基于二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)的偽隨機(jī)耦合映像格系統(tǒng)及其動(dòng)態(tài)特性

摘 要：針對時(shí)空混沌系統(tǒng)中遇到的混沌強(qiáng)度不足等問題，提出了一種基于二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)的偽隨機(jī)耦合映射格系統(tǒng)方案?；诔醯仍詣?dòng)機(jī)，設(shè)計(jì)了二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)，通過變換其迭代次數(shù)，動(dòng)態(tài)選取迭代規(guī)則和方向，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的多樣性更新，從而增強(qiáng)了元胞的偽隨機(jī)特性。在每次元胞狀態(tài)更新時(shí)，根據(jù)格子所對應(yīng)元胞的行和列位置動(dòng)態(tài)生成耦合索引值，并利用索引值對混沌序列施加擾動(dòng)提升序列的隨機(jī)性，降低了格子之間的相關(guān)性。對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其有較強(qiáng)的混沌特性和隨機(jī)性，能夠有效延長系統(tǒng)的周期，增強(qiáng)遍歷性。最后，利用SHA-256運(yùn)算生成混沌系統(tǒng)初始化參數(shù)，結(jié)合系統(tǒng)的輸出序列和DNA編碼設(shè)計(jì)出一種圖像加密算法，并對該算法進(jìn)行信息熵等性能分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法加密結(jié)果擁有較好的統(tǒng)計(jì)特性和安全性，在圖像加密領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：混沌；二維元胞自動(dòng)機(jī)；二維耦合映像格；圖像加密

中圖分類號：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1001-3695（2024）11-029-3401-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.04.0079

Pseudo random coupled image lattice system based on two dimensional dynamic cellular automata and its dynamic characteristics

Ma Yingjie^a， Hong Hui^b?， Zhang Lei^a， Liu Yaqi^c

（a.Dept. of Electronic amp; Communication Engineering， b.Dept. of Cyber Space Security， c.Information Security Institute， Beijing Electronic Science amp; Technology Institute， Beijing 100070， China）

Abstract：This paper proposed a pseudorandom coupled mapping lattice system scheme based on two-dimensional dynamic cellular automata to address the issue of insufficient chaos intensity in spatiotemporal chaotic systems. It designed the two-dimensional dynamic cellular automata based on elementary cellular automata， which achieved state diversity update through varying iteration counts and dynamically selecting iteration rules and directions， thereby enhancing the pseudorandom properties of the cells. During each cell state update. It dynamically generated coupling index values based on the row and column positions of the corresponding cells， and used these index values to perturb the chaotic sequences， improving their randomness and reducing correlations between cells. Analysis of the system’s dynamic characteristics revealed strong chaos and randomness， effectively extending the system’s period and enhancing ergodicity. Finally， this paper designed an image encryption algorithm using SHA-256 operations to generate initialization parameters for the chaotic system， combined with the system’s output sequence and DNA encoding. Performance analysis of the algorithm， including information entropy， show that it possesses good statistical properties and security， promising good application potential in the field of image encryption.

Key words：chaos; two dimensional cellular automata; two dimensional coupled mapping lattice; image encryption

0 引言

混沌現(xiàn)象指的是，在一個(gè)確定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，會(huì)展現(xiàn)出似乎隨機(jī)、不規(guī)律的行為。這種現(xiàn)象的特征包括無序性、復(fù)雜性以及非周期性的表現(xiàn)形態(tài)。這種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象具有確定性和隨機(jī)性的結(jié)合，使得系統(tǒng)的行為呈現(xiàn)出無法準(zhǔn)確預(yù)測的特征。混沌系統(tǒng)因其獨(dú)特的性質(zhì)而備受關(guān)注，其中包括偽隨機(jī)性、對初始條件的高度敏感性、遍歷性和不可預(yù)測性等密碼學(xué)特征。然而，當(dāng)混沌系統(tǒng)在數(shù)字計(jì)算機(jī)上以有限精度運(yùn)行時(shí)，存在著動(dòng)力學(xué)退化的問題，即使在理論上具有非周期性，但實(shí)際上卻不能產(chǎn)生真正的隨機(jī)序列。這一困境促使了對混沌系統(tǒng)的進(jìn)一步研究，尤其是在提高其偽隨機(jī)性和動(dòng)態(tài)特性方面的探索。

為了克服混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)退化問題，研究人員提出了多種解決方案，包括采用更高精度的數(shù)字系統(tǒng)^［1］、級聯(lián)多個(gè)混沌系統(tǒng)以增加其周期性^［2］、以及添加擾動(dòng)以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性^［3］等。盡管這些方案在一定程度上能夠改善系統(tǒng)的性能，但仍然存在著資源浪費(fèi)、動(dòng)態(tài)復(fù)雜性下降等問題。

通過空間耦合和混沌輸出相互作用，時(shí)空混沌系統(tǒng)有效減緩了動(dòng)力學(xué)衰退。在文獻(xiàn)［4，5］創(chuàng)立了基于混沌系統(tǒng)的耦合映射格（coupled map lattices，CML）后，眾多CML混沌系統(tǒng)被開發(fā)出來^［6～9］。

以基于logistic映射的CML時(shí)空混沌系統(tǒng)為例，其中任意格子的輸出主要聚集在0和1附近，CML系統(tǒng)的回歸映射呈固定拋物線形狀。攻擊者利用該特征推斷系統(tǒng)的控制參數(shù)，可能進(jìn)行回歸映射和相空間重構(gòu)攻擊^{［10，11］}?；煦缦到y(tǒng)的底層映射中，特定控制參數(shù)可能導(dǎo)致弱混沌狀態(tài)。文獻(xiàn)［7］引入分?jǐn)?shù)階混沌映射，仍展現(xiàn)周期窗口和弱混沌。文獻(xiàn)［12～14］嘗試動(dòng)態(tài)耦合和非線性耦合等方法，弱混沌和周期窗口依然存在，輸出序列的分布仍不均勻，而回歸映射仍然主要集中在拋物線附近。文獻(xiàn)［15］基于其提出的PWLCM-Sin映射構(gòu)建了新型的時(shí)空混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)利用系統(tǒng)本身生成的序列實(shí)現(xiàn)了偽隨機(jī)耦合，系統(tǒng)擁有較少的周期窗口，良好的混沌特性。然而，該混沌系統(tǒng)的輸出依舊沒有擺脫底層映射的影響，回歸映射分布依舊集中在PWLCM映射所特有的三角波形上，依舊易受到回歸映射分析的攻擊。從耦合方案的角度分析，傳統(tǒng)的CML采用鄰近耦合，能量傳遞慢，部分格子無法達(dá)到混沌。Zhang等人^［7］提出的非線性耦合方案，提高了傳輸速度，但格子之間的耦合仍保持不變?；旌暇€性-非線性方案^［13］加快了能量傳遞，但仍有弱混沌狀態(tài)。

針對初等元胞自動(dòng)機(jī)短周期性的問題，本文提出了一種二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)（two-dimensional dynamic elementary cellular automata， TDECA）。根據(jù)迭代次數(shù)不同，動(dòng)態(tài)選擇迭代方向和規(guī)則，每次更新不同的元胞狀態(tài)值，TDECA能夠在迭代過程中產(chǎn)生更加復(fù)雜的演化規(guī)律，從而改善系統(tǒng)的長期周期性和提高偽隨機(jī)性。

基于TDECA設(shè)計(jì)了一種新的耦合方案。該模型利用TDECA的輸出狀態(tài)確定各個(gè)格子對應(yīng)的耦合索引值，并根據(jù)格子坐標(biāo)對應(yīng)元胞水平、豎直方向的擾動(dòng)值對系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)擾動(dòng)。這種動(dòng)態(tài)的耦合機(jī)制進(jìn)一步削弱時(shí)空混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)退化，有效增加了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)復(fù)雜性，并提升了能量傳遞效率。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提二維動(dòng)態(tài)偽隨機(jī)耦合映像格系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性和更好的隨機(jī)性，能夠在同等條件下生成更多的偽隨機(jī)序列，增加了系統(tǒng)的不確定性，使得系統(tǒng)更難以被攻擊者預(yù)測和破解，從而提高了系統(tǒng)的安全性和可靠性。因此，該系統(tǒng)在密碼學(xué)和混沌保密通信領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景，為混沌系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的進(jìn)一步發(fā)展提供了新的思路和方法，在提高系統(tǒng)的安全性和可靠性，以及推動(dòng)混沌系統(tǒng)在密碼學(xué)和信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要意義。

1 二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)

Neumann等人^［16］在1948年提出的元胞自動(dòng)機(jī)（cellular automata， CA），其是一個(gè)用于最初模擬生物系統(tǒng)自我復(fù)制行為的離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。作為元胞自動(dòng)機(jī)的一種簡化版本，初等元胞自動(dòng)機(jī)（clementary cellular automata， ECA）由一維元胞排列組成，常用周期邊界，使得序列首尾元胞相連。

元胞的未來狀態(tài)由其本身及其周圍相鄰元胞的當(dāng)前狀態(tài)共同決定，此方法既簡明又高效，且適合并行處理^［17］。Wolfram將這些變化規(guī)則歸納為簡單、周期性、混沌和復(fù)雜規(guī)則^［18］四類。隨著研究發(fā)展，眾多學(xué)者提出了基于CA的多樣化加密方法^［19］。

ECA是最廣泛使用的一種一維元胞自動(dòng)機(jī)模型，其定義可通過式（1）表達(dá)。

S_n=（A^N，Σ，f，E）（1）

在這個(gè)模型中，定義了元胞空間A^N、空間維度N、狀態(tài)值Σ（通常為0或1）、更新規(guī)則f以及邊界條件E（通常為周期邊界）。狀態(tài)更新值s_n也得到了定義。此外，在ECA系統(tǒng)中，元胞在更新狀態(tài)時(shí)會(huì)同時(shí)考慮自己當(dāng)前的狀態(tài)和兩側(cè)相鄰元胞的狀態(tài)。圖1展示了一個(gè)具有L個(gè)元胞的ECA，該ECA采用了周期性邊界條件。

Wolfram的研究展示了，在一種只有兩種狀態(tài)（0和1）且每個(gè)元胞由三個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)決定的一維CA設(shè)置中，識(shí)別出了256個(gè)獨(dú)特的演化規(guī)則。這些規(guī)則根據(jù)它們的映射特性進(jìn)行編號，而狀態(tài)更新函數(shù)f的結(jié)果以十進(jìn)制數(shù)表示，用于區(qū)分各個(gè)ECA規(guī)則的編號。例如，具有編號105（其二進(jìn)制形態(tài)為01101001）的ECA規(guī)則的映射如表1所示。

針對初等元胞自動(dòng)機(jī)短周期性的問題，提出了一種二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)（two-dimensional dynamic elementary cellular automata， TDECA），可以表示為

S_t+1（i， j）=f_R（S_t（i， j－1），S_t（i， j），S_t（i， j+1））

t為奇數(shù)

f_R（S_t（i－1， j），S_t（i， j），S_t（i+1， j）） t為偶數(shù) （2）

其中：TDECA的迭代規(guī)則R根據(jù)迭代次數(shù)t控制切換。其迭代方向也由迭代次數(shù)t所確定，t為奇數(shù)時(shí)，各元胞逐行進(jìn)行迭代，t為偶數(shù)時(shí)，元胞逐列進(jìn)行迭代。

為防止TDECA出現(xiàn)短周期性，R應(yīng)選擇全局混沌規(guī)則。以105號和150號規(guī)則為例，R確立方式如下：

R=105

Num為奇數(shù)150

Num為偶數(shù)（3）

2 時(shí)空混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)

耦合映射格系統(tǒng)作為一種時(shí)空混沌系統(tǒng)，有助于減緩混沌系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)退化并增加系統(tǒng)復(fù)雜度。在傳統(tǒng)的耦合映射格系統(tǒng)（coupled map lattices， CML）模型中，一個(gè)格子的狀態(tài)由自身和相鄰格子的狀態(tài)共同決定^［20］。公式定義如下：

X_n+1（i）=（1－ε）f［X_n（i）］+ε2{f［X_n（i－1）］+f［X_n（i+1）］}（4）

其中：n表示系統(tǒng)時(shí)間維度（n=1，2，3，…）；i表示系統(tǒng)空間維度（i=1，2，3，…，L）；L為系統(tǒng)中總的格子數(shù)量。系統(tǒng)的邊界條件是周期的，即：第L個(gè)格子為第1個(gè)格子的左鄰格子，第1個(gè)格子為第L個(gè)格子的右鄰格子，ε（0lt;εlt;1）表示系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度，映射f（x）通常采用一維logistic映射，其公式如下：

f（x）=μx（1－x）

x∈（0，1）（5）

其中：μ（0lt;μ≤4）為控制參數(shù)，當(dāng)3.57lt;μ≤4時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

傳統(tǒng)的CML系統(tǒng)對初始條件和參數(shù)的微小變化非常敏感，采用鄰近耦合方式，缺乏動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)機(jī)制。這種使得能量傳遞速度較慢，在某些控制參數(shù)下仍可能表現(xiàn)出弱混沌狀態(tài)導(dǎo)致空間上的一些格子無法達(dá)到混沌狀態(tài)。

與單一混沌系統(tǒng)相比，CML系統(tǒng)中每個(gè)格子內(nèi)部的混沌系統(tǒng)并行運(yùn)行。格子間的耦合作用促使能量在不同系統(tǒng)之間流動(dòng)。由于這種耦合作用，整個(gè)系統(tǒng)在時(shí)空維度上展現(xiàn)出了混沌的狀態(tài)，同時(shí)可以生成混沌序列，從而產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)，滿足多種應(yīng)用需求。系統(tǒng)的耦合參數(shù)、控制參數(shù)以及每個(gè)格子的初始值都可以作為密鑰，顯著擴(kuò)展了系統(tǒng)的密鑰空間。每個(gè)格子的初始值可以不同，由于混沌系統(tǒng)本身的初始值敏感性以及耦合關(guān)系，整個(gè)系統(tǒng)呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，相應(yīng)的混沌特性得到了顯著增強(qiáng)。

CML時(shí)空混沌系統(tǒng)表現(xiàn)優(yōu)越，因其局部混亂與整體穩(wěn)定特性，使輸出序列和回歸映射軌跡可辨且穩(wěn)定。但是時(shí)空混沌系統(tǒng)在某些參數(shù)下存在弱混沌的情況；時(shí)空混沌系統(tǒng)的輸出分布不均，特別是在相空間和回歸映射上的分布具有顯著的可識(shí)別性；各個(gè)格子的輸出相關(guān)性較強(qiáng)，由此帶來的安全上的潛在問題。根據(jù)Li等人^［21］對這些方法的數(shù)學(xué)和理論分析，添加隨機(jī)擾動(dòng)是最為有效的方式，包括擾動(dòng)系統(tǒng)的輸入、輸出及控制參數(shù)，其中擾動(dòng)混沌系統(tǒng)的輸出是最優(yōu)的。不同格子之間的輸出借助耦合的方式對混沌映射進(jìn)行擾動(dòng)，從而有效削弱混沌系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)退化問題^［22］。

而由于元胞自動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)和變化的相似性，將元胞自動(dòng)機(jī)和時(shí)空混沌系統(tǒng)相結(jié)合已經(jīng)成為加密特別是圖像加密領(lǐng)域的重要研究方法。ECA中的各格子的構(gòu)成與時(shí)空混沌系統(tǒng)CML中的格子具有空間上的兼容性，可以利用ECA來對CML中的各格子施加擾動(dòng)。ECA本身是一個(gè)時(shí)間和空間上均離散的系統(tǒng)，因此不會(huì)存在動(dòng)力學(xué)退化的問題，全局混沌規(guī)則控制下的ECA輸出又具有長周期和偽隨機(jī)性，非常適合嵌入到混沌系統(tǒng)中作為擾動(dòng)，進(jìn)一步減弱動(dòng)力學(xué)退化的問題，提高系統(tǒng)的隨機(jī)性。全局混沌規(guī)則下的ECA迭代過程是非單射布爾函數(shù)，具有良好的非線性和不可逆性，同時(shí)在初始值和迭代規(guī)則已知的情況下又是可復(fù)現(xiàn)的，適用于分組密碼算法。利用ECA生成的擾動(dòng)可對不同格子施加不同的擾動(dòng)，從而降低系統(tǒng)中各格子之間由于耦合存在的高相關(guān)性。

因此，結(jié)合元胞自動(dòng)機(jī)的時(shí)空混沌系統(tǒng)在防止單一時(shí)空混沌動(dòng)力學(xué)特性退化的研究上具有巨大潛力，同時(shí)憑借高度的并行性和易編程性，對提升圖像加密效率也頗有優(yōu)勢。

基于以上概念，本文引入了一個(gè)新型的二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)偽隨機(jī)耦合映射格系統(tǒng)（two dimensional dynamic pseudo-random coupled map lattices， 2D-DPCML），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

X_n+1（i， j）=εf［X_n（i， j）］+（1－ε）

f［X_n（i，a）］+f［X_n（i，b）］+f［X_n（c， j）］+f［X_n（d， j）］+

p（S_n（i， j））×σ（S_n（i， j））mod 1（6）

其中： f為logistic映射；ε（0lt;εlt;1）用于表示系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度；i和j（取值為1～L）代表格子的坐標(biāo)；n表示時(shí)間維度；索引值a、b、c、d是TDECA迭代得到的。這個(gè)過程產(chǎn)生的擾動(dòng)p（S_n）源自TDECA中元胞在水平和垂直方向狀態(tài)的變化，當(dāng)前擾動(dòng)的符號表示為σ（S_n（i， j））（數(shù)值大小±1），擾動(dòng)值應(yīng)用mod 1操作，結(jié)果保留小數(shù)部分，使得最終的運(yùn)算結(jié)果保持在（0，1）。以下是各個(gè)參數(shù)的詳細(xì)計(jì)算過程。

2.1 索引方式

TDECA的元胞空間設(shè)為100×100，2D-DPCML大小為L×L，采用周期型邊界，在每次更新過程中，二者的格子空間能夠相匹配，耦合對象上、下、左、右四個(gè)方向索引值a，b，c，d的確立方式可由式（1）～（12）確立。

（a，b，c，d）=find_index（L_x，L_y，i， j）（7）

（L_x，L_y）=find（i， j）（8）

a=L_x

0lt;L_xlt;LLL_x=01L_x=L（9）

b=L－L_x

0lt;L_xlt;L1L_x=0LL_x=L（10）

c=L_y

0lt;L_ylt;LLL_y=01L_y=L （11）

d=L－L_x

0lt;L_ylt;L1L_y=0LL_y=L（12）

其中：i，j表示當(dāng)前格子索引值；find（i， j）表示在TDECA中第i行、第j列上元胞狀態(tài)值分別為1的個(gè)數(shù)。以水平方向索引確定過程為例，豎直方向上的索引確定過程和此類似，相關(guān)步驟如下：TDECA第i行序列為0101101110，狀態(tài)值為1的元胞數(shù)量為6，在第7號位置，最終確定索引值為a=6和b=4，搜索過程如圖2所示。

由于各個(gè)格子所在行、列不完全相同，格子的索引值a、b、c、d不同，均在［1，L］動(dòng)態(tài)變化，使得能量變化在系統(tǒng)中快速傳播，降低了格子的關(guān)聯(lián)性，提升了系統(tǒng)的安全性。

2.2 擾動(dòng)值

擾動(dòng)值p（S_n（i， j））是通過TDECA迭代過程中水平和豎直方向兩組狀態(tài)共同組合得到的，本文分別取TDECA系統(tǒng)迭代過程中第（i，j）個(gè)元胞所在行、列序列中間各32 bit進(jìn)行異或運(yùn)算最終組成共32位01序列對系統(tǒng)進(jìn)行擾動(dòng)，擾動(dòng)值計(jì)算規(guī)則為

p（S_n（i， j））=bin2dec（XOR（S_n（i，34：65），S_n（34：65， j）））（13）

其中： bin2dec（）函數(shù)表示將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù);S_n是由元胞狀態(tài)組成的一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。

S_n（i，34：65）=b_{（i，34）}b_{（i，35）}b_{（i，36）}…b_{（i，65）}（14）

其中：b_{（i，34）}表示第i行、第34個(gè)元胞的狀態(tài)值。豎直方向的原理相同，由于TDECA中各個(gè)元胞是在不斷迭代變化的，所以擾動(dòng)值的大小也是在不斷變化的，這使得擾動(dòng)值的變化也是隨機(jī)的，能夠有效緩解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)退化現(xiàn)象^［21］。

2.3 擾動(dòng)符號

擾動(dòng)符號δ（S_n（i， j））是根據(jù)TDECA迭代結(jié)果來確定。

δ（S_n（i， j））=1 S_n（i， j）=1

－1 S_n（i， j）=0 （15）

其中：S_n（i， j）表示第n次迭代過程中，TDECA坐標(biāo)（i，j）元胞的狀態(tài)。

由式（9）可知擾動(dòng)符號的值為±1，并且不斷迭代，δ（S_n（i， j））的數(shù)值也不斷變化，所以每個(gè)格子的擾動(dòng)值是不同的，降低了格子的相關(guān)性，提高了系統(tǒng)的復(fù)雜度。

3 混沌特性分析

2D-DPCML各項(xiàng)參數(shù)如下：控制參數(shù)μ（0lt;μ≤4），耦合系數(shù)ε（0lt;εlt;1），格子數(shù)量為10×10，logistic映射初值為0.05，而TDECA采用的兩種迭代規(guī)則為第105與150號。

為了與本文2D-DPCML系統(tǒng)進(jìn)行對比，本文分析了傳統(tǒng)二維時(shí)空混沌系統(tǒng)（two-dimensional coupled map lattices，2D-CML）、基于 Arnold 映射的二維非線性耦合映像格（two-dimensional nonlinear coupled map lattices，2D-NLCML）系統(tǒng)^{［12，23］}、基于偽隨機(jī)耦合和PWLCM-Sin 映射的二維混合偽隨機(jī)耦合 PS 映像格（two-dimensional mixed pseudo-random coupling PS map lattice，2D-MCPML）系統(tǒng)^［15］。2D-NLCML 系統(tǒng)中，Arnold參數(shù)p=12、q=7，確保系統(tǒng)維持混沌特性。2D-MCPML 系統(tǒng)中，參數(shù)σ=0.5，其他參數(shù)設(shè)置和 2D-DPCML 保持一致。

3.1 回歸映射

回歸映射衡量的是兩個(gè)相鄰格子間的狀態(tài)值的對應(yīng)關(guān)系，混沌序列均勻分布時(shí)，回歸映射圖呈分散特性?；貧w映射分析攻擊能估算系統(tǒng)的參數(shù)，可能破解混沌加密^［24］。點(diǎn)集中的回歸映射圖意味著較低安全性。本文分析了坐標(biāo)（5，5），在控制參數(shù)3.99、耦合系數(shù)0.166 7、0.458 3、0.875下，迭代15 000次后的回歸映射如圖3所示。

圖3（a）～（c）顯示2D-CML和2D-NLCML系統(tǒng)的回歸映射點(diǎn)主要圍繞拋物線，2D-MCPML的點(diǎn)則靠近直線。耦合強(qiáng)度ε提升導(dǎo)致點(diǎn)分散。這反映了三系統(tǒng)對ε變化高度敏感，增加受回歸映射攻擊的風(fēng)險(xiǎn)。

與此相比，在圖3（d）展示的2D-DPCML系統(tǒng)中，回歸映射的分布呈現(xiàn)為雜亂無章的噪聲點(diǎn)，沒有形成任何明顯的聚集模式。即使在耦合強(qiáng)度ε發(fā)生變化時(shí)，其回歸映射分布依舊保持一種均勻散布的狀態(tài)，顯示出對耦合強(qiáng)度改變的高度魯棒性。因此，可以認(rèn)為2D-DPCML系統(tǒng)在很大程度上能有效防御回歸映射分析攻擊，這為其在信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用提供了可靠的保障。

3.2 李雅普諾夫指數(shù)和K熵

Lyapunov指數(shù)是描述動(dòng)力系統(tǒng)中混沌程度的重要指標(biāo)之一。它表示了系統(tǒng)中微小初始條件的指數(shù)增長率，正的Lyapunov指數(shù)表明系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌行為，而負(fù)的Lyapunov指數(shù)則意味著系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定。系統(tǒng)至少存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)時(shí)，稱之為混沌系統(tǒng)^［25］，這意味著它對初始條件極其敏感，即使微小的變化也可能導(dǎo)致系統(tǒng)行為的巨大差異。而當(dāng)系統(tǒng)具有多個(gè)正的Lyapunov指數(shù)時(shí)，則被稱為超混沌系統(tǒng)，這表明系統(tǒng)的混沌程度更加復(fù)雜，其軌跡的分離速度更快，對初始條件的敏感性更高。 Lyapunov指數(shù)的計(jì)算是混沌系統(tǒng)分析中的關(guān)鍵步驟，能夠幫助人們理解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和混沌行為。

通過分析系統(tǒng)產(chǎn)生的序列計(jì)算Lyapunov指數(shù)（LE）之后，使用Kolmogorov-Sinai熵密度（KED）和Kolmogorov-Sinai熵闊度（KEB）指標(biāo)來描繪系統(tǒng)的時(shí)空特征。其公式為

h=∑ni=1λ⁺（i）/L（16）

hu=L⁺/L（17）

其中：h代表KED；hu表示KEB。KED為系統(tǒng)中所有正Lyapunov指數(shù)的平均值，用于評價(jià)系統(tǒng)混沌度，其中i指系統(tǒng)空間維度；L是格子數(shù)；L⁺為正LE的格子數(shù)；λ⁺（i）表示正LE的總和。公式如下：

λ⁺（i）=λ（i）

λ（i）gt;00 λ（i）≤0 （18）

hgt;0時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。隨著h值增加，數(shù)值為1的hu數(shù)量上升，系統(tǒng)的混沌特性增強(qiáng)。不同參數(shù)下的h與hu值的變化展現(xiàn)于圖4、5。

當(dāng)μgt;3.6時(shí)， 2D-CML與2D-NLCML才有正的KED值，在2D-CML系統(tǒng)中，當(dāng)耦合強(qiáng)度ε約為0.2時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)較弱的混沌區(qū)間，此時(shí)僅有52.8%的格子的KED值大于0。相比之下，在2D-NLCML系統(tǒng)中，這個(gè)情況有所改進(jìn)，且隨著ε值的升高，KED值也逐步增加。KED大于0的格子占總體的86.4%，但KED大于0.5的格子僅占1.12%。

在2D-MCPML與2D-DPCML中， KED均大于0，所有格子處于混沌。對圖4 （c）的深入分析，超過0.7的KED值的比例是32.64%。而在圖4（d）中，2D-DPCML的KED大于0.8的比例達(dá)到了99.68%，表明該系統(tǒng)的混沌特性明顯強(qiáng)于前三種系統(tǒng)。

因此，可以得出結(jié)論，2D-DPCML系統(tǒng)在混沌屬性上顯著超越了前三個(gè)系統(tǒng)。這種改進(jìn)對于混沌系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的穩(wěn)定性和可靠性具有重要意義。

在圖5（a）（b）的分析中， 2D-CML和2D-NLCML系統(tǒng)展現(xiàn)出KEB值等于1的情形僅在μ大于3.6的時(shí)候出現(xiàn)，即在μ的值處于（3.6， 4］，系統(tǒng)內(nèi)的所有格子都有可能達(dá)到混沌狀態(tài)。在2D-CML系統(tǒng)里，達(dá)到KEB值為1的格子比例是30.56%，而在2D-NLCML系統(tǒng)中，這一比例為29.76%，說明這兩個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)所有格子進(jìn)入混沌狀態(tài)的能力有限。

相比之下，2D-MCPML這一比例為99.84%，2D-DPCML則達(dá)到100%，這表明所有格子呈現(xiàn)強(qiáng)混沌狀態(tài)。這表明后兩種系統(tǒng)在空間上建立混沌狀態(tài)的能力較強(qiáng)，這對于混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性具有重要意義。

3.3 分叉圖

在對混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行深入分析時(shí)，分岔圖是一種非常有用的工具，該方法能夠生動(dòng)描繪出混沌系統(tǒng)在不同參數(shù)設(shè)置下的遍歷行為。通過分析完整的分岔圖，能夠直接看到混沌系統(tǒng)何時(shí)達(dá)到混沌狀態(tài)、是否存在周期窗口。

如果混沌系統(tǒng)生成的序列在多次迭代之后能覆蓋整個(gè)區(qū)間，則表明該系統(tǒng)具有良好的遍歷性。在選定了特定的耦合系數(shù)ε之后，在給定初始化參數(shù)的控制下，對系統(tǒng)進(jìn)行了2 000次迭代，并選擇了空間上位于位置（5，5）的格子進(jìn)行對比分析。圖6清晰展示了在控制參數(shù)處于（3，4）時(shí)各個(gè)系統(tǒng)的分岔圖情況。

通過圖6（a）（b）可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樗械讓踊煦缬成渚褂胠ogistic映射，所以在分岔圖上可以清晰地看到周期性的點(diǎn)出現(xiàn)。尤其是當(dāng)控制參數(shù)趨近于4的時(shí)候，系統(tǒng)展示出更加劇烈的混沌特征，這在整體上使得2D-CML的周期窗口比2D-NLCML更加突出，因此周期長度也更長。然而，在圖6（c）中卻沒有觀察到明顯的周期窗口。這表明在該控制參數(shù)范圍內(nèi)，2D-MCPML系統(tǒng)具有較長的周期長度，但從遍歷性的角度來看，前三種系統(tǒng)都沒有完全覆蓋整個(gè)值域。

另一方面，在圖6 （d）中可以看到2D-DPCML系統(tǒng)在該區(qū)間內(nèi)受控制參數(shù)的影響下，無論是周期長度還是遍歷性都得到了顯著的增強(qiáng)。在整個(gè)參數(shù)區(qū)間內(nèi)，沒有觀察到任何周期窗口的存在，這意味著混沌序列的狀態(tài)值幾乎能夠填滿整個(gè)值域。因此，可以說2D-DPCML系統(tǒng)在該控制參數(shù)范圍內(nèi)具有更加復(fù)雜的混沌軌跡和更好的遍歷性。

為更好地說明2D-DPCML，擴(kuò)大了控制參數(shù)的選取范圍，圖7展示了各混沌系統(tǒng)控制參數(shù)在（0，4）上的分岔圖。

在這個(gè)特定的控制參數(shù)區(qū)間內(nèi)，圖7（a）（b）中的2D-CML和2D-NLCML的分岔圖表現(xiàn)類似于logistic映射的性質(zhì)。當(dāng)觀察到圖7（c）時(shí)，2D-MCPML系統(tǒng)在混沌特性上與之前的兩種系統(tǒng)相似，在遍歷性方面略微減弱。在圖7（d）中，觀察到在（0，2）存在著類似平行軌道的現(xiàn)象，這表明在此區(qū)間內(nèi)序列的復(fù)雜性仍然有待增強(qiáng)。然而，隨著控制參數(shù)的進(jìn)一步增大，其混沌特性逐漸增強(qiáng)，并且混沌序列狀態(tài)值幾乎能夠填滿整個(gè)值域。這些發(fā)現(xiàn)表明在不同參數(shù)區(qū)間內(nèi)，2D-DPCML系統(tǒng)展現(xiàn)出了豐富的動(dòng)態(tài)行為，說明其對于控制參數(shù)要求不嚴(yán)格，在整個(gè)控制參數(shù)區(qū)間都能夠保持混沌狀態(tài)，且混沌值的分布較為均勻。

3.4 相關(guān)性分析

在將時(shí)空混沌系統(tǒng)融入加密體系時(shí)，保證生成的序列間相互獨(dú)立是至關(guān)重要的。這確保了即便攻擊者掌握了部分格子的序列數(shù)據(jù)，也不能推算出整個(gè)密鑰流，從而有效保護(hù)數(shù)據(jù)的安全性。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)確保各個(gè)格子之間序列無關(guān)的耦合方案是至關(guān)重要的。這樣的方案將確保系統(tǒng)生成的密鑰流具有高度的隨機(jī)性和不可預(yù)測性，增強(qiáng)了密碼體制的安全性。

本文比較了2D-CML、2D-NLCML、2D-MCPML和2D-DPCML系統(tǒng)在不同設(shè)置的參數(shù)和耦合強(qiáng)度下，通過計(jì)算皮爾森相關(guān)系數(shù)的平均值來分析序列之間的相關(guān)性，具體結(jié)果展示在圖8中。

工程應(yīng)用中，皮爾森相關(guān)系數(shù)低于0.3通常被認(rèn)為序列間相互獨(dú)立。通過圖8的分析發(fā)現(xiàn)，在2D-CML與2D-NLCML系統(tǒng)里，只有11.36%和10.08%的參數(shù)對（μ， ε）導(dǎo)致序列間的相關(guān)性降至0.3以下。反觀2D-MCPML和2D-DPCML系統(tǒng)，這一比率分別提升至93.28%和100%，這一結(jié)果揭示了2D-DPCML生成序列間相關(guān)性極低，說明該系統(tǒng)安全性較高，適合應(yīng)用于加密領(lǐng)域。

3.5 NIST隨機(jī)性檢測

NIST SP800-22測試套件旨在評定序列的隨機(jī)性及其不可預(yù)測性，成為廣泛應(yīng)用的隨機(jī)性評估工具之一^［26］。該測試包括15種不同的子項(xiàng)，每項(xiàng)輸出一個(gè)值。在測試過程中，這個(gè)值將與閾值進(jìn)行比較，若大于閾值，該序列則被認(rèn)為通過了對應(yīng)的子項(xiàng)測試。在本研究中，通過了測試標(biāo)準(zhǔn)的序列，其隨機(jī)性達(dá)到了99%的信度。本次測試采用了105和150號規(guī)則，在2D-DPCML經(jīng)過10⁶次迭代，產(chǎn)生了一條長度達(dá)到100×10⁶的混沌序列，這條序列被分成100個(gè)組，每個(gè)組的序列長度同樣是100×10⁶，形成偽隨機(jī)二進(jìn)制序列，測試結(jié)果詳見表2。

由表2可知，量化后的01序列通過了隨機(jī)性的測試，說明其滿足了加密算法對隨機(jī)序列的要求，為之后圖像的擴(kuò)散和置亂奠定了應(yīng)用基礎(chǔ)。

4 圖像加密算法

4.1 加密算法

2D-DPCML系統(tǒng)在非周期性和其他動(dòng)力學(xué)特性上有著較好的表現(xiàn)，本文在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種圖像加密算法，流程如圖9所示。

假設(shè)輸入的明文圖像P大小為M×N，算法具體流程如下：

a）讀取一幅M×N原始灰度圖像I。將圖像I作為密鑰生成器的輸入，進(jìn)行SHA-256運(yùn)算得到256 bit二進(jìn)制數(shù)，用來生成混沌系統(tǒng)各項(xiàng)初始化參數(shù)。

b）根據(jù)式（6），由步驟a）得到的256 bit二進(jìn)制數(shù)對2D-DPCML進(jìn)行初始化，具體初始化數(shù)據(jù)如下：

μ=3+3×key（33∶64）2³²－1ε=0.5×key（1∶32）2³²－1x=0.05（19）

其中：μ、ε、x分別表示2D-DPCML的控制參數(shù)、耦合強(qiáng)度和初值。

c）初始化完成后，迭代2D-DPCML，對混沌值進(jìn)行處理，產(chǎn)生長度為M×N的混沌矩陣。

d）將量化后的矩陣與明文圖像按位進(jìn)行異或。

e）再次對混沌值進(jìn)行整理，生成大小為M+N的一條實(shí)值序列。首先選取前M個(gè)混沌實(shí)值，對M個(gè)混沌實(shí)值按照大小降序排序，同時(shí)得到排序后相較于排序前的索引號，并按照這個(gè)索引號對行進(jìn)行亂序重排；列變換原理相同，選取后N個(gè)混沌實(shí)值進(jìn)行大小降序排列，并得到排序后索引值，根據(jù)索引值對列進(jìn)行重排。經(jīng)過行方向和列方向上的重排，圖像像素值的位置被隨機(jī)進(jìn)行了置亂，其行列變換如圖10所示。

f）DNA編碼與運(yùn)算。遺傳物質(zhì)DNA由A、T、C、G四種堿基構(gòu)成。其中A與T，C與G互補(bǔ)。同樣，通過將2 bit的01全排列的4種情況，即00、01、10、11來對應(yīng)四種堿基，該過程并稱為DNA的編碼。由于要滿足互補(bǔ)規(guī)則，故總共有8種編碼規(guī)則，同樣，解碼也有8種規(guī)則，通過一輪編解碼，圖像的像素值對應(yīng)的被成功替換，具體編解碼規(guī)則如表3所示。

對得到的像素矩陣以及重排后的混沌矩陣進(jìn)行分塊的DNA編碼、DNA運(yùn)算、DNA解碼。其中編碼、運(yùn)算、解碼的規(guī)則由不同的子混沌矩陣控制。DNA運(yùn)算包括加法、減法、同或和異或四種規(guī)則。

經(jīng)過DNA編碼與運(yùn)算后得到密文圖像。

4.2 解密算法

解密過程就是加密過程的逆運(yùn)算，將密文圖像進(jìn)行逆DNA編碼、運(yùn)算、解碼，隨后進(jìn)行逆行列變換，最后再與混沌矩陣進(jìn)行異或即可得到明文圖像。

5 加密結(jié)果與分析

5.1 加解密效果

實(shí)驗(yàn)選擇Lena大小為512×512的灰度圖像作為測試對象，其加解密效果如圖11所示。從圖11可以明顯看出，經(jīng)過加密后從圖片上看已經(jīng)無法明確辨認(rèn)明文圖像內(nèi)容顯示的信息，視覺加密效果良好，密文圖像中的像素值分布比較均勻，直觀上看就只是分布密集的黑白色點(diǎn)。

5.2 直方圖分析

直方圖是對圖像中所有像素值的分布情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將各像素值數(shù)量和對應(yīng)的灰度級別用條形圖進(jìn)行表示，每個(gè)條形圖高度表示該灰度級別下包含的像素?cái)?shù)量。一個(gè)好的圖像加密算法，其密文圖像的像素值分布應(yīng)該是均勻的，攻擊者不能通過對像素灰度值的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析而得出相關(guān)的圖像信息，加密前后的圖像像素直方圖如圖12所示。

從加密前后的直方圖對比可以看出，明文的像素分布較為集中，具有明顯的統(tǒng)計(jì)特性。而經(jīng)過加密算法的加密后，密文的像素分布均勻，各灰度值的像素點(diǎn)數(shù)量大致一致，降低了圖像像素統(tǒng)計(jì)特性，增加圖像的安全性。

5.3 相鄰像素相關(guān)性分析

圖像作為多媒體傳輸?shù)闹饕问剑涮攸c(diǎn)之一為相鄰像素相關(guān)性較高，信息冗余度大。相關(guān)性分析可以檢測出加密后的圖像是否仍然存在和明文圖像有關(guān)且較為明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和特征信息，避免攻擊者利用相關(guān)信息破解加密算法。本文抽取每個(gè)測試對象水平、垂直、對角方向上的5 000對像素點(diǎn)進(jìn)行分析，相關(guān)性系數(shù)的計(jì)算公式如下：

C=∑ki=1x_i－1k∑ki=1x_iy_i－1k∑ki=1y_i∑ki=1x_i－1k∑ki=1x_i²×∑ki=1y_i－1k∑ki=1y_i²

（20）

其中：x_i、y_i表示兩個(gè)不同方向上的像素值；k表示抽取的像素點(diǎn)對數(shù)，本節(jié)中k的值為5 000。加密前后測得的相關(guān)系數(shù)如表4所示，加密前后相鄰像素相關(guān)性對比如圖13所示。

通過表4和圖13可以得出，明文圖像中測得的相關(guān)系數(shù)更接近與1，相關(guān)性較強(qiáng)，在圖中明文圖像相鄰像素分布集中在對角線上；而經(jīng)過加密以后的圖像相關(guān)系數(shù)更加接近于0，在圖中像素均勻分布在整個(gè)像素空間，因此加密后圖像的混亂程度更高。從表4對比可以看到本文提出的圖像加密算法顯著降低了明文圖像的相鄰像素相關(guān)性，比文獻(xiàn)［27］性能更優(yōu)。

5.4 信息熵分析

圖像信息熵是衡量圖像加密后隨機(jī)性的一個(gè)重要指標(biāo)，對于一個(gè)8 bit的灰度圖像，加密后所有灰度值出現(xiàn)的概率等概，此時(shí)的隨機(jī)性最大，信息熵也最大，理想值為8。信息熵的計(jì)算公式如下：

H（x）=－∑255i=0p（x_i）log₂p（x_i）（21）

其中：x_i表示像素值；p（x_i）表示該像素值出現(xiàn)的概率。

利用式（21）計(jì)算信息熵，得到的結(jié)果如表5所示。

從表5信息熵統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，本文設(shè)計(jì)的加密方案得到的信息熵接近理論期望值8，攻擊者難以通過該方案加密的圖像獲得有關(guān)明文信息。

6 結(jié)束語

在基于元胞自動(dòng)機(jī)的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了一種二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)新型系統(tǒng)，旨在提高系統(tǒng)的周期性和降低自相關(guān)性。為解決傳統(tǒng)混沌映射遍歷性差等問題，本文介紹了一種基于二維動(dòng)態(tài)元胞自動(dòng)機(jī)的偽隨機(jī)耦合映像格系統(tǒng)。系統(tǒng)通過分析TDECA的狀態(tài)值來選定耦合對象，并采用動(dòng)態(tài)擾動(dòng)對系統(tǒng)擾動(dòng)調(diào)整，有效緩解混沌系統(tǒng)在有限精度數(shù)字計(jì)算機(jī)上的動(dòng)力學(xué)退化現(xiàn)象。通過對比分析不同性能指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)所提方案生成的混沌序列更具隨機(jī)性，顯著優(yōu)化了系統(tǒng)的周期性表現(xiàn)。此外，該方案的序列通過了NIST標(biāo)準(zhǔn)測試，證明了其具有較高的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜度，能夠在有限資源條件下生成更多偽隨機(jī)序列。

在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一種圖像加密算法，結(jié)合混沌系統(tǒng)和DNA編碼等相關(guān)模型和算法，對于加解密進(jìn)行了直方圖等性能測試分析，發(fā)現(xiàn)其具有較好的加密性能。接下來將探索該系統(tǒng)在圖像加密及其他相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用潛力。

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