分?jǐn)?shù)階PI魯棒預(yù)測控制解析整定法

摘" 要：基于分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制中微分算子難以求解的特點，提出一種分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)求解方法，并將其應(yīng)用于預(yù)測控制。該文聯(lián)立分?jǐn)?shù)階PI控制器與預(yù)測控制形成的傳遞函數(shù)建立解析方程。該方法將被控系統(tǒng)所需的性能指標(biāo)與分?jǐn)?shù)階PI控制器相乘得到期望傳遞函數(shù)，利用該期望傳遞函數(shù)求解預(yù)測控制傳遞函數(shù)所需要的各項參數(shù)。增強(qiáng)了預(yù)測控制魯棒性的提升，降低了調(diào)整參數(shù)的計算時間。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；預(yù)測控制；魯棒性；解析法；圖解法

中圖分類號：TP13" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " "文章編號：2095-2945（2024）35-0035-05

Abstract： Based on the difficulty in solving the differential operator in fractional order predictive control， a parameter solving method for fractional order PI controller is proposed and applied to predictive control. In this paper， analytical equations are established by combining fractional order PI controller and predictive control with transfer functions. This method multiplies the required performance index of the controlled system with a fractional-order PI controller to obtain the expected transfer function， and uses the expected transfer function to solve the parameters required for the predictive control transfer function， thus enhancing the robustness of predictive control and reduces the calculation time for adjusting parameters.

Keywords： fractional order; predictive control; robustness; analytical method; graphic method

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（FOPTD）被廣泛用于各種工業(yè)當(dāng)中[1]。在過去的幾十年里，人們對FOPID控制器的參數(shù)整定進(jìn)行了大量的研究。Zhao等在文獻(xiàn)[2]中提出了一類分?jǐn)?shù)階對象的FOPID整定算法。文獻(xiàn)[3]給出了分?jǐn)?shù)階控制器的圖解法，避免了用非線性方程組求解，為分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計提供新的思路。Yumuk等[4]提出基于Bode理想傳遞函數(shù)加時滯的分?jǐn)?shù)階PID控制器的解析法。由于高階系統(tǒng)可以通過化簡模型用低階系統(tǒng)表示，因此Valério和Costa[5]提出了基于Ziegler-Nichols的經(jīng)驗規(guī)則。Senol等[6]提出了一階加時滯系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PI控制器回路成形的頻標(biāo)法。

模型預(yù)測控制（MPC），是一種基于模型的控制策略，廣泛應(yīng)用于許多先進(jìn)的過程控制系統(tǒng)[7]。模型的復(fù)雜性大大增加了其計算負(fù)擔(dān)，這是阻礙實際應(yīng)用的關(guān)鍵因素。然而，許多工業(yè)過程可以通過一階加死區(qū)模型充分描述[8]。對于一個典型的MPC，傳統(tǒng)調(diào)整參數(shù)包括預(yù)測時域和控制時域以及加權(quán)矩陣中使用的成本函數(shù)。這些參數(shù)可以顯著影響閉環(huán)性能、穩(wěn)定性和魯棒性特征[9]。Bagheri等[10-15]將MPC轉(zhuǎn)化為極點配置問題，根據(jù)得到的解析方程調(diào)整MPC中的各項參數(shù)以解決閉環(huán)穩(wěn)定性等問題。

本文提出了一類分?jǐn)?shù)階PI魯棒預(yù)測控制解析整定法，將分?jǐn)?shù)階PI控制器與預(yù)測控制所形成的傳遞函數(shù)聯(lián)立求解各項參數(shù)。該方法增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，減少了計算成本，仿真驗證了本文所提出方法的有效性。

1" 分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)求取方法

Senol等[6]提出分?jǐn)?shù)階控制器回路頻標(biāo)法，如圖1所示，該方法將相位交叉頻率和增益交叉頻率之間的曲線包圍在Bode圖中?？刂葡到y(tǒng)的性能可以通過擴(kuò)展或收縮該框架的邊緣和平坦化框架內(nèi)的曲線來提高，因此可以避免導(dǎo)致系統(tǒng)任何不穩(wěn)定的情況。

分?jǐn)?shù)階PI控制器表示為

被控對象傳遞函數(shù)表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[6]的如下步驟求解，

式中：Ｔ為慣性時間常數(shù)，Ｋ為系統(tǒng)增益，？漬1、？漬2為

令（3）=（4）得到兩條曲線，在兩條直線相交處得到同時滿足條件的？姿。

之后引入最優(yōu)控制思想求取kp，ki，具體步驟

如下。

根據(jù)歐拉公式，將公式（1）、（2）轉(zhuǎn)換成如式（6）形式

由于｜Ｇ（j？棕）｜=|C（j？棕）||P（j？棕）|，又因為|P（j？棕）|是常數(shù)，頻域框架圖1中H已知也是常數(shù)，因此只需求取|C（j？棕）|最小即可，如式（8）所示。

由于求取|C（j？棕）|最小，為計算方便，打開根號不影響結(jié)果，因此將式（8）轉(zhuǎn)換成如式（9）形式：

為求取最優(yōu)值，引入拉格朗日乘數(shù)方程，將多個變量的約束問題轉(zhuǎn)化為極值問題

" " " " " 。 （10）

式中：f（x，y，z）為自變量，k為拉格朗日常數(shù)，？漬（x，y，z）為約束條件。

本文的約束條件為

，。 （11）

因此將式（9）與（11）帶入式（10）求取kp，ki，如式（12）所示。

令以下偏導(dǎo)方程均等于0，得到：

2" 分?jǐn)?shù)階PI魯棒預(yù)測控制解析整定法

Bagheri等[10]提出預(yù)測控制解析整定法，將預(yù)測控制重塑為基于零極點配置的傳遞函數(shù)模式去求解各項參數(shù)。該方法給出了Q、R矩陣的解析公式，本文保證了預(yù)測控制的魯棒性問題，提出分?jǐn)?shù)階PI魯棒預(yù)測控制解析整定法。

考慮如式（14）系統(tǒng)[10]：

經(jīng)采樣時間Ｔs離散化后得到

式中：a=e-Ts/？子；死區(qū)時間設(shè)為采樣時間的整數(shù)倍，即k=？茲/TS。將式（14）轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間模型如下

x（n+1）=Ax（n）+B？駐u（n）" ， （16）

ym（n）=Cx（n）。

最優(yōu)控制問題表達(dá)如下

， （17）

式中：Ｎ１＝k+1，Ｎ2＝k+P，其中P是預(yù)測范圍，M是控制范圍，并且（·|n）是系統(tǒng)在n時刻輸出的預(yù)測值，并且對控制權(quán)重進(jìn)行歸一化。將未來的輸出值表示為

y（n）＝Ｆx（n）+S？駐u（n） 。 （18）

在沒有約束的情況下，最優(yōu)控制率為

式中：（n+k）是實際的輸出預(yù)測。

式中：

d（n）=yp（n）-ym（n）" 。" " " " " " （21）

式中：yp（·）是系統(tǒng)輸出。對式（19）進(jìn)行化簡得到：

。（22）

根據(jù)式（19）（20），將最優(yōu)控制率式（22）轉(zhuǎn)化成式（23）形式：

。（23）

設(shè)d（n）=0，即被控對象和系統(tǒng)模型輸出相同。利用（15）、（20）、（21）和（23），可得到預(yù)測控制傳遞函數(shù)為

式中：

引理：預(yù)測控制傳遞函數(shù)（24）穩(wěn)定，需要滿足以下不等式[11]

通過適當(dāng)?shù)剡x擇增益Ｋ和Ｋ，可實現(xiàn)期望的閉環(huán)性能。

得到高階系統(tǒng)的預(yù)測控制傳遞函數(shù)為[10]

將期望傳遞函數(shù)（7）離散化并與預(yù)測控制傳遞函數(shù)（27）聯(lián)立得到：

對比分子分母各項系數(shù)即可得到預(yù)測控制傳遞函數(shù)各項參數(shù)。之后經(jīng)文獻(xiàn)[10]方法求?。?，Ｒ矩陣各項參數(shù)。

3" 仿真實驗與結(jié)果分析

考慮文獻(xiàn)[12]如下系統(tǒng)：

將式（1）、（28）帶入式（7）得到期望傳遞函數(shù)：

令期望傳遞函數(shù)各項指標(biāo)為：相位交叉頻率選擇為？棕gc=10 rad/s，？棕pc=150 rad/s，相位裕度選擇為PM=50°，將以上指標(biāo)帶入式（3）、（4）、（11）、（13）求解得到分?jǐn)?shù)階PI控制器為

將式（30），帶入（29）得到期望傳遞函數(shù)為

經(jīng)文獻(xiàn)[13]分?jǐn)?shù)階微分算子近似法與文獻(xiàn)[14]最優(yōu)降階法得到：

令控制時域為r=1，預(yù)測時域P=2，根據(jù)jurry穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇K=0.1，K=0.06，根據(jù)文獻(xiàn)[10]解得：

qp=2.5，r=0.03。

系統(tǒng)一階時域閉環(huán)階躍響應(yīng)如圖2所示。

如圖2所示，系統(tǒng)響應(yīng)曲線表明，本文所設(shè)計的預(yù)測控制方法可以有效保證系統(tǒng)的性能與抗干擾性。

圖3中所示的控制信號已經(jīng)適于系統(tǒng)輸出設(shè)定值。

系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定可行域如圖4所示。

如圖4所示，該圖描繪了被控系統(tǒng)各個參數(shù)的穩(wěn)定域取值范圍。由圖可知，當(dāng)0lt;？琢lt;1魯棒性隨？琢的增加而增強(qiáng)。

4" 結(jié)束語

本文提出了分?jǐn)?shù)階PI魯棒預(yù)測控制解析整定法，推導(dǎo)出預(yù)測控制傳遞函數(shù)解析表達(dá)式與分?jǐn)?shù)階魯棒PI控制器解析表達(dá)式。本文方法將被控系統(tǒng)所需的性能指標(biāo)與分?jǐn)?shù)階PI控制器相乘得到期望傳遞函數(shù)，利用該期望傳遞函數(shù)求解預(yù)測控制傳遞函數(shù)所需要的各項參數(shù)。并且由于期望傳遞函數(shù)所滿足被控系統(tǒng)所需的各種性能指標(biāo)，因此省略了預(yù)測控制所需要驗證的魯棒性問題，降低了調(diào)整參數(shù)的計算成本，并仿真驗證了該方法的可行性與有效性。

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