解析幾何的重要工具

領(lǐng)" 銜" 人：朱建良（正高級(jí)教師、江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省太倉(cāng)市初中數(shù)學(xué)朱建良名師工作室

平面直角坐標(biāo)系是數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域中非常重要的工具。借助它，我們可以在二維平面上精確地表示和計(jì)算各種幾何形狀、曲線(xiàn)和點(diǎn)的位置，還可以將某些復(fù)雜的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)化為更易于處理的代數(shù)方程形式，找到更直觀(guān)、準(zhǔn)確的解決方案。

“一維”到“二維”

我們?cè)谄吣昙?jí)學(xué)習(xí)了數(shù)軸的概念，明確了任一實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。平面直角坐標(biāo)系則是在二維平面上確定位置的方法體系，它包含兩個(gè)相互垂直且相交于原點(diǎn)（通常表示為O）的坐標(biāo)軸（通常稱(chēng)為x軸和y軸）。

在平面直角坐標(biāo)系中，任何點(diǎn)的位置由其在x軸和y軸上的投影，即橫坐標(biāo)（x坐標(biāo)）和縱坐標(biāo)（y坐標(biāo)）唯一確定。橫坐標(biāo)表示該點(diǎn)到y(tǒng)軸的水平距離，而縱坐標(biāo)表示該點(diǎn)到x軸的垂直距離。

平面直角坐標(biāo)系不僅是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)工具，而且實(shí)際應(yīng)用廣泛。在物理學(xué)中，坐標(biāo)系被用來(lái)描述物體的位置、速度和加速度，為物理現(xiàn)象的研究提供直觀(guān)和量化的手段。工程師和建筑師在設(shè)計(jì)和建造時(shí)，也依賴(lài)于坐標(biāo)系來(lái)確定建筑物的位置、尺寸和形狀，確保設(shè)計(jì)精確、施工順利。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，坐標(biāo)系被用來(lái)表示屏幕上的像素點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)圖像的繪制和編輯。在機(jī)器人技術(shù)中，坐標(biāo)系則用于規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的運(yùn)動(dòng)路徑，確保機(jī)器人能夠準(zhǔn)確地執(zhí)行各種任務(wù)。在地理學(xué)和地圖制作中，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系（或其擴(kuò)展形式，如經(jīng)緯度系統(tǒng)），我們可以準(zhǔn)確地定位地球上的任何一點(diǎn)，繪制精確的地圖和路線(xiàn)，為人們的出行和導(dǎo)航提供便利。

合理建立坐標(biāo)系

平面直角坐標(biāo)系的橫軸通常處于水平位置，縱軸處于豎直位置。兩條數(shù)軸的交點(diǎn)，即公共原點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)重要元素。原點(diǎn)的選擇對(duì)于坐標(biāo)系的建立至關(guān)重要，因?yàn)樗鼪Q定了整個(gè)坐標(biāo)系的位置和方向。

在一次數(shù)據(jù)測(cè)算中，收集到以下跑步數(shù)據(jù)（表1）。

為更好地研究跑速與心率之間的關(guān)系趨勢(shì)，我們需要將此表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖象形式。首先我們要將7組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成有序數(shù)對(duì)，即確定橫軸和縱軸分別代表何種含義。由于心率隨著跑步速度的變化而變化，將速度確定為橫軸，心率確定為縱軸，畫(huà)出如下圖象（如圖1）。

我們不難發(fā)現(xiàn)，整體數(shù)據(jù)偏向圖象右上方，且區(qū)分不大，無(wú)法細(xì)致地看出趨勢(shì)所在。細(xì)想發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題在于橫軸、縱軸的單位長(zhǎng)度選取，如何將這些點(diǎn)更合理地分布在第一象限呢？速度的初始數(shù)據(jù)為8，與原點(diǎn)所代表的0間隔較大，而后續(xù)速度的數(shù)據(jù)基本間隔都為1。同樣，心率也出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題，初始值139與原點(diǎn)的0間隔極大。因此，我們嘗試思考調(diào)整初始位置，修正圖象（如圖2）。

調(diào)整后，橫軸、縱軸的單位長(zhǎng)度更為細(xì)致，使得整體圖像更為清晰，也使后續(xù)研究數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)更直觀(guān)。在學(xué)習(xí)函數(shù)后，我們還需將函數(shù)和方程結(jié)合進(jìn)行后續(xù)的學(xué)習(xí)。

由此我們可以發(fā)現(xiàn)，建立平面直角坐標(biāo)系，要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)情況進(jìn)行調(diào)整，從而更清楚地描述和分析二維空間內(nèi)的各種現(xiàn)象和問(wèn)題。它也是今后學(xué)習(xí)函數(shù)的“敲門(mén)磚”，為許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和物理現(xiàn)象提供了直觀(guān)的圖形表示和解析方法。

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）