面向分布式最優(yōu)潮流的隱私保護(hù)方法

摘 要：電力系統(tǒng)中包含大量敏感數(shù)據(jù)，保護(hù)這些數(shù)據(jù)的隱私安全對(duì)用戶至關(guān)重要。針對(duì)在分布式最優(yōu)潮流（optimal power flow，OPF）算法中，由于迭代過(guò)程中信息交換頻繁導(dǎo)致的隱私泄露問(wèn)題，提出一種面向分布式最優(yōu)潮流的隱私保護(hù)方法。該算法采用完全分布式計(jì)算方法來(lái)進(jìn)一步增強(qiáng)隱私性，并引入了自適應(yīng)懲罰參數(shù)方法以提高計(jì)算效率。在算法的迭代過(guò)程中對(duì)各節(jié)點(diǎn)間交流的傳輸變量添加差分隱私噪聲，從而阻止攻擊者通過(guò)竊聽傳輸變量真實(shí)值而推測(cè)算法中的關(guān)鍵參量，實(shí)現(xiàn)了模糊關(guān)鍵參數(shù)的OPF問(wèn)題的分布式求解框架。此外，對(duì)于所提算法的收斂性和最優(yōu)性進(jìn)行了理論證明，并在IEEE 9-總線系統(tǒng)中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法具有收斂性與準(zhǔn)確性，隱私保護(hù)性能也優(yōu)于對(duì)比算法。該算法有效地解決了在迭代過(guò)程中由于信息交換導(dǎo)致的隱私泄露問(wèn)題，在保持計(jì)算效率的同時(shí)，顯著提高了數(shù)據(jù)隱私的安全性。

關(guān)鍵詞： 差分隱私； 分布式優(yōu)化； 最優(yōu)潮流； 隱私保護(hù)

中圖分類號(hào)： TP391 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1001-3695（2025）02-037-0592-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.04.0211

Privacy protection method for distributed optimal power flow

Xu Yawen¹， Ouyang Xiaoli²， Xu Jian^1’

（1.School of Computer Science amp; Engineering， Nanjing University of Science amp; Technology， Nanjing 210094， China; 2.The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation， Nanjing 210007， China）

Abstract：The power system contains a large amount of sensitive data，and protecting the privacy of these data is crucial for users.In response to the privacy leakage problem caused by frequent information exchange during the iterative process in distributed OPF algorithms，this paper proposed a privacy protection method for distributed optimal power flow.The algorithm used a fully distributed computing method to further enhance privacy，and introduced an adaptive penalty parameter method to improve the computational efficiency. During the iterative process of the algorithm，the method added differential privacy noise to the transmission variables exchanged between nodes in order to prevent attackers from speculating on key parameters in the algorithm by eavesdropping on the true values of the transmission variables.This approach achieved a distributed solution framework for OPF problems with fuzzy key parameters.In addition，this paper provided theoretical proofs for the convergence and optimality of the algorithm，and conducted simulation verification on the IEEE 9-bus system.The simulation results verify that the proposed algorithm has convergence and accuracy，and its privacy protection performance is also superior to that of the comparison algorithm.The algorithm effectively solves the privacy leakage problem caused by information exchange during the iterative process，and significantly improves the security of data privacy while maintaining computational efficiency.

Key words：differential privacy; distributed optimization; optimal power flow; privacy protection

0 引言

最優(yōu)潮流問(wèn)題的目標(biāo)是找到一組最優(yōu)的發(fā)電機(jī)出力和輸電線路功率分配等參數(shù)，以滿足系統(tǒng)約束條件，實(shí)現(xiàn)最小化總體成本或特定的優(yōu)化目標(biāo)^［1］。電力系統(tǒng)作為關(guān)乎能源供應(yīng)和社會(huì)運(yùn)行的重要基礎(chǔ)設(shè)施，其中包含了大量的敏感信息和用電數(shù)據(jù)^［2］。相關(guān)研究表明，在新型電力系統(tǒng)中，各參與方需要共同協(xié)作以維護(hù)電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，但是這種協(xié)作所產(chǎn)生的交互數(shù)據(jù)可能會(huì)潛在地泄露參與方的敏感信息^［3］。隨著新型電力系統(tǒng)的可控資源日漸增多^［4］以及各參與方對(duì)于敏感信息隱私化的要求，分布式OPF算法應(yīng)運(yùn)而生。分布式OPF算法通過(guò)避免共享算法子問(wèn)題中的敏感信息來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)潮流計(jì)算的隱私保護(hù)。然而，由于分布式算法的迭代過(guò)程中信息交換頻繁，攻擊者仍然可以從迭代中交換的協(xié)調(diào)信號(hào)中推斷出這些信息^［5］。所以，分布式OPF算法仍然需要進(jìn)行另外的隱私保護(hù)操作。

目前常用的分布式OPF隱私保護(hù)算法主要包括基于密碼學(xué)的方法和聯(lián)邦學(xué)習(xí)的方法^［6］?；诿艽a學(xué)的方法可以進(jìn)一步分為同態(tài)加密（homomorphic encryption，HE）技術(shù)和差分隱私方法兩類。同態(tài)加密可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密，并在加密狀態(tài)下進(jìn)行計(jì)算。這意味著數(shù)據(jù)在計(jì)算過(guò)程中不需要解密，因此可以有效保護(hù)數(shù)據(jù)的隱私性^［7］。然而，由于同態(tài)加密需要在加密狀態(tài)下進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算過(guò)程相比傳統(tǒng)的明文計(jì)算更為復(fù)雜和耗時(shí)，這導(dǎo)致同態(tài)加密在某些情況下可能會(huì)影響計(jì)算效率和實(shí)時(shí)性。差分隱私通過(guò)在數(shù)據(jù)發(fā)布和分析中引入一定的隨機(jī)性噪聲^［8］，使得攻擊者無(wú)法通過(guò)對(duì)輸出結(jié)果的分析來(lái)推斷出敏感信息。但是在差分隱私算法中，零和噪聲的加入使計(jì)算迭代次數(shù)增加，而且計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性與隱私級(jí)別也難以獲得權(quán)衡。

交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers，ADMM）是一種用于解決凸優(yōu)化問(wèn)題的迭代算法。在分布式算法中，ADMM算法將原始問(wèn)題拆分成多個(gè)子問(wèn)題，使得各個(gè)參與方可以獨(dú)立地解決自己的子問(wèn)題，然后通過(guò)交換信息來(lái)達(dá)到全局最優(yōu)解，從而實(shí)現(xiàn)分布式計(jì)算。同時(shí)，在分布式環(huán)境中，ADMM算法中的每個(gè)參與方只需知道自己的局部信息，而不需要了解其他參與方的具體數(shù)據(jù)，因此ADMM算法可以有效地保護(hù)數(shù)據(jù)隱私。

Wu等人^［9］首次將加密技術(shù)應(yīng)用于分布式OPF問(wèn)題中，采用部分同態(tài)加密（part-homomorphic encryption，PHE）Pallier系統(tǒng)保護(hù)了ADMM雙重更新過(guò)程中的隱私信息。Cheng等人^［10］利用了支持浮點(diǎn)數(shù)的任意加密計(jì)算的完全同態(tài)加密（full-homomorphic encryption，F(xiàn)HE）方案HEEAN解決了交流電路下的OPF問(wèn)題。以上同態(tài)加密方案相對(duì)于差分隱私方案具有更好的準(zhǔn)確性與收斂速度，但未曾解決同態(tài)加密方案所帶來(lái)的運(yùn)行時(shí)間和空間的消耗。文獻(xiàn)［11］提出了在分布式OPF算法中注入隨機(jī)噪聲用于防止隱私泄露的方法，并引入了安全函數(shù)防止攻擊者竊聽。但其在分布式算法中所使用的ADMM算法在迭代過(guò)程中仍需進(jìn)行集中式計(jì)算，這可能導(dǎo)致一定程度的隱私泄露問(wèn)題。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出了一種基于加速ADMM的最優(yōu)潮流隱私保護(hù)算法，研究了如何在保護(hù)線路參數(shù)和發(fā)電機(jī)隱私的前提下解決分布式OPF問(wèn)題。該算法將差分隱私組合性質(zhì)與分布式OPF問(wèn)題結(jié)合，并將具有隱私保護(hù)的OPF算法分解為可異步求解的獨(dú)立子問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)算法的完全分布式計(jì)算，以達(dá)到減少隱私泄露可能性的目的。F-DiffOPF算法在隱私保護(hù)算法中引入自適應(yīng)懲罰參數(shù)方法，使罰參數(shù)在優(yōu)化迭代過(guò)程中動(dòng)態(tài)更新，提高求解效率，并證明了其收斂性與有效性。

1 相關(guān)工作

1.1 最優(yōu)潮流算法中的隱私保護(hù)工作

在傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)中，個(gè)人用電數(shù)據(jù)往往以明文形式進(jìn)行收集和分析，這可能導(dǎo)致用戶隱私暴露的風(fēng)險(xiǎn)。例如，通過(guò)分析用戶的用電模式和用電時(shí)間，攻擊者可以了解到用戶的生活習(xí)慣、行為模式甚至健康狀況等敏感信息^［3］。近年來(lái)，人們提出了一些隱私保護(hù)方法來(lái)解決OPF問(wèn)題。這些方法大致分為兩類，即差分隱私方法和同態(tài)加密方法。

在電力系統(tǒng)中，Dvorkin等人^［12］提出了一種差分隱私方法來(lái)保護(hù)OPF變量，將OPF變量?jī)?yōu)化為隨機(jī)噪聲的仿射函數(shù)。Ryu等人^［13］提出了一種包含解加密步驟的差分私有投影子梯度算法，引入了拉普拉斯噪聲對(duì)算法內(nèi)交換的解進(jìn)行加密，使數(shù)據(jù)具有差分隱私性。Yang等人^［14］提出了一種具有隱私保護(hù)特性的集中式OPF算法，通過(guò)向用電需求中注入高斯噪聲信號(hào)以確保差分隱私的效果。Makhadmeh等人^［15］對(duì)集中式隱私OPF算法進(jìn)行擴(kuò)展，將其轉(zhuǎn)換為分布式算法，并引入了OPF負(fù)荷不可分辨性問(wèn)題，在保證負(fù)荷數(shù)據(jù)隱私的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)可行且接近最優(yōu)的能源調(diào)度。在差分隱私方法中，由于隨機(jī)擾動(dòng)添加到共享消息中，所以不可避免地對(duì)最優(yōu)性和隱私進(jìn)行權(quán)衡。

在使用同態(tài)加密方法的OPF算法中，Lu等人^［16］提出了一個(gè)系統(tǒng)算子和一組代理安全地執(zhí)行基于分布式投影梯度的算法。在文獻(xiàn)［10，17］中，將基于投影梯度的算法和ADMM算法與部分同態(tài)加密方案相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)面向隱私保護(hù)的分布式優(yōu)化。Alexandru等人^［18］將PHE應(yīng)用于基于云的二次優(yōu)化問(wèn)題，這種方法使得OPF算法可以在第三方平臺(tái)上進(jìn)行計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)了隱私的保護(hù)。Cheng等人^［10］利用了支持浮點(diǎn)數(shù)的任意加密計(jì)算的完全同態(tài)加密方案HEEAN，首次提出了分布式交流電OPF的計(jì)算范式，解決交流電路下的分布式OPF隱私保護(hù)問(wèn)題。然而，這些方法僅適用于無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題或有封閉形式的原始更新。因此，上述方法并不直接適用于OPF問(wèn)題。

1.2 隱私保護(hù)相關(guān)工作

隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展和智能化技術(shù)的廣泛應(yīng)用，個(gè)人數(shù)據(jù)的收集、存儲(chǔ)和處理變得日益頻繁和龐大。然而，這些個(gè)人數(shù)據(jù)往往包含了用戶的敏感信息，一旦泄露或被濫用，可能導(dǎo)致嚴(yán)重的隱私泄露問(wèn)題，甚至對(duì)個(gè)人和組織的權(quán)益造成損害。隱私保護(hù)研究努力探索各種隱私保護(hù)技術(shù)和方法，如差分隱私、加密技術(shù)、匿名化技術(shù)等，以確保數(shù)據(jù)在傳輸、存儲(chǔ)和處理過(guò)程中的安全性和隱私性。加密技術(shù)盡管可以實(shí)現(xiàn)對(duì)敏感信息的隱私保護(hù)，但是會(huì)帶來(lái)額外的加密解密開銷^［19］。匿名化方法會(huì)隨著攻擊者掌握的背景知識(shí)越來(lái)越多，而無(wú)法有效保護(hù)用戶數(shù)據(jù)隱私。差分隱私因其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且能給出嚴(yán)格的定義證明受到廣泛關(guān)注^［11］。

2006年，Dwork^［20］在研究中提出了差分隱私的概念。差分隱私是一種強(qiáng)隱私保護(hù)機(jī)制，旨在保護(hù)個(gè)體數(shù)據(jù)，防止個(gè)體隱私信息在數(shù)據(jù)發(fā)布過(guò)程中被泄露。其核心思想是通過(guò)引入噪聲和擾動(dòng)，使得針對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)的查詢結(jié)果在增減任意單個(gè)個(gè)體數(shù)據(jù)時(shí)保持相對(duì)穩(wěn)定，從而隱藏特定個(gè)體的參與對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響。與傳統(tǒng)加密技術(shù)相比，差分隱私方法無(wú)須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行額外的加密處理，且能夠支持對(duì)多種不同類型的數(shù)據(jù)進(jìn)行隱私保護(hù)，包括數(shù)值型數(shù)據(jù)、文本數(shù)據(jù)和圖像數(shù)據(jù)等^［21］。此外，差分隱私具有高度的可擴(kuò)展性，可以根據(jù)實(shí)際需要添加額外的隱私約束，從而更有效地保護(hù)數(shù)據(jù)。差分隱私不僅能夠有效防止針對(duì)敏感數(shù)據(jù)的推斷攻擊，還能在一定程度上保證數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)可用性。這一重要概念的提出為隱私保護(hù)領(lǐng)域注入了新的活力，被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)發(fā)布、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域，并成為當(dāng)前隱私保護(hù)研究的重要理論基礎(chǔ)之一。

差分隱私作為一種隱私保護(hù)技術(shù)，適用于電力系統(tǒng)中個(gè)人用電數(shù)據(jù)的保護(hù)。差分隱私通過(guò)在數(shù)據(jù)發(fā)布過(guò)程中引入一定的噪聲或擾動(dòng)，能夠?qū)崿F(xiàn)在不減少數(shù)據(jù)分析可用性的前提下保護(hù)個(gè)體隱私。具體來(lái)說(shuō)，差分隱私允許在個(gè)人用電數(shù)據(jù)中添加一些噪聲，使得攻擊者無(wú)法通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析來(lái)推斷出個(gè)體的敏感信息。

2 面向分布式最優(yōu)潮流的隱私保護(hù)方法

2.1 問(wèn)題描述

本文考慮一個(gè)具有一組總線Ω_B和一組輸電線Ω_L的電網(wǎng)。在網(wǎng)絡(luò)中，發(fā)電機(jī)集合記為Ω_G；連接總線i的所有總線的集合記為Ω_i，連接總線i和j的線路記為ij；總線i處的發(fā)電量、負(fù)載需求、總線角度分別用P_G，i、P_d，i、θ_i表示。

分布式最優(yōu)潮流問(wèn)題的目標(biāo)是在考慮運(yùn)行約束的情況下，確定最經(jīng)濟(jì)的發(fā)電調(diào)度，使供電負(fù)荷成本最小化。運(yùn)行約束包括系統(tǒng)功率平衡約束、發(fā)電機(jī)容量約束和線路容量約束。優(yōu)化問(wèn)題為

其中：a_i、b_i、c_i為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的成本參數(shù)；P^min_G，i和P^max_G，i是發(fā)電機(jī)的最小和最大功率限制；X_ij為線路ij的電抗，X_ij=X_ji；P^max_ij為電力線ij的流量極限。

定義決策變量：

表示線路ij的潮流，令P_ij+P_ji=0。P_i，ij和P_j，ij是全局決策變量P_ij在節(jié)點(diǎn)i和j的本地備份，原問(wèn)題可被改寫為

隱私保護(hù)算法的目標(biāo)是模糊電力系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)的發(fā)電成本參數(shù)a_i、b_i、c_i，使其不被攻擊者獲取分析，因此為參數(shù)添加隱私保護(hù)方案，式（6）改寫如下：

min∑i∈Ω_G（Π_a（a_i）·P²_G，i+Π_b（b_i）·P_G，i+Π_c（c_i））（11）

其中：Π_a（a_i）、Π_b（b_i）、Π_c（c_i）分別表示經(jīng)過(guò)模糊處理后的成本參數(shù)。本文旨在面對(duì)鄰居節(jié)點(diǎn)的模糊參數(shù)，本地仍然能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)潮流的目標(biāo)，同時(shí)避免攻擊者通過(guò)網(wǎng)絡(luò)竊聽技術(shù)獲取到的傳輸變量推導(dǎo)出實(shí)際發(fā)電成本與關(guān)鍵參數(shù)。

2.2 分布式求解框架

基于分解協(xié)調(diào)原理，問(wèn)題可分解為多個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行分布式求解。采用標(biāo)準(zhǔn)的ADMM算法進(jìn)行分布式計(jì)算，構(gòu)建任意一個(gè)區(qū)域i的增廣拉格朗日函數(shù)如式（12）（13）所示。

min∑i∈Ω_BL_ρι（x_i，z_i，λ_i）（12）

L_ρi=f_i（x_i）+∑ij∈Ω_Lu^k-1_ij（P_i，ij-P^k-1_i，ij+P^k-1_j，ij2）+

ρ2∑ij∈Ω_L（P_i，ij-P^k-1_i，ij+P^k-1_j，ij2）²（13）

其中：f_i（x_i）表示節(jié)點(diǎn)i的局部目標(biāo)函數(shù)；λ為迭代中的拉格朗日乘子向量；u_ij表示節(jié)點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子；z_i表示節(jié)點(diǎn)i所有聯(lián)通線路的潮流向量；ρ為罰參數(shù)。

定義1 全局敏感度。一個(gè)查詢函數(shù)f：=D→R的全局敏感度定義為

Δf：=maxD～D′‖f（D）-f（D′）‖₁（14）

其中：D和D′表示任意相差一個(gè)元素的數(shù)據(jù)集，‖f（D）-f（D′）‖₁是f（D）與f（D′）的1階距離范數(shù)。

全局敏感度描述了在最壞情況下，由于單個(gè)個(gè)體數(shù)據(jù)的變動(dòng)所引起的查詢結(jié)果的最大變化程度。通過(guò)確保查詢操作的噪聲添加或擾動(dòng)不超過(guò)全局敏感度的倍數(shù)，可以有效地控制個(gè)體隱私信息對(duì)查詢結(jié)果的影響，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)隱私的保護(hù)。

定義2 拉普拉斯機(jī)制。對(duì)于一個(gè)查詢函數(shù)f：D→R和其相應(yīng)的全局敏感度Δf，拉普拉斯機(jī)制的輸出為

f（D）=f（D）+LapΔfε（15）

其中：ε是隱私參數(shù)，控制了噪聲的強(qiáng)度；Lap（b）表示均值為0、尺度參數(shù)為b的拉普拉斯分布。拉普拉斯機(jī)制通過(guò)向查詢結(jié)果添加尺度為Δfε的拉普拉斯噪聲，確保算法滿足ε-差分隱私。當(dāng)隱私預(yù)算ε越小時(shí)，拉普拉斯分布越均勻，對(duì)數(shù)據(jù)的保護(hù)效果越好，但可能會(huì)引入過(guò)大的噪聲，從而導(dǎo)致查詢結(jié)果的準(zhǔn)確性下降。

定義3 指數(shù)機(jī)制。對(duì)于一個(gè)查詢函數(shù)f：D→R，輸出實(shí)體r∈R，u（D，R）為效用函數(shù)，Δu為函數(shù)u（D，R）的全局敏感度，若以正比于expε·u（D，r）2Δu的概率從輸入中選擇并輸出r，則算法滿足ε-差分隱私。

指數(shù)機(jī)制通過(guò)對(duì)每個(gè)可能的結(jié)果應(yīng)用指數(shù)函數(shù)來(lái)計(jì)算其概率分布，然后根據(jù)這些概率進(jìn)行隨機(jī)選擇。由于指數(shù)機(jī)制考慮了每個(gè)結(jié)果的相關(guān)度，所以能夠提供更精細(xì)的隱私保護(hù)，適用于需要對(duì)多個(gè)結(jié)果進(jìn)行選擇的情形。

為避免隱私泄露，本文在算法中引入噪聲信號(hào)實(shí)現(xiàn)差分隱私。拉普拉斯噪聲通常提供較強(qiáng)的隱私保護(hù)，而指數(shù)噪聲在某些情況下可以減少數(shù)據(jù)失真。通過(guò)結(jié)合拉普拉斯噪聲和指數(shù)噪聲，可以同時(shí)考慮數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和隱私保護(hù)程度。插入噪聲公式如下：

ξ=ξ_l+ξ_e（16）

Lap（ξ_l|b）=12b·e^-‖ξ_l^‖₁^b（17）

Exp（ξ_e|μ）=μ·e^-μξ_e（18）

其中：ξ_l表示拉普拉斯噪聲信號(hào)，概率密度函數(shù)如式（17）所示;b是尺度參數(shù)，控制著噪聲的分散程度；ξ_e表示指數(shù)噪聲信號(hào)，概率密度函數(shù)如式（18）所示;μ是衰減參數(shù)，控制著噪聲的衰減速度。讓上標(biāo)～代表注入噪聲信號(hào)的標(biāo)記，定義ξ^k_i，ij為在第k次迭代中P^k_i，ij注入的噪聲，即P^k_i，ij=P^k_i，ij+ξ^k_i，ij。加噪后的拉格朗日函數(shù)如式（19）（20）所示。

min∑i∈Ω_BL_ρi（x_i，z_i，λ_i）（19）

L_ρi=f_i（x_i）+∑ij∈Ω_Lu^k-1_ij（P_i，ij-P^k-1_i，ij+P^k-1_j，ij2）+

ρ2∑ij∈Ω_L（P_i，ij-P^k-1_i，ij+P^k-1_j，ij2）²（20）

各區(qū)域子優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行迭代計(jì)算，每一次迭代中的計(jì)算步驟為式（21）～（24），面向隱私保護(hù)的分布式OPF算法框架如圖1所示。算法在達(dá)到收斂條件前不斷重復(fù)步驟2～7。

x^k+1：=argminx L_ρ（x，z^k，λ^k）（21）

z^k+1：=argminz L_ρ（x^k+1，z，λ^k）（22）

z^k+1：=z^k+1+ξ（23）

u^k+1：=u^k+ρ（P^k+1_i，ij-P^k+1_j，ij）（24）

2.3 完全分布式計(jì)算

從圖1的迭代步驟中可以看出，變量x和z的更新可以采用分布式計(jì)算，而在更新拉格朗日乘子λ時(shí)，需要收集全局的分布式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行集中式計(jì)算，旨在化簡(jiǎn)圖1算法，實(shí)現(xiàn)完全分布式計(jì)算，避免集中式計(jì)算可能導(dǎo)致的隱私泄露問(wèn)題，將優(yōu)化問(wèn)題改寫為ADMM形式可得

minx，z f（x）+g（z）（25）

Ax+Bz=0（26）

其中： f（x）=∑i∈Ω_Gf_i（x_i）=∑i∈Ω_G（Π_a（a_i）P²_G，i+Π_b（b_i）P_G，i+Π_c（c_i）），g（z）=0。增廣拉格朗日乘子式如下：

L_ρ（x，z，λ）=f（x）+〈λ，Ax+Bz〉+ρ2‖Ax+Bz‖²₂（27）

對(duì)L_ρ（x，z，λ）關(guān)于z求偏導(dǎo)，并令其為零：

?L_ρ（x，z，λ）?z=B^Tλ^k+ρB^T（Ax^k+1+Bz^k+1）=0（28）

將λ^k+1的迭代公式代入式（28）并化簡(jiǎn)可得

B^Tλ^k+1=0（29）

u^k+1_i，ij+u^k+1_j，ij=0（30）

u^k+1_i，ij=u^k_i，ij+ρ（P^k+1_i，ij-P^k+1_ij）（31）

u^k+1_j，ij=u^k_j，ij+ρ（P^k+1_j，ij-P^k+1_ij）（32）

令u⁰_i，ij+u⁰_j，ij=0，P^k_ij=P^k_i，ij+P^k_j，ij2，可以得到：

u^k_i，ij+u^k_j，ij=0，k∈N^*，ij∈Ω_L（33）

初始化參數(shù)x⁰=0，λ⁰=0，那么原分布式算法則可以化簡(jiǎn)為只有x和λ更新，且不需要中心節(jié)點(diǎn)參與計(jì)算的完全分布式算法。

2.4 加速型ADMM優(yōu)化求解

在ADMM算法的迭代過(guò)程中，懲罰參數(shù)ρ的大小能夠影響算法的穩(wěn)定性與收斂速度，合理地選擇懲罰參數(shù)的大小，可以幫助算法更快更穩(wěn)定地收斂到最優(yōu)解。自適應(yīng)懲罰參數(shù)方法中的“自適應(yīng)”體現(xiàn)在根據(jù)當(dāng)前優(yōu)化問(wèn)題的收斂情況和特性來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整懲罰參數(shù)的數(shù)值。在優(yōu)化過(guò)程中，如果目標(biāo)函數(shù)的值沒有得到有效改善或者收斂速度較慢，則增加懲罰參數(shù)的數(shù)值，從而加大約束條件的懲罰力度，以促進(jìn)更快地收斂；相反，如果目標(biāo)函數(shù)的值接近最優(yōu)解并且收斂穩(wěn)定，系統(tǒng)則減小懲罰參數(shù)的數(shù)值，以避免因?yàn)檫^(guò)大的懲罰導(dǎo)致算法無(wú)法達(dá)到最優(yōu)解。自適應(yīng)懲罰參數(shù)方法通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整懲罰參數(shù)的數(shù)值，使得算法能夠根據(jù)當(dāng)前優(yōu)化問(wèn)題的特性和收斂狀態(tài)，靈活地調(diào)節(jié)約束條件的影響力，從而更好地進(jìn)行優(yōu)化求解。因此，為了進(jìn)一步提高分布式算法的求解速度并減少迭代次數(shù)，本文采用加速型ADMM進(jìn)行優(yōu)化求解。在該方法中，引入自適應(yīng)懲罰參數(shù)機(jī)制，通過(guò)觀察初始?xì)埐詈蛯?duì)偶?xì)埐顑纱蔚g的關(guān)系，動(dòng)態(tài)地調(diào)整傳統(tǒng)ADMM中固定的懲罰參數(shù)的數(shù)值，在優(yōu)化迭代過(guò)程中實(shí)現(xiàn)懲罰參數(shù)的動(dòng)態(tài)更新，從而提高求解效率。表達(dá)式如式（34）～（36）所示。

r^k+1_prim=‖λ^k+1-λ^k‖₂（34）

r^k+1_dual=‖P^k+1_i，ij-P^k+1_j，ij‖₂（35）

ρ^k+1_i=ρ^k_iφ^de‖r^k+1_dual‖₂=η‖r^k+1_prim‖₂

φ^deρ^k_i‖r^k+1_prim‖₂=η‖r^k+1_dual‖₂

ρ^k_iother（36）

在第k次迭代循環(huán)中，本地節(jié)點(diǎn)根據(jù)迭代式（21）求解當(dāng)前子問(wèn)題解x^k;然后根據(jù)式（34）（35）計(jì)算原始?xì)埐詈蛯?duì)偶?xì)埐?根據(jù)式（36）計(jì)算節(jié)點(diǎn)本次循環(huán)中的ρ值，以此更新λ^k。加速優(yōu)化求解后的算法命名為F-DiffOPF，流程如算法1所示。

算法1 F-DiffOPF算法

輸入：各節(jié)點(diǎn)電力需求P_d，i；算法初始值λ⁰、ρ⁰、μ，b、k=0，收斂參數(shù)δ。

輸出：OPF方案。

for each node do

while‖x^k-x^k-1‖≤δ do

計(jì)算argminx L（x，z^k-1，λ^k-1），更新x和P^k_i，ij

生成噪聲信號(hào)ξ_l～Lap（x|b），ξ_e～Exp（x|μ）

為傳輸變量添加噪聲信號(hào)P^k_i，ij=P^k_i，ij+ξ_l+ξ_e，發(fā)送給鄰居節(jié)點(diǎn)

從鄰居節(jié)點(diǎn)接收P^k_j，ij

計(jì)算原始?xì)埐顁^k_prim和對(duì)偶?xì)埐顁^k_dual，更新ρ^k_i

計(jì)算u^k=u^k-1+ρ（P^k+1_i，ij-P^k+1_j，ij），更新λ^k

k=k+1

end while

end for

2.5 收斂性分析

假設(shè)優(yōu)化問(wèn)題式（25）的解集非空且Slater條件滿足。

若假設(shè)成立，那么優(yōu)化問(wèn)題存在最優(yōu)解，記作（x^*，z^*，λ^*）。由于Slater條件成立，所以最優(yōu)解就是KKT解，滿足KKT條件。

拉格朗日函數(shù)如下：

L（x，z，λ）=f（x）+λ^T（Ax+Bz）（37）

KKT條件是對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)都為0，得到

0∈?L_x（x^*，z^*，λ^*）=?f（x^*）+A^Tλ^*（38）

0∈?L_z（x^*，z^*，λ^*）=B^Tλ^*（39）

Ax^*+Bz^*=0（40）

定義迭代變量和最優(yōu)解之間的誤差如下：

e^k_x=x^k-x^*（41）

e^k_z=z^k-z^*（42）

e^k_λ=λ^k-λ^*（43）

證明算法收斂，即要證明當(dāng)k→∞，‖e^k_x‖→0，‖e^k_z‖→0，‖e^k_λ‖→0。

由迭代公式可得L_ρ（x，z^k，λ^k）在x=x^k+1處存在次梯度0，L_ρ（x，z^k，λ^k）在z=z^k+1處存在次梯度0：

0∈?f（x^k+1）+A^Tλ^k+ρA^T（Ax^k+1+Bz^k）（44）

0∈B^Tλ^k+ρB^T（Ax^k+1+Bz^k+1）（45）

λ^k+1=λ^k+ρ（Ax^k+1+Bz^k+1）（46）

將式（46）代入到（44）（45）中，消去λ^k，得

0∈?f（x^k+1）+A^Tx^k+1+ρA^T（Bz^k+1-Bz^k）（47）

0∈B^Tλ^k+1（48）

利用凸函數(shù)的單調(diào)性：

〈-A^Tλ^k+1+A^Tλ^*-ρA^TB（z^k-z^k+1），x^k+1-x^*〉+

〈-B^Tλ^k+1+B^Tλ^*，z^k+1-z^*〉≥0（49）

化簡(jiǎn)得到

〈ρB（z^k+1-z^k），Ax^k+1-Ax^*〉+

〈-λ^k+1+λ^*，Ax^k+1-Ax^*+Bz^k+1-Bz^*〉≥0（50）

將Ax^*+Bz^*=0代入式（50）：

〈ρB（z^k+1-z^k），Ax^k+1+Bz^*〉+

〈-λ^k+1+λ^*，Ax^k+1+Bz^k+1〉≥0（51）

將第一項(xiàng)拆分后合并同類項(xiàng)得

〈ρB（z^k+1-z^k），Ax^k+1+Bz^k+1〉〈ρB（z^k+1-z^k），-Bz^k+1+Bz^*〉+

〈-λ^k+1+λ^*，Ax^k+1+Bz^k+1〉≥0（52）

其中：

〈ρB（z^k+1-z^k），Ax^k+1+Bz^k+1〉=〈ρB（z^k+1-z^k），λ^k+1-λ^k〉=

ρ〈z^k+1-z^k，B^Tλ^k+1-B^Tλ^k〉≤0（53）

因此，式（52）中后兩項(xiàng)恒大于等于0，化簡(jiǎn)可得

〈ρB（z^k+1-z^k），-B^Tz^k+1+Bz^*〉+

〈-λ^k+1+λ^*，Ax^k+1+Bz^k+1〉≥0（54）

將Ax^k+1+Bz^k+1=1ρ（λ^k+1-λ^k）代入式（54）中可得

ρ〈B（z^k+1-z^k），-Bz^k+1+Bz^*〉+

1ρ〈-λ^k+1+λ^*，λ^k+1-λ^k〉≥0（55）

ρ〈B（e^k+1_z-e^k_z），-Be^k+1_z〉+1ρ〈-e^k+1_λ，e^k+1_λ-e^k_λ〉≥0（56）

將式（56）利用內(nèi)積恒等式拆分：

ρ‖Be^k_z‖²-ρ‖Be^k+1_z‖²-ρ‖Be^k+1_z-Be^k_z‖²+

1ρ‖e^k_λ‖²-1ρ‖e^k+1_λ‖²-1ρ‖e^k+1_λ-e^k_λ‖²≥0（57）

ρ‖Be^k_z‖²+1ρ‖e^k_λ‖²-ρ‖Be^k+1_z‖²+1ρ‖e^k+1_λ‖²≥

ρ‖Be^k+1_z-Be^k_z‖²+1ρ‖e^k+1_λ-e^k_λ‖²（58）

由式（58）可知，ρ‖Be^k_z‖²+1ρ‖e^k_λ‖²遞減。

令Φ_k=ρ‖Be^k_z‖²+1ρ‖e^k_λ‖²，則Φ_k是有界列。由上述證明可得‖Be^k_z‖、‖e^k_λ‖均有界。

根據(jù)不等式‖Ae^k_x‖≤‖Ae^k_x+Be^k_z‖+‖Be^k_z‖可推出，‖Ae^k_x‖也是有界序列。因?yàn)锳^TA0，B^TB0，以上有界性也等價(jià)于{（x^k，z^k，λ^k）}是有界序列。

無(wú)窮級(jí)數(shù)∑∞k=0‖Ae^k_x+Be^k_z‖²和∑∞k=0‖B（z^k+1-z^k）‖²均收斂，這表明：

‖Ae^k_x‖→0（59）

‖B（z^k+1-z^k）‖→0（60）

由于{（x^k，z^k，λ^k）}是有界序列，所以它存在一個(gè)收斂子列：

（x^k_j，z^k_j，λ^k_j）→（x^∞，z^∞，λ^∞）（61）

limj→∞‖Ae^k_jx+Be^k_jz‖=‖Ae^∞_x+Be^∞_z‖=0（62）

此外，Φ_k是單調(diào)遞減的，并且對(duì)子列{Φ_kj}有

limj→∞Φ_kj=ρ‖Be^k_jz‖²+1τρ‖e^k_jλ‖²+

max1-τ，1-1τρ‖Ae^k_jx+Be^k_jz‖²=0（63）

由上可推出：

‖e^k_λ‖→0，‖Be^k_z‖→0，‖Ae^k_x+Be^k_z‖→0（64）

0≤limk→∞‖Ae^k_x‖≤limk→∞‖Be^k_z‖+‖Ae^k_x+Be^k_z‖=0（65）

最終得到全序列收斂。因此得出結(jié)論：當(dāng)k→∞時(shí)，有（x^k，z^k，λ^k）→（x^*，z^*，λ^*），且函數(shù)f（x^k）收斂到最優(yōu)值。

2.6 隱私性分析

在考慮對(duì)成本參數(shù)的保護(hù)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)任一節(jié)點(diǎn)的隱私不僅與其自身有關(guān)，還與其鄰居節(jié)點(diǎn)的行為密切相關(guān)。當(dāng)存在惡意節(jié)點(diǎn)或攻擊者的情況下，對(duì)算法的隱私性具有較高要求。

假設(shè)一個(gè)最壞的情景來(lái)展示算法F-DiffOPF的隱私保護(hù)性能。在這個(gè)情景中，節(jié)點(diǎn)i的所有鄰居節(jié)點(diǎn)共同進(jìn)行合謀，試圖推斷節(jié)點(diǎn)i的隱私參數(shù)，同時(shí)假設(shè)節(jié)點(diǎn)i的本地用電需求P_d，i已經(jīng)被泄露。在第k次迭代中，如果本次迭代的最優(yōu)解仍然落在可行域之內(nèi)，即滿足系統(tǒng)的約束條件，則可以得出：

2a_i（∑P^k_i，ij+P_d，i）+b_i+u^k-1_i，ij+ρ（P^k_i，ij-P^k-1_ij）=0

2a_i（∑P^k_l，il+P_d，i）+b_i+u^{k-1_l，il}+ρ（P^k_l，il-P^k-1_il）=0（66）

其中：N_i={j，…，l}，N_i表示節(jié)點(diǎn)i的所有鄰居節(jié)點(diǎn)集合。通過(guò)對(duì)上述方程組進(jìn)行分析可知，噪聲信號(hào)ξ和成本參量a_i、b_i對(duì)于合謀的惡意鄰居來(lái)說(shuō)是未知的。這意味著，即使這些惡意節(jié)點(diǎn)有動(dòng)機(jī)去窺探節(jié)點(diǎn)i的隱私參量，它們也缺乏足夠的信息來(lái)精確地計(jì)算出這些參量。假設(shè)攻擊者總共獲得了m次迭代結(jié)果，那么將有m·|N_i|個(gè)方程以及m·|N_i|+2個(gè)未知數(shù)。在沒有任何額外信息的情況下，這樣的方程組是無(wú)法求解的，因?yàn)樗粷M足線性方程組的可解性條件。因此，合謀的惡意鄰居節(jié)點(diǎn)們是無(wú)法精確地計(jì)算出節(jié)點(diǎn)i的隱私參量。而對(duì)于那些非合謀的惡意鄰居以及網(wǎng)絡(luò)中的竊聽攻擊者來(lái)說(shuō)，情況則更加不利。因?yàn)樗鼈兯塬@取的信息比合謀的惡意鄰居還要少，所以它們對(duì)關(guān)鍵隱私參量的推斷能力將更為有限。這在一定程度上保障了網(wǎng)絡(luò)的安全性和節(jié)點(diǎn)的隱私性。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文中使用IEEE 9-總線系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證所提出的加速型分布式OPF算法的有效性。如圖2所示，該系統(tǒng)包含3個(gè)發(fā)電機(jī)組、3個(gè)負(fù)荷和9條線路。發(fā)電機(jī)參數(shù)如表1所示，其余發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)和輸電線數(shù)據(jù)可在MATPOWER庫(kù)case-9中找到。本文將δ=10^-5作為收斂參數(shù)。

實(shí)驗(yàn)中采用四個(gè)算法用于對(duì)比。首先是傳統(tǒng)的ADMM-OPF算法^［22］，該算法利用ADMM算法對(duì)原始問(wèn)題進(jìn)行分布式求解，由于ADMM-OPF算法并未考慮隱私泄露問(wèn)題，所以將其作為基線方法。第二個(gè)是本文提出的加速型面向分布式最優(yōu)潮流的隱私保護(hù)方法F-DiffOPF。F-DiffOPF算法通過(guò)向本地傳輸變量中加入差分隱私噪聲以保護(hù)成本參數(shù)，利用動(dòng)態(tài)罰參數(shù)機(jī)制實(shí)現(xiàn)算法的加速迭代。第三個(gè)算法為DiffOPF，即F-DiffOPF算法不添加加速算法的情況，主要用于對(duì)比F-DiffOPF算法的效率及準(zhǔn)確性。第四個(gè)算法為對(duì)傳統(tǒng)OPF算法添加同態(tài)加密HE-OPF算法^［17］。使用Paillier密碼系統(tǒng)^［23］對(duì)傳輸變量進(jìn)行加密，在密鑰生成階段，各節(jié)點(diǎn)生成公鑰和私鑰，將公鑰分發(fā)給所有鄰居節(jié)點(diǎn)以加密傳輸變量，同時(shí)私鑰僅存儲(chǔ)于本地，用于解密所接收到的傳輸變量。

從準(zhǔn)確性與隱私保護(hù)性能兩方面對(duì)算法進(jìn)行評(píng)估。

定義相對(duì)誤差e：

e=|r［k］-r^*r^*|（67）

其中：r［k］為目標(biāo)函數(shù)在第k次迭代時(shí)的值;r^*為最優(yōu)解。相對(duì)誤差e的值越小，說(shuō)明當(dāng)前所求得的解與最優(yōu)解差距越小，則準(zhǔn)確率越高。

將原始問(wèn)題公式變形可得

P^k_i=P_d，i+b_i2a_i+∑j∈Ω_iP^k-1_ij+12a_i（-λ^k-1_i-ρP^k-1_i）（68）

那么當(dāng)攻擊者獲取到相鄰節(jié)點(diǎn)間的傳輸變量時(shí)，可以通過(guò)求解線性方程得到成本參量a_i、b_i。令a_i表示攻擊者求解得到的a_i值，n_iter表示算法達(dá)到收斂條件時(shí)的迭代次數(shù)，t表示算法收斂時(shí)的運(yùn)行時(shí)間。定義隱私保護(hù)性能P_pri：

P_pri=∑i∈Ω_G（a_i-a_i）²t·n_iter（69）

P_pri與隱私性成正比，與運(yùn)行時(shí)間、迭代次數(shù)成反比。當(dāng)P_pri值越大時(shí)，則說(shuō)明算法的隱私保護(hù)性能越好。

3.2 總體評(píng)價(jià)

圖3和4展示了F-DiffOPF算法能夠收斂到原問(wèn)題的最優(yōu)值。同時(shí)，DiffOPF算法在循環(huán)240次左右時(shí)停止迭代，F(xiàn)-Diff-OPF算法在200次左右時(shí)達(dá)到收斂，加速型算法相較于傳統(tǒng)ADMM算法明顯提高了算法的收斂速度。由于噪聲信號(hào)的加入，F(xiàn)-DiffOPF算法在迭代過(guò)程中打破了線性規(guī)律，使得攻擊者難以通過(guò)竊聽獲取關(guān)鍵參數(shù)。

表2展示了F-DiffOPF算法與同態(tài)加密算法的平均迭代次數(shù)與運(yùn)行時(shí)間。由表2可以看出，同態(tài)加密的兩種算法對(duì)于OPF算法的收斂性和準(zhǔn)確性沒有影響，但因?yàn)橥瑧B(tài)加密算法中存在大量加密解密操作，極大地增加了算法的時(shí)間開銷，并且隨著密鑰長(zhǎng)度的增加，運(yùn)行時(shí)間也相應(yīng)增加。本文提出的差分隱私加速算法能夠在有效保護(hù)數(shù)據(jù)隱私的情況下，減少算法的迭代次數(shù)與時(shí)間開銷。

3.3 準(zhǔn)確性分析

圖5展示了不同算法中相對(duì)誤差e隨迭代次數(shù)的變化過(guò)程。通過(guò)分析這些曲線可以發(fā)現(xiàn)，添加了差分隱私的算法與原始ADMM算法在收斂趨勢(shì)上大致保持一致。由于噪聲信號(hào)的加入導(dǎo)致了優(yōu)化過(guò)程中的額外計(jì)算開銷和收斂速度的犧牲，DiffOPF與F-DiffOPF算法在收斂速度上相較于原始算法減慢。然而，在本研究中引入的F-DiffOPF算法相較于未加速的Diff-OPF算法表現(xiàn)出更快的收斂速度和更高的準(zhǔn)確率。這表明在優(yōu)化問(wèn)題求解中，F(xiàn)-DiffOPF算法能夠更有效地接近最終結(jié)果，并且在保證準(zhǔn)確性的前提下加快了收斂速度，從而為實(shí)際應(yīng)用提供了更加可行和高效的解決方案。

3.4 隱私保護(hù)性能分析

差分隱私算法中影響系統(tǒng)性能的主要特征之一是差分隱私噪聲中的參數(shù)。拉普拉斯噪聲的尺度參數(shù)b越大，引入的噪聲就越強(qiáng)烈，使得傳輸數(shù)據(jù)更加模糊，增強(qiáng)隱私保護(hù)效果。指數(shù)噪聲的衰減參數(shù)μ決定了噪聲的衰減速度，μ越小衰減速度越慢，隱私保護(hù)效果則更好。

由實(shí)驗(yàn)可得，參數(shù)b的大小超過(guò)0.5時(shí)，傳輸數(shù)據(jù)過(guò)于模糊導(dǎo)致收斂算法失效，因此本實(shí)驗(yàn)取b≤0.5，0.1≤μ≤0.9，步長(zhǎng)0.1進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。對(duì)于不同的b和μ取值，隱私保護(hù)性能P_pri結(jié)果如圖6所示。由于差分隱私具有一定隨機(jī)性，對(duì)每一個(gè)參數(shù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，結(jié)果取均值計(jì)算。

盡管隱私保護(hù)程度分別與b和μ的值呈線性相關(guān)，但同時(shí)，更強(qiáng)的隱私保護(hù)也帶來(lái)了更多的迭代次數(shù)與運(yùn)行時(shí)間。合理選擇參數(shù)值可以在隱私保護(hù)和數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性之間找到平衡點(diǎn)，提高了系統(tǒng)的綜合性能。

3.5 IEEE 39-總線模擬實(shí)驗(yàn)

在深入探索電力網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化技術(shù)的過(guò)程中，針對(duì)大規(guī)模電力系統(tǒng)進(jìn)行了測(cè)試，以驗(yàn)證F-DiffOPF算法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性和可靠性。為此，選擇了IEEE 39-總線系統(tǒng)作為測(cè)試平臺(tái)，該系統(tǒng)提供了復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和豐富的數(shù)據(jù)資源，其中MATPOWER庫(kù)提供了詳細(xì)的發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)、輸電線數(shù)據(jù)以及系統(tǒng)的整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等關(guān)鍵信息，可以模擬和分析電力系統(tǒng)中的各種情況。

圖7直觀地展示了不同算法在IEEE 39-總線系統(tǒng)中達(dá)到收斂的過(guò)程。從圖中可以看出，盡管系統(tǒng)規(guī)模龐大、約束條件復(fù)雜，但與其他算法相比，F(xiàn)-DiffOPF算法依然能夠在較短的時(shí)間內(nèi)找到最優(yōu)解，并且其收斂過(guò)程穩(wěn)定、可靠，這表明F-DiffOPF算法在大規(guī)模電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題中的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種面向分布式OPF的差分隱私算法，通過(guò)結(jié)合差分隱私技術(shù)和分布式OPF問(wèn)題的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)電力系統(tǒng)數(shù)據(jù)隱私的有效保護(hù)，同時(shí)確保了OPF問(wèn)題的高效求解。利用加速型ADMM算法來(lái)解決最優(yōu)潮流中的隱私保護(hù)問(wèn)題，相較于傳統(tǒng)算法，F(xiàn)-DiffOPF算法使用原始?xì)埐钆c對(duì)偶?xì)埐罴涌炝怂惴ǖ氖諗克俣?，提高了系統(tǒng)的求解速度和精度，并在ADMM的雙重更新過(guò)程中，通過(guò)對(duì)每次迭代時(shí)的子問(wèn)題解添加噪聲信號(hào)來(lái)提供隱私性。F-DiffOPF算法具有收斂性，且不需要在明文中共享敏感信息。即使攻擊者收集了多步中間信息，也無(wú)法推斷出相鄰子區(qū)域的狀態(tài)信息。仿真結(jié)果從算法收斂性能、準(zhǔn)確性和隱私保護(hù)性能等方面驗(yàn)證了所提方法實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)中對(duì)分布式最優(yōu)潮流計(jì)算的隱私保護(hù)的有效性和實(shí)用性。未來(lái)的工作將進(jìn)一步考慮融合數(shù)據(jù)安全聚合算法，實(shí)時(shí)整合分散的電網(wǎng)數(shù)據(jù)，為最優(yōu)潮流計(jì)算提供準(zhǔn)確、全面的數(shù)據(jù)支撐的同時(shí)，提升電力系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性和安全性。

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