談高三復(fù)習(xí)中解題思路的建立和形成

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂上，常規(guī)過程是教師先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，然后進(jìn)行習(xí)題講解.在這個(gè)過程中除“雙基”外，還應(yīng)該關(guān)注學(xué)生基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行知識(shí)梳理、方法整合和思維提煉，以此提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者以一節(jié)“空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”高三復(fù)習(xí)課教學(xué)為例，淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，進(jìn)而有效提升學(xué)生的解題能力.

1 知識(shí)梳理

教師呈現(xiàn)問題，學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理.

生1：在正四面體的背景下，各組向量的模長與夾角均可知，題1可以用向量數(shù)量積的定義直接求解.

生2：在題2正方體中，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可以快速求得異面直線所成角的余弦值.

生3：最后一題可以建系解決.

追問：最后一題是否有其他解決方案？

生4：可以使用基底法.

在三個(gè)問題之后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決向量數(shù)量積問題的三種方法：定義法、基底法、坐標(biāo)法.

教學(xué)說明：在梳理知識(shí)時(shí)，若單獨(dú)由教師梳理，學(xué)生難免會(huì)覺得枯燥乏味，進(jìn)而會(huì)缺乏學(xué)習(xí)興趣.基于此，本環(huán)節(jié)我們?cè)O(shè)計(jì)一些小題，以題帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)回顧，教師在三個(gè)問題的解決過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)數(shù)量積的求解方法，幫助學(xué)生快速建立知識(shí)框架.整個(gè)探索總結(jié)的過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于提升學(xué)習(xí)效率.

2 知識(shí)應(yīng)用

題4（人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第41頁練習(xí)第2題）如圖4，在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，求異面直線AN，CM所成角的余弦值.

生5：△ABC，△ACD和△ABD三邊均已知，三個(gè)以A為頂點(diǎn)的角的大小確定，可以選用基底法進(jìn)行解決.

追問：利用幾何法能否找到這組異面直線所成的角？

生6：連接DN，取ND中點(diǎn)H，連接MH，則知∠CMH或其補(bǔ)角即為所求，接下來解△MHC即可.

追問：能用坐標(biāo)法解決這個(gè)問題嗎？

生7：過點(diǎn)N作垂直于底面BCD的直線，以N為原點(diǎn)，直線NC為x軸，ND為y軸，所作直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系即可.

教學(xué)說明：在系統(tǒng)總結(jié)了向量數(shù)量積的求解思路后，通過題4加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一知識(shí)體系的靈活運(yùn)用.學(xué)生嘗試用多種方法求解，通過交流和對(duì)比，對(duì)數(shù)量積問題的解題思路有更加清晰的認(rèn)識(shí)，而且通過多種方法的對(duì)比，對(duì)于特定問題方法的選取將會(huì)形成自己的見解.

3 高考鏈接

題5（20215新高考Ⅱ卷）如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足〈MN，OP〉=90°的是（）.

教學(xué)說明：判斷線線垂直，是數(shù)量積的重要應(yīng)用，對(duì)于空間想象力比較差的學(xué)生，很難用幾何法判斷出兩條直線的位置關(guān)系，通過建系，進(jìn)行快速運(yùn)算就可以解決本題.一方面，使學(xué)生感受向量法的強(qiáng)大，另一方面，與本節(jié)的數(shù)量積運(yùn)算方法的選擇呼應(yīng).

題6（20235全國乙卷第19題節(jié)選）如圖5，在三棱錐PABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，AD=5DO，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO.求二面角DAOC的正弦值.

解析：在△AOD中可求得AO=6，DO=62，又AD=5DO=302，所以O(shè)D2+AO2=AD2.故OD⊥AO.

在△BDA中，由余弦定理，可得

cos∠DBA=DB2+AB2－DA22DB·AB=32+4－1522×2×62=－16.

在△PBA中，由余弦定理可得PA2=PB2+AB2－2PB·ABcos∠PBA=6+4－26×2×－16=14.

圖6接下來有兩種方法求二面角DAOC的正弦值.

法一：因?yàn)锳B⊥BC，所以過點(diǎn)B作z軸⊥平面BAC，以B為原點(diǎn)建立如圖6的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0，），C（0，22，0）.

設(shè)P（x，y，z），由PA=14，

PB=6，

PC=6，可得

（x－2）2+y2+z2=14，

x2+y2+z2=6，

x2+（y－22）2+z2=6.

解得x=－1，y=2，z=3，所以P（－1，2，3），則D－12，22，32，E12，22，32.

又O（0，2，0），所以

AO=（－2，2，0），AD=－52，22，32.

設(shè)平面ADO的法向量為n1=（x1，y1，z1），則由n1·AO=0，

n1·AD=0可得－2x1+2y1=0，

－52x1+22y1+32z1=0.

令x1=1，則y1=2，z1=3，所以n1=（1，2，3）.

又平面ACO的一個(gè)法向量為n2=（0，0，1），所以cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1||n2|=31+2+3=22.

因?yàn)椤磏1，n2〉∈［0，π］，所以sin〈n1，n2〉=22.

故二面角DAOC的正弦值為22.

法二：連接DE，OF，設(shè)AF=tAC，則BF=BA+AF=（1－t）BA+tBC，AO=－BA+12BC.

由BF⊥AO，得

BF·AO=［（1－t）BA+tBC］·－BA+12BC=（t－1）BA2+12tBC2=4（t－1）+4t=0.

解得t=12，則F為AC的中點(diǎn)，所以BF=12AC=3.

因?yàn)镺D⊥AO，BF⊥AO，所以〈BF，OD〉為二面角DAOC的平面角θ.

在△BPC中，BP5BC=6×22×33=4.

在△PBA中，BP5BA=26×－16=-2.

在△ABC中，BC5BA=0.

所以BF5OD=12（BC+BA）512CP=125（BC+BA）512（BP－BC）=14BC5BP－14BC2+14BA5BP－14BA5BC=－32.

所以cos θ=BF5OD|BF||OD|=－22，sin θ=22.

教學(xué)說明：用數(shù)量積求空間角是高考的熱點(diǎn)，在本節(jié)課前面的復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)量積的運(yùn)算方法已基本掌握，我們通過具有代表性的高考真題來提升學(xué)生的解題能力.

在高三復(fù)習(xí)課的過程中，我們依舊要讓學(xué)生成為課堂的主體，保證學(xué)生學(xué)有所思、學(xué)有所悟.對(duì)于特定問題，教師要精心設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生建立健全的解題思路，提升解決問題的能力.

課堂中幫助學(xué)生建立解題思路，主要包括以下三個(gè)方面：

第一，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí). 確保學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)有透徹的理解. 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，如構(gòu)建知識(shí)框架圖，使學(xué)生對(duì)知識(shí)體系有整體認(rèn)知，便于在解題時(shí)快速定位所需知識(shí).

第二，加強(qiáng)解題訓(xùn)練. 選擇具有代表性和啟發(fā)性的例題，詳細(xì)分析解題思路的形成過程，展示如何從已知條件中挖掘關(guān)鍵信息，找到解題切入點(diǎn).

第三，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維. 注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問題進(jìn)行分析、推理和判斷. 鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練，對(duì)同一道題嘗試從不同角度思考，運(yùn)用不同方法解答.