小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)實踐

一、教材分析

該單元主要包含三大教學(xué)板塊，分別為：梯形、三角形面積；平行四邊形面積；組合圖形面積。此外，梯形、三角形和平行四邊形的面積推導(dǎo)是在小學(xué)生掌握正方形、長方形面積計算公式以及上述三個圖形特征基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，相關(guān)知識體系如圖1所示。

觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)，“多邊形的面積”在整個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮了承上啟下以及整理鞏固的作用。學(xué)生能夠在單元學(xué)習(xí)中掌握如何利用轉(zhuǎn)化思想推導(dǎo)各類圖形面積的計算方式，也能夠在合作探究組合圖形面積的環(huán)節(jié)中形成完善的空間觀念，這為后續(xù)進行立體圖形表面積以及圓面積的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

五年級學(xué)生正處于發(fā)展空間思維的關(guān)鍵時期。因此，在單元講解中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在深度理解圖形概念的前提下，進一步強化學(xué)生的空間思維。“多邊形的面積”單元要求學(xué)生理解并掌握不同類型圖形的面積求解方式，這能促進學(xué)生空間思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)教師應(yīng)將教材核心概念作為切入點，逐步引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)單元內(nèi)容，繼而幫助學(xué)生構(gòu)建良好的空間思維意識。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.基于單元學(xué)習(xí)活動培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力以及觀察比較力，完善學(xué)生的空間觀以及邏輯推理力。

2.在自主探究中掌握倍拼以及割補兩種圖形轉(zhuǎn)化方式，深刻感知數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵；能夠意識到圖形轉(zhuǎn)化前后面積與形狀的變化情況。

3.能夠基于“畫一畫”等課堂活動，將梯形、三角形以及平行四邊形運用科學(xué)方式轉(zhuǎn)化成長方形，最終推導(dǎo)出這三種多邊形的面積求解方式。

四、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：引導(dǎo)學(xué)生靈活借助割補、拼接等形式將抽象的梯形、三角形以及平行四邊形轉(zhuǎn)化成熟悉的長方形，進一步感知轉(zhuǎn)化思想的運用價值。

教學(xué)難點：能夠獨立計算常見多邊形的面積，并了解多邊形在經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化后的變化情況。

五、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入環(huán)節(jié)

學(xué)生前面只學(xué)過一些常規(guī)圖形的面積計算方法，如正方形、長方形等。數(shù)學(xué)教師應(yīng)努力挖掘常規(guī)圖形與多邊形圖形之間的關(guān)聯(lián)，鼓勵學(xué)生靈活運用所學(xué)知識進行推導(dǎo)探究。

師：同學(xué)們認(rèn)真觀察PPT上的兩個圖形（見圖2），想想哪個圖形的面積更大？

學(xué)生踴躍回答。

（大多數(shù)學(xué)生此前并未接觸過多邊形，并不了解其面積的計算方法，因此答案五花八門。）

師：大家的想法存在分歧，有些同學(xué)認(rèn)為圖2中右邊圖形的面積更大，有些同學(xué)認(rèn)為左邊圖形的面積更大。那正確答案是什么呢？

教師可以利用信息技術(shù)手段為學(xué)生展示兩個圖形，并運用圖片編輯的功能對二者進行倍拼與割補，最終能夠獲得兩個相同的圖形。

師：如今同學(xué)們是否可以比較二者的面積呢？

生：它們的面積一樣大。

（二）聯(lián)系舊知

師：我們在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了正方形以及長方形的面積計算公式?，F(xiàn)在老師手中分別有一個正方形與長方形教具，二者面積是多少呢？

（教師向?qū)W生展示兩個教具，且這兩個教具的四角沒有固定，能夠自由活動。）

師：大家能幫老師計算出這兩個圖形的面積嗎？

學(xué)生根據(jù)教師給出的已知條件說出正方形與長方形的面積計算公式。此時，教師“不小心”將二者摔在了講臺上，導(dǎo)致其形狀發(fā)生了變化，成為“平行四邊形”。

師：同學(xué)們，摔在講臺上的正方形與長方形變成了什么圖形呢？

生：不知道。

在此，教師順利引出本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（三）動手操作——探究平行四邊形面積公式

師：請大家仔細觀察PPT上兩個草坪的形狀，并思考哪個草坪的面積大。

（教師用PPT展示平行四邊形、長方形草坪。）

生1：我覺得它們的面積相等。

生2：肯定錯了，平行四邊形草坪的面積更大。

生3：一定是長方形草坪的面積更大。

師：大家都持有不同的觀點。那么你們應(yīng)當(dāng)如何驗證自己的想法呢？我們又應(yīng)當(dāng)怎樣計算平行四邊形草坪的面積呢？

1.數(shù)格子

師：經(jīng)過前期的學(xué)習(xí)大家已經(jīng)知道了長方形面積的計算公式。那么我們?nèi)绾吻箝L方形草坪的面積呢？

生1：長乘寬即可。

師：類比思考下，我們應(yīng)當(dāng)怎樣求平行四邊形的面積呢？

生2：我覺得能夠使用“數(shù)格子”的形式對比二者面積。例如，當(dāng)我們計算長方形草坪的面積時，已知其長為6米，寬為4米，通過繪制邊長為1米的小方格，能夠?qū)㈤L方形草坪的面積直觀化（如圖3）；用相同的方法處理平行四邊形（如圖4）。

師：你的想法很好，利用數(shù)格子的方式我們能夠輕松比較兩個圖形的面積，最終結(jié)果如何呢？

生：二者面積一樣。

師：同學(xué)們再發(fā)動腦筋想想，我們還能夠通過哪些方法求平行四邊形的面積呢？

生3：我覺得還能利用割補的方式。

師：回答正確。大家想想，對于任何多邊形，是否都能使用“數(shù)格子”的方法求解面積呢？

生4：如果多邊形的形狀過于復(fù)雜，那就無法數(shù)出對應(yīng)格子的數(shù)量，因此該方法不適用于所有多邊形。

2.縫縫補補

師：剛剛有學(xué)生認(rèn)為割補法能夠計算平行四邊形的面積。我們是否可以隨意切割該圖形呢？

生1：可以隨便切。

生2：不可隨便切。

師：大家親自動手試試，在平行四邊形的硬紙板上繪制一條分割線，使用剪刀裁剪后完成拼接任務(wù)，隨后計算它的面積。

教師將學(xué)生分為4人左右的學(xué)習(xí)小組，要求各小組完成裁剪、拼接的任務(wù)。

師：哪個小組算出來了？

組1：我們組算出來了。

師：其余組怎么樣？我們先聽聽組1學(xué)生的計算過程。

組1：我們組成員最開始沿著對角線裁剪平行四邊形，但是最終組合成的圖形依然是平行四邊形，因此難以算出面積大小。隨后，我們沿著該圖形的高進行裁剪，并把裁下的直角三角形拼接到另一側(cè)，保證三角形的斜邊能夠與平行四邊形的斜邊重合，最終得到了一個長方形（如圖5）。通過套用長方形面積公式，我們輕松得到了平行四邊形的面積。

組2：我們組也算出了面積。我們首先找到上下兩條邊的中點并繪制垂線，隨著將中線作為分割線。通過平移能夠?qū)蓚€圖形的斜邊重合在一起，最終得到了一個長方形。

師：大家的做法都正確。那么這種裁剪、拼接的方法代表了哪種數(shù)學(xué)思想呢？

生：不知道。

師：我們在計算平行四邊形的面積時，是不是先將其轉(zhuǎn)化為一個長方形呢？（學(xué)生：是的）這就是轉(zhuǎn)化思想，其常被運用于多邊形面積的計算中。如今我們再反過來分析平行四邊形與長方形，你們是否能挖掘到不一樣的點呢？

生1：實際上平行四邊形的底就是長方形的長。

生2：平行四邊形的高就相當(dāng)于長方形的寬。

師：哪位學(xué)生能總結(jié)一下平行四邊形面積的計算公式呢？

生3：我們已經(jīng)知道如何計算長方形的面積，而且也知道了平行四邊形的高、底和長方形的寬、長的關(guān)系，由此能夠得出平行四邊形的面積=底×高。

師：非常好，回答正確。

（教師在黑板上寫下：S平行四邊形=a×h，其中S代表面積，a代表底的長度，h代表高的長度。）

師：在本環(huán)節(jié)中，我們除了發(fā)現(xiàn)平行四邊形的高、底和長方形的寬、長的關(guān)系，還總結(jié)出哪些規(guī)律呢？

生1：切割后得到的圖形與原圖形面積一樣。

生2：拼接后產(chǎn)生的長方形與原圖形面積一樣。

（四）運用實踐——探究梯形與三角形面積公式

1.探究三角形面積公式

師：我們剛才已經(jīng)推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，是否可以用類似的方法求解三角形面積呢？

生1：我覺得數(shù)格子同樣適用于三角形。

生2：我們運用割補法也能夠求解三角形面積。

生3：數(shù)格子不適用于所有三角形。只有當(dāng)其是等腰或直角三角形時，才能利用數(shù)格子的方法計算面積。若只是普通的三角形，那么整個過程會十分煩瑣，且無法算出準(zhǔn)確的面積。

師：割補法是否適用于所有三角形呢？

生4：和數(shù)格子類似，只有針對特殊三角形才管用。

師：那么大家怎么求解三角形的面積呢？

生1：拼接法可以計算任意三角形的面積。首先繪制兩個相同的三角形，隨后將其中一個三角形旋轉(zhuǎn)180°，通過拼接兩個三角形能夠得到一個平行四邊形，這說明兩個三角形的面積與一個平行四邊形的面積相等，由此推出三角形的面積公式。

師：回答正確。

（教師在黑板上寫下：S三角形=a×h÷2，其中S代表面積，a代表底的長度，h代表高的長度。）

師：大家都很聰明，利用平行四邊形的面積公式精準(zhǔn)推算出了三角形的面積公式，在整個過程中大家運用了什么數(shù)學(xué)思想呢？

生3：轉(zhuǎn)化思想。通過旋轉(zhuǎn)、平移等方式我們將三角形變成了學(xué)過的平行四邊形，隨后借助平行四邊形面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式。

2.探究梯形面積公式

師：大家觀察一下這個圖形，知道這是什么圖形嗎？

（教師用PPT展示幾個梯形。）

生：梯形。

師：在前幾個環(huán)節(jié)中大家已經(jīng)掌握了三角形、平行四邊形以及長方形的面積計算方法，也明白了如何推導(dǎo)這些圖形的面積公式?，F(xiàn)在我們應(yīng)如何計算梯形的面積呢？

（教師為學(xué)生預(yù)留足夠的討論時間。）

生1：如果我們沿著對角線將梯形進行裁剪，就能得到兩個三角形。分別算出兩個三角形的面積，隨后將二者相加就能得到梯形的面積。

生2：我覺得我們還能用拼接法來計算梯形的面積。首先繪制一個相同的梯形，將其中一個梯形旋轉(zhuǎn)180°的方向，將二者拼接就能得到平行四邊形。首先計算平行四邊形的面積，隨后除以2就能得到梯形的面積。

生3：我們還能把梯形裁剪成兩個直角三角形和一個長方形，分別計算這些圖形的面積，然后相加就可得出梯形的面積。

師：大家的想法都有一定的道理。下面請大家分組驗證你們的猜想。

組1：如果我們沿著對角線切割，就能將一個梯形轉(zhuǎn)化為兩個三角形。由于S三角形=a×h÷2，因此S梯形=S三角形1+S三角形2=a上底×h÷2+a下底×h÷2=a（上底+下底）×h÷2。

組2：通過旋轉(zhuǎn)拼接能組合成一個完整的平行四邊形，已知S平行四邊形=a×h。由于兩個相同的梯形面積之和與平行四邊面積一致，能夠推出S梯形=S平行四邊形÷2=a×h÷2=a （上底+下底）×h÷2。

（教師在黑板上寫下：S梯形=（a+b）×h÷2，其中S代表面積，a代表上底的長度，b代表下底的長度，h代表高的長度。）

（五）作業(yè)設(shè)計

1.工廠中有一塊平行四邊形形狀的鋼板，已知其底為4米，高為5米，若鋼板每平方米的重量為12千克，那么其總重量應(yīng)為多少千克？

2.××城市郊區(qū)有一水電站的攔河壩截面為梯形，已知其上底為24米，下底為上底的2倍，梯形的高為20米。請計算該河壩截面的面積。

3.農(nóng)科院中有一塊三角形形狀的玉米試驗田，已知其高為60米，底為80米，今年秋天工作人員一共收割了24噸玉米，請問每平方米平均收玉米多少千克？

4.農(nóng)場場主今年計劃拿出一塊1000平方米的三角形地種植高粱，已知該圖形的底為50米，請計算其高為多少米？

5.某農(nóng)場有一個平行四邊形形狀的蘋果園，其內(nèi)一共栽了360棵蘋果樹，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)平均1棵蘋果樹的占地面積約為4平方米，且已知該蘋果園的底為90米，請計算該平行四邊形蘋果園的高為多少米？

6.春天到了，農(nóng)場主準(zhǔn)備用一臺播種機來種植小麥，已知該機器的作業(yè)寬度為4米。如果該播種機每1小時能行進6千米，當(dāng)其運轉(zhuǎn)8小時后能夠播種多少平方米的小麥呢？

7.××學(xué)校有一塊長方形形狀的足球場，已知其長為60米，寬為50米。如果校長想要擴大該足球場的面積，將其寬增加20米，長增加30米。請計算擴建后的足球場面積。

8.已知某個梯形的面積為56平方厘米，下底長為9厘米，高為8厘米，請計算該梯形的上底為多少厘米？

六、教學(xué)反思

本節(jié)課主要依托“多邊形的面積”這一基礎(chǔ)知識，帶領(lǐng)學(xué)生深度探究圖形轉(zhuǎn)化思想。教師首先為學(xué)生搭建新舊知識橋梁，隨后利用多元課堂活動逐層剖析圖形轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵，最終讓學(xué)生掌握梯形、三角形以及平行四邊形的面積計算方法，并使學(xué)生形成了良好的圖形轉(zhuǎn)化能力。在本次教學(xué)中，教師并未給“組合圖形”設(shè)計單獨的教學(xué)環(huán)節(jié)?！敖M合圖形”的本質(zhì)是將以上圖形的轉(zhuǎn)化結(jié)果相加，因此本研究認(rèn)為教師可以將“組合圖形”相關(guān)的知識留給學(xué)生獨立探索。

（作者單位：甘肅省張掖市民樂縣樂民新城學(xué)校）

編輯：趙文靜