增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法的復(fù)雜環(huán)境下機(jī)器人路徑規(guī)劃

摘 要：針對(duì)原始霜冰優(yōu)化算法（RIME）在移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃問題中存在易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢等問題，提出一種增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法（ERIME）用于對(duì)復(fù)雜環(huán)境下移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃。首先，采用基于sine混沌映射的透鏡成像種群選擇策略對(duì)種群初始化階段進(jìn)行增強(qiáng)以增加種群多樣性，使算法更好地進(jìn)行探索和開發(fā)；其次，使用隨機(jī)因子控制的最值搜索策略和質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制對(duì)算法的探索和開發(fā)階段進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)解的能力，更好地探索全局最優(yōu)解，并加快算法的收斂速度；此外，建立ERIME算法的Markov鏈模型，證明了算法的全局收斂性。為驗(yàn)證ERIME的有效性，對(duì)該算法采用CEC2017測(cè)試集進(jìn)行驗(yàn)證，并與其他知名的元啟發(fā)式算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明該算法具有良好的性能。最后，將其應(yīng)用于復(fù)雜環(huán)境下的移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃問題中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ERIME可以高效地為機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃，且可以找到一個(gè)非常優(yōu)質(zhì)的路徑。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人；路徑規(guī)劃；霜冰優(yōu)化算法；柵格地圖；sine映射；最值搜索

中圖分類號(hào)：TP249"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2025）01-026-0185-11

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.07.0202

Enhanced rime optimization algorithm for robot path planning in complex environments

Abstract：Addressing the problems of the RIME in the mobile robot path planning problem， such as easy to fall into the local optimum and slow convergence speed， this paper proposed an enhanced rime optimization algorithm （ERIME） for the path planning of mobile robots in the complex environment. Firstly， this algorithm designed a lens imaging population selection strategy based on sine chaos mapping to improve the population initialization stage to increase the population diversity， so that the algorithm could be better explored and exploited. Secondly， this algorithm designed a stochastic factor-controlled optimal search strategy and a centroid-guided development mechanism to improve the exploration and exploitation stages of the algorithm， so as to enhance the algorithm’s ability to escape from the local optimal solutions， better explore the global optimal solution， and accelerate the convergence speed of the algorithm. Additionally， this paper proposed a Markov chain model of the ERIME algorithm and proved the global convergence of the algorithm. To verify the effectiveness of ERIME， this paper validated the algorithm using the CEC2017 test set and compared it with other well-known meta-heuristic algorithms. The results show that the algorithm performs well. Finally， this paper applied the ERIME algorithm to the path planning problem of mobile robots in complex environments. The experimental results demonstrate that the proposed algorithm efficiently plans the robot’s path and finds a high-quality route.

Key words：robot; path planning; rime optimization algorithm（RIME）; grid map; sine mapping; best value search

0 引言

隨著自動(dòng)化技術(shù)的迅猛發(fā)展，機(jī)器人作為人工智能和自動(dòng)化技術(shù)的杰出產(chǎn)物，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域之中。在醫(yī)療領(lǐng)域，美國明尼蘇達(dá)大學(xué)的研究人員構(gòu)建出了一種機(jī)器人[1]，通過對(duì)其培訓(xùn)使機(jī)器人能自動(dòng)完成基因研究中復(fù)雜的顯微注射，提高了人們?cè)诟鞣N生物體中進(jìn)行大規(guī)模遺傳實(shí)驗(yàn)的能力。在能源領(lǐng)域，國網(wǎng)北京電纜公司通過巡檢機(jī)器人對(duì)電力隧道進(jìn)行巡檢[2]，有效地保障了電力線路和設(shè)備的安全可靠運(yùn)行。在智能制造方面，威海廣泰空港設(shè)備股份有限公司采用機(jī)器人對(duì)S700MPa的高強(qiáng)度鋼進(jìn)行焊接，極大地減輕了工人的勞動(dòng)強(qiáng)度并提高了生產(chǎn)效率[3]。隨著機(jī)器人在各個(gè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，路徑規(guī)劃作為機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)關(guān)鍵問題也成為了當(dāng)下研究熱點(diǎn)之一。機(jī)器人路徑規(guī)劃是指讓機(jī)器人在給定環(huán)境中找到滿足約束條件的最佳路徑以完成特定的任務(wù)。一個(gè)好的路徑規(guī)劃算法能夠幫助人們高效地解決各種復(fù)雜的機(jī)器人路徑規(guī)劃問題。張貝等人[4]鑒于傳統(tǒng)的智能優(yōu)化算法不能很好地解決插值平滑的機(jī)器人路徑規(guī)劃問題，提出了一種改進(jìn)的海洋捕食者算法，通過大量的多場(chǎng)景機(jī)器人路徑規(guī)劃問題的優(yōu)化實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法搜索能力更強(qiáng)、精度更高、收斂速度更快。文獻(xiàn)[5]針對(duì)動(dòng)態(tài)環(huán)境的移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃問題，通過融合自適應(yīng)混沌和核心種群動(dòng)態(tài)規(guī)劃劃分策略等提出了一種改進(jìn)的哈里斯鷹算法。最后，通過靜態(tài)、動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)算法較對(duì)照組算法規(guī)劃的路徑縮短了11.51%。路徑規(guī)劃算法分為傳統(tǒng)路徑規(guī)劃算法和啟發(fā)式算法兩類。傳統(tǒng)路徑規(guī)劃算法包含了人工勢(shì)場(chǎng)法、快速探索隨機(jī)樹算法（RRT）、概率路線圖（probabilistic roadmap， PRM）算法以及A*算法等。但是隨著問題維度的增加和路徑規(guī)劃復(fù)雜性的增強(qiáng)，傳統(tǒng)的路徑規(guī)劃算法在處理這些復(fù)雜的高維非線性問題時(shí)具有局限性。所以，越來越多的研究人員使用啟發(fā)式算法來進(jìn)行路徑規(guī)劃。

智能優(yōu)化算法包括傳統(tǒng)的遺傳算法（GA）、粒子群算法（PSO）、模擬退火算法（SA）、蟻群算法（ACO）等，以及近年來提出的一系列新興智能優(yōu)化算法，其中包括基于梯度的優(yōu)化器（gradient-based optimizer）[6]、差異化創(chuàng)意搜索算法（differentiated creative search）[7]、吸引-排斥優(yōu)化算法（attraction-repulsion optimization algorithm）[8]以及指數(shù)分布算法（exponential distribution optimizer）[9]等。與傳統(tǒng)的路徑規(guī)劃算法相比，智能優(yōu)化算法既保留了蒙特卡羅方法中全局探索性能好的特點(diǎn)，又具有啟發(fā)式方法的局部開發(fā)能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

此外，近年來針對(duì)不同領(lǐng)域的優(yōu)化問題，研究人員提出了很多優(yōu)化算法。Fu等人[10]通過紅嘴藍(lán)喜鵲的合作和高效捕食行為得到靈感，提出了紅嘴藍(lán)喜鵲優(yōu)化器來解決2D/3D無人機(jī)路徑規(guī)劃問題。Fu等人[11]受蛇鷺的生存能力啟發(fā)，提出了蛇鷺優(yōu)化算法用于解決全局優(yōu)化問題。Zhang等人[12]借鑒了雷達(dá)技術(shù)獨(dú)特的算法設(shè)計(jì)，提出了波搜索算法，并將其應(yīng)用于六個(gè)常見的工程應(yīng)用問題和機(jī)器人路徑規(guī)劃問題中，均取得了很好的效果。Duankhan等人[7]為處理復(fù)雜的優(yōu)化問題，采用差異化的知識(shí)獲取和創(chuàng)造性現(xiàn)實(shí)主義策略提出了差異化搜索算法用于解決復(fù)雜優(yōu)化問題，它徹底改變了復(fù)雜環(huán)境中的決策系統(tǒng)，取得了非常好的效果。Wang等人[13]受黑翅鳶遷徙和捕食行為的啟發(fā)，融合了柯西變異和leader策略提出了黑翅鳶優(yōu)化算法，并將其用于解決實(shí)際的工程設(shè)計(jì)問題，與現(xiàn)有優(yōu)化技術(shù)相比，其獲得了具有競(jìng)爭(zhēng)力的結(jié)果。

霜冰優(yōu)化算法（RIME）是2023年提出的一種基于物理現(xiàn)象的智能優(yōu)化算法。該算法的靈感來源于霜冰的生長(zhǎng)過程，即軟霜冰和硬霜冰，由此構(gòu)建了軟霜冰搜索策略以及硬霜冰穿刺機(jī)制以獲取全局優(yōu)化問題中的最優(yōu)解。為了證明算法的有效性和優(yōu)越性，首先對(duì)RIME進(jìn)行定性分析，然后通過與其他20個(gè)對(duì)比算法在CEC2017測(cè)試集上進(jìn)行比較以證明算法的優(yōu)越性。除此之外，還使用CEC2022測(cè)試集證明了RIME相比其他算法具有更好的收斂精度和更快的收斂速度。為了進(jìn)一步說明RIME算法在實(shí)際應(yīng)用中的潛力，將RIME應(yīng)用于五個(gè)工程設(shè)計(jì)問題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，RIME可以有效地處理實(shí)際應(yīng)用問題。總體來說，RIME兼顧了全局探索和局部開發(fā)，具有收斂速度快、求解精度高的特點(diǎn)。

然而，沒有免費(fèi)的午餐（no free lunch， NFL）定理在邏輯上證明了沒有一種元啟發(fā)式算法適合解決所有的優(yōu)化問題[14]。這激勵(lì)著不同領(lǐng)域的研究人員不斷開發(fā)新的元啟發(fā)式算法來解決不同的問題。針對(duì)圖像分割問題，Yuan等人[15]通過使用低失真的Sobol序列取代偽隨機(jī)的方法，引入了兩種避免局部最優(yōu)和促進(jìn)解集內(nèi)部信息交換的方法，提出了一種增強(qiáng)型的RIME算法，并將其應(yīng)用于6幅COVID-19 X光圖像的分割。通過實(shí)驗(yàn)證明，所提增強(qiáng)型RIME算法不管是在圖像分割精度方面還是特征相似性指標(biāo)等方面，均優(yōu)于與之相比的6種同類算法。Li等人[16]提出了一種整合了共適應(yīng)狩獵和分散覓食策略的新型RIME結(jié)構(gòu)，通過將共適應(yīng)狩獵策略與RIME的基本搜索規(guī)則在個(gè)體水平上協(xié)同工作，使算法更容易跳出局部最優(yōu)解，探索全局最優(yōu)解；使用分散覓食策略進(jìn)一步豐富了算法的種群多樣性，幫助算法打破局部搜索的限制，從而獲得更好的收斂性。Yang等人[17]提出了一種基于改進(jìn)RIME（IRIME）算法的光伏-熱電混合系統(tǒng)重配置方法，利用IRIME算法尋找最優(yōu)的電氣連接方案，通過實(shí)驗(yàn)證明，所提方法在平均輸出功率方面約提升了28%。此外，針對(duì)人工勢(shì)場(chǎng)法在機(jī)器人局部路徑規(guī)劃中存在的局部極小值陷阱和路徑冗余問題，張國勝等人[18]提出了一種基于模糊控制和虛擬目標(biāo)點(diǎn)的改進(jìn)人工勢(shì)場(chǎng)算法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃，幫助機(jī)器人走出多U型復(fù)雜陷阱，減少冗余路徑，提高路徑平滑度并降低規(guī)劃時(shí)間。為保證移動(dòng)焊接機(jī)器人在戶外工作時(shí)的高效性和安全性，任紅格等人[19]提出了一種動(dòng)態(tài)SHO-ACO算法為移動(dòng)焊接機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃，其針對(duì)原始蟻群算法（ACO）信息素以總長(zhǎng)度為單個(gè)影響因子、容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，借鑒自私羊群算法（SHO）的空間因素和吸引力函數(shù)對(duì)原始的蟻群算法進(jìn)行改進(jìn)，得到了一個(gè)優(yōu)秀的路徑規(guī)劃算法。通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，SHO-ACO不管是在簡(jiǎn)單環(huán)境還是在復(fù)雜環(huán)境都具有優(yōu)越性。針對(duì)全局規(guī)劃無法動(dòng)態(tài)避障以及局部規(guī)劃可能陷入局部最優(yōu)的問題，姜佩賀等人[20]提出了一種基于服務(wù)機(jī)器人的改進(jìn)A*與DWA融合的路徑規(guī)劃算法，使室內(nèi)服務(wù)機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)過程中能夠?qū)崟r(shí)避障，通過隨機(jī)障礙物，順利完成任務(wù)。

為提高機(jī)器人路徑規(guī)劃的速度，Garcia等人[21]提出了一種基于蟻群優(yōu)化算法的新方案，最佳路徑的選擇依賴于模糊推理系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)，使用簡(jiǎn)單的調(diào)優(yōu)算法進(jìn)行調(diào)整，使機(jī)器人不管是在虛擬的仿真環(huán)境中還是在真實(shí)的工作環(huán)境中都能得到一條較好的路徑，并且使用這種算法可將路徑規(guī)劃的速度提高10倍左右。針對(duì)自主移動(dòng)機(jī)器人在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)環(huán)境過程中的路徑規(guī)劃問題，Ajeil等人[22]提出了一種混合的PSO-MFB算法，當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人檢測(cè)到其傳感區(qū)域內(nèi)的障礙物時(shí)，就會(huì)觸發(fā)障礙物檢測(cè)和避障功能，從而避免與障礙物發(fā)生碰撞。在復(fù)雜的動(dòng)態(tài)環(huán)境下，該方法也能產(chǎn)生最優(yōu)的可行路徑，從而克服網(wǎng)格方法等傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)。為解決在連續(xù)環(huán)境中對(duì)多個(gè)機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃的問題，Nazarahari等人[23]提出了一種創(chuàng)新的人工勢(shì)場(chǎng)方法，用于在離散的環(huán)境中找到起點(diǎn)到終點(diǎn)位置之間的所有可行路徑，開發(fā)了一種增強(qiáng)型遺傳算法來改善連續(xù)空間中的初始路徑，并找到起點(diǎn)到終點(diǎn)之間的最佳路徑。將此算法擴(kuò)展到多個(gè)機(jī)器人路徑規(guī)劃問題中，通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，算法在四個(gè)機(jī)器人情況下具有較強(qiáng)的魯棒性，不僅確定了機(jī)器人的無碰撞路徑，還找到了所有機(jī)器人的近乎最優(yōu)解。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文針對(duì)霜冰優(yōu)化算法[24]進(jìn)行了以下工作：a）對(duì)于原始算法隨機(jī)初始化的問題，本文采用了基于sine的混沌映射方法，增強(qiáng)了隨機(jī)初始解的質(zhì)量，使算法能夠更快地收斂，獲得更好地收斂精度；b）針對(duì)原始算法收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題，提出了隨機(jī)因子控制的最值搜索策略和質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制來加快算法的收斂速度和增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力；c）為驗(yàn)證本文算法的可行性和有效性，建立ERIME算法的Markov鏈模型，證明了算法的全局收斂性；并使用CEC2017測(cè)試集與其他7種對(duì)比算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，充分討論了算法的性能；d）將算法用于4種規(guī)模的柵格機(jī)器人路徑規(guī)劃問題中，證明了算法的優(yōu)越性，并將其應(yīng)用于動(dòng)態(tài)變化的隨機(jī)地圖的仿真實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步證明了算法的廣泛適用性。

1 地圖建模和算法基礎(chǔ)

1.1 環(huán)境地圖模型構(gòu)建

構(gòu)建機(jī)器人環(huán)境地圖模型是研究機(jī)器人路徑規(guī)劃的重要基礎(chǔ)。在現(xiàn)代機(jī)器人技術(shù)中，地圖模型扮演著關(guān)鍵角色，它們是機(jī)器人感知和決策的基礎(chǔ)。常用的地圖模型建模方法有柵格地圖法[25]、拓?fù)涞貓D法、半?yún)?shù)地圖法、概率地圖法以及自由空間法等。在本文中，考慮到簡(jiǎn)單直觀、有效和易于實(shí)現(xiàn)等因素，采用柵格法對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的真實(shí)環(huán)境空間進(jìn)行建模形成二維柵格地圖。在模型中，黑色柵格表示障礙物，白色柵格表示可通行區(qū)域。本文規(guī)定機(jī)器人可以向周圍8個(gè)方向移動(dòng)，當(dāng)遇到障礙物時(shí)，路徑不可行。圖1展示了機(jī)器人在柵格地圖中的可移動(dòng)情況。在圖中，用圓點(diǎn)表示機(jī)器人，箭頭表示機(jī)器人可以移動(dòng)的方向。對(duì)于左邊的機(jī)器人，周圍沒有障礙物阻擋，所以8個(gè)方向均可以通行；對(duì)于右邊的機(jī)器人，其上方和右下方存在障礙物，所以只有剩余6個(gè)方向可以通行。

1.2 霜冰優(yōu)化算法概述

本節(jié)主要介紹RIME算法的來源和數(shù)學(xué)模型。霜冰優(yōu)化算法的靈感來源于霧霾冰生長(zhǎng)機(jī)制的啟發(fā)，通過模擬霜冰粒子的運(yùn)動(dòng)，提出了軟霜搜索策略以及硬霜穿刺機(jī)制，以幫助找到高質(zhì)量的解決方案。

1.2.1 軟霜冰搜索策略

在有風(fēng)的環(huán)境中，軟霜冰的生長(zhǎng)具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，霜冰粒子可以自由地覆蓋在物體的大部分表面，在同一個(gè)方向上緩慢地生長(zhǎng)。受軟霜冰生長(zhǎng)的啟發(fā)，當(dāng)r2lt;E時(shí)，軟霜冰搜索策略可以表示為

Rnewij=Rbest，j+r1×cos θ×β×（h×（Ubij－Lbij）+Lbij）（1）

其中：Rnewij表示霜冰粒子經(jīng)過軟霜冰搜索策略后更新的新位置；Rbest，j表示上一輪迭代過程中獲得的最優(yōu)解；r1為（-1，1）的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；cos θ是隨著迭代次數(shù)變化而變化的一個(gè)參數(shù)，其與r1一起控制粒子的運(yùn)動(dòng)方向，θ可以表示為

β為環(huán)境因子，可以表示為

h表示粘著度，是一個(gè)（0，1）的隨機(jī)數(shù)，用于控制兩個(gè)霜冰粒子之間的距離；Ubij、Lbij分別表示問題的上下界；r2為（0，1）之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，用于模擬霜冰粒子的隨機(jī)凝聚；E是附著系數(shù)，它影響霜冰粒子的凝聚概率，并隨著迭代次數(shù)的增加而增加，可以表示為

其中：t 表示當(dāng)前迭代次數(shù)；T表示最大迭代次數(shù)；w為常數(shù)5；[.]表示取整函數(shù)。

1.2.2 硬霜穿刺機(jī)制

在強(qiáng)風(fēng)條件下，硬霜冰顆粒的生長(zhǎng)比軟霜冰更直接、更有規(guī)律。當(dāng)冰霜顆粒凝結(jié)成硬霜冰時(shí)，由于生長(zhǎng)方向相同，各冰霜粒子之間很容易交叉。通過這種現(xiàn)象的啟發(fā)，原文提出了硬霜穿刺機(jī)制。當(dāng)r3lt;Fnormr（Si）時(shí)，硬霜穿刺機(jī)制可以表示為

Rnewij=Rbest，j（5）

其中：r3為（-1，1）的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；Fnormr（Si）表示當(dāng)前的粒子適應(yīng)度值的歸一化值，用于模擬第i個(gè)粒子被選擇的幾率。

2 增強(qiáng)的霜冰優(yōu)化算法

在優(yōu)化問題中，RIME雖然是當(dāng)下較為優(yōu)秀的一個(gè)算法，但是對(duì)于RIME來說，獲得理想的最優(yōu)解還是極具挑戰(zhàn)性的，尤其是在處理復(fù)雜非線性問題和高維問題時(shí)更是凸顯出了不足。因此，為綜合提高RIME算法的性能，本章提出了三種增強(qiáng)RIME的策略，本文將結(jié)合三種增強(qiáng)策略的算法命名為ERIME算法。三種增強(qiáng)策略分別為基于sine映射的透鏡成像種群選擇策略、隨機(jī)因子控制的最值搜索策略以及質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制。

2.1 基于sine混沌映射的透鏡成像種群選擇策略

針對(duì)原始霜冰優(yōu)化算法中隨機(jī)初始化種群可能會(huì)導(dǎo)致初始解遠(yuǎn)離最優(yōu)解，從而增加了算法的搜索空間，間接地導(dǎo)致了算法的收斂時(shí)間被延長(zhǎng)，使其需要更多的迭代來尋找到最優(yōu)解。目前，常被研究人員使用的混沌映射主要有Tent映射、Chebyshev映射、Neuron映射以及sine映射等。其中，Tent映射是一種分段線性函數(shù)，其更新機(jī)制使得粒子更新后的位置主要集中在上下界附近，無法充分探索整個(gè)解空間，且Tent映射產(chǎn)生的粒子位置更新相互獨(dú)立，缺乏種群多樣性，這就會(huì)導(dǎo)致算法難以跳出局部最優(yōu)解。Chebyshev映射的行為對(duì)初始條件和參數(shù)非常敏感，微小的變化通常會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，這就大大地增加了調(diào)參的難度。Neuron映射通常涉及大量的矩陣運(yùn)算和非線性激活函數(shù)計(jì)算，計(jì)算開銷較大。然而sine映射是通過正弦函數(shù)來對(duì)種群進(jìn)行初始化，其生成的隨機(jī)數(shù)在給定范圍分布均勻，有助于均勻的覆蓋搜索空間，避免種群聚集在某一特定區(qū)域，并且其使用簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)計(jì)算，公式簡(jiǎn)單、計(jì)算速度較快，計(jì)算開銷較低。此外，其還具有周期性特征，有助于確保生成的數(shù)值在特定范圍內(nèi)循環(huán)，保持隨機(jī)性和多樣性。因此，本節(jié)采用了基于sine映射的透鏡成像種群選擇策略來對(duì)原始算法進(jìn)行優(yōu)化。首先通過隨機(jī)生成和sine混沌映射生成兩個(gè)種群，從這兩個(gè)種群中選擇適應(yīng)度值位于前50%的粒子組成算法的新種群?；趕ine映射的每個(gè)混沌分量可以表示為

其中：i、j屬于（0，N），N為種群數(shù)；s為常數(shù)3.8。然后基于生成的混沌序列，將個(gè)體映射到相應(yīng)的搜索空間中，生成由sine映射引導(dǎo)的種群。種群分量可以表示為

Ri，j=Lbij+Sij×（Ubij－Lbij）（7）

為使粒子更加多樣，本文加入了動(dòng)態(tài)因子控制的透鏡成像策略來指導(dǎo)算法的搜索過程，其將注意力集中在解空間的有利區(qū)域，從而加速收斂過程，使算法可以更快地收斂到最優(yōu)解附近。粒子的鏡像解可以表示為

其中：K為透鏡成像的動(dòng)態(tài)因子，可以表示為

在此基礎(chǔ)上，若鏡像解的適應(yīng)度值小于原解的適應(yīng)度值，則進(jìn)行更新；否則不更新?？梢员硎緸?/p>

其中：f（reverse（i））表示鏡像解的適應(yīng)度值；f（R（i））表示原解的適應(yīng)度值。

2.2 隨機(jī)因子控制的最值搜索策略

針對(duì)原始算法在此階段收斂速度慢等問題，本節(jié)提出了一種隨機(jī)因子控制的最值搜索策略。通過在算法搜索過程中利用位置的最值來減小算法的搜索范圍，使算法可以更快地收斂，尋找到全局最優(yōu)解。粒子位置更新規(guī)則具體如下：

其中：XX、LL分別表示粒子位置的最大值和最小值。

在隨機(jī)因子控制的最值搜索策略中，首先，本文利用兩個(gè)隨機(jī)數(shù)來選擇位置更新公式，當(dāng)左邊的隨機(jī)數(shù)小于右邊的隨機(jī)數(shù)時(shí)，利用原始的位置更新公式進(jìn)行更新；否則，利用本文所提最值搜索策略進(jìn)行位置更新，隨機(jī)數(shù)的引入加強(qiáng)了算法的隨機(jī)性，增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力，使算法能夠更好地找到全局最優(yōu)解。在新提出的位置更新策略中，將原始算法的上下界更新公式替換為粒子所在位置的上下界，縮小了算法的搜索范圍，使解在最優(yōu)值附近振蕩或波動(dòng)，加快了算法的搜索速度。

這種增強(qiáng)策略的引入，一方面可以極大地改善RIME算法中位置更新策略過于隨機(jī)的缺陷；另一方面，針對(duì)原算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，隨機(jī)因子的控制可以使霜冰粒子更好地跳出局部最優(yōu)，在給定的范圍內(nèi)進(jìn)行全局探索和局部尋優(yōu)。綜合地提升了算法在此階段的尋優(yōu)能力。

2.3 質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制

在原始霜冰優(yōu)化算法迭代的后期，霜冰粒子僅僅跟隨當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行位置更新會(huì)使粒子快速同化，迅速地聚集到當(dāng)前最優(yōu)解附近。但是如果當(dāng)前最優(yōu)解不是全局最優(yōu)解，那么霜冰粒子的聚集就會(huì)導(dǎo)致無法發(fā)現(xiàn)真正的最優(yōu)位置，出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)的問題。質(zhì)心引導(dǎo)是一種利用全局信息來幫助優(yōu)化算法跳出局部最優(yōu)的策略。其核心思想是通過計(jì)算當(dāng)前解的質(zhì)心來引導(dǎo)搜索過程，可以幫助算法探索更廣闊的搜索空間，而不是僅僅依賴于局部最優(yōu)解。此外，通過引導(dǎo)解向質(zhì)心靠攏，可以促進(jìn)解的多樣性，避免算法陷入狹窄的解空間區(qū)域，增加解的多樣性。這種機(jī)制不但可以增強(qiáng)算法的全局搜索能力，還能提升尋找全局最優(yōu)解的可能性。因此，針對(duì)易陷入局部最優(yōu)的問題，本節(jié)提出了一種質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制，通過使用最優(yōu)解到當(dāng)前解的距離和質(zhì)心到當(dāng)前解的距離來引導(dǎo)粒子位置的更新。具體的位置更新規(guī)則可以表示為

Rnewij=Rbest，j+（r4×（Rbest，j－Rij）+（1－r4）×（Rcentroid－Rij））×RBij（12）

其中：r4為（0，1）的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；Rcentroid為所有位置的質(zhì)心；RBij為一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，用于模擬位置的隨機(jī)更新，以盡可能地使霜冰粒子分散到各個(gè)地方，更好地進(jìn)行全局探索。

2.4 增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法總體流程

綜上，本文增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法在原始霜冰優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上對(duì)種群初始化、軟霜冰搜索策略以及硬霜穿刺機(jī)制進(jìn)行了改進(jìn)。增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法工作流程如圖2所示。

2.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

評(píng)估一個(gè)算法的優(yōu)劣，不僅要看它的性能表現(xiàn)，還需要關(guān)注其時(shí)間復(fù)雜度的高低。性能優(yōu)越的算法能夠在各種應(yīng)用場(chǎng)景中找到最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，但如果算法的時(shí)間復(fù)雜度過高，執(zhí)行效率低下，那么在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)因?yàn)橛?jì)算時(shí)間過長(zhǎng)而難以滿足需求，特別是在解決一些實(shí)時(shí)任務(wù)時(shí)，在提升算法性能的同時(shí)盡量降低或保持算法的時(shí)間復(fù)雜度就顯得極為重要。因此，本節(jié)將對(duì)ERIME算法的整體時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行分析，其時(shí)間復(fù)雜度主要由軟霜冰搜索階段、硬霜穿刺機(jī)制和計(jì)算適應(yīng)度值三個(gè)部分組成。在軟霜冰搜索階段，每一次迭代需要對(duì)每一個(gè)霜冰粒子進(jìn)行位置更新，所以其時(shí)間復(fù)雜度為O（n2）；在硬霜穿刺機(jī)制中，當(dāng)滿足條件進(jìn)行位置更新時(shí)，其時(shí)間復(fù)雜度也為O（n2）；對(duì)每個(gè)霜冰粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為O（n×log n）。綜上所述，ERIME算法的整體時(shí)間復(fù)雜度為O（（n+log n）×n），由此可知，ERIME算法的總體時(shí)間復(fù)雜度與原始的RIME算法相同，并不影響算法的執(zhí)行效率。

3 增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法收斂性分析

在智能優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)與應(yīng)用中，算法是否收斂是判斷一個(gè)算法優(yōu)劣的關(guān)鍵因素，證明算法的收斂性就顯得至關(guān)重要。收斂性是指算法在有限步數(shù)內(nèi)能夠找到全局最優(yōu)解或近似最優(yōu)解的能力。擁有良好的收斂性算法不僅可以保證其在解決復(fù)雜問題上的有效性和可靠性，還保證了其在不同應(yīng)用場(chǎng)景中的穩(wěn)定性和可預(yù)測(cè)性[26]。缺乏收斂性證明的算法可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不確定或不可重復(fù)，進(jìn)而影響決策的準(zhǔn)確性和信任度。因此，本章將對(duì)增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法進(jìn)行收斂性分析，證明此算法的收斂性。

3.1 ERIME算法的Markov模型

Markov模型是一種用于描述隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型，它的未來狀態(tài)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，與過去的狀態(tài)無關(guān)[27]。PSO、GWO以及ACO等智能優(yōu)化算法的演化過程都可以描述為Markov過程[28]。在ERIME算法中，霜冰粒子的位置更新只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，與過去的狀態(tài)無關(guān)，具有無后效性，在本質(zhì)上是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，本節(jié)利用Markov模型對(duì)這一隨機(jī)過程進(jìn)行表示，以下是詳細(xì)的數(shù)學(xué)描述和定義。

定義1 霜冰粒子狀態(tài)和霜冰粒子狀態(tài)空間。霜冰粒子的狀態(tài)由霜冰粒子所在的位置構(gòu)成，記為X，其中X∈A，A表示可行解空間。霜冰粒子所有可能狀態(tài)組成的集合構(gòu)成霜冰粒子狀態(tài)空間，記為Y={X|X∈A}。

定義2 霜冰粒子種群狀態(tài)和霜冰粒子種群狀態(tài)空間。霜冰粒子種群狀態(tài)由所有霜冰粒子狀態(tài)構(gòu)成，記作s=（X1，X2，…，XN），其中Xi表示第i個(gè)霜冰粒子的狀態(tài)，N表示種群大小。霜冰粒子種群狀態(tài)空間由霜冰粒子種群所有可能狀態(tài)組成的集合構(gòu)成，記為S=s=（X1，X2，…，XN）Xi∈Y，1≤i≤N。

定義4 狀態(tài)等價(jià)類。由等價(jià)關(guān)系“～”在S上可以類比出霜冰粒子種群狀態(tài)等價(jià)類，記作Le=S/～，簡(jiǎn)稱霜冰粒子種群等價(jià)類。其存在以下性質(zhì)：

定理1 在ERIME算法中，霜冰粒子的狀態(tài)Xi由一步轉(zhuǎn)移到Xj的轉(zhuǎn)移概率P（Ts（Xi）=Xj）的表達(dá)式為

證明 視霜冰粒子種群為超空間的一組點(diǎn)集，則霜冰粒子的位置更新過程即為超空間中一組點(diǎn)集之間的相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)定義3和ERIME算法的幾何性質(zhì)可知，霜冰粒子在軟霜冰搜索階段由狀態(tài)Xi一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Xj的轉(zhuǎn)移概率為

霜冰粒子經(jīng)歷軟霜冰搜索階段得到新解后，還需要再執(zhí)行硬霜穿刺機(jī)制去發(fā)現(xiàn)是否還有更好的解，因此得到霜冰粒子硬霜穿刺階段由狀態(tài)Xi一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Xj的轉(zhuǎn)移概率為

其中：X是多維度的，超空間立方體的體積由絕對(duì)值表示，矢量加減由加減號(hào)表示。由于ERIME算法是通過軟霜冰搜索階段和硬霜穿刺機(jī)制兩階段來實(shí)現(xiàn)的，所以霜冰粒子的狀態(tài)由Xi一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Xj的轉(zhuǎn)移概率P（Ts（Xi）∈Xj）由式（15）～（18）共同決定，證畢。

即霜冰粒子種群狀態(tài)由si一步轉(zhuǎn)移到sj的概率為霜冰粒子種群sj里所有霜冰粒子種群的狀態(tài)同時(shí)轉(zhuǎn)移成霜冰粒子種群sj里所有霜冰粒子種群的狀態(tài)；N是種群中個(gè)體的數(shù)量。

定理2 ERIME算法中霜冰粒子種群狀態(tài)序列s（t）：tgt;0是有限齊次Markov鏈。

證明 搜索空間在任何優(yōu)化算法中都是有限的，故任一霜冰粒子狀態(tài)中Xi都是有限的，因此霜冰粒子的狀態(tài)空間Y是有限的。一個(gè)霜冰粒子種群狀態(tài)空間s=X1，X2，…，XN由N個(gè)霜冰粒子組成，N是有限正整數(shù)，故霜冰粒子種群狀態(tài)空間S是有限的。

由霜冰粒子種群狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可知，霜冰粒子種群狀態(tài)序列s（t）：tgt;0中，對(duì)于任意s（t）∈S，s（t+1）∈S，其轉(zhuǎn)移概率P（TS（s（t））=s（t+1））由霜冰粒子種群內(nèi)所有的霜冰粒子的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P（Ts（X（t）=X（t+1））決定。由定理1可知，霜冰粒子種群內(nèi)任一霜冰粒子的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P（Ts（X（t）=X（t+1））僅與t時(shí)刻的狀態(tài)X（t）、隨機(jī)因子r、自適應(yīng)霜冰參數(shù)h、搜索空間的上下限值相關(guān)，所以P（TS（s（t））=s（t+1））也僅與t時(shí)刻的狀態(tài)相關(guān)，即霜冰粒子種群狀態(tài)序列s（t）：tgt;0具有Markov性。又因?yàn)闋顟B(tài)空間為可列集，霜冰粒子種群狀態(tài)空間S為有限的，所以其構(gòu)成一個(gè)有限的Markov鏈。

由定理1可知，P（Ts（X（t）=X（t+1））僅與t時(shí)刻的狀態(tài)X（t）有關(guān)，而與t時(shí)刻無關(guān)。因此，霜冰粒子種群狀態(tài)序列s（t）：tgt;0是有限齊次Markov鏈。

3.2 ERIME算法收斂性分析

定理3 當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮時(shí)，種群狀態(tài)序列收斂于最佳種群狀態(tài)集H。

綜上所述，由引理1即可得出定理3成立。

引理2 全局收斂定理。假設(shè)f是一個(gè)可測(cè)函數(shù)，可測(cè)空間A是Rn上的可測(cè)度的子集，f滿足以下條件：

a）f（D（x，ζ））≤f（x），若ζ∈A，則f（D（x，ζ））≤f（ζ）。

定理4 ERIME算法具有全局收斂性。

由引理2可知，對(duì)于ERIME算法，將迭代過程中當(dāng)前最優(yōu)解保存為

4 數(shù)值優(yōu)化實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證ERIME算法的優(yōu)越性，本章使用CEC2017測(cè)試集，與PSO[29]、GWO[30]、GTO[31]、CSA[32]、DMO[33]、GBO[6]以及原始RIME算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。各算法參數(shù)設(shè)置如表1所示。為保證實(shí)驗(yàn)的公平公正，將所有對(duì)比算法的種群數(shù)設(shè)置為30，最大迭代次數(shù)設(shè)置為1 000。為盡可能避免算法隨機(jī)性導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)偏差，并將每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30次。實(shí)驗(yàn)通過MATLAB R2023a編程實(shí)現(xiàn)，計(jì)算機(jī)CPU為Intel Core i7-10700F，內(nèi)存為8 GB，系統(tǒng)為Windows 10。

4.1 探索與開發(fā)分析

對(duì)于一個(gè)優(yōu)化算法而言，探索和開發(fā)的權(quán)衡是非常重要的。如果只注重探索，算法可能會(huì)在解空間中隨機(jī)游走，浪費(fèi)計(jì)算資源；而如果只注重開發(fā)，算法可能會(huì)過早陷入局部最優(yōu)解，導(dǎo)致不能尋找到全局最優(yōu)解。其中，探索的主要目的是通過廣泛地搜索覆蓋更大的解空間避免算法陷入局部最優(yōu)解。而開發(fā)的主要目的是在已發(fā)現(xiàn)的良好區(qū)域內(nèi)進(jìn)一步優(yōu)化解，從而找到局部最優(yōu)解或更優(yōu)的解。因此，在本節(jié)中，為對(duì)增強(qiáng)型霜冰優(yōu)化算法的局部開發(fā)和全局搜索能力進(jìn)行分析，使用CEC2017測(cè)試集對(duì)ERIME算法進(jìn)行探索與開發(fā)分析。探索和開發(fā)的百分比由式（21）（22）進(jìn)行計(jì)算。

其中：Div（t）表示第t 次迭代時(shí)的多樣性度量，由式（23）進(jìn)行計(jì)算； Divmax表示多樣性度量的最大值。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，在剛開始迭代時(shí)，算法的探索部分占比較高，隨著算法的迭代進(jìn)行，探索的百分比逐漸下降，開發(fā)的百分比逐漸上升；到迭代后期，算法的開發(fā)占比較高，探索逐漸減弱。由此可見，ERIME能夠很好地平衡探索和開發(fā)，具有較好的探索和開發(fā)能力。

4.2 CEC2017測(cè)試集10維實(shí)驗(yàn)分析

在本節(jié)中，使用CEC2017測(cè)試集中的30個(gè)測(cè)試函數(shù)在10維情況下對(duì)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。表2展示了在10維場(chǎng)景下所有對(duì)比算法30次獨(dú)立運(yùn)行在部分函數(shù)上的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差。除此之外，采用Friedman檢驗(yàn)對(duì)算法的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，表2中最后兩行分別表示算法經(jīng)過檢驗(yàn)的平均排名和最終排名。算法在dim=10時(shí)的箱線圖、收斂曲線如圖4、5所示。

結(jié)合圖表數(shù)據(jù)可知，ERIME在大部分單峰函數(shù)上都尋找到了最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，表明了ERIME的局部開發(fā)能力在大多數(shù)函數(shù)上比對(duì)比算法表現(xiàn)得更好；對(duì)于多峰函數(shù)而言，ERIME也能很好地跳出局部最優(yōu)解，找到全局最優(yōu)解，這也證明了ERIME的探索能力也是極好的。通過Friedman統(tǒng)計(jì)分析可知，ERIME在CEC2017測(cè)試集30個(gè)測(cè)試函數(shù)中的平均排名位于所有對(duì)比算法的第一名。同時(shí)，從圖5中可以看出ERIME的收斂速度、跳出局部最優(yōu)解的能力是具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的，擁有很高的收斂精度。因此，無論是在單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)中，ERIME都具有非常優(yōu)秀的表現(xiàn)，能夠快速收斂，并且能夠進(jìn)一步探索，表現(xiàn)了ERIME全局能力和局部開發(fā)能力的合理平衡。

4.3 增強(qiáng)策略有效性分析

為了驗(yàn)證本文增強(qiáng)策略對(duì)原始RIME算法的有效性，本節(jié)對(duì)ERIME進(jìn)行增強(qiáng)策略有效性分析。首先，將在RIME上加入基于sine映射的透鏡成像種群選擇策略的算法命名為RIME1；將在RIME上加入隨機(jī)因子控制的最值搜索策略的算法命名為RIME2；將在RIME上加入質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制的算法命名為RIME3；將融合三種策略加入RIME上的算法命名為ERIME，即本文算法。然后，利用CEC2017測(cè)試集中30個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)這5個(gè)算法在10維的情況下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析，為直觀地分析各增強(qiáng)策略的效果，其收斂曲線如圖6所示（dim=10）。

從圖6可知，針對(duì)函數(shù)f1，雖然RIME收斂速度快于ERIME以及各加入增強(qiáng)策略后的算法，但隨著迭代次數(shù)的增加，RIME會(huì)陷入局部最優(yōu)，無法跳出，而ERIME最終會(huì)得到一個(gè)較為優(yōu)秀的收斂精度。針對(duì)函數(shù)f2、f15、f17、f21以及f26可以看出，不管是收斂速度還是收斂精度，加入策略后的算法都比RIME優(yōu)秀，驗(yàn)證了這三個(gè)策略的有效性；特別是在f21中，融合了三個(gè)策略的ERIME表現(xiàn)出了極其優(yōu)異的結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了將三種策略融合在一起的可行性和有效性。綜上，證明了三種增強(qiáng)機(jī)制在算法的優(yōu)化過程中對(duì)算法的性能具有較大的提升作用。

4.4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)分析

為了更加全面地分析ERIME的性能，將ERIME分別與其他7個(gè)對(duì)比算法在CEC2017測(cè)試集中30個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次的30個(gè)值進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)分析，10維情況下的部分結(jié)果如表3所示。Wilcoxon中的顯著性水平取0.05，p表示檢驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)plt;0.05時(shí)，表示ERIME與被比較算法存在顯著性差異，此時(shí)應(yīng)結(jié)合之前實(shí)驗(yàn)的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差來分析哪個(gè)算法的性能更好；當(dāng)p≥0.05時(shí)，表示ERIME與該算法在這個(gè)測(cè)試函數(shù)上的性能沒有顯著性差異。觀察表格可知，ERIME與其他算法相比，在大多數(shù)函數(shù)上的p值都遠(yuǎn)小于0.05，即表明ERIME與其他算法相比具有顯著性差異，進(jìn)一步證明了ERIME優(yōu)秀的性能。

5 仿真與分析

為驗(yàn)證ERIME對(duì)移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃的可行性、有效性和廣泛適用性，分別對(duì)算法進(jìn)行復(fù)雜環(huán)境柵格地圖路徑規(guī)劃和多場(chǎng)景柵格地圖路徑規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn)。采用MATLAB R2023a軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析。算法參數(shù)設(shè)置為：最大迭代次數(shù)T=1 000;種群數(shù)N=50。

5.1 復(fù)雜環(huán)境柵格地圖路徑規(guī)劃實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證ERIME在復(fù)雜環(huán)境柵格地圖中對(duì)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃的可行性和有效性，分別在20×20、40×40、60×60以及80×80四種不同規(guī)模的柵格環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使用ERIME與PSO、GWO、GTO、CSA、DMO、GBO以及原始的RIME算法進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析。為最大可能減小算法的隨機(jī)性對(duì)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，本節(jié)的實(shí)驗(yàn)均在相同的情況下使算法獨(dú)立運(yùn)行30次，表中平均值為算法30次獨(dú)立運(yùn)行為移動(dòng)機(jī)器人規(guī)劃路徑的平均長(zhǎng)度；最大值和最小值分別為30次獨(dú)立運(yùn)行的最大路徑長(zhǎng)度和最小路徑長(zhǎng)度，并在表格中將三個(gè)指標(biāo)的最小值加粗表示。

5.1.1 20×20柵格環(huán)境

在20×20的柵格環(huán)境下，將起點(diǎn)設(shè)置為（1，1），終點(diǎn)設(shè)置為（20，20），利用ERIME與7種對(duì)比算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如圖7所示，8種算法的數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比如表4所示。

從仿真結(jié)果可以看出，相較于RIME規(guī)劃的平均路徑長(zhǎng)度為28.57，本文ERIME規(guī)劃的平均路徑長(zhǎng)度為28.41，平均路徑長(zhǎng)度更短。同時(shí)，RIME規(guī)劃路徑的最大長(zhǎng)度為30.37，而ERIME規(guī)劃的最大長(zhǎng)度為30.19。由此可知，ERIME規(guī)劃路徑的總體性能相較于RIME有著很大的提升。此外，從圖7可以看出，ERIME規(guī)劃的路徑不管是平滑度還是路徑轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù)都優(yōu)于其他7個(gè)對(duì)比算法，取得了較為優(yōu)秀的結(jié)果。

5.1.2 40×40柵格環(huán)境

在40×40的柵格環(huán)境下，將起點(diǎn)設(shè)置為（1，1），終點(diǎn)設(shè)置為（40，40），利用ERIME算法與7種對(duì)比算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如圖8所示，8種算法的數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比如表5所示。

從仿真結(jié)果可以看出，相較于其他對(duì)比算法所規(guī)劃的平均路徑長(zhǎng)度均在60以上，ERIME規(guī)劃的平均路徑長(zhǎng)度為59.54，得到了一個(gè)較大的提升。尤其是相比原始RIME平均路徑長(zhǎng)度62.48，提升了2.94。此外，在30次的仿真實(shí)驗(yàn)中，ERIME規(guī)劃的路徑最大值和最小值之間的差值僅為4.09，是所有對(duì)比算法中波動(dòng)最小的，進(jìn)一步證明了ERIME的穩(wěn)定性。而且，從圖8也能看出，ERIME規(guī)劃的路徑更加平滑，轉(zhuǎn)折點(diǎn)更少。

5.1.3 60×60柵格環(huán)境

在60×60的柵格環(huán)境下，將起點(diǎn)設(shè)置為（1，1），終點(diǎn)設(shè)置為（60，60），利用ERIME與7對(duì)比算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如圖9所示，8種算法的數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比如表6所示。

從仿真結(jié)果可以看出，相較于其他7個(gè)對(duì)比算法平均路徑長(zhǎng)度都在100以上，ERIME的平均路徑長(zhǎng)度僅為97.23，且最小值更是突破到了89.69。比起經(jīng)典的PSO，ERIME規(guī)劃路徑的平均值提升了10.88，有著很好的效果，證明了ERIME相對(duì)于經(jīng)典算法的優(yōu)越性。并且從圖中也能看出，2024年新提出的GBO算法規(guī)劃的路徑不管是轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù)還是路徑節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)都比ERIME規(guī)劃的路徑多，進(jìn)一步證明了ERIME相較于新算法的有效性。

5.1.4 80×80柵格環(huán)境在80×80的柵格環(huán)境下，將起點(diǎn)設(shè)置為（1，1），終點(diǎn)設(shè)置為（80，80），利用ERIME與7對(duì)比算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如圖10所示，8種算法的數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比如表7所示。

從仿真結(jié)果可以看出，CSA、DMO算法容易陷入陷阱柵格，導(dǎo)致規(guī)劃的路徑過長(zhǎng)，路徑曲折程度增加；GBO雖然在8個(gè)算法中波動(dòng)最小，但是其陷入了局部最優(yōu)，未收斂于搜索到的最優(yōu)路徑長(zhǎng)度；而ERIME盡管其規(guī)劃的最大路徑長(zhǎng)度為167.23，但是其平均值和最小值分別為137.87和123.32，由此可知，其規(guī)劃的路徑大部分還是介于最小值和平均值之間，最大值的出現(xiàn)只是特殊情況。

綜合四種復(fù)雜環(huán)境下柵格地圖路徑分析的仿真結(jié)果可以看出，本文ERIME可以快速高效地找到最短的機(jī)器人移動(dòng)路徑。并且通過與經(jīng)典算法和新算法的比較，進(jìn)一步證明了ERIME在機(jī)器人路徑規(guī)劃實(shí)際問題上的有效性和優(yōu)越性。

5.2 多場(chǎng)景柵格地圖路徑規(guī)劃實(shí)驗(yàn)分析

為探索算法是否在各種情況下均能為機(jī)器人規(guī)劃路徑，本文將機(jī)器人柵格地圖隨機(jī)化，即隨機(jī)生成障礙物，以模擬現(xiàn)實(shí)中各種復(fù)雜的工作環(huán)境，探索多場(chǎng)景下算法能否很好地為機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃。

圖11、12分別展示了在40×40和80×80兩種情況下進(jìn)行隨機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。通過以上兩種場(chǎng)景中隨機(jī)4張地圖展示出了ERIME不僅能在特定的地圖中為機(jī)器人規(guī)劃出一條優(yōu)質(zhì)的移動(dòng)路徑，而且在復(fù)雜多變的環(huán)境中也能為機(jī)器人找到一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑，使機(jī)器人很好地完成既定任務(wù)。

6 結(jié)束語

本文針對(duì)復(fù)雜環(huán)境下移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃的問題提出了一種增強(qiáng)型的霜冰優(yōu)化算法（ERIME）。主要目的是將基于sine映射的透鏡成像種群選擇策略嵌入算法的種群初始化階段使算法初始化的種群更加多樣，更好地為機(jī)器人尋找優(yōu)質(zhì)的路徑。同時(shí)加入隨機(jī)因子控制的最值搜索策略以及質(zhì)心中點(diǎn)引導(dǎo)的開發(fā)機(jī)制，使算法能在更精確的范圍內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)，加快其收斂速度，很好地跳出局部最優(yōu)解，以更快找到機(jī)器人從起點(diǎn)到終點(diǎn)的合適路線。

此外，通過建立ERIME的Markov鏈模型證明了算法的全局收斂性；并采用CEC2017測(cè)試集中30個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)ERIME性能進(jìn)行了測(cè)試。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ERIME比其他的對(duì)比算法具有更快的收斂速度和更高的收斂精度以及更強(qiáng)的魯棒性。

最后，將該算法應(yīng)用于40×40和80×80兩種不同規(guī)模的柵格環(huán)境中進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了ERIME在兩種情況下規(guī)劃最優(yōu)機(jī)器人移動(dòng)路徑的可行性和有效性。并通過在兩種情況下進(jìn)行多場(chǎng)景柵格地圖的實(shí)驗(yàn)，展示了算法在各種情況下的廣泛適用性，進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的優(yōu)秀性能。

在未來，基于ERIME優(yōu)秀的性能，計(jì)劃將其應(yīng)用于其他實(shí)際工程問題中以解決其他領(lǐng)域亟需解決的問題。例如：云資源調(diào)度問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)特征選擇問題、車間調(diào)度問題、無人機(jī)航跡規(guī)劃問題以及文本和數(shù)據(jù)挖掘問題。

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