基于數學思想培養(yǎng)的高中數學單元教學案例探究

摘要：數學教學不僅要引導學生學習具體的數學知識，更要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。教師可以“數形結合”“類比”等數學思想為主線，通過對“函數的奇偶性”這一教學內容進行內容重構，設計基于教材、課程標準和基本學情的單元教學案例。案例中所蘊含的數學思想與方法、所體現(xiàn)的數學核心素養(yǎng)、所構建的數學知識體系，應有利于進一步引導學生更加深入地理解函數的概念，掌握函數的性質。

關鍵詞：高中數學；數學思想；單元教學；函數的奇偶性

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）指出“高中數學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數學學科核心素養(yǎng)?！睘榱巳媾囵B(yǎng)和發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)，落實立德樹人的根本任務，教師應深入探究適合實際學情的教學模式，通過積極構建符合《課標》、教材要求的知識體系，編制合理的教學單元，設計符合學生認知水平發(fā)展的教學流程，來實現(xiàn)從傳統(tǒng)的“學科本位”到“學生本位”的跨越?！墩n標》對于課程目標明確提出要落實“四基”，提高“四能”，那么在單元教學中如何具體實施呢？本文以“函數的奇偶性”為例，探討以數學基本思想作為主線的單元教學設計。

“函數的奇偶性”是《課標》中必修課程的“主題二函數”的重要內容，本研究以此內容作為教學單元，將類比、數形結合、從特殊到一般等數學思想作為主線進行單元整體設計，主要突出以下三個方面：一是調整教學順序，突出類比等思想。本案例將第1課時設計為“由偶函數的定義，探究得到偶函數的性質及判定，再逐步深入到函數的軸對稱”等內容，類比第1課時，在第2課時中研究奇函數的定義，再逐步深入到函數的中心對稱。這樣，將函數的奇偶性分開教學，提前滲透了函數的軸對稱和中心對稱等特殊的性質，打破了教材中原有的知識體系，重新編制了符合學情的教學流程。二是強調數形結合在研究函數性質時的重要作用。本案例通過讓學生直觀感受偶函數和奇函數的圖象及性質，引導學生根據具體函數的圖象總結并且歸納出函數的奇偶性的定義，將數形結合、從特殊到一般的數學思想貫穿整個教學過程，培養(yǎng)學生直觀想象、數學抽象等數學核心素養(yǎng)。與此同時，在函數的奇偶性的教學中深化對函數單調性的理解，引導學生思考對稱性（軸對稱、中心對稱）與函數的單調性之間的關系，通過函數圖象的變化規(guī)律，總結函數的性質。這不僅僅體現(xiàn)了知識之間的結構性，更重要的是體現(xiàn)了不同內容之間數學思想的一致性。

一、單元教學內容及教學目標分析

函數是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最基本的數學語言和工具，其不僅刻畫了變量之間的依賴關系，也可以被理解為實數集合之間的對應關系。函數的性質表現(xiàn)為因變量隨自變量的變化而變化的規(guī)律性和變化中的不變性。具體來說，函數的單調性研究的是隨自變量的增大，因變量是增大還是減小的規(guī)律性，這是事物發(fā)展趨勢的一種數學表達；函數的奇偶性研究的是當自變量互為相反數時，因變量的變化規(guī)律（相等還是互為相反數），這是事物對稱性的一種數學表達。奇偶性從“形”的角度，揭示了函數圖象整體的對稱性；從“數”的角度，刻畫了自變量與函數值之間一種特殊的數量關系。函數的奇偶性對于簡化函數圖象和性質的研究過程具有事半功倍的作用。在解決函數問題的過程中，借助具體的函數圖象和函數性質的研究，滲透用符號語言解釋直觀圖形、用圖形語言解釋符號語言的含義，蘊含著數形結合的思想。在解決函數性質的具體問題中，通過邏輯推理、數學運算判斷代數式的大小關系或相等關系，蘊含著轉化與化歸等思想。“函數的奇偶性”單元教學主要是通過探究函數的局部性質，利用從特殊到一般、數形結合的數學思想，延伸到函數的整體性質，其設計是借助代數運算、圖象分析，對函數性質做出精確表達，完成函數基本性質符號化定義的抽象過程，為學生后續(xù)學習新的數學概念與性質奠定思想方法和能力的基礎。

基于以上對單元教學內容的分析，筆者設計單元（主題）的教學目標為：（1）結合具體的函數，了解奇偶性的概念和幾何意義及相應對稱性。（2）能夠運用代數運算、圖象分析的方法來研究函數的奇偶性、對稱性，建立不同函數圖象與代數特征之間的關聯(lián)，發(fā)現(xiàn)不同函數圖象之間共有的性質。（3）能夠理解“符號化表達與幾何圖象相對應”的本質，體會“從特殊到一般”“數形結合”“類比”的數學思想，會用聯(lián)系的觀點學習數學，將新知識納入已有的知識體系中。（4）能夠在運用代數運算和圖象分析的過程中觀察到函數奇偶性的代數特征及相關性質，并在此基礎上類比至函數奇偶性相關性質的研究；在研究函數奇偶性相關性質的過程中能夠運用特殊到一般、數形結合的數學思想方法猜想函數奇偶性的相關性質，并運用嚴謹的數學語言表達關于函數性質的邏輯推理過程和結論，發(fā)展直觀想象、數學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提升數學表達能力。

二、單元—課時教學內容設計

單元—課時教學內容如圖1所示，下面以第1課時為例，具體闡述單元視角下的課時設計。

課時教學目標：通過對不同函數由“形”到“數”的探究，得到偶函數圖象關于y軸對稱的代數特征，理解偶函數的圖象特征和形式化定義，建構偶函數的概念；通過對復雜情境中函數對稱性的符號語言表達，經歷從具體到抽象的研究過程，借助圖形性質探索數學規(guī)律，形成解決問題的思路；體會從特殊到一般、數形結合的數學思想在研究偶函數概念及對稱性過程中的意義，發(fā)展直觀想象、數學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提升數學表達能力。

學情分析：初中階段，學生已經學習了軸對稱圖形、中心對稱圖形以及相應的性質，對二次函數、反比例函數的對稱性也非常熟悉，能夠結合具體的函數圖象，用自然語言定性刻畫函數的單調性。高中階段，學生學習了函數的概念、函數的表示和函數的單調性，對自然語言、邏輯語言、邏輯推理有一定的體會，能理解函數單調性的符號化定義以及研究過程，這些知識和經驗的積累為后續(xù)函數基本性質的學習奠定了基礎。

雖然學生通過函數單調性的學習，具備了用數量關系刻畫函數圖象上升或下降趨勢的基本活動經驗，但是關于對稱性的認識仍處于幾何直觀角度的描述階段。學生對從數量關系角度的刻畫函數對稱性比較陌生，多表現(xiàn)為面對函數問題時從“形”的角度進行直觀想象，缺乏從“數”的角度進行邏輯推理。另外，由于學生對函數定義中的符號語言比較陌生，抽象概括能力比較薄弱。為此，學生在抽象概括偶函數符號化語言方面存在困難。在教學中，教師一方面應通過類比函數單調性的學習，明確研究函數性質的基本方法；另一方面，應通過探究活動再次經歷從函數圖象的對稱到特殊（具體）點的對稱，再到任意點的對稱（函數圖象對稱），直至函數對稱性的代數表征的研究過程，使學生的認識在感性的基礎上，逐漸上升到理性層面。

基于上述分析本課時教學難點：用對稱點坐標的數量關系刻畫函數圖象對稱性的符號化表達。

教學策略分析：結合課時的內容特點和學情分析，可以采用問題鏈的教學模式，以提升學生的數學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)為根本出發(fā)點，以數形結合的思想方法直觀想象偶函數的對稱性；通過數學運算刻畫函數圖象對稱，體會從特殊到一般、從具體到抽象在解決數學問題過程中的一般性和有效性的研究方法；由淺入深，逐層遞進，給學生提供比較、分析、歸納、總結的機會，幫助學生在解題和反思中領悟數學思想方法在數學學習中的作用。

三、教學環(huán)節(jié)的設計與實施

本節(jié)課，筆者設計了五個教學環(huán)節(jié)：引例探究，形成概念→任務驅動，建構概念→任務驅動，延伸概念→典例分析，加深理解→歸納反思，概括提升。

（一）引例探究，形成概念

導入：函數是刻畫變量之間關系的數學模型，函數圖象直觀形象地反映了函數的變化情況，如圖2中左邊函數圖象，函數[f（x）=x2]在區(qū)間[0，+∞]內，隨著x的增大，[f（x）]也隨之增大；如圖2中右邊函數圖象，函數[f（x）=1x]在區(qū)間[0，+∞]內，隨著x的增大，[f（x）]隨之減小，用數量關系刻畫圖象的上升與下降的幾何特征，如圖2中左邊的函數，就是[x1，x2∈0，+∞]，當[]都有[f（x1）lt;f（x2）]。

【問題1】換一個角度再來觀察這兩個函數圖象，還具有其他特征嗎？

【設計意圖】引導學生回顧單調性中自變量與函數值的對應關系，通過觀察函數圖象特征，啟發(fā)學生從對稱性的角度思考自變量與函數值的關系，為學習新知作好鋪墊。

【問題2】還有哪些函數圖象也具有對稱性？請說明函數的解析式。

【設計意圖】引導學生再次回顧已學的函數，從函數圖象和解析式兩個角度，充分挖掘已有認知中具有對稱性的函數圖象，為后面學習用符號語言刻畫函數圖象對稱性作鋪墊。

【問題3】（選取學生舉出的偶函數，結合引例中的函數）能說明這些函數圖象關于y軸對稱的理由嗎？

【預案1】學生回答畫圖觀察，依據初中所學，函數[f（x）=x2]圖象在y軸一側的部分沿著y軸翻折與另一側圖象重合，說明函數圖象關于y軸對稱。

【追問】為什么函數圖象沿著y軸的一側翻折與另一側圖象重合，可以說函數圖象關于y軸對稱？

【設計意圖】引發(fā)學生思考：對于函數圖象關于y軸對稱的研究要考慮圖象上的點關于y軸對稱的問題，最終落實到點的坐標的數量關系，進而從數量的角度探究函數圖象的對稱性。

【預案2】例如，[f（x）]=[x]具有對稱性，因為該函數圖象是兩條射線組成的圖形，學生從圖形的角度比較容易說明對稱性，教師可以引導學生從數量的角度探究函數圖象的對稱性。

【問題4】如果函數圖象沿著y軸翻折與另一側圖象必須完全重合，可以判定函數圖象關于y軸對稱，那么如何說明完全重合？

【預案】教師引導：從點出發(fā)，如圖3所示f（-1）="f（1），f（-2）=f（2），f（-3）=f（3）……f（-x）=f（x）。于是，根據[（x，f（x）），（-x，f（-x））f（x）=f（-x）][均在函數f（x）的圖象上]，[?f]（x）圖形關于y軸對稱。

【設計意圖】通過問題引領學生回到圖形，回到用點研究問題，實現(xiàn)從具體到抽象，特殊到一般來研究，從點對稱到線對稱，形成用數量關系刻畫函數圖象對稱的概念雛形，逐步培養(yǎng)學生善于觀察思考，提升邏輯推理的數學素養(yǎng)。

【問題5】請總結，函數的自變量與函數值具有什么樣的對應關系時，函數圖象關于y軸對稱？

【設計意圖】讓學生從文字語言和數學符號語言表達函數圖象關于y軸對稱，并強調[x∈D]，"""""[-x∈D]。

（二）任務驅動，建構概念

【問題6】請再舉出一個具體的函數解析式，判定此函數的圖象是否關于y軸對稱，以及是一種怎樣的對應關系。

教師讓學生同桌為一個合作小組，完成學習任務1并且分享。

【學習任務1】請從點對稱的角度說明該函數是否關于y軸對稱？說出自變量特征與函數值特征。

【設計意圖】讓學生從自選函數圖象入手，再次感悟用數量關系刻畫函數的對稱性，將圖象的對稱轉化為點的對稱，體會研究函數性質的一般方法，有利于提升學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生邏輯推理、數學抽象的核心素養(yǎng)。

【問題7】對于函數[y=f（x）]，如果函數圖象關于y軸對稱，請用符號語言刻畫函數圖象關于y軸對稱。

我們把滿足上述條件的函數稱為偶函數，進而得到偶函數定義（教師板書）。

【教師總結】一般地，設函數[f（x）]的定義域為D。如果對于??x[∈D]，都有-x[∈D]。且[f（-x）=f（x）]，那么函數[f（x）]就叫做偶函數。

【追問1】函數[f（x）]是偶函數與圖象關于y軸對稱是什么關系？

【設計意圖】在抽象表達偶函數定義的過程中，提高學生使用符號語言的能力，深刻理解偶函數的定義與函數圖象關于y軸對稱的充要關系，為后面奇函數的對稱性作鋪墊。

（三）任務驅動，延伸概念

【問題8】如果函數[y=f（x）]對稱軸為x=1，x=a，那么該如何用符號語言表示上述規(guī)律？

【學習任務2】同桌為一個合作小組，完成下頁表1并且分享。

【設計意圖】利用小組討論的形式，通過類比偶函數的學習，自主得出一般函數對稱性的規(guī)律。學生再次經歷“函數圖象的對稱性→函數圖象中任意一點的對稱性→自變量和函數值的代數特征→得到規(guī)律”的過程，進一步培養(yǎng)自主研究問題的能力。

（四）典例分析，加深理解

【問題9】判斷下列函數是否是偶函數。

（1）f（x）=（x-2）2；（2）f（x）=[x]；（3）f（x）=x2+[1x4]；（4）f（x）=0。

【設計意圖】通過四個函數的辨析，強調定義的層次性，進而掌握函數奇偶性的判斷方法。

（五）歸納反思，概括提升

【問題10】探究偶函數概念形成及函數對稱性的研究過程中，用到哪些方法和數學思想？通過本節(jié)課學習，在研究函數的性質方面有哪些收獲？

【設計意圖】引導學生歸納反思，對本節(jié)的重點知識和方法進行總結。主要是圍繞偶函數概念的形成及其在形成概念過程中所利用的研究方法。

四、教學反思與經驗提升

一是明確函數主線，體現(xiàn)函數性質這一單元教學的“整體有序性”。教師以數形結合的思想方法，引導學生直觀想象圖象對稱并通過數學運算進行數量刻畫，用點對稱研究函數圖象對稱問題，體會“從特殊到一般、從具體到抽象”在解決數學問題中的一般性和有效性。學生通過典型例題及一題多變的學習，由淺入深、逐層遞進。教師給學生提供比較、分析、歸納、總結的機會，幫助學生在探究和反思中領悟數學思想方法在數學學習中的作用。

二是函數性質刻畫的是函數的要素之間的關系，是函數概念精致化和系統(tǒng)化的一部分。本案例重點在于對函數的性質的刻畫，體現(xiàn)了對函數的概念的深入理解。一方面，體現(xiàn)在教學中從學生所熟知的基本初等函數入手，引導學生經歷直觀描述到符號語言表達的抽象過程；另一方面，體現(xiàn)在學生在學習函數性質的過程中對函數概念與性質的進一步理解：當自變量x變化的時候，對應的函數值y也隨之變化，這種變化中不變的規(guī)律正是函數的性質。

三是將研究函數的奇偶性的數學思想方法遷移到函數的對稱性的教學內容上，是對函數性質研究的進階設計。相應地，學生在一個較大時間跨度內對某一學習主題的認識、理解和實踐，是從簡單到復雜，從低水平到高水平的發(fā)展過程。

四是抓住數學本質，通過從具體到抽象的教學，借助數學圖象、運用數學符號進行數學表達，提升學生數學核心素養(yǎng)。函數的奇偶性的本質是：當自變量x呈特殊變化，如取相反數，由x變成-x時，對應的函數值y不變或變?yōu)橄喾磾?。研究函數奇偶性的過程是“圖形直觀—自然語言—形式化定義”，用函數圖象和代數運算的方法來研究函數的性質，體現(xiàn)了數形結合的思想，即通過幾何建立直觀，通過代數予以表達。

參考文獻：

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（責任編輯：楊強）