情境豐富問題驅(qū)動教書育人

對鄧佳敏的“二面角的概念與二面角的平面角”這節(jié)課總體感覺是“情境豐富，問題驅(qū)動，教書育人”.無論是問題引入、二面角定義的合理性闡述、還是最后的活動3、活動4（例題），都提供了大量生動的學習情境，老師以問題串的形式開展教學，由于問題適合學生實際水平，教學效果好.

還有一個既貫穿課堂始終又“不顯山露水”教學活動就是將育人融入其中.下面談些具體體會.

1 學生活動充分

本課自始至終學生參與的機會多、積極性高、效果好.

1.1 教學設計層次緊密

二面角定義的引入階段鄧老師設計了6個問題（還有3個追問）組成問題串，從原始問題開始到最終引出二面角的定義，引導學生步步深入，通過觀察現(xiàn)象、思考抽象、類比降維、實踐操作使二面角的定義水到渠成.這樣的教學活動較好地落實了抽象素養(yǎng)，同時指導學生踐行“用數(shù)學的眼光觀察世界”，而最終引出二面角的定義便是“用數(shù)學方式表達世界”.

1.2 學生活動充分有效

本堂課學生的活動相當充分，從上課不到兩分鐘老師提問開始，直到最后一個例題學生都是“主角”，四個活動的設計為發(fā)揮學生的才智搭建了舞臺.活動1旨在讓學生在實踐中體驗二面角的平面角的建構過程：要表示兩個半平面所成角的大?。ㄌ岢鰡栴}）—學生在交流討論中發(fā)現(xiàn)要轉(zhuǎn)化為平面角（空間問題降維成平面問題）—在折紙等活動中進一步發(fā)現(xiàn)用過棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線所成的角表示其大小合情合理，由此得到二面角的大小可用垂直于棱的平面與兩個半平面的交線來表示，平面角由此得名.在這一過程中踐行了“問題讓學生提，過程讓學生想，解答讓學生得”，對培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出、分析解決問題的能力十分有益.活動2旨在指導學生閱讀教材加深對概念的理解，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣，反觀現(xiàn)在很多老師上課不用書，這不好.活動3是例題，旨在加深對二面角定義的理解，通過對簡單圖形中二面角的作法總結(jié)出一般圖形二面角的作法.活動4從身邊的實例出發(fā)，經(jīng)歷從實際情境到幾何模型的構建，體會數(shù)學的應用價值，感受“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界”.題目情境與課堂引入相呼應，使本節(jié)課更具整體性.

1.3 突出類比，空間化平面

二面角怎么定義？轉(zhuǎn)化為平面角，怎么轉(zhuǎn)化？首先是頂點在哪里，通過線面角的頂點是線和面的交點類比到二面角的頂點在兩個半平面的交線即棱上.如果過棱上的點分別在兩個半平面內(nèi)作不垂直于棱的兩條射線，通過指導學生作圖、折紙?zhí)剿靼l(fā)現(xiàn)這樣的角不確定，而過棱上一點在兩個半平面內(nèi)作兩條垂直于棱的射線所成的角是唯一的，特別是當兩個半平面重合和展平時這兩條射線在同一條直線上.這是解決立體幾何問題的最常見、最有效的方法——將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.這一環(huán)節(jié)體現(xiàn)了類比思想在解決問題中的應用，也體現(xiàn)了“由特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證關系在解決實際問題中的運用.

在這一教學過程中，教師留出了足夠的時間給學生作圖、折紙、交流討論，充分尊重學生的認知規(guī)律，教學難點也在這樣的活動中得到化解.

1.4 例習題層層遞進

練習與實踐環(huán)節(jié)（即活動3）的三個層層遞進的小題，讓學生在多種背景下找出二面角，以加深對定義的理解.其中第三小題，除了可用定義法作二面角，還可以用作棱的垂面的方法和三垂線定理法作二面角，這樣通過一個例題就把三種常見作二面角的方法展示出來.最后的聯(lián)系與綜合環(huán)節(jié)（即活動4）的難度比活動3有所增大，突出二面角的應用，體現(xiàn)數(shù)學建模思想.

這兩個環(huán)節(jié)教學側(cè)重分析，還需要規(guī)范書寫.立體幾何的難點之一是語言表達，不是說聽懂了就能順利準確表達出來的，需要練習實踐.

1.5 作業(yè)設計有特色

一般老師也會分層設計作業(yè)，除了基礎題，還有提高題，特別是埃及胡夫金字塔有濃郁的文化氛圍，讓學生帶著濃厚的興趣去做題，體會二面角的妙用.一般老師也會安排多層次的作業(yè)，但很少像鄧老師那樣對分層作業(yè)給出具體的評價方法，這些評價操作性強，對學生有明顯的激勵作用，這樣才能把教學評價落到實處.

1.6 信息技術運用得當

在本課教學中信息技術起到重要作用.本課難點在于說明二面角定義的合理性，課件演示在各種情況下二面角的真實情況，能有效幫助學生理解二面角這一抽象概念.如果要能按照圖2那樣演示，效果會更好.這也要求教師不僅要研究教學，還有學習制作課件.

1.7 數(shù)學文化育人

用青海共和的太陽能光伏板引入新課，以自己學校的太陽能光伏板作為最后一道例題（活動4），以及北斗衛(wèi)星軌道等都具有明顯的育人意義.引入二面角定義后，介紹公元前約300年歐幾里得《幾何原本》中有關的二面角，再現(xiàn)歷史讓學生增加對數(shù)學巨人的仰慕之情.

2 幾點思考

2.1 二面角的引入

二面角的引入可以利用學生手中的練習本，讓學生把練習本打開，在打開過程中不同的位置形成不同的角，讓學生思考如何刻畫這些角的大小.

學生從練習本的橫線和書脊垂直發(fā)現(xiàn)，或者從練習本兩頭的兩條邊線和書脊垂直，進一步發(fā)現(xiàn)用這兩條線所成的角可以更好地表示練習本打開角度的大小.把這一現(xiàn)象抽象化，有些同學就會想到過棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，則兩條射線所成的角的大小可定義為二面角的大小，這時再引入二面角的平面角的定義.

這樣引入符合學生的認知規(guī)律——天天見面的作業(yè)本竟然藏著這么一個“秘密”，也符合知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律——通過基本事實抽象出定義（落實抽象素養(yǎng)），體現(xiàn)一般性寓于特殊性之中的辯證唯物主義規(guī)律.原文引入可能有就此機會進行愛國主義教育，體現(xiàn)數(shù)學育人的目的，但新課引入最好是利用學生熟悉的場景、深切的感受比較好，舍近求遠不一定合適.

2.2 二面角定義的合理性

本課的難點在于說明二面角定義的合理性.鄧老師通過學生實驗并借助于信息技術解釋其合理性.為什么要把過棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)垂直于棱的垂線所成的角作為二面角的平面角，其他形式的角，比如圖1所示的∠AOB可以嗎？

這個問題的嚴格證明本節(jié)課可以不講，比較切實可行的方法是通過信息技術演示得到下述兩個結(jié)論：

結(jié)論1如圖2，從二面角MlN的棱上一點O，分別在兩個平面內(nèi)引射線OA，OB，它們與棱所成的角分別為α，β，其中α，β∈0，π2，∠APB為二面角的平面角，OA，OB在平面APB的同側(cè).當α≠β時，若∠APB為鈍角或直角，則∠AOB≤∠APB；若∠APB為銳角，掃碼看結(jié)論1證明則∠AOB與∠APB的大小關系不能確定.當α=β時，∠AOB≤∠APB.

結(jié)論1的證明可掃碼閱讀.

結(jié)論2從二面角MlN的棱上一點O，分別在兩個平面內(nèi)引射線OA，OB，它們與棱所成的角分別為α，β，其中α，β∈0，π2，∠APB為二面角的平面角，OA，OB在過點O與棱垂直的平面的異側(cè).當α≠β時，若∠APB為銳角或直角，則∠AOB≥∠APB；若∠APB為鈍角，則∠AOB與∠APB的大小關系不能確定.當α=β時，∠AOB≥∠APB.

從這兩個結(jié)論知道，當∠APB是銳角時，對結(jié)論1的情況，∠APB是最大值；對結(jié)論2的情況，∠APB是最小值.當∠APB是鈍角時，∠AOB與∠APB的大小關系不能確定.也就是說，當∠APB是銳角時總是處于最值狀態(tài)，也是唯一確定的角，因此定義為二面角的平面角是合適的.

在二面角的定義下，另外兩種作二面角的方法也呼之欲出：二面角的平面角所在平面與棱垂直，則可以通過作與棱垂直的平面來作二面角；同時可以發(fā)現(xiàn)二面角的平面角的兩條邊互為射影（PA為PB在平面M內(nèi)的射影，PB為PA在平面N內(nèi)的射影），據(jù)此可得二面角的另一種常用作法——三垂線法，即過一個半平面M內(nèi)一點A作另一個半平面N的垂線，垂足為B，過B作棱的垂線，垂足為C，則∠ACB就是二面角的平面角.當然，這兩種作二面角的方法通過例題或練習的形式歸納總結(jié)比較好，不宜在此直接講授.

結(jié)論1和結(jié)論2對重點中學的部分學生可以作為作業(yè)題，普通中學也可以印在學案上供學生閱讀.

2.3 鞏固定義要夯實基礎

第一組例題（活動3）設計得較好，第二個例題（活動4）放在這里承載了多項育人功能，筆者覺得放在后面的習題課比較合適.二面角第一課時還是建議做一些二面角的基本題目（即使重點中學也是如此），包括二面角的各種作法，這對培養(yǎng)空間想象、思維和運算能力十分有益.

2.4 育人宜融入不宜附會

數(shù)學育人功能隱含于數(shù)學教學中，它以數(shù)學知識為載體，以數(shù)學思想方法、數(shù)學思維品質(zhì)為突破口去揭示事物的本質(zhì)屬性，重視數(shù)學教育對學生的全面發(fā)展所起的作用[1].本課多處體現(xiàn)了數(shù)學育人與數(shù)學文化，這非常好.但是個別地方不是很恰當，比如引入部分明顯有數(shù)學育人的意愿，但這樣引入如前所述，為了育人而選擇并不是最好的引入方式，有點牽強.本屆數(shù)學青年教師展示課中不少老師存在類似情況.

近年筆者倡導“數(shù)學生態(tài)課堂”，即課堂教學做到“兩個尊重”和“兩個度”，兩個“尊重”指課堂教學要尊重學生的認知規(guī)律，尊重知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律；“兩個度”指思想（主要指哲學思想）高度和文化厚度.這樣看來鄧老師這是一節(jié)數(shù)學生態(tài)課，盡管還有可以改進的地方.

參考文獻：

[1]文衛(wèi)星.超越邏輯的數(shù)學教學：數(shù)學教學中的德育[M].上海：上海社會科學院出版社，2009：26.