井筒流壓快速分析方法及其在CO₂井中的應(yīng)用

井筒作為井筒內(nèi)工質(zhì)流體和地下儲層發(fā)生物質(zhì)和能量交換的主要通道，其內(nèi)部流體溫度場和壓力場的準(zhǔn)確預(yù)測是深部流體注采工程中至關(guān)重要的內(nèi)容，控制工程生產(chǎn)效率與安全性評估。通過總結(jié)前人研究工作，發(fā)現(xiàn)井筒內(nèi)流體壓力隨深度近似線性變化的特征，在此基礎(chǔ)上，提出一種關(guān)于井筒內(nèi)流壓的快速分析方法；建立了基于井筒內(nèi)流體的質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程的井筒內(nèi)流體溫度、壓力耦合計算模型，并利用該耦合模型就所提快速分析方法中待定參數(shù)與流體工況、井筒參數(shù)、地層物性等參數(shù)變化的敏感性進(jìn)行分析；針對CO₂井，給出了井筒內(nèi)流壓快速分析表達(dá)式，結(jié)合工程現(xiàn)場數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，壓力解精度在工程應(yīng)用許可的范圍內(nèi)。所提井筒內(nèi)流壓快速分析方法基于文獻(xiàn)統(tǒng)計得出，適用于氣井、液井、生產(chǎn)井、注入井等，覆蓋范圍較廣，具有計算參數(shù)少、方便快捷的特點，針對某指定工質(zhì)流體的快速分析表達(dá)式中的待定參數(shù)可由室內(nèi)研究人員給出。研究結(jié)果對現(xiàn)場工程師具有極大的便利性。

井筒流動模型；快速分析方法；一維穩(wěn)態(tài)流動；流體壓力；敏感性分析;CO₂井

TE33

A

014

Rapid Analysis Method for Fluid Pressure in

Wellbore and Its Application in CO₂ Wells

He Bangchao¹ Ci Huiling² Bai Bing² Liu Jianfeng³ Zou Yan² Lei Hongwu² Cui Yinxiang²

（1.Jiangsu Changjiang Geological Survey Institute；2.Hubei Key Laboratory of Environmental Geotechnology，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences；3.State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering，Sichuan University）

Wellbore is the main channel for material and energy exchange between the working fluid in the wellbore and the subsurface reservoir，and the accurate prediction of fluid temperature and pressure fields in the wellbore is a crucial part in deep fluid injection and production engineering，and it conteols the operation efficiency and safety evaluation.Literature review reveals that the fluid pressure in the wellbore changes approximately linearly with depth.On this basis，a rapid analysis method for fluid pressure in the wellbore was proposed.Then，a coupled calculation model for fluid temperature and pressure in a wellbore was built based on the mass conservation equation，momentum conservation equation and energy conservation equation of the fluid in the wellbore，and the coupled model was used to analyze the variation sensitivity of the parameters such as the undetermined parameters，fluid conditions，wellbore parameters and physical properties of formation proposed in the rapid analysis method.Finally，for CO₂ wells，a rapid analysis expression for fluid pressure in the wellbore was presented，and verified with engineering field data，showing that the accuracy of the pressure solution is within the range permitted by engineering applications.The rapid analysis method for fluid pressure in the wellbore proposed in the paper is obtained from the statistics of literatures，suitable for gas wells，liquid wells，production wells and injection wells，having a wide coverage range，and has the characteristics of convenient and fast calculation with fewer parameters.The undetermined parameters in the rapid analysis expression for a specified working fluid can be provided by office researchers.Overall，the proposed method has great convenience for field engineers.

wellbore flow model；rapid analysis method；one-dimensional steady-state flow；fluid pressure；sensitivity analysis;CO₂ well

0 引 言

近年來，深部地下空間和深部能源資源的開發(fā)利用的研究日益受到重視并得到不斷推進(jìn)，如深部地?zé)崮荛_采、二氧化碳地質(zhì)封存、地下鹽穴儲氣庫、油田增滲驅(qū)油等^［1-4］。在這類工程中，井筒發(fā)揮了關(guān)鍵作用。以地?zé)崮荛_采為例，井筒作為地表和地下熱儲層發(fā)生物質(zhì)和能量交換的主要通道，其結(jié)構(gòu)設(shè)計不僅會影響生產(chǎn)效率，還會影響工程安全性，如井筒泄漏風(fēng)險、地面震動響應(yīng)等。一般來說，影響井筒結(jié)構(gòu)設(shè)計的2個關(guān)鍵因素包括流體實際壓力和地層允許壓力的比值、流體質(zhì)量流率（也稱為生產(chǎn)效率）^［5］。

自1962年H.J.RAMEY^［6］提出第一個半穩(wěn)態(tài)井筒傳熱模型，廣大學(xué)者已針對井筒內(nèi)溫度與壓力分布開展了廣泛研究。H.J.RAMEY所提模型雖然是顯式的，但不能用于瞬態(tài)行為^［6-8］，且忽略了摩擦力和重力做功，以及流體相態(tài)的變化；BAI B.等^［9］利用H.J.RAMEY解求解井筒溫度場，進(jìn)而提出一種快速顯式有限差分方法（Fast Explicit Finite Difference Method，F(xiàn)EFDM）來確定井口或井底的壓力值，其本質(zhì)是壓力場和溫度場的解耦計算；之后，由LIU M.Z.等^［10］給出了注采井的統(tǒng)一模型，可同時計算注采井的井口和井底壓力；WU H.Q.等^［11］推導(dǎo)并建立了井筒壓力與溫度的雙向耦合微分方程，通過雙FEFDM方法進(jìn)行求解；李小江等^［8］分析研究了不同熱量源匯對流體流動與傳熱特性的影響，雖然考慮CO₂在工質(zhì)流體情況下作為浮升力的影響而采用LIAO S.M.等^［12］提出的強(qiáng)迫對流傳熱系數(shù)計算公式，但該公式在微小直徑井筒（0.70、1.40、2.16 mm）、低壓力（7.4～12 MPa）情況下得到，其在工程實際中的應(yīng)用有待考量。近年來，隨著研究的不斷深入，井筒內(nèi)流體溫壓分析中考慮的因素越來越多，如不穩(wěn)定流動、工質(zhì)流體相態(tài)變化、瞬態(tài)效應(yīng)等^{［13-16］。}

雖然前人開展了諸多研究，但對于現(xiàn)場工程師而言，上述方法或公式中計算參數(shù)多，且通常涉及迭代計算或耦合計算時，求解井筒內(nèi)溫度或壓力復(fù)雜、耗時，不具備快速分析的特征。因此，為保證結(jié)果精度，一種形式簡單的井筒內(nèi)流體溫度和壓力的計算方法有待提出。通過閱讀文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，不同工況下的井筒內(nèi)流體溫度剖面各異，而井筒內(nèi)流壓多呈現(xiàn)出隨深度線性變化的特征?；诖艘?guī)律，本文提出一種關(guān)于井筒內(nèi)流壓的快速分析方法，并具體針對CO₂井，通過流體溫壓耦合分析模型，對快速分析方法中待定參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，且進(jìn)一步給出井筒內(nèi)流壓的快速計算表達(dá)式，再結(jié)合工程實例對其進(jìn)行驗證，即所得到的壓力解的精度是否在工程允許范圍內(nèi)，從而說明所建立快速分析方法及針對CO₂井的計算表達(dá)式的可行性與有效性。

1 井筒流壓快速分析模型

綜合對比分析前人通過數(shù)值計算得到的井筒內(nèi)流體溫度場與壓力場分布以及現(xiàn)場數(shù)據(jù)^{［5，10，11，13，16-27］}，可得到井筒內(nèi)流體溫度與流體壓力典型分布形式，如圖1所示。由圖1a可以發(fā)現(xiàn)，在溫度場中，溫度剖面受流體初始溫度、排量、地層特性等諸多因素的影響而各異，但大致可分為3種類型、2個階段。其中流體與地層之間的換熱行為包括如下3種類型：①被注入井筒的低溫流體被迅速加熱，升溫速度逐漸變緩，當(dāng)達(dá)到某臨界深度時，流體溫度隨深度線性增加，即為類型ⅰ；②當(dāng)被注入的流體為高溫時，首先將發(fā)生高溫流體的降溫過程，當(dāng)達(dá)到某臨界深度時，流體溫度回升，并呈現(xiàn)隨深度線性增長趨勢，即為類型ⅱ；③當(dāng)流體溫度與地表溫度相差不大時，流體與地層之間的換熱行為不劇烈，流體溫度剖面不存在曲線階段或不明顯，而呈近似線性變化趨勢，即為類型ⅲ。由此引出“臨界深度”與“臨界溫度”的概念（具體見本文2.2節(jié)）。由圖1b可知，壓力場一般隨深度線性變化?；诖朔植家?guī)律，提出一種井筒內(nèi)流體壓力p快速分析方法的一般表達(dá)式：

p=Az+B（1）

式中：z為深度，m；A為壓力梯度，Pa/m，A是一待定系數(shù)，與流體初始壓力、流體初始溫度等工況信息相關(guān)；B在注入井中為流體注入壓力，在生產(chǎn)井中為地層破裂壓力，Pa。

2 參數(shù)敏感性分析

為進(jìn)一步確定待定系數(shù)表達(dá)式，首先采用高精度的、不忽略摩擦力與重力做功的雙向耦合算法，探討式（1）中待定系數(shù)對注入?yún)?shù)、井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)、地層物性等參數(shù)變化的敏感性。

2.1 井筒流體溫壓耦合模型

2.1.1 基本假設(shè)

圖2為井筒沿深度方向的示意圖及井筒橫截面的幾何示意圖。圖2中θ為井筒與地面之間夾角，r_ti為油管內(nèi)半徑，r_to為油管外半徑，r_ci為套管內(nèi)半徑，r_co為套管外半徑，r_wb為井筒半徑。井筒內(nèi)流體流動模型基于以下基本假設(shè)：①考慮井筒內(nèi)流體沿深度方向的一維流動；②油管、絕熱層、環(huán)空、套管、水泥環(huán)等與井筒同心；③考慮徑向傳熱，忽略垂直傳熱，井筒內(nèi)為穩(wěn)態(tài)傳熱，地層為非穩(wěn)態(tài)傳熱。

2.1.2 壓力模型

以注入井為例，任意截取一井筒內(nèi)流體微元段，其質(zhì)量守恒方程和運動方程分別為：

式中：z為微元段深度，m；ρ為流體密度，kg/m³；v為流體流速，m/s；g為重力加速度，m/s²；τ為油管壁處的剪切應(yīng)力，Pa；A_ti為油管內(nèi)截面積，A_ti=πr_ti²，m²；r_ti為油管內(nèi)半徑，m。

剪切應(yīng)力與流速之間的關(guān)系式為：

式中：λ為管道摩阻系數(shù)，無量綱。

根據(jù)式（3）可知ρv=常數(shù)，定義參變量C=ρv，進(jìn)一步可得：

式中：C為質(zhì)量流速，kg/s。

將式（2）與式（4）代入式（3）中，得到注入井中流體壓力計算式為：

2.1.3 傳熱模型

根據(jù)能量守恒原理，可得微元段（上截面為1-1，下截面為2-2）的能量方程：

其中：

式中：E₁、E₂分別為微元段在截面1-1和2-2處的內(nèi)能，J；p₁、p₂分別為微元所在截面1-1和2-2處的壓力，Pa;V₁、V₂分別為微元段在截面1-1和2-2處流體體積，m³；U、E_k、E_p分別為流體的內(nèi)能、動能和勢能，J；H為流體比焓，J；V為流體體積，m³；ΔQ_r、ΔW分別為地層向井筒內(nèi)流體的徑向傳熱量與摩阻損失能量，J;m為流體質(zhì)量，kg。

流體比焓與流體比熱容之間的關(guān)系為：

式中：c_p為流體定壓比熱容，J/（kg·K）。

當(dāng)假設(shè)所截取微元段足夠小而假定壓力均勻不變時，式（8）中等式右側(cè)第2項為0。

地層與井筒之間傳遞的熱量為：

式中：U_t為表征地層換熱的總傳熱系數(shù)，W/（m²·K）；f_t為地層非穩(wěn)態(tài)傳熱的無因次時間函數(shù)；k_e為地層導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·K）；T_e為z深度處的地層溫度，K；T為z深度處井筒內(nèi)流體溫度，K。U_t、f_t的詳細(xì)表達(dá)式可見文獻(xiàn)［11］。

摩阻損失能量的計算式為：

將式（4）代入式（11），之后將式（9）、式（10）、式（11）代入到式（8）、式（7），可得到：

最終可建立注入井內(nèi)流體溫度場計算式為：

類似地，可推導(dǎo)建立采出井內(nèi)流體溫度與壓力的計算式。

2.1.4 模型參數(shù)獲取

井筒內(nèi)壓力場與溫度場預(yù)測結(jié)果的精確度，一方面受計算方法（如解耦計算、半耦合計算、全耦合計算）的影響，另一方面受流體物性參數(shù)精度的影響。目前，流體物性參數(shù)的計算方法有很多，但對于不同流體的計算精度有所差異，因此，針對不同的工質(zhì)流體，應(yīng)選擇最為適用的流體物性參數(shù)計算模型。以CO₂為例，可利用Span-Wagner狀態(tài)方程^［28］計算CO₂流體的密度、比熱容等熱力學(xué)參數(shù)，采用Fenghour和Vesovic輸運定理^［29-30］計算CO₂流體黏度等輸運性質(zhì)，所采用公式在計算過程中均考慮了流體相態(tài)的變化。此外，式（4）中管道摩阻系數(shù)、式（10）中總傳熱系數(shù)、無因次時間參數(shù)的計算均參照文獻(xiàn)［11］。

2.2 敏感參數(shù)

2.2.1 工程作業(yè)參數(shù)

圖3為CO₂流體在不同注入溫度工況下由雙向耦合方法計算得到的流體溫度與壓力，詳細(xì)的井底壓力值見表1。流體溫度與壓力剖面符合圖1中典型分布形式。此外，還注意到如下情況：①當(dāng)超過某一深度（即“臨界深度”）時，流體注入溫度對溫度剖面的影響可忽略不計，且溫度斜率接近地溫梯度；②存在一“臨界注入溫度”，當(dāng)以該溫度向井筒內(nèi)注入工質(zhì)流體時，流體溫度變化平行于地溫呈線性增加趨勢。

圖4為CO₂井中壓力梯度A隨流體注入溫度、注入壓力等參數(shù)變化的發(fā)展趨勢圖。從圖4可見：隨注入溫度升高，壓力梯度降低，下降幅度約為6 Pa/（m·K），說明流體溫度對壓力梯度的影響不明顯；流體壓力梯度隨流體注入壓力的增加而增加；流體壓力梯度隨注入流體的質(zhì)量流量先增加后降低，說明存在最佳注入流量，合理的注入流量設(shè)計有助于提高作業(yè)效率。相較于低溫流體，高溫流體注入下的流體壓力梯度對質(zhì)量流量更為敏感；流體壓力梯度與井筒傾角呈正相關(guān)關(guān)系，與式（12）具有一致性。在所研究的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，流體壓力梯度均在10 kPa/m附近，與重力加速度數(shù)值接近。

2.2.2 井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)與地層參數(shù)

除注入工況相關(guān)參數(shù)，井筒內(nèi)流體溫度、壓力分布特征還受井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)（包括油管尺寸、套管尺寸、井筒尺寸等）、地層參數(shù)（包括地溫梯度、地表溫度、地層導(dǎo)熱系數(shù)）等因素的影響，這些參數(shù)主要影響井筒內(nèi)流體與地層間的換熱進(jìn)程，從而影響壓力剖面?；谝陨峡剂?，研究了不同井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)、地層參數(shù)下的壓力剖面，結(jié)果仍呈近似線性變化特征（見圖5），具體的流體壓力值列于表2中。從圖5可以看出：井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)對壓力分布的影響較小，可忽略不計；在其他參數(shù)相同的情況下，井底壓力隨地溫梯度和地表溫度的升高而稍有降低，主要是由井底流體溫度差異引起，但變化量很??；地層導(dǎo)數(shù)系數(shù)對流體壓力的影響微小。總體看來，相關(guān)參數(shù)對井筒內(nèi)流體壓力敏感性影響順序為：

地溫梯度≈地表溫度gt;地層導(dǎo)數(shù)系數(shù)。

3 CO₂井流壓預(yù)測方法與應(yīng)用

3.1 CO₂井流壓預(yù)測表達(dá)式

經(jīng)研究，當(dāng)以CO₂作為注入井的工質(zhì)流體時，待定參數(shù)的表達(dá)式為：

式中：S、X、Y均為參變量，S=T_f1+g_T²T_e^1+g_T²，X=max0，T_f-T_e12，Y=maxsignT_f-T_e4，-signT_f-T_e1.5；G_t為流體注入流量，t/d。

式（14）中系數(shù)均為試算得到。同樣地，針對采出井等自下而上的流體流動，可得快速壓力計算表達(dá)式：

式中：g_T為地溫梯度，K/m；T_f、T_e分別為流體溫度與地層溫度，K；對注入井來說，流體溫度=注入溫度，地層溫度=地表溫度，即T_f=T_inj，T_e=T_surf；ρ由注入?yún)?shù)注入溫度與注入壓力共同決定，針對采出井，因為其井底流體溫度一般未知，且流體溫度小于等于地層溫度，當(dāng)流體溫度與地層溫度相差較大時，在采出過程中流體依然與高溫巖層發(fā)生換熱，使溫度升高，此時式（15）中ρ由地層溫度T_e和地層破裂壓力p_frac共同決定。

3.2 工程應(yīng)用實例

3.2.1 草舍油田草8井試驗

該井注入工況、地層熱力學(xué)參數(shù)及井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)等如表3所示。井筒內(nèi)流體溫度壓力沿深度變化如圖6所示。

從圖6可看出，現(xiàn)場實測壓力亦呈現(xiàn)近似線性分布特征，當(dāng)采用本文所述快速分析模型時，預(yù)測井底3 100 m處的壓力值為56.84 MPa，與實測值（56.35 MPa）的相對誤差為0.87%，處于工程可接受范圍內(nèi)。從圖6還觀察到，雙向耦合方法得到的流體溫度場和H.J.RAMEY解^［6］高度重合，說明H.J.RAMEY方法在此工程中是高度適用的。

3.2.2 紅河油田長8油藏紅河156井CO₂注入先導(dǎo)性試驗

注入井溫壓參數(shù)、地層熱力學(xué)參數(shù)及井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)等如表4所示。由于缺少部分資料，表4括號中內(nèi)容為估計值。井筒內(nèi)流體溫度、壓力沿深度變化如圖7所示。再次證明，通過雙向耦合方法計算得到的流體溫度與文獻(xiàn)［6］中溫度基本重合。根據(jù)文獻(xiàn)［31］，當(dāng)注入壓力為16.5 MPa時，井底壓力將達(dá)到地層破裂壓力（32.8 MPa），而經(jīng)本文提出CO₂井流壓預(yù)測表達(dá)式及WU H.Q.等^［11］提出的雙FEFDM方法計算得到的井底處壓力值分別為31.47、33.76 MPa，與實際地層破裂壓力的相對誤差為4.05%、2.93%，均在工程可接受范圍（lt;5%）內(nèi)，但本文方法具有計算參數(shù)少、不需要迭代計算的優(yōu)點。

4 研究結(jié)果討論

（1）當(dāng)假設(shè)井筒內(nèi)流體密度不變時，由式（5）亦可推導(dǎo)出如下線性公式：

圖 8為某工況下本文所提快速分析方法（式（13））、式（15）與雙向耦合壓力解法的對比。從圖8可以看出，因式（16）不包含流體流量、地層特性等因素，將密度過度簡化為常數(shù)的方法會引起較大的誤差，于工程設(shè)計無益。

（2）當(dāng)高流速情況下，通過本文快速分析方法計算得到的壓力偏大，對工程設(shè)計安全，但存在較大的相對誤差，該快速分析方法在高速流動中的應(yīng)用有待進(jìn)一步完善。

（3）當(dāng)工質(zhì)流體為水、氮氣或其他鉆井液時，井筒內(nèi)流體壓力亦呈現(xiàn)隨深度近似線性的關(guān)系^{［17，23，32］}，故本文所提快速分析方法具有普遍適用性，可進(jìn)一步向其他工質(zhì)流體方面擴(kuò)展，但式（1）中待定系數(shù)需室內(nèi)研究人員試算決定；對于含節(jié)流裝置的地下井筒，井筒內(nèi)流體壓力分段滿足本文所提的流體壓力隨深度線性變化的特征^［33-34］，故可采用分段描述的方法建立快速分析表達(dá)式。不同的是，式（1）中系數(shù)B應(yīng)為分段函數(shù)，節(jié)流前后的流體壓力差應(yīng)是節(jié)流裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)與所處深度的函數(shù)。

（4）考慮地層的非均質(zhì)特征，針對復(fù)雜多儲層情況下的井筒內(nèi)流壓分布也開展了案例研究，結(jié)果如圖9所示。雙向耦合方法和本文所提快速分析方法計算得到的井底壓力分別為43.90和44.82 MPa。該案例表明：即使是復(fù)雜儲層，本文所提關(guān)于流體壓力的快速分析方法仍然可以得到滿意的解；在溫度場中，H.J.RAMEY方法與通過雙向耦合方法得到的解高度重合，H.J.RAMEY方法的高精度特征再次被證明。

5 結(jié) 論

（1）考慮當(dāng)前井筒內(nèi)流體壓力計算復(fù)雜、參數(shù)多、耗時的研究現(xiàn)狀，本文總結(jié)發(fā)現(xiàn)井筒內(nèi)流體壓力隨深度近似線性變化的規(guī)律。

（2）基于所發(fā)現(xiàn)規(guī)律，本文提出一種井筒內(nèi)流壓快速分析方法，并利用經(jīng)典的、高精度的溫壓雙向耦合方法對比分析了流壓快速分析方法中待定參數(shù)對工程作業(yè)參數(shù)、井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)、地層參數(shù)等參數(shù)變化的敏感性，發(fā)現(xiàn)井筒結(jié)構(gòu)參數(shù)與地層參數(shù)對待定壓力梯度的影響甚微。在工程作業(yè)參數(shù)中，流體注入壓力和質(zhì)量流量以及井筒傾角對其在井筒內(nèi)壓力變化率有明顯影響。

（3）以工質(zhì)流體CO₂為例，給出了具體的井內(nèi)流體壓力快速預(yù)測分析表達(dá)式，結(jié)合工程應(yīng)用，驗證了該表達(dá)式的可用性，其精度在工程應(yīng)用許可的范圍內(nèi)。

（4）本文所提井筒內(nèi)流壓快速分析方法是根據(jù)文獻(xiàn)統(tǒng)計得出，適用于氣井、液井、生產(chǎn)井、注入井等，并可擴(kuò)展至含節(jié)流裝置的井筒，覆蓋范圍較廣，具有形式簡單、易于理解、計算參數(shù)少、方便快捷的特點，針對某指定工質(zhì)流體的快速分析表達(dá)式中的待定參數(shù)可由室內(nèi)研究人員給出，對現(xiàn)場工程師的工作具有極大的便利性。

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何邦超，高級工程師，生于1985年，2008年畢業(yè)于中國礦業(yè)大學(xué)地質(zhì)工程專業(yè)，現(xiàn)從事水文地質(zhì)、地?zé)崤c干熱巖勘察開發(fā)工作。地址：（210046）江蘇省南京市。email：15062262272@163.com。

2024-02-08

楊曉峰