量子核判別分析算法

摘要： 核判別分析法通過核函數(shù)擴(kuò)展了線性判別分析對非線性數(shù)據(jù)的處理能力，成為模式識別領(lǐng)域中一個重要的分支。然而，隨著數(shù)據(jù)的指數(shù)增長，經(jīng)典核判別分析算法在提取特征時會消耗大量計算資源。針對這一問題，利用量子疊加性和并行性提出了一種量子核判別分析算法。首先，借助量子隨機(jī)存儲器技術(shù)與控制旋轉(zhuǎn)操作構(gòu)造需要的類間矩陣和類內(nèi)矩陣所對應(yīng)的密度算子；然后，融入線性方程的求解思路并行獲取特征態(tài)。理論分析表明，所提算法與經(jīng)典算法相比具有指數(shù)級加速。

關(guān)鍵詞： 量子機(jī)器學(xué)習(xí)； 非線性判別分析； 核函數(shù)； 特征提??； 量子厄米特鏈積； 相位估計

中圖分類號： TP3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1671-6841（2025）01-0061-06

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023146

Quantum Kernel Discriminant Analysis Algorithm

KANG Rongcheng^1，2， YU Kai^1，2， ZHANG Xin³， LIN Song¹， GUO Gongde¹

（1.College of Computer and Cyber Security， Fujian Normal University， Fuzhou 350117， China;

2.Digital Fujian Environmental Monitoring Internet of Things Laboratory， Fujian Normal University， Fuzhou

350117， China; 3.College of Mathematics and Statistics， Fujian Normal University， Fuzhou 350117， China）

Abstract： Kernel discriminant analysis was an important branch in the field of pattern recognition which aimed to expand the ability of linear discriminant analysis to process nonlinear data by kernel function. However， with the exponential growth of data， the classical kernel discriminant analysis algorithm consumed a lot of computing resources in extracting features. To solve this problem， a quantum kernel discriminant analysis algorithm was proposed based on quantum superposition and parallelism. Firstly， the density operators corresponding to the desired between-class scatter matrix and within-class scatter matrix were constructed with quantum random access memory technology and controlled rotation operation. Then， the eigenstates were obtained in parallel by incorporating the solution idea of linear equation. Theoretical analysis showed that the algorithm could achieve exponential acceleration compared with the classical algorithm.

Key words： quantum machine learning; nonlinear discriminant analysis; kernel function; feature extraction; quantum hermitian chain product; phase estimation

0引言

線性判別分析是機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的科學(xué)手段，然而在許多現(xiàn)實應(yīng)用中，如人臉識別^［1］中涉及光照、角度等諸多因素時，線性方法不能完成任務(wù)，需非線性方法進(jìn)一步處理與分析。核判別分析（kernel discriminant analysis，KDA）是非線性領(lǐng)域重要的算法之一，在數(shù)據(jù)降維和判別分類方面都有著廣泛應(yīng)用。它利用核函數(shù)思想將線性判別分析（linear discriminant analysis，LDA）從線性領(lǐng)域擴(kuò)展到非線性領(lǐng)域。這樣，KDA保持了線性判別分析能夠最大化蘊(yùn)含分類信息的特征，克服了非線性數(shù)據(jù)降維后不同類別數(shù)據(jù)可能重疊的難題。然而，經(jīng)典的核判別分析在提取特征（投影空間方向）時需要強(qiáng)大的計算力。特別是在大數(shù)據(jù)時代，經(jīng)典核判別分析容易陷入計算困境。

量子機(jī)器學(xué)習(xí)是一種利用量子計算特性進(jìn)一步優(yōu)化傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)的新興研究方向。用于求解線性方程的Harrow-Hassidim-Lloyd（HHL）算法與經(jīng)典算法相比實現(xiàn)了指數(shù)加速。在此基礎(chǔ)上，研究者們提出了解決模式分類和回歸模型等問題的量子算法^［2-6］，并提出了將量子計算與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法^［7-12］。作為機(jī)器學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，數(shù)據(jù)降維^［13］在大數(shù)據(jù)時代顯得尤為重要，一些學(xué)者融入量子計算技術(shù)對此進(jìn)行了探索。針對線性判別分析，Cong等^［14］利用量子模擬和厄米特鏈積技術(shù)相對于經(jīng)典算法可以實現(xiàn)指數(shù)級加速的優(yōu)點，提取一組可以獲得最優(yōu)投影方向的量子態(tài)。Yu等^［15］利用線性組合避免了類間矩陣不可逆的影響，并以量子態(tài)的形式輸出降維數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了平方級加速。

鑒于上述量子機(jī)器算法在計算速度上的優(yōu)越性，本文對核判別分析算法進(jìn)行了研究，提出一種量子核判別分析（quantum kernel discriminant analysis，QKDA）算法。所提算法主要基于相位估計和厄米特鏈積技術(shù)，并融入HHL求解思路獲得投影空間的特征向量。提取了主特征后就可以對原數(shù)據(jù)進(jìn)行投影降維和對新數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，并且成本很低。與此同時，我們也給出了相應(yīng)的電路圖。通過理論分析表明，本文算法相比于經(jīng)典算法實現(xiàn)了指數(shù)加速。

1預(yù)備知識

1.1經(jīng)典的核判別分析算法

核判別分析是一種利用核函數(shù)思想將線性判別分析擴(kuò)展到非線性領(lǐng)域的分析方法。它既保持了線性判別分析能夠最大化蘊(yùn)含分類信息的特征，又能對非線性數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。經(jīng)典的核判別分析算法旨在返回最大化類間方差，最小化類內(nèi)方差的投影特征方向。

考慮一個包含C種類別的數(shù)據(jù)集X=｛X，X，…，X｝，其中X（c=1，2，…，C）為每種類別的樣本集合。N為屬于類別c的樣本數(shù)，即N=∑Cc=1N。設(shè)樣本X∈R^D（i=1，2，…，N）映射到高維特征空間R～后為Φ（x），即x→Φ（x）∈R～，則在特征空間中的類內(nèi)散度矩陣和類間散度矩陣分別為

S^Φ=∑Cc=1∑Nj=1［Φ（x^c）-μ^Φ］［Φ（x^c）-μ^Φ］^T，

S^Φ=∑Cc=1（μ^Φ-μ^Φ）（μ^Φ-μ^Φ）^T，

其中：μ^Φ=1N∑Nj=1Φ（x^c）為特征空間R～中第c類樣本的均值；μ^Φ=1N∑Ni=1Φ（x）為總的樣本均值；x^c為第c類樣本中的第j個樣本。設(shè)投影矩陣w=［w，w，…，w］（1≤d≤C-1），其中w（i=1，2，…，d）為N×1的列向量，則核判別分析的優(yōu)化目標(biāo)為maxJ（w）=（w^TS^Φw）/（w^TS^Φw）。其中特征向量w可由Φ（x），Φ（x），…，Φ（x）線性表示出，即w=∑Nj=1αΦ（x），系數(shù)矩陣為α=［α，α，…，α］。則優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為

maxJ（α）=（α^TM～α）/（α^TN～α），（1）

M～=∑Cc=1（M-M）（M-M）^T，（2）

N～=∑Cc=1K（I-1）KT，（3）

其中：（M）=1N∑Nj=1K（x，x^c）（i=1，2，…，N）表示向量M的第i個分量;向量M的第i個分量為（M）=1N∑Nj=1K（x，x^c）（i=1，2，…，N）;K為N×N階矩陣，（K）=K（x，x^c）表示矩陣K第m行第n列的元素；I為N階單位矩陣；1為元素均為1/N的N階方陣。即將原本求解w∈R～的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解α∈R～?？梢酝ㄟ^求解N～^－1M～矩陣的特征向量獲得。

1.2量子厄米特鏈積算法

量子厄米特鏈積是構(gòu)造厄米矩陣連乘積相對應(yīng)的密度矩陣的算法。它可以有效地實現(xiàn)k個標(biāo)準(zhǔn)N×N的厄米半正定矩陣連乘積［f（A）…f（A）］·［f（A）…f（A）］的密度算子形式，其中f，…，f是有泰勒級數(shù)收斂的函數(shù)，符號“”為共軛轉(zhuǎn)置。該過程的實現(xiàn)可以看作是量子求解線性方程（HHL算法），即實現(xiàn)矩陣運(yùn)算x=A^-1b。因此，量子厄米特鏈積實現(xiàn)的一般步驟描述如下。

Step 1首先，初始化狀態(tài)ψ〉〈ψρ，ψ〉=∑T－1τ=0π（τ+1/2）Tτ〉，可以看作HHL算法的初始狀態(tài)，ρ=1N∑Ni=1i〉〈i可以看作是算法中的b〉，其中i〉為計算基。

Step 2矩陣A的特征向量表示為｛u〉｝^N，令｛λ〉｝^N為對應(yīng)的特征值。然后在特征向量基｛u〉｝^N上對ρ進(jìn)行分解，可以得到ρ=∑Nl，l′=1βu〉〈u，此處β表示ρ在該特征向量基下的系數(shù)。

Step 3先利用矩陣求冪技術(shù)在O（Xκ²/ε³）時間內(nèi)獲得厄米算子A的指數(shù)化形式e^iAt，其中：O（X）為構(gòu)造A的時間；t=O（κ/ε）；κ是矩陣的條件數(shù)（最大特征值與最小特征值的比值）；ε為容忍誤差。然后利用e^iAt作為受控酉算子在ρ上執(zhí)行相位估計可得

ρ′=∑Nl，l′=1βλ〉〈λ×u〉〈u。

Step 4增加輔助寄存器處于狀態(tài)0〉〈0，并由λ〉〈λ寄存器分別控制，實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)

ψ〉=1－G²f（λ）²0〉+Gf（λ）1〉。

不失一般性， G是一個階為O（min｛f（λ）^-1｝）的常數(shù)。有效執(zhí)行該旋轉(zhuǎn)后，整個系統(tǒng)的狀態(tài)為

ρ″=∑Nl，l′=1βλ〉〈λu〉〈uψ〉〈ψ。

Step 5執(zhí)行Step 3的逆操作，即逆相位估計，并丟棄存放特征值的寄存器，此時狀態(tài)為

ρ=∑Nl，l′=1βu〉〈uψ〉〈ψ。

Step 6在輔助量子比特上執(zhí)行量子測量操作，獲得1〉〈1時，選擇合適的G，系統(tǒng)狀態(tài)為

ρ=∑Nl，l′=1ββf（λ）u〉〈uf（λ）=

f（A）I（f（A））。

利用幅度放大技術(shù)，可以在O（Xε³κ²maxf（λ）minf（λ））成功概率內(nèi)完成這個步驟。進(jìn)一步，用A作為矩陣， f作為函數(shù)，初態(tài)由ρ替換ρ，每次迭代j時，在ρ上使用A和f，重復(fù)上述步驟，直至獲得厄米半正定矩陣連乘積的密度算子形式。

2量子的核判別分析算法

在本節(jié)中，我們設(shè)計了一個核判別分析算法的量子版本。算法的主要步驟如下：首先，構(gòu)造算子M～和N～的量子形式；然后利用厄米特鏈積和相位估計求解特征值及其相應(yīng)的特征向量；最終對投影向量提取所要求的主特征向量。算法的整體框架如圖1所示。

2.1制備階段

2.1.1構(gòu)造算子M～

在我們的算法中，假設(shè)可以在量子隨機(jī)存取存儲器（quantum random access memory， QRAM）中通過量子訪問訓(xùn)練向量數(shù)據(jù)^［16-17］。考慮具有N個樣本、C個類別的樣本集X=｛X，X，…，X｝，X（c=1，2，…，C）為樣本子集，每個樣本子集有N個D維樣本，即N=∑Cc=1N。

Step 1根據(jù)式（2）的計算，假設(shè)存在以下量子黑盒，

O（c〉i〉j〉0〉0〉）→

c〉i〉j〉‖K（x，x^c）‖〉K（x，x^c）〉，

假設(shè)K（x，x^c）〉已歸一化， O允許我們構(gòu)造狀態(tài)

Ψ〉=O（1N∑Nj=1c〉i〉j〉0〉0〉）=

1N∑Nj=1c〉i〉j〉‖K（x，x^c）‖〉K（x，x^c）〉，

Ψ〉=O（1N∑Nj=1c〉i〉j〉0〉0〉）=

1N∑Nj=1c〉i〉j〉‖K（x，x^c）‖〉K（x，x^c）〉。

Step 2?;如果向量的范數(shù)形成了一個有效的可積分布，我們可以得到狀態(tài)

M〉=1N‖K（x，x^c）‖∑Nj=1c〉i〉j〉

‖K（x，x^c）‖〉K（x，x^c）〉，

M〉=1N‖K（x，x^c）‖∑Nj=1c〉i〉j〉

‖K（x，x^c）‖〉K（x，x^c）〉。

Step 3我們在M〉和M〉相對應(yīng)的組件上應(yīng)用減法器得到差分量M-M〉。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造與M～成比例的密度矩陣

Ψ〉=N∑Cc=1c〉‖M-M‖〉M-M〉。

同樣，若向量的范數(shù)形成了一個有效的可積分布，我們可以得到狀態(tài)

Ψ〉=NA∑Cc=1‖M-M‖c〉‖M-M‖〉

M-M〉，

其中：A=∑Cc=1‖M-M‖²。

Step 4現(xiàn)在對Ψ〉中的第1個寄存器求偏跡，則第2個寄存器的密度矩陣為

M～〉=NA∑Cc=1‖M-M‖²M-M〉〈M-M。

由此，我們可以在時間O（log（ND））內(nèi)構(gòu)造厄米特算子M～。

2.1.2構(gòu)造算子N～

在量子形式下，可以將N～表示為矩陣的外積形式。制備算子N～的總體過程包含以下步驟。

Step 1初始化。準(zhǔn)備初始量子態(tài)

φ⁰〉=0〉^s0〉^t0〉0〉0〉，

其中：s=logC；t=logN。

Step 2Hadamard操作。對量子態(tài)φ⁰〉的第一個寄存器執(zhí)行H^s門操作，得到

φ¹〉=1C∑Cc=1c〉0〉0〉0〉0〉。

Step 3受控制備。將存儲t=logN個量子比特的第2個寄存器制備成均勻疊加態(tài)，即

0〉^t→1N∑Ni=1i〉。

設(shè)計一個酉操作U（c=1，2，…，C，表示類別），在寄存器2的控制下作用于寄存器3，可以實現(xiàn)

∑Ni=1i〉0〉IU1N∑Ni=1i〉1C∑Nj=1K（x，x^c）j〉，

其電路圖如圖2所示，由此我們可以得到狀態(tài)

φ²〉=1CN∑Cc=1c〉∑Ni=1i〉∑Nj=11CK（x，x^c）j〉0〉0〉，

其中：K（x，x^c）為兩個映射數(shù)據(jù)Φ（x）與Φ（x）點積的核函數(shù)值；C為歸一化常數(shù)，C=1/（‖K（x，x^c）‖）。

Step 4相位估計。利用哈密頓模擬技術(shù)獲得e^iFt，并將其作為受控酉算子，以φ²〉作為輸入執(zhí)行相位估計，可以獲得

φ³〉=1CN∑Cc=1c〉∑Ni=1i〉∑Nj=11CK（x，x^c）

∑Np=1〈vj〉v〉λ〉0〉，

其中：λ為矩陣F的特征值；v為與特征值λ相應(yīng)的特征向量。

Step 5受控旋轉(zhuǎn)。由寄存器4控制從狀態(tài)0〉旋轉(zhuǎn)為狀態(tài)rλ0〉+1-r²λ1〉，此時，系統(tǒng)的狀態(tài)變?yōu)?/p>

φ⁴〉=1CN∑Cc=10〉∑Ni=1i〉∑Nj=11CK（x，x^c）

∑Np=1〈vj〉v〉λ〉（rλ0〉+

1-r²λ1〉），

其中：r=O（minλ）為矩陣F的最小特征值。

Step 6對寄存器4執(zhí)行逆相位估計，則整個系統(tǒng)狀態(tài)為

φ⁵〉=1CN∑Cc=10〉∑Ni=1i〉∑Nj=11CK（x，x^c）

∑Np=1〈vj〉v〉（rλ0〉+1-r²λ1〉）。

Step 7對第5個寄存器執(zhí)行投影測量，執(zhí)行酉操作I^tII0〉〈0，將量子態(tài)投影到0〉上，則剩下的量子系統(tǒng)狀態(tài)處于

φ⁶〉=1CN1N∑Cc=10〉∑Ni=1i〉

∑Nj=11CK（x，x^c）∑Np=1〈vj〉v〉rλ。

Step 8對寄存器1和3求偏跡，取跡之后得到N～的密度算子為

1CNN∑Ni，i′=1i〉〈i′∑Nj，j′=11C²K（x，x^c）K（x，x^c）

∑Np=1〈vj〉〈j′v〉r²λ。

獲得N～過程的電路圖，如圖3所示。

2.2提取階段

根據(jù)經(jīng)典核判別分析的知識，QKDA需要提取特征作為投影方向。本節(jié)將利用厄米鏈積技術(shù)、相位估計等技術(shù)完成投影向量的提取。

Step 1構(gòu)建M～¹²N～^－1M～¹²。令α=M～^－12v，則公式（1）所表示的特征向量問題轉(zhuǎn)化為求解下面的特征值問題，

M～¹²N～^－1M～¹²v=λv，

其中：λ為M～¹²N～^－1M～¹²的特征值；v為與它對應(yīng)的特征向量。對M～和N～應(yīng)用實現(xiàn)厄米矩陣連乘積的方法在時間O（log（NN）k^3.5/ε³）內(nèi)構(gòu)造密度算子，

ρ=∑Dj=1λv〉〈v，

其中：λ與v分別為M～¹²N～^－1M～¹²的特征值和對應(yīng)的特征向量；為了避免極小特征值情況下的指數(shù)復(fù)雜度，預(yù)先定義一個有效條件數(shù)k，并只考慮［1/k，1］范圍內(nèi)的特征值來進(jìn)行相位估計。

Step 2通過矩陣指數(shù)技術(shù)，可以得到e^-iρt，并且將它作為受控酉門對ρ進(jìn)行量子相位估計來得到狀態(tài)的近似，

ρ′=∑jλv〉〈vλ〉〈λ，

測量λ〉系統(tǒng)O（d）次，以較大的概率測得d個最大的特征值，并獲得對應(yīng)的主特征向量v。

3 計算α=M～^－12v。測得前d個特征值，以ρ′作為輸入，將e^-iM～-12t作為受控酉操作對ρ′進(jìn)行相位估計得到狀態(tài)

∑jξ〈uv〉u〉ξ〉，

然后執(zhí)行逆相位估計，可以得到

α〉=∑jξ〈uv〉u〉。

這樣就提取了主特征向量，可以借助這些特征完成對原始數(shù)據(jù)的投影，并對新數(shù)據(jù)進(jìn)行投影分類。

3算法的復(fù)雜度分析

本節(jié)中，我們將對所提算法的時間復(fù)雜度進(jìn)行分析。

在量子態(tài)制備階段，首先，利用量子隨機(jī)存儲器，我們在時間O（log（ND））內(nèi)完成了對算子M～的制備。在制備算子N～的過程中，完成受控制備需要的時間復(fù)雜度為O（log（NN）），執(zhí)行相位估計需要O（1/ε），得到相應(yīng)的特征值和特征向量之后進(jìn)行受控旋轉(zhuǎn)，其時間復(fù)雜度為O（1/ε），因此矩陣N～的制備總時間復(fù)雜度為O（log（NN）/ε²）。

特征向量的提取階段，在時間O（log（NN）k^3.5/ε³）內(nèi)利用厄米特鏈積方法構(gòu)建M～¹²N～^－1M～¹²的密度算子，通過矩陣指數(shù)技術(shù)得到相應(yīng)的酉算子后作相位估計，找到M～¹²N～^－1M～¹²的主特征向量的時間復(fù)雜度為O（log（NN）/ε³），最后提取N～^－1M～的一個特征向量所需的時間復(fù)雜度為O（log（NN）k³/ε³），則提取前d個特征向量對應(yīng)的時間復(fù)雜度為O（dlog（NN）k³/ε³）。

綜上可知，本文算法的總時間復(fù)雜度為O（d（log（ND）+log（NN）k^3.5/ε³））。在經(jīng)典的核判別分析算法中，對于N個樣本和D維特征的數(shù)據(jù)集，計算這兩個散度矩陣的時間復(fù)雜度為O（ND）。求解廣義特征值問題的時間復(fù)雜度取決于散度矩陣的維度。假設(shè)散度矩陣的維度為m，通常情況下m≤min（N，D），求解廣義特征值問題的時間復(fù)雜度為O（m³）。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，本文算法比對應(yīng)的經(jīng)典算法實現(xiàn)了指數(shù)加速。

4討論與總結(jié)

基于量子力學(xué)特性，本文提出了一種量子核判別分析算法，并給出了具體的電路圖。在數(shù)據(jù)量化階段，利用量子隨機(jī)存取存儲器和控制旋轉(zhuǎn)技術(shù)構(gòu)造了相應(yīng)的密度算子。然后，在求解線性方程思想的基礎(chǔ)上并行地得到了量子態(tài)。最后，通過測量和采樣得到了前d個特征值對應(yīng)的特征向量，完成了特征提取。理論分析表明，本文算法與經(jīng)典算法相比實現(xiàn)了指數(shù)加速。此外，本文算法可以作為一個子程序來構(gòu)建更復(fù)雜的量子算法。

本文的主要創(chuàng)新之處在于針對經(jīng)典核判別分析算法的問題提出了量子解決方案，這里借助厄米特鏈積、相位估計等現(xiàn)有相關(guān)技術(shù)和方法完成特征映射，降低所提量子算法的時間復(fù)雜度。然而，本文尚存在不足之處，主要在于缺少對算法的實驗論證。因為量子算法一般涉及一定量的量子比特完成控制和精度計算，然而現(xiàn)有的量子平臺只適合實現(xiàn)少量比特的算法模擬。因此，在現(xiàn)有技術(shù)下實現(xiàn)本文所提算法是有一定難度的，這也是目前大多數(shù)量子算法面臨的公共難題。如何利用少量量子比特完成同精度的計算，并且在現(xiàn)有量子平臺上進(jìn)行實驗是我們接下來研究的重點。

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