研讀高考題 剖析數(shù)列新定義

研讀高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)改革力度之大，突破以往試卷結(jié)構(gòu)的常規(guī)模式，給人以耳目一新之感。尤其是新高考的數(shù)列解答壓軸題以“新定義”情境試題的形式呈現(xiàn)，背景新穎，構(gòu)思巧妙，有效地考查同學(xué)們的遷移能力和思維品質(zhì)，充分地體現(xiàn)“遵循教學(xué)大綱，又不拘泥于教學(xué)大綱”的特點(diǎn)。下面結(jié)合2024年高考的數(shù)列解答題，剖析數(shù)列新定義，以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、試題呈現(xiàn)

（2024年全國新高考Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m +2 是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai 和aj （ilt;j）后剩余的4m 項(xiàng)可被平均分為m 組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m +2 是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列。

（1）寫出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6 是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列。

（2）當(dāng)m ≥3 時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m +2 是（2，13）—可分?jǐn)?shù)列。

（3）從1，2，…，4m +2中一次任取兩個(gè)數(shù)i 和j（ilt;j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m +2 是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm ，證明：Pm gt;1/8。

思路剖析：本題是在已有等差數(shù)列概念的基礎(chǔ)上，重組或變化條件，生成（i，j）—可分?jǐn)?shù)列的新概念，但解題依然根植于等差數(shù)列的基礎(chǔ)概念、基本方法與基本思想。解題按新定義的“（i，j）—可分?jǐn)?shù)列”的要求，“照章辦事”即可。

（1）直接根據(jù)（i，j）—可分?jǐn)?shù)列的定義寫出所有的（i，j）即可。

（2）先證明當(dāng)m =3時(shí)，可以分為a1，a4，a7，a10;a3，a6，a9，a12;a5，a8，a11，a14 三組公差為3d 的等差數(shù)列。再證明當(dāng)m gt;3時(shí)，數(shù)列a1，a2，…，a4m +2 去掉a2 和a13 后，后面的每四個(gè)相鄰的項(xiàng)分為一組，即a15，a16，a17，a18;…;a4m -1，a4m ，a4m +1，a4m +2，每一組都能構(gòu)成等差數(shù)列，即可證明結(jié)論。

（3）設(shè)滿足題意的（i，j）的取法數(shù)為bm ，則b1=3。當(dāng)m =n+1時(shí)，可取a4n+6 與a1，a5，a9，…，a4n+5 中的一個(gè)，共（n+2）種;可取a4n+5 與a2，a6，a10，…，a4n-2 中的一個(gè)，共n種。故bn+1 -bn ≥n+2+n=2n+2，則當(dāng)m ≥2時(shí)，bm =（bm -bm -1）+…+（b2-b1）+b1≥2m +…+4+3=m2+m +1。又b1=3滿足上式，故bm ≥m2+m +1。結(jié)合隨便刪除2個(gè)數(shù)，總共有C2 4m +2=8m2+6m +1（種）方法，證明結(jié)論即可，過程略。

二、“新定義數(shù)列”的特點(diǎn)

創(chuàng)新性：新定義問題的背景新穎獨(dú)特，題目中常出現(xiàn)“定義”“規(guī)定”“稱為”等詞匯，定義內(nèi)容與教材中的知識(shí)內(nèi)容存在一定差異，并且有時(shí)表述抽象，要求同學(xué)們先仔細(xì)讀題并明其新意，再進(jìn)行解題。

綜合性：新定義問題背景創(chuàng)新，聯(lián)絡(luò)不同知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)模塊，綜合運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想方法，全面考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力。同學(xué)們要明晰新概念的構(gòu)成要素，挖掘與已有知識(shí)的關(guān)聯(lián)并將已有方法進(jìn)行遷移，對新問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

速用性：新定義問題的解決要求同學(xué)們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)迅速學(xué)習(xí)并立即使用一個(gè)新的數(shù)學(xué)定義，這意味著同學(xué)們需要在沒有老師指導(dǎo)下短時(shí)間內(nèi)“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，對同學(xué)們的思維靈敏性要求很高。

三、破解“新定義數(shù)列”的方法

“新定義數(shù)列”雖然形式較新，但研究它們的基本方法和思考角度，往往是同學(xué)們較為熟悉的。同學(xué)們只要冷靜觀察和思考，深入理解新定義，采用合理的策略、熟悉的方法進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，就能得到簡捷清晰的解法。