在反省中激活學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維

摘要：數(shù)學(xué)直覺思維是指不經(jīng)過邏輯的、有意識的推斷而識別數(shù)學(xué)對象，并對其進行迅速的判定和直接的領(lǐng)悟.培養(yǎng)可控、合理、有價值的數(shù)學(xué)直覺思維，有助于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.文章從情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計、知識結(jié)構(gòu)、解題操作三方面分析反省，以典題為例，旨在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生不斷地反省，為產(chǎn)生有效的直覺提供源泉.

關(guān)鍵詞：直覺思維；反省；數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)直覺思維是人腦對數(shù)學(xué)對象進行潛意識的推理，快速判定和領(lǐng)悟事物的能力.學(xué)生在解題過程中遇到一些新情境下的問題是常有的事，有時經(jīng)過幾番思考與推敲，腦子里會突然有靈光一現(xiàn)的好思路，這種好思路的瞬間閃現(xiàn)就是一種數(shù)學(xué)解題的直覺.直覺并不是突如其來的，它的出現(xiàn)需要前期的準(zhǔn)備，需要一系列數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累及完整的知識體系.要獲得有利于解題的直覺，關(guān)鍵在于自身的“反省”，以一個旁觀者的角度去觀察自己學(xué)習(xí)過程中所做的事，將自己的活動作為思考對象，不斷地對自己提出的觀點加以證實，通過“反省”搞清楚直覺產(chǎn)生的依據(jù)，養(yǎng)成對直覺分析的習(xí)慣.

1 在新授課的情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計中反省

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).所以教師經(jīng)常會創(chuàng)設(shè)一連串的問題和一系列的探究活動，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新概念、新結(jié)論.事實上，發(fā)現(xiàn)與真正理解新知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)還是存在一些距離的.比如教師在證明新結(jié)論時，需要引入一些輔助條件，雖然學(xué)生時常覺得輔助條件的出現(xiàn)很突然，但基本上也不去深究為何要引入輔助條件，會自覺地理解為老師這么處理都是因為經(jīng)驗與直覺的引領(lǐng)，題目做多了自然就會了，其實并不是，每個輔助條件的引入都是有原因的，教師作為教學(xué)的先行組織者首先需要對這些“原因”引起關(guān)注，并設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)促使學(xué)生對活動本身進行反省，從而理解新知識的本質(zhì).

案例1如何發(fā)現(xiàn)“垂直”與“對稱性”是緊密關(guān)聯(lián)的

問題圖1中旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系？

追問1：大家都認(rèn)為旗桿與地面是垂直的，那我們?nèi)绾卫斫狻按怪薄蹦?？大家認(rèn)識中的垂直是怎樣的或者說不垂直是怎樣的？旗桿與地面的相對位置關(guān)系有什么特征？

生：旗桿正立在地面上，不是斜著的.

反省1：正立在地面上，是我們的一種直覺感受，為什么會有這種直覺是需要我們?nèi)ブ匾暤?

追問2：在平面幾何中，我們是怎么定義垂直的？從數(shù)學(xué)的角度觀察，圖形有怎樣的特征？

生：兩直線a與b相交，且夾角為90°，那么這兩條直線垂直，直線a與b互為對稱軸.

追問3：大家思考一下，是否也能從數(shù)學(xué)的角度觀察直線與平面垂直有怎樣的特征？

生：感覺直線關(guān)于平面對稱.

反省2：怎么確認(rèn)這個感覺是對的？

追問4：如何給直線和平面垂直下定義？

實驗：如圖2，將鉛筆當(dāng)成旗桿，白紙為地面，當(dāng)鉛筆正立在紙面時，它與紙面上的直線有什么關(guān)系？

教學(xué)說明：在空間的各種性質(zhì)中，最為基本的性質(zhì)首推“對稱性”和“平直性”，它們在立體幾何中則表現(xiàn)為“平行”與“垂直”以及二者之間的密切聯(lián)系.立體幾何解題過程中經(jīng)常需要借助這兩個性質(zhì)引入輔助條件，學(xué)生往往受困于如何作輔助線.追問1中學(xué)生的回答是依靠經(jīng)驗對“垂直”的直覺認(rèn)識，教師對于學(xué)生產(chǎn)生直覺的背景需要引起重視.學(xué)生確信某個結(jié)論與為什么確信這個結(jié)論是兩件不同的事情，通過不斷追問和反省，學(xué)生能真正透過事物的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).

2 在完善和優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)中反省

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指在學(xué)習(xí)者所掌握的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的關(guān)于數(shù)學(xué)的觀念.奧蘇泊爾理論認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知識的學(xué)習(xí)起決定作用，如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善程度差則必然會影響新知識的獲得.為什么有些學(xué)生上課明明聽懂了，但是課后作業(yè)完成不好，究其原因是原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識和觀念的辨別性和穩(wěn)定性較差，根據(jù)認(rèn)知經(jīng)濟原則新知識就容易發(fā)生遺忘.直覺是學(xué)生遇到問題與過往知識、經(jīng)驗撞擊產(chǎn)生的瞬間思維，可以認(rèn)為經(jīng)驗越豐富，知識理解越透徹，知識結(jié)構(gòu)越完備，越容易滋養(yǎng)直覺.數(shù)學(xué)知識的理解應(yīng)該是“多思而知之”，需要學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進行反省，優(yōu)化和完善知識結(jié)構(gòu)，減少錯誤直覺的產(chǎn)生.

案例2關(guān)于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)

引例①將高一小紅歷次考試的化學(xué)成績依次排成一列：

63，67，59，60，69，73，75，78.

②公元前7世紀(jì)，人們用以下的一列數(shù)來表示一個月從第1天到第15天月亮每天的可見部分?jǐn)?shù)：

5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.

（注：把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數(shù)的數(shù)來表示.）

③－12的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：

－12，14，－18，116，……

問題1根據(jù)上述例子回答下列問題：

（1）引例①中的第2、第7個數(shù)表達的實際意義是什么？

（2）引例②中哪天月亮的可見部分?jǐn)?shù)為112？

（3）引例①與②中的每一個數(shù)位置能互換嗎？

（4）這三個例子有什么共同的特征？

問題2大家發(fā)現(xiàn)上述三列數(shù)都按一定的順序排列，那么是否能引入一個數(shù)學(xué)符號表示這種關(guān)系？

追問：符號ai的實際意義是什么？

問題3根據(jù)前面的分析，我們是否能夠描述數(shù)列的定義？

問題4根據(jù)數(shù)列中序號i與項ai的關(guān)系，大家回憶下數(shù)列與我們學(xué)過的哪個知識有關(guān)系？

問題5數(shù)列是函數(shù)，那么我們接下來將從哪幾方面來研究數(shù)列？

反省1：以前學(xué)習(xí)函數(shù)時，我們研究了函數(shù)的哪些內(nèi)容？

反省2：數(shù)列作為函數(shù)，與之前學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)相比有沒有特殊的地方？

反省3：既然數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么我們可以用函數(shù)的哪些表示方法來表示引例中的數(shù)列呢？

教學(xué)說明：借助問題鏈的形式組織教學(xué)，教學(xué)中在抽象出數(shù)列的概念后，讓學(xué)生回憶先前學(xué)習(xí)的關(guān)于函數(shù)的內(nèi)容及研究路徑，思考如何類比函數(shù)研究數(shù)列，借助函數(shù)的表示法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為圖象，讓學(xué)生更加直觀地感受到數(shù)列作為函數(shù)的特殊之處，其圖象為一系列離散的孤立點；同時數(shù)列的圖象也讓學(xué)生再次認(rèn)識到函數(shù)自變量的取值可以是連續(xù)變化的，也可以是離散變化的，通過數(shù)列的學(xué)習(xí)進一步優(yōu)化和完備函數(shù)的知識.

3 在解題操作中反省

在解題教學(xué)的過程中，我們經(jīng)常會將運算及證明的程序化步驟歸功于邏輯思維；其實當(dāng)遇到一些情境和設(shè)問比較新穎的題目時，解題思路往往都來源于直覺思維，然后將直覺產(chǎn)生的靈感采用數(shù)學(xué)的程序化形式生成解題過程.在完成填空題和選擇題的解答過程中，學(xué)生經(jīng)常利用直覺思維對題目進行合理的猜想，進而簡化過程提高解題效率.相比于邏輯思維，直覺思維顯得有些縹緲和不真實，為了讓學(xué)生更好地控制直覺思維，筆者認(rèn)為應(yīng)該在解題教學(xué)中促使學(xué)生去反省，讓他們有意識地關(guān)注自己的直覺思維，反省合理猜想的理由及產(chǎn)生聯(lián)想的緣由.

案例3關(guān)注合理猜想

下列試題為2022年廈門市高三3月質(zhì)檢第7題，得分均分為3.02分，學(xué)生反饋在運算上花了些時間，不確定點D的位置.有一位學(xué)生表示他在考場上猜測AD=DC，很快就算出答案.這位學(xué)生的猜測也引起了筆者的關(guān)注，為何學(xué)生會這樣猜測呢？根據(jù)訪談的情況在課堂上進行有針對性的設(shè)問.

試題在四邊形ABCD中，AB=1，AC=3，AC⊥AB，∠ADC=2π3，則AB·AD的最小值為（）.

A.3 B.－1 C.－32 D.－12

問題1四邊形ABCD是確定的嗎？

追問：點D的位置在哪？

問題2如圖3，點D在劣弧AC上，怎么求得AB·AD的最小值？

生：可以利用向量數(shù)量積的公式進行運算，也可以以A為坐標(biāo)原點，AC，AB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系.

問題3有同學(xué)在考場上直接猜測AD=DC時，AB5AD取最小值，大家覺得這樣的猜測合理嗎？

生：就是點D在劣弧AC的中點時取到最小值，猜測合理.

反省1：請猜測AD=DC的同學(xué)來分享一下為什么這么猜測？

生：根據(jù)圖形的對稱性.

反省2：大家思考下根據(jù)“圖形的對稱性”是否有道理？

教學(xué)說明：首先借問題1和問題2對試題進行常規(guī)思路解析，在訪談中學(xué)生提供了猜測“AD=DC”的思路，這是學(xué)生根據(jù)形感產(chǎn)生的合理猜想，由于在考場上時間有限，借助這種直覺推理提高解題效率還是可取的.利用問題3引導(dǎo)學(xué)生去反省這個直覺推理的合理性，培養(yǎng)學(xué)生有意識地關(guān)注自己的直覺.

案例4培養(yǎng)直觀聯(lián)想

例題已知P是雙曲線x2a2－y2b2=1（a，bgt;0）右支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點，焦距為2c，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為（）.

A.aB.bC.cD.a+b-c

問題1請同學(xué)們根據(jù)題意作圖，并思考題目涉及了哪些知識？（學(xué)生根據(jù)題意作出圖4.）

追問1：雙曲線與三角形的內(nèi)切圓分別有什么性質(zhì)？

追問2：|PF1|－|PF2|=2a，是否能將|PF1|，|PF2|進行等量替換得到新的式子呢？

|PF1|－|PF2|=（|PQ|+|QF1|）－（|PN|+|NF2|）=|QF1|－|NF2|=|MF1|－|MF2|.問題2剛剛我們通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼玫搅藞A心的橫坐標(biāo)，大家能不能從其他角度求得圓心的橫坐標(biāo)？

生：使|PF2|=2c，讓△PF1F2成為等腰三角形.

反省1：可行，大家討論下還有沒有其他特殊的情況？（借助幾何畫板讓點P動起來.）

生：讓點P無限接近點M，內(nèi)切圓就會越來越小，內(nèi)切圓圓心I就會無限接近點M.

反省2：剛剛我們讓點P逼近點M，這是怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？之前的學(xué)習(xí)中我們在哪里也運用過？這種解法一般適用于什么情況？

教學(xué)說明：問題1主要是讓學(xué)生從常規(guī)的角度去解決問題，問題2是為了引導(dǎo)學(xué)生利用極限思想求得結(jié)果.學(xué)生通過圖形很難直觀聯(lián)想到讓點P逼近點M，在課堂上筆者借助幾何畫板輔助學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生直觀聯(lián)想能力；在后續(xù)的追問中以小組討論的形式反省解法的優(yōu)勢，讓學(xué)生加深對極限思想的體會，幫助學(xué)生為解題直覺提供一些基礎(chǔ)素材.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)直覺思維在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和個人成長過程中還是很重要的.多數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)總有一種既愛又畏懼的情愫，他們經(jīng)常沉浸在茫茫題海中練習(xí)，為了提高解題效率機械地記憶各種繁瑣的二級結(jié)論，這些過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)反而抑制了學(xué)生對數(shù)學(xué)的創(chuàng)造和熱情.教師有責(zé)任和義務(wù)幫助學(xué)生從過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)中解放出來，在具體的教學(xué)中不斷探索、研究，設(shè)計有針對性的活動，讓學(xué)生在活動中獲得靈感的誘發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生于反省中關(guān)注自己的直覺思維，讓直覺變得真實、有價值，這對學(xué)生的發(fā)展有極大意義.