基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

一、教材分析

“二項(xiàng)式定理”是高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，不僅涉及代數(shù)運(yùn)算和組合思想，還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化和思維方式。掌握二項(xiàng)式定理能夠幫助學(xué)生理解多項(xiàng)式的展開(kāi)規(guī)律，為后續(xù)概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。在這一過(guò)程中，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探究定理的推導(dǎo)過(guò)程、應(yīng)用以及解決實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生提升邏輯推理能力和問(wèn)題解決能力。研究表明，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。在“二項(xiàng)式定理”的教學(xué)中，教師采用生動(dòng)的實(shí)例和靈活的教學(xué)方法，可激發(fā)學(xué)生的探究興趣。例如，教師通過(guò)與生活實(shí)際相結(jié)合，展示二項(xiàng)式在概率計(jì)算、金融模型等方面的應(yīng)用，讓學(xué)生在真實(shí)情境中體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值和樂(lè)趣。此外，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)還要求教師關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)。在教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的見(jiàn)解，尊重不同的思維方式，可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和溝通能力，使他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅是知識(shí)的接受者，更是積極的參與者。

二、學(xué)情分析

高中生已經(jīng)掌握了計(jì)數(shù)原理、排列組合、合情推理等相關(guān)知識(shí)，為理解和應(yīng)用二項(xiàng)式定理奠定了基礎(chǔ)。而且高中生的認(rèn)知能力逐漸增強(qiáng)，能夠進(jìn)行較復(fù)雜的邏輯推理，且對(duì)新知識(shí)有著較強(qiáng)的接受能力，快速掌握二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并通過(guò)具體的實(shí)例和練習(xí)理解、鞏固相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，提高二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)成效。但二項(xiàng)式定理的證明涉及符號(hào)的抽象性和組合數(shù)性質(zhì)的恰當(dāng)運(yùn)用，學(xué)力較弱的學(xué)生在推導(dǎo)二項(xiàng)式定理時(shí)可能會(huì)遇到困難，也容易混淆二項(xiàng)式系統(tǒng)的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等相關(guān)概念。教師可設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)活動(dòng)，以提升學(xué)生的深度理解和應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

三、核心素養(yǎng)目標(biāo)

1.數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理：能理解二項(xiàng)式定理的核心概念，理解其符號(hào)表達(dá)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；能運(yùn)用邏輯推理來(lái)證明二項(xiàng)式定理，增強(qiáng)嚴(yán)密的邏輯思維和推理能力。

2.數(shù)學(xué)建模與問(wèn)題解決：能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理的應(yīng)用場(chǎng)景，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用定理解決問(wèn)題；通過(guò)小組合作和對(duì)比實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能參與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算與符號(hào)表達(dá)：能熟練運(yùn)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行多項(xiàng)式的展開(kāi)和計(jì)算，能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號(hào)和表達(dá)式，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。

4.直觀(guān)想象與空間觀(guān)念：能通過(guò)圖形和幾何直觀(guān)來(lái)理解二項(xiàng)式定理，培養(yǎng)空間想象力和幾何直觀(guān)能力。

5.數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力：能將二項(xiàng)式定理應(yīng)用于新的情境，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)造性。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

1.二項(xiàng)式定理的理解與應(yīng)用

學(xué)生在初次接觸這一概念時(shí)，可能會(huì)對(duì)公式的記憶和理解產(chǎn)生困難。因此，教師可以通過(guò)圖示化的方式展示二項(xiàng)式定理的展開(kāi)過(guò)程，幫助學(xué)生直觀(guān)理解公式。同時(shí)，結(jié)合實(shí)際例題，進(jìn)行多次重復(fù)練習(xí)，加深學(xué)生的印象。

2.推導(dǎo)過(guò)程的掌握

推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的過(guò)程涉及組合數(shù)的概念，學(xué)生需要理解組合數(shù)的意義及其計(jì)算方法。教師可以讓學(xué)生進(jìn)行分組討論，互相講解組合數(shù)的計(jì)算，來(lái)增強(qiáng)對(duì)該概念的理解。此外，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同n值情況下的推導(dǎo)，幫助他們建立綜合性思維。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）課題導(dǎo)入

教師：小明在2012年準(zhǔn)備投入100萬(wàn)元與朋友做生意，他有兩種回報(bào)方式可以選擇：一種是年利率12%的單利計(jì)算，另一種是年利率10%的復(fù)利計(jì)算。10年后，他可以選擇收回本金和利息。我們來(lái)計(jì)算一下，哪種投資方式更有利？

學(xué)生：如果選擇單利計(jì)算，10年后本金和利息和為100×（1+12%×10）=220萬(wàn)元。

教師：很好，單利的計(jì)算確實(shí)簡(jiǎn)單。那么，復(fù)利計(jì)算呢？我們知道復(fù)利是每年都會(huì)計(jì)算利息，然后加到本金上，再計(jì)算下一年的利息。但是，這種公式比較復(fù)雜，如果不使用計(jì)算工具，我們?nèi)绾慰焖俚玫酱鸢改兀?/p>

學(xué)生：可以用公式100×（1+10%）10來(lái)計(jì)算。

教師：這是一個(gè)指數(shù)函數(shù)的計(jì)算。但是，我們今天不使用計(jì)算工具，而是通過(guò)探究來(lái)找到規(guī)律。我們先從這個(gè)公式入手來(lái)求一下解，然后再推導(dǎo)這個(gè)公式的規(guī)律。

（二）知識(shí)講解

教師：如何計(jì)算這個(gè)公式？

學(xué)生：我們可以嘗試將公式分解，比如，先計(jì)算（1+10%），然后是（1+10%）2，這樣逐步增加。

教師：讓我們進(jìn)行小組合作，一起來(lái)嘗試推導(dǎo)這個(gè)公式。我們可以先計(jì)算（1+10%）1，然后是（1+10%）2，接著是（1+10%）3，看看能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

（學(xué)生和教師一起進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo)）

教師：經(jīng)過(guò)對(duì)比和推算，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生討論，教師引導(dǎo)）

小組代表：我們發(fā)現(xiàn)（1+10%）3實(shí)際上等于13+3×12×10%+3×1×10%2+10%3。

教師：這個(gè)規(guī)律很有趣，它實(shí)際上就是二項(xiàng)式定理的一個(gè)應(yīng)用，那再回頭看我們課堂開(kāi)始的問(wèn)題，有沒(méi)有同學(xué)有什么思路？

學(xué)生：老師，我們是不是可以用這個(gè)方法來(lái)計(jì)算100×（1+10%）10？

教師：沒(méi)錯(cuò)，這正是我們要學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理。通過(guò)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們不僅找到了計(jì)算復(fù)利的規(guī)律，還引出了今天的學(xué)習(xí)主題——（a+b）n的課題。

［教師板書(shū)：（a+b）2］

教師：（a+b）2的展開(kāi)是什么？

學(xué)生：a2+2ab+b2。

教師：沒(méi)錯(cuò)，這是二項(xiàng)式定理的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)嘗試推導(dǎo)（a+b）3的展開(kāi)式。請(qǐng)大家翻閱一下課本，跟我一起重復(fù)這個(gè)公式的內(nèi)容。

［教師板書(shū)：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3］

教師：我們可以看到a3和b3是顯而易見(jiàn)的，但是中間的項(xiàng)3a2b和3ab2是如何得來(lái)的呢？讓我們一起來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題。提示一下大家，這和組合數(shù)有關(guān)。

（有的學(xué)生面帶疑惑，有的學(xué)生稍微思索后脫口而出）

學(xué)生：也就是說(shuō)在（a+b）3中，a和b可以以不同的方式組合。比如，a3意味著a取了3次，b取了0次；而3a2b意味著a取了2次，b取了1次。

教師：回答得非常棒，那么，我們?nèi)绾斡媒M合數(shù)來(lái)表示這些項(xiàng)呢？比如，a3的系數(shù)是什么？

學(xué)生：a3的系數(shù)是1。

教師：非常好！這代表在這個(gè)式子中，只有一種方式讓a取3次，b取0次。

學(xué)生：也就是說(shuō)前面的系數(shù)是幾，就代表有幾種方法。

教師：沒(méi)錯(cuò)?，F(xiàn)在，讓我們用具體的數(shù)字n來(lái)推導(dǎo)（a+b）4的展開(kāi)式。我們可以先寫(xiě)出a4和b4，然后是中間的項(xiàng)。

［教師板書(shū)：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4］

教師：在這個(gè)公式中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

學(xué)生：展開(kāi)式中的項(xiàng)有a4、a3b、a2b2、ab3、b4。

學(xué)生：a4的系數(shù)是1，代表只有一種方式讓a取4次，b取0次。

學(xué)生：而4a3b的系數(shù)是4，因?yàn)槲覀兛梢赃x擇a取3次，b取1次，或者a取2次，b取2次等。

學(xué)生：老師，是不是每個(gè)不取b的情況有一種，即C04種，所以a4的系數(shù)是C04？

教師：完全正確。恰有一個(gè)取b的情況有C14，所以a3b的系數(shù)是C14。4個(gè)都取b的情況有C44，所以b4的系數(shù)是C44。

教師：現(xiàn)在，讓我們來(lái)歸納一下這個(gè)規(guī)律。對(duì)比（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開(kāi)式，總結(jié)規(guī)律。

（出示板書(shū)如下）

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

學(xué)生：項(xiàng)數(shù)均為n+1項(xiàng)。

學(xué)生：（a+b）4是4個(gè)（a+b）相乘，展開(kāi)式的每一項(xiàng)都是從4個(gè)（a+b）中各取一個(gè)字母相乘，每一項(xiàng)以an-kbk形式呈現(xiàn)，即a4b0、a3b、a2b2、ab3、a0b4，其中（k=0，1，2，3，4）。

學(xué)生：a2b2是從4個(gè)（a+b）中取2個(gè)b，和2個(gè)a相乘得到，所以該項(xiàng)的系數(shù)為C24。以此類(lèi)推，其他項(xiàng)系數(shù)依次為C04，C14，C24，C34，C44。

教師：現(xiàn)在請(qǐng)大家進(jìn)行小組討論，整理歸納我們剛才得出的規(guī)律和結(jié)論，該怎么總結(jié)（a+b）n的展開(kāi)式規(guī)律呢？

（學(xué)生進(jìn)行小組討論，教師巡視討論）

學(xué)生小組1：我們可以得出結(jié)論，（a+b）n的展開(kāi)式是C0nan+C1nan-1b1+…+Cnnbn（k=0，1，2，3…n，n為任意正整數(shù)），所以二項(xiàng)式系數(shù)依次為C0n，C1n，C2n，C3n…Cnn。

學(xué)生小組2：我們還得到一個(gè)結(jié)論，以（a+b）4為例：

當(dāng)k=0時(shí)，第1項(xiàng)=C04a4b0=a4；

當(dāng)k=1時(shí)，第2項(xiàng)=C14a4-1b1=4a3b；

當(dāng)k=2時(shí)，第3項(xiàng)=C24a4-2b2=6a2b2；

當(dāng)k=3時(shí)，第4項(xiàng)=C34a4-3b3=4ab3；

當(dāng)k=4時(shí)，第5項(xiàng)=C44a4-4b4=b4。

可得到一個(gè)項(xiàng)的通用公式，即Tk+1=Cknan-kbk。

教師：沒(méi)錯(cuò)，這正是我們要推導(dǎo)的公式。在這個(gè)過(guò)程中，我們不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還學(xué)會(huì)了如何通過(guò)歸納和猜想來(lái)得出結(jié)論。同學(xué)們，你們做得非常棒！

教師：接下來(lái)，讓我們?cè)谛〗M中一起探究，嘗試推導(dǎo)（a+b）5的展開(kāi)式，并看看我們能否發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。我在這里會(huì)巡視各個(gè)小組，幫助你們解決問(wèn)題。記住，大家要注重合作，共同發(fā)現(xiàn)知識(shí)。

（學(xué)生進(jìn)行小組討論）

（三）課堂練習(xí)

教師：相信大家在小組的幫助下已經(jīng)掌握了二項(xiàng)式的具體規(guī)律，現(xiàn)在請(qǐng)大家獨(dú)立思考：已知二項(xiàng)式（x+2）5，（1）求它的通項(xiàng)；（2）求它的第三項(xiàng)；（3）求它的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。

教師在黑板上寫(xiě)下題目，并引導(dǎo)學(xué)生思考。

教師：同學(xué)們，我們知道二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是什么？請(qǐng)大家回憶一下。

學(xué)生：是Tk+1=Cknan-kbk。

教師：很好！請(qǐng)大家開(kāi)始計(jì)算。

（學(xué)生開(kāi)始計(jì)算，幾分鐘后，教師巡視教室，觀(guān)察學(xué)生的思考過(guò)程?？吹侥承W(xué)生在計(jì)算過(guò)程中遇到了困難，教師主動(dòng)詢(xún)問(wèn)幫助學(xué)生解決疑惑）

（在學(xué)生完成第一個(gè)練習(xí)題后，教師展示完整展開(kāi)結(jié)果）

教師出示PPT。

請(qǐng)證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，（a+b）n的展開(kāi)式中的每一項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)。

教師：同學(xué)們，想一想，為什么展開(kāi)式中的每一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)？

學(xué)生：因?yàn)閚和k都是非負(fù)整數(shù)，并且0≤k≤n，所以二項(xiàng)式系數(shù)Ckn是正整數(shù)，而a和b為正數(shù)時(shí)，an-k和bk也是正數(shù)。

教師：非常好！你們的理解非常到位。這個(gè)練習(xí)不僅幫助你們鞏固了二項(xiàng)式定理的知識(shí)，還提升了你們的邏輯推理能力。

（四）課堂總結(jié)

教師：同學(xué)們，通過(guò)這次課堂練習(xí)，我們共同經(jīng)歷了一段探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。你們?cè)趧?dòng)手實(shí)踐中加深了對(duì)二項(xiàng)式定理的理解，解題能力也得到了顯著的提升。我非常高興看到大家積極參與，互相幫助，共同克服了難題。

這次課堂練習(xí)不僅是對(duì)知識(shí)的鞏固，更是對(duì)學(xué)習(xí)方法的實(shí)踐。我希望大家能夠?qū)⑦@種積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和解決問(wèn)題的能力應(yīng)用到今后的學(xué)習(xí)中，不斷挑戰(zhàn)自我，追求卓越。讓我們一起期待在未來(lái)的學(xué)習(xí)中，你們能夠取得更好的成績(jī)！下課！

六、教學(xué)反思與改進(jìn)

在教學(xué)實(shí)踐中，教師對(duì)“二項(xiàng)式定理”一課的效果評(píng)估是至關(guān)重要的。這一環(huán)節(jié)不僅有助于教師了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，還能為后續(xù)的教學(xué)改進(jìn)提供依據(jù)。通過(guò)觀(guān)察學(xué)生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成情況以及測(cè)試成績(jī)，教師能夠全面評(píng)估教學(xué)效果。

（一）課堂觀(guān)察是評(píng)估的重要手段

在“二項(xiàng)式定理”的教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)與學(xué)生的互動(dòng)了解他們對(duì)新知識(shí)的接受程度。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師提出一個(gè)生活中的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的興趣。觀(guān)察到大部分學(xué)生積極參與討論，表現(xiàn)出濃厚的學(xué)習(xí)興趣，這表明導(dǎo)入環(huán)節(jié)有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。在新知講解時(shí)，教師通過(guò)具體的例題解釋“二項(xiàng)式定理”的應(yīng)用，學(xué)生通過(guò)提問(wèn)和回答，理解概念。

（二）課堂練習(xí)的結(jié)果是評(píng)估教學(xué)效果的重要依據(jù)

在課堂上，教師設(shè)計(jì)了多道練習(xí)題，涵蓋不同難度的內(nèi)容，旨在加深學(xué)生對(duì)“二項(xiàng)式定理”的理解。通過(guò)對(duì)學(xué)生完成這些練習(xí)題的情況進(jìn)行分析，教師發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生能夠正確解答基本題目，但在涉及較復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，部分學(xué)生感覺(jué)有困難。這提示教師在后續(xù)教學(xué)中需要加強(qiáng)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的講解與訓(xùn)練。

另外，課后作業(yè)也是評(píng)估的重要環(huán)節(jié)。教師布置了與“二項(xiàng)式定理”相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生獨(dú)立完成。通過(guò)批改作業(yè)，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的作業(yè)質(zhì)量良莠不齊，尤其在計(jì)算過(guò)程中的細(xì)節(jié)處理上存在不少錯(cuò)誤。教師在反饋中指出這些問(wèn)題，并鼓勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中加以注意。這樣的反饋不僅能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的不足，也為教師提供了針對(duì)性的改進(jìn)方向。

（三）通過(guò)小測(cè)驗(yàn)對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行評(píng)估

在教學(xué)結(jié)束后的下一周，教師安排了一次小測(cè)驗(yàn)，內(nèi)容涵蓋“二項(xiàng)式定理”的基本概念、公式推導(dǎo)及實(shí)際應(yīng)用。測(cè)驗(yàn)結(jié)果顯示，學(xué)生的整體成績(jī)較好，平均分達(dá)到了85以上，表明大部分學(xué)生已掌握了該章節(jié)的核心內(nèi)容。然而，個(gè)別學(xué)生的成績(jī)明顯低于平均水平，需加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握。

綜合以上評(píng)估結(jié)果，我們可以看出“二項(xiàng)式定理”一課的教學(xué)效果總體良好。絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受度較高，課堂互動(dòng)積極，作業(yè)和測(cè)驗(yàn)的完成情況也反映出一定的學(xué)習(xí)成果。盡管如此，教師仍需關(guān)注部分學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，在今后的教學(xué)中應(yīng)適時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，通過(guò)分層次的教學(xué)和個(gè)性化輔導(dǎo)，幫助每位學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣的評(píng)估不僅為當(dāng)前教學(xué)提供了依據(jù)，也為未來(lái)的教學(xué)實(shí)踐指明了方向。

（作者單位：甘肅省瓜州縣第一中學(xué)）

編輯：張俐麗