基于模型預(yù)測(cè)控制的水浴鍋溫度控制策略

摘 要 針對(duì)水浴鍋加熱具有的復(fù)雜時(shí)間特性、控制物料溫度難度大、部分物料達(dá)到穩(wěn)定溫度需要較長(zhǎng)時(shí)間的問題，提出基于物理模型的模型預(yù)測(cè)控制策略，首先建立系統(tǒng)模型，考慮系統(tǒng)的加熱功率，通過加權(quán)操作調(diào)整輸出功率，動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)；然后通過監(jiān)測(cè)物料溫度與設(shè)定溫度的偏差，調(diào)整加熱管功率的增量，迅速改變加熱功率，從而縮短達(dá)到設(shè)定溫度所需的時(shí)間。仿真結(jié)果顯示：該策略能夠有效跟蹤設(shè)定溫度，提升水浴鍋加熱效率，降低能源消耗，增強(qiáng)加熱過程的穩(wěn)定性和可控性。

關(guān)鍵詞 模型預(yù)測(cè)控制策略 水浴鍋 物理模型 約束處理 溫度控制 加權(quán) 加熱管功率

中圖分類號(hào) TP273"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A"" 文章編號(hào) 1000 3932（2025）01 0010 07

水浴鍋廣泛應(yīng)用于化學(xué)、生物、醫(yī)藥等相關(guān)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)工藝，工作原理是通過加熱水提供恒溫環(huán)境，執(zhí)行加熱、恒溫反應(yīng)、樣品處理等。在化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中，水浴鍋常用于進(jìn)行化學(xué)反應(yīng)、溶解、加熱微量試樣等，以確保反應(yīng)的可控性和穩(wěn)定性，對(duì)于合成、催化、萃取等研究至關(guān)重要。在藥物研發(fā)和制藥生產(chǎn)過程中，水浴鍋也被廣泛應(yīng)用于溶解、混合、濃縮、蒸發(fā)等工序，以保證藥物制備過程的安全性和有效性。

溫控領(lǐng)域?qū)W者們提出了多種控制策略，文獻(xiàn)［1］采用PID策略控制密煉機(jī)的加熱過程，方法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、適用范圍廣且穩(wěn)定性好，但存在對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性要求較高、需手動(dòng)調(diào)整參數(shù)的缺點(diǎn)；文獻(xiàn)［2］采用變論域模糊控制方法控制西瓜溫室監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，能夠處理非線性系統(tǒng)，具有較強(qiáng)的魯棒性，但是存在模糊規(guī)則設(shè)計(jì)困難、控制器參數(shù)調(diào)整復(fù)雜等問題；文獻(xiàn)［3］采用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制策略控制高功率微波爐溫度，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法能夠逼近任意非線性函數(shù)，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，但訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)、數(shù)據(jù)需求量大；文獻(xiàn)［4］將遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，應(yīng)用于鍋爐溫度控制領(lǐng)域，算法具有全局搜索能力強(qiáng)、適用于多變量非線性系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，但收斂速度慢、計(jì)算量大；文獻(xiàn)［5］將自適應(yīng)控制應(yīng)用于高壓釜溫度控制中，自適應(yīng)控制策略對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化具有較好的適應(yīng)性且穩(wěn)定性好，但對(duì)系統(tǒng)模型精度要求高、參數(shù)收斂速度慢。

目前，水浴鍋加熱過程的溫度控制仍然廣泛采用傳統(tǒng)PID控制方法，隨著操作條件和負(fù)荷的變化，PID參數(shù)需要重新整定，否則控制效率將會(huì)降低，而且傳統(tǒng)PID技術(shù)無法充分考慮材料溫度、加熱功率等變量約束問題。因此，設(shè)計(jì)一種能夠更多考慮變量約束的優(yōu)化控制方法解決水浴鍋加熱過程的約束處理問題具有重要意義。模型預(yù)測(cè)控制（MPC）是一種有效的解決方案，能夠周期性地解決當(dāng)前時(shí)間范圍內(nèi)的優(yōu)化問題，考慮約束條件，并以此來控制系統(tǒng)，從而提高控制效率和性能。MPC是一種滾動(dòng)優(yōu)化控制策略，通過周期性地解決當(dāng)前時(shí)間范圍內(nèi)的性能指標(biāo)優(yōu)化問題實(shí)現(xiàn)控制。MPC的基本思想是利用當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)和約束條件，對(duì)未來一段時(shí)間的狀態(tài)、輸入變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并求解出一組最優(yōu)控制輸入序列，隨后選取最優(yōu)控制序列中的第1組結(jié)果，應(yīng)用于系統(tǒng)，在下一個(gè)時(shí)刻，重復(fù)同樣的操作，得到最新的最優(yōu)控制序列，直到系統(tǒng)達(dá)到期望狀態(tài)。這使得其在處理加熱功率存在約束的溫度控制問題時(shí)具有傳統(tǒng)PID控制技術(shù)所不具備的優(yōu)勢(shì)。常用于模型預(yù)測(cè)控制的模型主要有過程機(jī)理模型和非參數(shù)化輸入輸出模型。非參數(shù)化輸入輸出模型是通過周期性測(cè)量系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)值來獲取參數(shù)的，從而建立動(dòng)態(tài)矩陣模型。在線性系統(tǒng)中，可以利用疊加定理來使用單個(gè)模型較好地描述整個(gè)系統(tǒng)。然而，在非線性系統(tǒng)中，疊加定理不適用。基于水浴鍋加熱特性以及模型預(yù)測(cè)控制對(duì)約束問題的優(yōu)勢(shì)，筆者提出一種適用于水浴鍋加熱過程的基于物理建模的模型預(yù)測(cè)控制策略。

1 系統(tǒng)建模

水浴鍋的加熱模型為：

c ρv=W+cρv（T-T）+U（T-T）+U（T-T）

W=Ku（1）

式中 c——水的比熱容，J/（kg·m3）；

K——系統(tǒng)增益常數(shù)；

T——外鍋中的最終水溫，℃；

T——流入電熱管水的溫度，℃；

T——鋁鍋的表面溫度，℃；

T——環(huán)境溫度，℃；

u——系統(tǒng)的輸入功率，W；

U——鋁的熱導(dǎo)率，W/℃；

U——空氣的熱導(dǎo)率，W/℃；

v——水的體積，m3；

W——電熱管產(chǎn)生的熱量，W；

ρ——水的密度，kg/m3。

對(duì)式（1）進(jìn)行Laplace變換：

c ρv［sT（s）-T］=Ku（s）+c ρv［T（s）-T（s）］+U·

［T（s）-T（s）］+U［T（s）-T（s）］（2）

式中 s——Laplace變換的復(fù)數(shù)頻率變量；

T——T在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間t=0時(shí)水的溫度，℃；

u（s）——控制輸入在Laplace變換域中的表示。

設(shè)T=T=T，則有：

c ρv［sT（s）-T］=Ku（s）+（c ρv+U+U）·

［T（s）-T（s）］（3）

求解T：

T=au（s）+bT（s）+cT（4）

U=U+U

a=

b=

c=

引入時(shí)間延遲，則有：

T（t）=T（t-τ）（5）

其中，τ是時(shí)間常數(shù)，表示系統(tǒng)響應(yīng)的延遲特性。

對(duì)式（5）進(jìn)行Laplace變換：

T（s）=Te（6）

其中，K為系統(tǒng)的熱傳遞系數(shù)；W為系統(tǒng)傳遞路徑的熱阻。

將式（4）代入式（6）中變換為：

"" =e（7）

設(shè)α=，β=，ε=，可得傳遞函數(shù)H（s）：

H（s）=e（8）

根據(jù)熱力學(xué)公式在Simulink中對(duì)水浴鍋模型物理建模如圖1所示，溫度輸入從Oil storage tank的A端進(jìn)入，從T端進(jìn)行溫度測(cè)量。

加熱管的能量守恒方程為：

V=Q++（9）

其中，V為管道流體體積；ρ為管內(nèi)液體密度；u′為內(nèi)部能量密度；t為時(shí)間；Q是通過管道內(nèi)壁的熱流率；和是通過A端、B端進(jìn)入管道的總能量流率。

管道內(nèi)壁熱流率計(jì)算式為：

Q=Q+（T-T）（10）

Q=||·c（11）

其中，Q是凈熱流率；Q是在非零流速下歸因于對(duì)流的熱流率的一部分；k是管內(nèi)熱液的導(dǎo)熱系數(shù)；S是管壁的表面積，即管道周長(zhǎng)與管道長(zhǎng)度的乘積；D是管道直徑；T是管壁溫度；T為管內(nèi)液體的溫度；為從端口A到端口B的平均流量；c為在平均溫度下計(jì)算的比熱容。

2 MPC控制器設(shè)計(jì)

MPC是一種基于模型的控制技術(shù)，使用過程模型，通過最小化成本函數(shù)來優(yōu)化控制向量，而不違反輸入或輸出約束，其基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

優(yōu)化器是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，在約束下通過最小化成本函數(shù)來優(yōu)化控制信號(hào)。在系統(tǒng)模型中呈現(xiàn)溫度方面的輸出或過去的輸入以獲得預(yù)測(cè)輸出。預(yù)測(cè)輸出和參考值間的差異以誤差形式發(fā)送到優(yōu)化器，優(yōu)化未來輸入，并且該過程保持連續(xù)。

MPC控制中的滾動(dòng)優(yōu)化如圖3所示，系統(tǒng)從k時(shí)刻開始，初始狀態(tài)x［k］，滾動(dòng)優(yōu)化控制會(huì)通過求解預(yù)測(cè)區(qū)間的最優(yōu)化問題（令N=5時(shí)性能指標(biāo)最小）計(jì)算出最優(yōu)控制序列u［k|k］，u［k+1|k］，

u［k+2|k］，u［k+3|k］，u［k+4|k］。同時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)出系統(tǒng)在這樣的控制序列下狀態(tài)值的變化

x［k+1|k］，x［k+2|k］，x［k+3|k］，x［k+4|k］，x［k+5|k］。在完成控制量的計(jì)算和模型預(yù)測(cè)后，只對(duì)系統(tǒng)施加u［k|k］，而舍去其余控制序列。

在k+1時(shí)刻，系統(tǒng)將重復(fù)k時(shí)刻的操作，如圖4所示。此時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)在u［k|k］的作用下達(dá)到了

x［k+1］，x［k+1］將作為k+1時(shí)刻的初始狀態(tài)。預(yù)測(cè)區(qū)間將向前移動(dòng)一個(gè)離散步長(zhǎng)，計(jì)算出最優(yōu)控制序列u［k+1|k+1］，u［k+2|k+1］，u［k+3|k+1］，

u［k+4|k+1］，u［k+5|k+1］，并預(yù)測(cè)系統(tǒng)在這樣的控制序列下狀態(tài)值的變化x［k+2|k+1］，x［k+3|k+1］，x［k+4|k+1］，x［k+5|k+1］，x［k+6|k+1］。同樣，在k+1時(shí)刻只對(duì)系統(tǒng)施加u［k+1|k+1］這一項(xiàng)輸入。重復(fù)操作，預(yù)測(cè)控制隨著時(shí)間的前進(jìn)不斷反復(fù)在線運(yùn)行，在每一個(gè)新時(shí)刻都需計(jì)算與分析預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)發(fā)生的情況。在每一次優(yōu)化開始時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量會(huì)作為初始條件用于系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)。

3 模型預(yù)測(cè)控制算法

MPC是一種先進(jìn)的控制策略，它利用系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并據(jù)此制定系統(tǒng)最優(yōu)的控制，以達(dá)到所需性能指標(biāo)。目前，MPC已在各領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，文獻(xiàn)［6］在混合氣動(dòng)電動(dòng)執(zhí)行器系統(tǒng)中應(yīng)用了MPC，通過預(yù)測(cè)和優(yōu)化控制電動(dòng)執(zhí)行器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)執(zhí)行器位置和速度的精確控制；文獻(xiàn)［7］利用MPC優(yōu)化了能量管理，從而改善了混合動(dòng)力電動(dòng)車的燃油效率和性能；文獻(xiàn)［8］提出一種非線性MPC方法，用于控制氣流，以確保充足的氧氣供應(yīng)，研究結(jié)果表明MPC方法的性能優(yōu)于所對(duì)比方法。

MPC算法的主要目標(biāo)是獲得最優(yōu)的控制變量，以最小化與系統(tǒng)性能指標(biāo)相關(guān)的成本函數(shù)。MPC利用過程內(nèi)環(huán)動(dòng)態(tài)模型、歷史數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)方程來計(jì)算最優(yōu)控制變量。相比于傳統(tǒng)PID控制，MPC能夠同時(shí)考慮輸入、輸出和狀態(tài)變量的約束。

3.1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型描述如下：

x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）

y（k）=Cx（k）（12）

其中，x（k+1）為系統(tǒng)在第k+1時(shí)刻的狀態(tài)向量；A為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；x（k）為系統(tǒng)在第k時(shí)刻的狀態(tài)向量；B為輸入矩陣；u（k）為系統(tǒng)在第k時(shí)刻的輸入向量；y（k）為系統(tǒng)在第k時(shí)刻的輸出向量；C為輸出矩陣。

經(jīng)變換可得增廣狀態(tài)空間模型：

Δx（k+1）" y（k+1）=" A" oTCA1 Δx（k）"" y（k） +"" BC BΔu（k）

y（k）=Δx（k）" y（k）（13）

其中，Δu（k）為控制輸入的變化量；o=

。

筆者將使用上述增廣狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器。

3.2 狀態(tài)和輸出變量的預(yù)測(cè)

狀態(tài)和輸出變量的預(yù)測(cè)模型如下：

Y=Fx（k）+ΔU

Y=［y（k+1|k） y（k+2|k） y（k+3|k） … y（k+N|k）］

ΔU=［Δu（k） Δu（k+1） Δu（k+2） … Δu（k+Nc-1）］

F= CACACA CA

="" CB"""""" 0"""""""" 0""""""" …"""""" 0 CAB"""" CB""""""" 0""""""" …"""""" 0 CAB"" CAB""""" CB"""""" …"" """"0" """""""""""""""""""""""""""""""""""CAB" CAB" CAB" …" CAB

其中，x（k）是k（k＞0）時(shí)刻的狀態(tài)變量向量；Y為預(yù)測(cè)的輸出變量向量，其維度為Np；ΔU為未來的控制軌跡向量，其維度為Nc。

代價(jià)函數(shù)J定義為：

J=（R-Y）（R-Y）+ΔURΔU（14）

其中，R=，R為對(duì)角矩陣，R=

rI（r≥0），r為閉環(huán)性能調(diào)整參數(shù)，I為單位矩陣。

控制信號(hào)的最優(yōu)解如下：

ΔU=（+R）（Rr（k）-Fx（k））（15）

其中，R=；r（k）為k時(shí)刻的設(shè)定點(diǎn)信號(hào)。

式（15）所示控制信號(hào)的最優(yōu)解與設(shè)定點(diǎn)信號(hào)和狀態(tài)變量相關(guān)聯(lián)。

3.3 對(duì)約束問題進(jìn)行處理

控制變量增量變化的約束：

Δu≤Δu（k）≤Δu

對(duì)控制變量幅度的約束：

u≤u（k）≤u

輸出限制：

y≤y（k）≤y

傳統(tǒng)上，約束施加在整個(gè)控制向量上，所有約束都用向量ΔU表示：

設(shè)C、C分別對(duì)應(yīng)相應(yīng)的矩陣，可將式（16）改寫為緊湊矩陣形式：

-（Cu（k-1）+CΔU）≤-U

（Cu（k-1）+CΔU）≤U（17）

其中，U與U為列向量，均有Nc個(gè)元素。

對(duì)于控制信號(hào)的增量有如下約束條件：

-ΔU≤-ΔU

ΔU≤ΔU（18）

其中，ΔU與ΔU為列向量，均有Nc個(gè)元素。

對(duì)于輸出約束用ΔU表示：

Y≤Fx（k）+ΔU≤Y

最優(yōu)化的參數(shù)向量ΔU，受到的不等式約束表示為：

MMMΔU≤NNN（19）

M=-C C

N= Cu（k-1）-U-Cu（k-1）+U

M=-I I

N=-ΔU ΔU

M=-

N=-Y Y

將式（19）轉(zhuǎn)化為如下更緊湊的形式，在不違反約束條件的情況下解出最優(yōu)控制：

MΔU≤γ（20）

其中，M是表示約束條件的矩陣，其行數(shù)等于約束條件的個(gè)數(shù)，列數(shù)等于ΔU的維數(shù)。

4 控制器MATLAB仿真驗(yàn)證

4.1 一般信號(hào)的算法驗(yàn)證

用MPC、PID控制器對(duì)信號(hào)進(jìn)行控制，使其到達(dá)設(shè)定條件，如圖5所示，可以看出，在穩(wěn)定時(shí)間相近的情況下，PID控制器的超調(diào)量明顯大于MPC控制器。

4.2 在不同工作溫度下使用MPC/PID進(jìn)行溫度控制

在溫度控制過程中，選擇加熱棒的輸出功率作為控制變量，由MPC、PID控制器直接控制。功率的快速響應(yīng)是溫度快速穩(wěn)定的保證。圖6展現(xiàn)了MPC與PID控制下的溫度控制效果。圖6a中，設(shè)定溫度為40 ℃，在MPC控制策略下，水溫在110 s時(shí)達(dá)到設(shè)定溫度，沒有超調(diào)量，PID控制策略與MPC控制策略相比，所需穩(wěn)定時(shí)間明顯更長(zhǎng)。圖6b中，設(shè)定溫度為50 ℃時(shí)，PID控制策略與MPC控制策略相比，超調(diào)量明顯更大。圖6c中，設(shè)定溫度為60 ℃時(shí)，PID控制策略與MPC控制策略相比，控制穩(wěn)定時(shí)間與超調(diào)量明顯更大，水溫隨著功率的波動(dòng)，最終隨時(shí)間趨于穩(wěn)定，證實(shí)MPC控制策略在控制水浴鍋溫度方面效率更高。

5 結(jié)束語

針對(duì)水浴鍋加熱過程具有復(fù)雜的時(shí)間特性，而難以直接進(jìn)行溫度數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀，提出一種適用于水浴鍋加熱過程的模型預(yù)測(cè)控制策略，并在Simulink中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MPC能夠有效控制水浴鍋的溫度和加熱管的輸出功率，相較于傳統(tǒng)PID控制，MPC控制器器在溫度和功率控制方面表現(xiàn)出較小的超調(diào)和較短的穩(wěn)定時(shí)間；在不同的溫度場(chǎng)景下，MPC控制器在超調(diào)量和穩(wěn)定時(shí)間方面均表現(xiàn)出更優(yōu)越的性能。

參 考 文 獻(xiàn)

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［3］"" 王威，李少甫，吳昊，等.基于反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID的高功率微波爐溫度控制［J］.強(qiáng)激光與粒子束，

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（收稿日期：2024-04-07，修回日期：2024-05-22）

Water Bath Temperature Control Strategy

Based on Model Predictive Control

AI Xue zhong， LI Ze yi， XU Chun bo

（School of Information and Control Engineering， Jilin Institute of Chemical Technology）

Abstract"" Considering the fact that water bath heating has characteristics of complex time， difficulty in controlling the materials temperature and a long time needed for the materials to reach a stable temperature， a model predictive control strategy based on the physical model was proposed. In which， having the system model established， the system heating power considered and the output power adjusted by weighting operation to dynamically control the system; and then， having the deviation between the material temperature and the set temperature monitored and the increment of heating tube power adjusted to change the heating power rapidly and shorten the time required to reach the set temperature. The simulation results show that， the strategy proposed can effectively track the set temperature， improve heating efficiency of the water bath， reduce the energy consumption， enhance the stability and controllability of the heating process and provide an effective solution for optimizing the heating process of the water bath.

Key words"" model predictive control strategy， water bath， physical model， constraints handle，temperature control， weighting， heating power