如何把教科書中的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻栴}

摘要：課程標(biāo)準(zhǔn)要求切實(shí)將數(shù)學(xué)建模融入日常教學(xué)中，要做到這一點(diǎn)，至少需要在日常教學(xué)中能遇到建模問題.但在教材里除某些章節(jié)中特意設(shè)置的數(shù)學(xué)建模問題，不管是例題還是習(xí)題中建模問題一般并不常見.本文中首先區(qū)分了教材中常見的應(yīng)用題和建模問題的不同，在此基礎(chǔ)上例舉了如何將教科書中不同知識(shí)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題逐步轉(zhuǎn)變?yōu)榻栴}.

關(guān)鍵詞：過渡；建模問題；數(shù)學(xué)問題

2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)學(xué)建?！弊鳛榱蠛诵乃仞B(yǎng)之一，并將數(shù)學(xué)建模作為課程內(nèi)容的主線，不僅安排了具體課時(shí)，還要求把數(shù)學(xué)建模思想以不同的形式滲透在各模塊和專題之中，在必修課程和選擇性必修課程中都要有數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)這一主題[1].這就要求建模內(nèi)容不僅要在建模專題中呈現(xiàn)，在日常教學(xué)中也要有所涉及.

然而現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容并不常見，往往是在學(xué)習(xí)完某一知識(shí)主題后再配以建模專題.而由于種種原因，許多教師又難以找到或提煉出合適的數(shù)學(xué)建模問題，這就使得在日常教學(xué)中缺乏適合學(xué)生學(xué)習(xí)和教師講解的數(shù)學(xué)建模問題[2]，致使他們在日常教學(xué)中難以將數(shù)學(xué)建模融入課堂；還有教師將數(shù)學(xué)建模問題等同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題代替數(shù)學(xué)建模教學(xué)[3]，這都不利于學(xué)生建模能力的培養(yǎng).梁貫成教授等編譯的《數(shù)學(xué)建模與評估指南》中介紹了如何將一個(gè)數(shù)學(xué)問題改編成一個(gè)建模問題.這里我們借鑒該書的思想方法介紹如何將教科書中的問題過渡到建模問題.在此之前，我們首先對數(shù)學(xué)應(yīng)用題和數(shù)學(xué)建模做一區(qū)分.

1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用

要將教科書中的問題過渡到建模問題，首先就要區(qū)分清楚應(yīng)用題和建模問題.應(yīng)用題長久以來作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的標(biāo)志，在我國高中階段有著豐富的資源.教材中呈現(xiàn)的實(shí)際問題（以下簡稱“應(yīng)用題”）是教材編寫者進(jìn)行一定的抽象、簡化、假設(shè)后的問題情境.這類問題是將既定的數(shù)學(xué)形式化結(jié)構(gòu)披上一層現(xiàn)實(shí)世界的外衣，并不是真實(shí)的現(xiàn)實(shí)原型[4].對原型問題的高度簡化使得應(yīng)用題具有抽象性、確定性和封閉性的特點(diǎn).而建模問題來自現(xiàn)實(shí)生活，沒有明顯的數(shù)據(jù)和關(guān)系，不具備求解問題所需的一切必要信息，需要建模者確定要解決的具體問題，以及需要什么信息來解決這個(gè)問題，什么樣的數(shù)學(xué)工具是有用的，同時(shí)還要考慮結(jié)果是否符合實(shí)際情況.因此建模問題具有現(xiàn)實(shí)性、模糊性和開放性.

把數(shù)學(xué)建模和其他形式的數(shù)學(xué)應(yīng)用區(qū)別開來的是：（1）一開始，即明確地關(guān)注從數(shù)學(xué)世界以外的問題到它的數(shù)學(xué)形式的這個(gè)過程；（2）結(jié)束時(shí)，在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界情境之間達(dá)成清楚的協(xié)調(diào)[5].在教科書中，應(yīng)用通常是在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)結(jié)束后，學(xué)生清楚地知道用特定的知識(shí)內(nèi)容去解決給定的應(yīng)用題.但是面對建模問題，問題本身不會(huì)告訴我們用什么方法或數(shù)學(xué)知識(shí)來解決.給出一個(gè)建模問題，必須同時(shí)為學(xué)生提供足夠的空間，讓學(xué)生來解釋這個(gè)問題，并在解決問題的過程中有自己的選擇[6].

下面通過舉例來說明如何將熟悉的數(shù)學(xué)問題改編為適合日常教學(xué)中使用的建模問題.

2 具體案例

案例1（人教A版必修第二冊第43頁的例5）

在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解這個(gè)三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）.

在教材中，本例是為學(xué)生如何利用余弦定理解三角形設(shè)置的數(shù)學(xué)問題，向建模問題過渡的第一步，是先將問題情境化.

比如：如圖1，某地的高鐵路線規(guī)劃要經(jīng)過一座小山丘，為計(jì)算隧道工作量，需要知道隧道的長度.如果已測得AC=150 m，BC=140 m，以及∠ABC=75°，能否求出AB的長度，即隧道的長.

這樣改編，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，但是題目求解方法具有明確的指向性（指向余弦定理）、有具體的方案提示，開放程度不夠，仍然不算是建模問題.

下面將問題有意義地進(jìn)一步開放：

某地的高鐵路線規(guī)劃要通過隧道經(jīng)過一座小山丘，請你設(shè)計(jì)合適的方案幫助工程隊(duì)測量出山內(nèi)隧道的長度，以方便估計(jì)所需的工程量.

經(jīng)過這樣的改編，題目具有了開放性，學(xué)生需要自己獲取數(shù)據(jù).面對這個(gè)問題，學(xué)生可以根據(jù)所學(xué)知識(shí)，選擇不同的解決方案.學(xué)生會(huì)想到利用余弦定理，也會(huì)想到其他更多的解決方法，例如構(gòu)造四邊形、構(gòu)造全等三角形、利用勾股定理以及相似三角形等.針對不同的方法，學(xué)生還可以根據(jù)可行性和方便性選擇最優(yōu)的測量方法.此時(shí)問題變成了一個(gè)真實(shí)的模型，而不是對某一個(gè)特定問題的訓(xùn)練，這樣不僅能完成相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)，還能使學(xué)生在真實(shí)情境中解決問題.

案例2（人教A版選擇性必修第二冊第35頁例7）

已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a1=12，q=12，求S8.

本例是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用數(shù)列的首項(xiàng)和公比求數(shù)列的和，這是一個(gè)純數(shù)學(xué)問題.朝著建模邁出的第一步，先將問題情境化：

用1萬元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.

（1）若以月利率0.350%的復(fù)利計(jì)息，一年能獲得多少利息？

（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存一年，則每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息比按月結(jié)算的利息更高？

這是一個(gè)典型的等比數(shù)列應(yīng)用題，題目中數(shù)據(jù)明確且暗含假設(shè)利息每月每季不變，學(xué)生只需要根據(jù)題目找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系求解即可，問題情境并不符合真實(shí)的情境，偏向于數(shù)學(xué)應(yīng)用.

我們可以先省去購買金額和利息，直接給出與生活相關(guān)的信息，將問題進(jìn)一步開放且變得有意義：

生活中有各種各樣的理財(cái)產(chǎn)品，相信同學(xué)們的爸爸媽媽也會(huì)購買一些理財(cái)產(chǎn)品，假如你是小當(dāng)家，要購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年，你該如何選擇？

為了解決這個(gè)問題，學(xué)生首先要去了解理財(cái)產(chǎn)品的收益以及收益的計(jì)算方法，從中建立等比數(shù)列模型；其次必須去調(diào)查理財(cái)產(chǎn)品的月利率、季度利率，起初可能不會(huì)考慮到月利率、季度利率在一年內(nèi)是否保持不變，如果變化則需要取平均利率進(jìn)行計(jì)算，從而確定公比；此外利率與初始購買的資金也息息相關(guān)，也就是首項(xiàng).學(xué)生在調(diào)查的過程中會(huì)不斷完善這些信息，經(jīng)歷模型的建立過程.同時(shí)，學(xué)生還會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)據(jù)并不像教科書中那樣明確.整個(gè)過程依然能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列在解決該問題中的作用，還能進(jìn)一步聯(lián)系到其他相同模型問題的解決，例如存款、貸款、按揭買房買車等真實(shí)問題的決策.

在這個(gè)問題中，通過從日常的經(jīng)驗(yàn)中選擇較小的建模決策，數(shù)學(xué)建模的許多重要特性都能夠很好地應(yīng)用到日常教學(xué)中，這樣的建模任務(wù)有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，并生動(dòng)地說明了數(shù)學(xué)對理解日常生活和現(xiàn)實(shí)世界的重要性，而且還是一個(gè)很好的與學(xué)生一起啟動(dòng)建模過程的方式.

案例3（人教A版必修第一冊第86頁第7題）

已知f（x）=x2－2x，求f（x）的最小值.

本題是已知函數(shù)解析式求函數(shù)的最值的練習(xí)題目.先將數(shù)學(xué)問題情境化：

某物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)過程中物體距地面的高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為h（t）=－4.9t2+14.7t+18，那么物體距離地面的最大高度是多少？（精確到1 m）.

這樣的情境化與數(shù)學(xué)的求解幾乎沒有聯(lián)系，情境在數(shù)學(xué)求解的過程中無關(guān)緊要，題目依然是根據(jù)已知函數(shù)解析式求函數(shù)的最值.

我們進(jìn)一步將情境開放，并增加意義：

夜空的煙花絢麗奪目，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.假如你是煙花設(shè)計(jì)者，你該如何設(shè)計(jì)引信的長度，以達(dá)到施放煙花的最佳效果？

此時(shí)，學(xué)生需要適當(dāng)?shù)刈龀鲆恍┘僭O(shè)，并通過實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)以確定煙花距地面的高度h與時(shí)間t的關(guān)系，同時(shí)還要確定引信的燃燒速度v與時(shí)間t的關(guān)系.在函數(shù)關(guān)系生成的過程中，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理和函數(shù)的擬合，以及函數(shù)最值在問題解決中起到的關(guān)鍵作用.然后通過兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式來確定引信能燃燒至煙花達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻.

最重要的是整個(gè)問題解決的過程中，學(xué)生不僅經(jīng)歷了函數(shù)關(guān)系式的生成和求函數(shù)最值的過程，也感受到了函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的重要模型和工具，以及函數(shù)性質(zhì)在解決真實(shí)情境問題中的作用.這樣的建模經(jīng)歷不僅能親身體會(huì)到函數(shù)在生活中的具象使用，還能體會(huì)到數(shù)學(xué)在生活中處處可用.

案例4（人教A版必修第二冊第192頁問題1）

我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題比較突出，某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一戶居民月均用水標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，以使大部分居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，你認(rèn)為需要做哪些工作？

此題目的意圖很明顯，是讓學(xué)生通過數(shù)據(jù)調(diào)查分析，確定合理的月均用水量標(biāo)準(zhǔn).但是只有數(shù)據(jù)的收集和分析顯然比較單一，問題的解決方案已經(jīng)給出，數(shù)據(jù)沒有真實(shí)的利用空間，真正的建模要將數(shù)據(jù)再利用到情境中.

我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題比較突出，某市政府想出臺(tái)政策減少水資源的浪費(fèi)，請你幫助設(shè)計(jì)一套合理的收費(fèi)制度以達(dá)到節(jié)水的目的，并說明設(shè)計(jì)依據(jù).

此時(shí)，節(jié)水的收費(fèi)制度需要學(xué)生自己設(shè)計(jì)，不僅僅是對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析，還要對分析的結(jié)果進(jìn)行合理的解釋和利用，數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的信息需要學(xué)生自己去挖掘.生活中有大量的問題需要通過數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如何將數(shù)據(jù)反應(yīng)出的規(guī)律運(yùn)用到要解決的問題中是至關(guān)重要的.

下面我們看一個(gè)統(tǒng)計(jì)與函數(shù)相結(jié)合的例子（原題見人教A版必修第一冊第156頁第12題“身高與體重問題”）：

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：

這道題目需要根據(jù)給出的數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，是一個(gè)單一的函數(shù)應(yīng)用問題.收集數(shù)據(jù)是為了找到數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律和信息，在現(xiàn)實(shí)問題中收集的數(shù)據(jù)往往多而雜亂，無法從最原始的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，所以需要根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.教科書中呈現(xiàn)的題目往往都對數(shù)據(jù)進(jìn)行了加工處理，使得規(guī)律“顯而易見”，函數(shù)的擬合“嚴(yán)絲合縫”，與真實(shí)的數(shù)據(jù)的情況差距較大.

我們將問題進(jìn)一步開放、還原：

科學(xué)研究表明人的身高與體重之間存在一定的聯(lián)系，根據(jù)身高合理地控制體重更有利于身體健康，為了讓同學(xué)們了解自己的體重是否合理，請你找到身高與體重的關(guān)系，幫助同學(xué)們進(jìn)行判斷.

此時(shí)，為了解決這個(gè)問題，學(xué)生需要自己去收集數(shù)據(jù)，并進(jìn)行分析判斷，最終得出身高與體重的關(guān)系（不僅僅限于函數(shù)關(guān)系）.在收集數(shù)據(jù)的過程中就會(huì)發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)并不像教科書中所給的數(shù)據(jù)那樣“恰當(dāng)”，對數(shù)據(jù)的處理不能僅僅是用函數(shù)擬合，還要事先對數(shù)據(jù)進(jìn)行合理篩選和處理.這樣的過程更符合現(xiàn)實(shí)問題的解決過程.

3 小結(jié)

正如《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評估指南》所指出，僅把數(shù)學(xué)問題改編為情境問題，如果情境是非真實(shí)的，仍然不算是一個(gè)建模問題.建模問題必須是真實(shí)情境，對學(xué)生來說，它必須是有意義的，同時(shí)需要有可探究的足夠空間，也就是說在解決問題的過程中有自己的選擇.數(shù)學(xué)問題的這些轉(zhuǎn)換如圖2所示，其中至關(guān)重要的自然是開發(fā)、還原，還原就是把問題變得真實(shí).

從上面的案例也可以看出，教科書中不同的學(xué)科內(nèi)容都可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將一個(gè)數(shù)學(xué)問題改編成為建模問題，并在課堂中使用.教師可以通過這種方法開發(fā)適合課程內(nèi)容的簡單的建模問題，既能豐富課堂教學(xué)，也能提高學(xué)生對建模的興趣，從而全面推進(jìn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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