八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的微分性質(zhì)研究

摘" 要：八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換作為一種新穎的信號處理工具，在處理復(fù)雜信號和多維數(shù)據(jù)方面具有潛力。本文針對八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的偏微分性質(zhì)展開研究。首先介紹了八元數(shù)及其四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本概念和數(shù)學(xué)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上定義了八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；其次在詳細(xì)分析了八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)證明，給出了八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換多種形式的微分性質(zhì)。本文的研究可以為八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在信號處理領(lǐng)域的進(jìn)一步應(yīng)用提供理論與方法支撐。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；八元代數(shù)；微分性質(zhì)

中圖分類號：O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號" 1000-5269（2025）01-0007-05

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2025.01.02

收稿日期：2024-05-17

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（62261055， 61861044）;陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2022JM-400， 2023-JC-YB-085）；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新資助項(xiàng)目（YCX2024043）；陜西省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目（202410719039）

作者簡介：楊" 茜（2000—），女，在讀碩士，研究方向：分?jǐn)?shù)域信號處理理論與方法，E-mail：2837855035@yau.edu.cn.

*通訊作者：馮" 強(qiáng)，E-mail：yadxfq@yau.edu.cn.

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（factional fourier transform， FRFT）［1］是一種重要的時(shí)頻分析工具。在微分方程［2］、信號分析與處理［3］以及圖像處理［4］等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。與傳統(tǒng)的傅里葉變換相比，由于其包含一個(gè)自由參數(shù)，因此，具有更高的靈活性，可以更好地適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)特征。

八元代數(shù)［5］是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)［6］、量子力學(xué)［7］和電磁學(xué)［8］等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。近年來，學(xué)者們將經(jīng)典的積分變換擴(kuò)展到八元數(shù)域，得到了八元數(shù)傅里葉變換［9］（octonion fourier transform， OFT）和八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（octonion fractional fourier transform， OFRFT）等，并在這些領(lǐng)域取得了一系列研究成果。

在這些研究中，學(xué)者們研究了這些變換的基本性質(zhì)，如相似性［10］、線性性質(zhì)［11］、平移性［12］、縮放性［13］、調(diào)制性［13］等，利用這些性質(zhì)研究了微分方程解的求解方法。雖然對OFT研究已經(jīng)比較活躍，但對OFRFT的偏微分性質(zhì)研究仍處于零散狀態(tài)。因此，本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，對右邊OFRFT的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究，分別給出了時(shí)域微分以及頻域微分等性質(zhì)。

1" 預(yù)備知識

1.1" 八元代數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)Cayle-Dickson構(gòu)造將一個(gè)八元數(shù)o∈O（O代表八元數(shù)）定義為有序四元數(shù)對［15］：

o=（q0，q1）

其中，q0=r0+r1e1+r2e2+r3e3，

q1=r4+r5e1+r6e2+r7e3∈H（H代表四元數(shù)）。

八元數(shù)乘法規(guī)則由一般的Cayle-Dickson公式給出，因此，有

（q0，q1）（p0，p1）=（q0p0－q1p*1，q0p1+q1p*0），q0，q1，p0，p1∈H（1）

運(yùn)用四元數(shù)乘法法則［16］（表1中的運(yùn)算法則），得到四個(gè)新的虛單位，因此，八元數(shù)可以寫出如下的形式：

o=r0+r1e1+r2e2+r3e3=q0+ （r4+r5e1+r6e2+r7e3=q1）e4

=r0+r1e1+r2e2+r3e3+r4e4+r5e5+r6e6+r7e7

r0∈R稱為o的實(shí)部（記為Reo），純虛八元數(shù)r1e1+r2e2+…+r7e7稱為o的虛部（記為Imo）。八元數(shù)是一個(gè)非結(jié)合非交換代數(shù)，這意味著對于o1，o2，o3∈O，有

（o1o2）o3≠o1（o2o3），

o1o2≠o2o1。

另一方面，對于任意o1，o2∈O，兩個(gè)八元數(shù)乘積的共軛等于它們共軛的倒序乘積，即有

（o1o2）*=o*2o*1

任意八元數(shù)的共軛定義為

o*=r0－r1e1－r2e2－r3e3－r4e4－r5e5－r6e6－r7e7

同時(shí)，有o**=o。

1.2" 四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

定義1［17］" 設(shè)f∈L1（R2;H），且ea∈H一維向量。定義四元數(shù)分析中f的β=（β1，β2）階左邊傅里葉變換如下

Fθ1，θ2{f}（w）=∫R2Kθ1（x1，w1）Kθ2（x2，w2）×

f（x1，x2）dx

其中：

Kθi（xi，wi）=Cθiexp（eax2i+w2i2cot θi－

eaxiwicsc θi），θi≠nπ，n∈Z，

Cθi=1－eacot θi2π（i=1，2），

β=（β1，β2）=（θ1π2，θ2π2），

dx=dx1dx2，

w=（w1，w2）。

注： 當(dāng)（β1，β2）=（1，1）時(shí)，四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換Fθ1，θ2{f}退化為四元數(shù)傅里葉變換F{f}。

2" OFRFT

文獻(xiàn)［18］研究了傅里葉變換及其四元數(shù)傅里葉變換的基本性質(zhì)；在文獻(xiàn)［11］中，GAO等對八元數(shù)積分變換的一些相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究。在本節(jié)中，我們將在上述研究基礎(chǔ)上，定義八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，推導(dǎo)出八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的若干微分性質(zhì)。

2.1" OFRFT的定義

定義2" 設(shè)pi∈R，i=1，2，3，f∈L2 （R3;O），則f（x）的右邊OFRFT為

Fp1p2p3（w）=∫R3 f（x）Kp1（x1，w1）×

Kp2（x2，w2）Kp3（x3，w3）dx

其中，核函數(shù)

Kp1（x1，w1）=Aαexp（e1（（x21+w21）Cα－x1w1Bα）），

Kp2（x2，w2）=Aβexp（e2（（x22+w22）Cβ－x2w2Bβ）），

Kp3（x3，w3）=Aγexp（e4（（x23+w23）Cγ－x3w3Bγ））。

且

Aα=1－e1cot α2π，Bα=csc α，Cα=cot α2，

Aβ=1－e2cot β2π，Bβ=csc β，Cβ=cot β2，

Aγ=1－e4cot γ2π，Bγ=csc γ，Cγ=cot γ2，

α=π2p1，β=π2p2，γ=π2p3，dx=dx1dx2dx3。

右邊OFRFT的逆變換定義為

f（x）=F（-p1）（-p2）（-p3）{Fp1p2p3（w）}=∫R3 f（x）

K－p1（x1，w1）K－p2（x2，w2）K－p3（x3，w3）dw

其中，dw=dw1dw2dw3。

OFRFT可以分解為8個(gè)分量的和，即

F=Feee+Foeee1+Feoee2+Fooee3+Feeoe4+

Foeoe5+Feooe6+Foooe7。

這里o，e表示奇偶。

其中：

Feee（f）=AαAβAγ∫R3 feee（x）cosR3 foee（x）sinR3 feoe（x）cosR3 fooe（x）sinR3 feeo（x）cosR3 foeo（x）sinR3 feoo（x）cosR3 fooo（x）sin2.2" OFRFT的微分性質(zhì)

定理1" 設(shè)f：R3→R，且F表示f的OFRFT，令Fx1，F(xiàn)x2，F(xiàn)x3分別表示fx1，fx2和fx3的OFRFT，則有

Fx1（w1，w2，w3）=F（w1，－w2，－w3）×

（2x1Cα－w1Bα）（－e1）（2）

Fx2（w1，w2，w3）=F（w1，w2，－w3）×

（2x2Cβ－w2Bβ）（－e2）（3）

Fx3（w1，w2，w3）=F（w1，w2，w3）×

（2x3Cγ－w3Bγ）（－e4）（4）

證明" 本文只證明（2）式，考慮導(dǎo)數(shù)fx1及OFRFT Fx1，fx1是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，因此，我們可以將Fx1寫成不同的8個(gè)分量的和。

Fx1=Fx1eee+Fx1oeee1+Fx1eoee2+Fx1ooee3+

Fx1eeoe4+Fx1oeoe5+Fx1eooe6+Fx1oooe7。

其中：

Fx1eee（f）=AαAβAγ∫R3 fx1（x）cosR3 fx1（x）sinR3 fx1（x）cosR3 fx1（x）sinR3 fx1（x）cosR3 fx1（x）sinR3 fx1（x）cosR3 fx1（x）sin對于每一個(gè)可積光滑函數(shù)f和每一個(gè)x1，x2，x3∈R，有l(wèi)imx1→±∞f（x）=0。因此，可得，

Fx1eee（f）=AαAβAγ∫R3 f（x）sinR3 f（x）cosR3 f（x）sinR3 f（x）cosR3 f（x）sinR3 f（x）cosR3 f（x）sinR3 f（x）cos（2x1Cα－w1Bα）=－Feoo（f）（2x1Cα－w1Bα）。

其中，

F=Feee+Foeee1+Feoee2+Fooee3+

Feeoe4+Foeoe5+Feooe6+Foooe7。

因此，

Fx1=（Foee－Feeee1+Fooee2－Feoee3+Foeoe4－

Feeoe5+Foooe6－Feooe7）（2x1Cα－w1Bα）

=（Feee+Foeee1－Feoee2－Fooee3－Feeoe4－

Foeoe5+Feooe6+Foooe7）（2x1Cα－w1Bα）（－e1）

=F（w1，－w2，－w3）（2x1Cα－w1Bα）（－e1）

式（2）得證，同理可證（3）、（4）式。

對于高階八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，可得以下推論：

推論1" 令Fxi…xj表示fxi…xj的OFRFT，則有

Fx1x2（w1，w2，w3）=F（w1，－w2，－w3）×

（2x1Cα－w1Bα）（2x2Cβ－w2Bβ）e3，

Fx1x3（w1，w2，w3）=F（w1，w2，－w3）×

（2x1Cα－w1Bα）（2x3Cγ－w3Bγ）e5，

Fx2x3（w1，w2，w3）=F（－w1，w2，－w3）×

（2x2Cβ－w2Bβ）（2x3Cγ－w3Bγ）e6，

Fx1x2x3（w1，w2，w3）=F（－w1，w2，－w3）×

（2x1Cα－w1Bα）（2x2Cβ－w2Bβ）×

（2x3Cγ－w3Bγ）e7。

對于純二階偏導(dǎo)數(shù)也可以得出類似的結(jié)論。

推論2" 令Fxi…xj表示fxi…xj的OFRFT，則

Fx1x1（w1，w2，w3）=－F（w1，w2，w3）×

（2x1Cα－w1Bα）2，

Fx2x2（w1，w2，w3）=－F（w1，w2，w3）×

（2x2Cβ－w2Bβ）2，

Fx3x3（w1，w2，w3）=－F（w1，w2，w3）×

（2x3Cγ－w3Bγ）2。

定理2" 設(shè)f：R3→R，且F表示f的OFRFT，令Fw1，F(xiàn)w2和Fw3分別表示fw1，fw2和fw3的OFRFT，則有

Fw1=e1（2w1Cα－x1Bα）F（w1，w2，w3）（5）

Fw2=e2（2w2Cβ－x2Bβ）F（w1，w2，w3）（6）

Fw3=e4（2w3Cγ－x3Bγ）F（w1，w2，w3）（7）

證明" 本文只證明（5）式。

Fw1=∫R3 f（x）Kp1（x1，w1）w1

Kp2（x2，w2）Kp3（x3，w3）dx

=∫R3 f（x）e1（2w1Cα-x1Bα）

Kp1（x1，w1）Kp2（x2，w2）Kp3（x3，w3）dx

=e1（2w1Cα－x1Bα）F（w1，w2，w3）

證畢，同理可證明（6）、（7）式。

推論3" 令Fwi…wj表示fwi…wj的OFRFT，則

Fw1w2=e3（2w1Cα－x1Bα）×

（2w2Cβ－x2Bβ）F（w1，w2，w3），

Fw1w3=e5（2w1Cα－x1Bα）×

（2w3Cγ－x3Bγ）F（w1，w2，w3），

Fw2w3=e1（2w2Cβ－x2Bβ）×

（2w3Cγ－x3Bγ）F（w1，w2，w3），

Fw1w2w3=－（2w1Cα－x1Bα）×

（2w2Cβ－x2Bβ）（2w3Cγ－x3Bγ）F（w1，w2，w3）。

推論4" 令Fwi…wj表示fwi…wj的OFRFT，則

Fw1w1=－（2w1Cα－x1Bα）2F（w1，w2，w3）

Fw2w2=－（2w2Cβ－x2Bβ）2F（w1，w2，w3）

Fw3w3=－（2w3Cγ－x3Bγ）2F（w1，w2，w3）

根據(jù)文獻(xiàn)［17］我們同樣可以得到以下定理：

定理3" 設(shè)f∈L1（R3，O），Δxif=fxi－2ekxiCjKpi（xi，wi），則對于任意m∈Z+，都有

ΔmxiKpi（xi，wi）=（－ekwiBj）mKpi（xi，wi）

其中，i=1，2，3;k=1，2，4;j=α，β，γ;Bj=csc j;Cj=cot j2。

證明" 當(dāng)m=1時(shí)，有

ΔxiKpi（xi，wi）

=Kpi（xi，wi）xi－2ekxiCjKpi（xi，wi）

=ek（2xiCj－wiBj）Kpi（xi，wi）－2xiCjKpi（xi，wi）

=－ekwiBjKpi（xi，wi）

假設(shè)

Δm－1xiKpi（xi，wi）=（－ekwiBj）m－1Kpi（xi，wi）

成立，則

ΔmxiKpi（xi，wi）

=Δxi［Δm－1xiKpi（xi，wi）］

=Δxi［（－ekwiBj）m－1Kpi（xi，wi）］

=［（－ekwiBj）m－1Kpi（xi，wi）］xi－

2ekxiCj［（－ekwiBj）m－1Kpi（xi，wi）］

=（－ekwiBj）m－1［ek（2xiCj－wiBj）］Kpi（xi，wi）－

2ekxiCj［（－ekwiBj）m－1Kpi（xi，wi）］

=（－ekwiBj）mKpi（xi，wi）。

綜上所述，結(jié)論成立，證畢。

推論5" 設(shè)f∈L1（R3，O），令Δmx=Δm1x1Δm2x2Δm3x3，其中，m=（m1，m2，m3）， m1，m2，m3∈Z+，則有 Δmx∏3i=1Kpi（xi，wi）=∏3i=1［（－ekwiBj）miKpi（xi，wi）］。

證明" 由定理3可得

Δmx∏3i=1Kpi（xi，wi）

=Δm1x1［Δm2x2Δm3x3Kp1（x1，w1）×

Kp2（x2，w2）Kp3（x3，w3）］

=Δm1x1{Kp1（x1，w1）［Δm2x2Δm3x3×

Kp2（x2，w2）Kp3（x3，w3）］}

=Δm1x1{Kp1（x1，w1）［Δm2x2Kp2（x2，w2）］×

［Δm3x3Kp3（x3，w3）］}

=［Δm1x1Kp1（x1，w1）］［Δm2x2Kp2（x2，w2）］×

［Δm3x3Kp3（x3，w3）］

=［（－e1w1Bα）m1Kp1（x1，w1）］［（－e2w2Bβ）m2×

Kp2（x2，w2）］［（－e4w3Bγ）m3Kp3（x3，w3）］

=∏3i=1［（－ekwiBj）miKpi（xi，wi）］

其中，i=1，2，3，k=1，2，4，j=α，β，γ。

3" 總結(jié)

本文利用八元數(shù)傅里葉變換和四元數(shù)右邊分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，定義了右邊八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，研究了八元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換若干微分性質(zhì)，這些性質(zhì)對于研究圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮、模式識別等領(lǐng)域具有重要作用。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

A Study on the Differential Properties of Fractional

Fourier Transforms of Octonions

YANG Xi， FENG Qiang*， JIANG Nan， JI Jinyi

（School of Mathematics and Computer Science， Yan’an University， Yan’an 716000， China）

Abstract：

The octonion fractional Fourier transform， as a novel signal processing tool， has great potential in processing complex signals and multi-dimensional data. This paper studies the partial differential properties of octonion fractional Fourier transforms. First， it introduces the basic concept and mathematical expression of octonion and quaternion fractional Fourier transform， thus the fractional Fourier transform of octonion is defined. Then， based on a detailed analysis fractional Fourier transform， it provides mathematical proofs for the differential properties of various forms of octonion fractional Fourier transform. The research provides both theoretical and methodological support for further applications of the octonion fractional Fourier transform in the field of signal processing.

Key words：

fractional Fourier transform; octonion algebra; differential property