guān)系，即整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；（3）合理放縮，確認(rèn)最值，即方程有解（或不等式用均值放縮），從而確定最值.

借助換元法思維處理代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，關(guān)鍵在于合理挖掘題設(shè)條件與所求結(jié)果中對(duì)應(yīng)的代數(shù)式或關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而加以合理變形與轉(zhuǎn)化，利用結(jié)構(gòu)性質(zhì)進(jìn)行單變量換元、雙變量換元或多變量換元等處理，進(jìn)而將問題進(jìn)行合理變化，依托不等式的基本性質(zhì)、基本不等式等來合理放縮與巧妙應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的最值（或取值范圍）的突破與求解.