新課標(biāo)下設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)的研究

摘 要：在當(dāng)今教育改革的浪潮中，數(shù)學(xué)教育不僅關(guān)注學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還注重培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力和綜合素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模作為將抽象數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)生活問題相結(jié)合的重要方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以將數(shù)學(xué)概念應(yīng)用于實(shí)際問題的解決中，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和解決問題的能力。從確立建模活動(dòng)主題、豐富建?；顒?dòng)類型以及優(yōu)化建模活動(dòng)過程三個(gè)方面，探討如何在新課標(biāo)下有效設(shè)計(jì)和開展數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；數(shù)學(xué)建模；實(shí)踐活動(dòng)

作者簡介：李欣榮（1981—），男，江蘇省通州高級(jí)中學(xué)。

隨著新課標(biāo)的深入實(shí)施，數(shù)學(xué)教育越來越重視學(xué)生實(shí)踐能力和綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生不僅可以深入理解數(shù)學(xué)概念和原理，還能提升解決實(shí)際問題的能力。因此，設(shè)計(jì)和優(yōu)化數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)尤為重要。本文圍繞數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)進(jìn)行方法探討，旨在有效提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力與創(chuàng)新思維。

一、基于知識(shí)應(yīng)用，確立建?；顒?dòng)主題

（一）環(huán)境問題，預(yù)測污染物擴(kuò)散

在環(huán)境實(shí)踐項(xiàng)目中，預(yù)測污染物的擴(kuò)散是一個(gè)重要課題，涉及對(duì)污染源、擴(kuò)散路徑以及受影響區(qū)域的全面分析。許多污染物的擴(kuò)散過程可以通過函數(shù)衰減模型來描述，因此指數(shù)函數(shù)在這一領(lǐng)域中扮演著關(guān)鍵角色。

例如，在“指數(shù)函數(shù)”這一節(jié)中，教師可以提出實(shí)踐問題：在一條河流中，某種化學(xué)污染物的濃度會(huì)隨著距離污染源的遠(yuǎn)近而變化，我們可以通過實(shí)驗(yàn)采集不同距離處的水樣，測量其污染物濃度。在測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生利用指數(shù)函數(shù)C（t）=C0eλt建立模型，其中t表示時(shí)間，C（t）表示時(shí)間t時(shí)污染物的濃度，C0是初始濃度，λ是衰減系數(shù)。通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，學(xué)生確定模型中的參數(shù)值，并利用模型預(yù)測未來某一時(shí)刻或某一地點(diǎn)的污染物濃度。這樣的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)不僅能幫助學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)和實(shí)際意義，還能讓他們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在環(huán)境科學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。

互動(dòng)性強(qiáng)的學(xué)習(xí)方式能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深他們對(duì)指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的理解，同時(shí)培養(yǎng)他們解決實(shí)際問題的能力。通過實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生不僅掌握了指數(shù)函數(shù)的理論知識(shí)，還能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到現(xiàn)實(shí)環(huán)境問題的分析和預(yù)測中，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。

（二）經(jīng)濟(jì)問題，分析消費(fèi)者行為

數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)。消費(fèi)者的偏好和消費(fèi)習(xí)慣是多種因素共同作用的結(jié)果，所以在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，關(guān)于消費(fèi)者行為的分析常常需要大量數(shù)據(jù)的支持。抽樣技術(shù)是準(zhǔn)確描述消費(fèi)者的整體行為模式的一種重要方法，抽樣能夠確保樣本具有代表性，使分析結(jié)果更具普遍性和可靠性。

例如，在“隨機(jī)抽樣”一節(jié)中，教師可以讓學(xué)生設(shè)計(jì)一次問卷調(diào)查活動(dòng)來收集消費(fèi)者的數(shù)據(jù)。在問卷設(shè)計(jì)階段，學(xué)生需要考慮調(diào)查的目標(biāo)和問卷中的問題，確保問題能夠全面反映消費(fèi)者的偏好、消費(fèi)習(xí)慣、品牌忠誠度等關(guān)鍵信息。問卷設(shè)計(jì)完成后，學(xué)生應(yīng)在多種場景下展開調(diào)查，如在線問卷、現(xiàn)場訪談或電話訪問等，以獲得多樣化的數(shù)據(jù)。學(xué)生可以采用簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣或簇抽樣等方法，確保樣本數(shù)據(jù)的多樣性和代表性。簡單隨機(jī)抽樣是最基本的方法，即從總體中隨機(jī)選擇一定數(shù)量的個(gè)體。數(shù)據(jù)收集完成后，學(xué)生要利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并在分析過程中合理采用描述性統(tǒng)計(jì)、相關(guān)分析、回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法，以揭示消費(fèi)者行為的規(guī)律和模式。通過設(shè)計(jì)和實(shí)施這一系列問卷調(diào)查和數(shù)據(jù)分析活動(dòng)，學(xué)生不僅能夠掌握隨機(jī)抽樣的理論知識(shí)，還能提升實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

（三）工程問題，評(píng)估項(xiàng)目可靠性

與工程學(xué)結(jié)合的幾何數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)也是良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)課題。在工程領(lǐng)域，項(xiàng)目的可靠性評(píng)估是確保工程質(zhì)量和安全性的重要環(huán)節(jié)。通過評(píng)估項(xiàng)目的可靠性，工程師可以識(shí)別潛在的風(fēng)險(xiǎn)并采取相應(yīng)的預(yù)防措施，確保項(xiàng)目在各種條件下的穩(wěn)定推進(jìn)。

例如，在學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)時(shí)，學(xué)生可以建立和分析三維模型，對(duì)工程結(jié)構(gòu)的幾何形狀和力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行全面評(píng)估。如在橋梁工程中，橋梁的設(shè)計(jì)和建造需要考慮橋梁在不同荷載條件下的承載能力。學(xué)生可以建立橋梁的三維幾何模型，分析橋梁各部分的應(yīng)力分布和變形情況，從而預(yù)測橋梁在不同荷載條件下的情況。具體來說，學(xué)生可以利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）軟件工具，輸入橋梁的具體參數(shù)，如長度、寬度、高度、材料屬性等，基于這些參數(shù)，軟件可以生成橋梁的三維幾何模型。建立模型后，學(xué)生再利用幾何學(xué)的知識(shí)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析，通過求解問題得到橋梁整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形分布。在建模過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生討論三維幾何模型和力學(xué)分析在工程評(píng)估中的重要性。通過案例分析和實(shí)際操作，學(xué)生能夠直觀理解立體幾何知識(shí)在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，增強(qiáng)空間想象力和解決問題的能力。

二、指向課程需求，豐富建?；顒?dòng)類型

（一）數(shù)據(jù)模型，走進(jìn)股票市場

股票是函數(shù)應(yīng)用的絕佳實(shí)踐案例之一。股票市場的數(shù)據(jù)分析是一項(xiàng)復(fù)雜而精細(xì)的任務(wù)，涉及大量的數(shù)學(xué)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)方法。函數(shù)在股票價(jià)格變化分析中有著廣泛的應(yīng)用，如在分析股票價(jià)格的波動(dòng)和長期趨勢時(shí)，回歸模型是一種有效的工具。

在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，學(xué)生可以從收集和整理歷史股票數(shù)據(jù)入手開展建?；顒?dòng)。首先，學(xué)生選擇一個(gè)或多個(gè)股票，獲取其過去一段時(shí)間內(nèi)的日收盤價(jià)、成交量等數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可以通過金融網(wǎng)站、數(shù)據(jù)庫或?qū)ｉT的股票分析軟件獲取。其次，利用對(duì)數(shù)函數(shù)ln（Pt）來轉(zhuǎn)換股票價(jià)格數(shù)據(jù)，其中Pt表示第t天的股票價(jià)格。這種對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換可以將股票價(jià)格的相對(duì)變化轉(zhuǎn)換為絕對(duì)變化，從而更好地捕捉價(jià)格的波動(dòng)特性。最后，采用對(duì)數(shù)回歸模型來分析股票價(jià)格的變化趨勢。通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，學(xué)生可以估計(jì)模型中的參數(shù)β，用參數(shù)的估計(jì)值揭示股票價(jià)格的長期趨勢。例如，如果β為正，則表示股票價(jià)格呈現(xiàn)上升趨勢；如果β為負(fù)，則表示股票價(jià)格呈現(xiàn)下降趨勢。在這一系列的數(shù)據(jù)分析和建?；顒?dòng)中，學(xué)生不僅能夠深入理解對(duì)數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)回歸模型的數(shù)學(xué)原理，還能體會(huì)到這些數(shù)學(xué)工具在金融市場中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值［1］。

（二）仿真模型，模擬氣象變化

氣象變化的模擬是一個(gè)復(fù)雜的過程，需要綜合考慮多種因素，如溫度、濕度、氣壓、風(fēng)速和風(fēng)向等。在這些因素中，風(fēng)速和風(fēng)向是決定天氣變化的重要因素。人們通常采用平面向量來描述風(fēng)速和風(fēng)向，學(xué)生可以通過建立和分析平面向量模型，理解和預(yù)測不同氣象條件下的風(fēng)速和風(fēng)向變化，進(jìn)而掌握平面向量的實(shí)際應(yīng)用。

例如，在開展“平面向量”這一節(jié)的建?；顒?dòng)時(shí)，學(xué)生可以收集氣象數(shù)據(jù)，包括不同地點(diǎn)和時(shí)間的風(fēng)速和風(fēng)向。風(fēng)速通常用速度向量來表示，向量的大小代表風(fēng)速的強(qiáng)度，方向代表風(fēng)向。例如，風(fēng)速為10米每秒、風(fēng)向?yàn)闁|北方向的向量可以表示為v=10i+10j，其中i和j是平面直角坐標(biāo)系中的單位向量，分別與x軸和y軸方向相同。數(shù)據(jù)收集完成后，學(xué)生可以將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為平面向量的形式，計(jì)算某一時(shí)刻或某一地點(diǎn)的合成風(fēng)速和風(fēng)向。例如，如果某一地點(diǎn)的風(fēng)速向量分別為v1和v2，則該地點(diǎn)的合成風(fēng)速向量為v=v1+v2。此外，學(xué)生還可以利用平面向量的數(shù)量積和向量積，分析不同風(fēng)速向量之間的關(guān)系。數(shù)量積可以用于計(jì)算兩個(gè)風(fēng)速向量之間的夾角，從而確定風(fēng)向的變化；向量積可以用于計(jì)算風(fēng)速向量在某一平面上的投影，從而分析風(fēng)速在不同方向上的分量。通過建立仿真模型，開展氣象變化模擬活動(dòng)，學(xué)生不僅能夠深入理解平面向量的數(shù)學(xué)原理，還能掌握其在氣象學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。

（三）動(dòng)態(tài)模型，探究病毒流行

病毒流行具有極強(qiáng)的動(dòng)態(tài)性和傳播性，研究病毒傳播過程不僅可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，也可以幫助學(xué)生更好地理解病毒的擴(kuò)散規(guī)律，了解有效防控措施背后的科學(xué)依據(jù)。

在“集合”一節(jié)中，學(xué)生可以利用集合理論建立病毒傳播模型，模擬不同條件下病毒的傳播過程，從而更好地理解集合及其實(shí)際應(yīng)用。首先，學(xué)生可以將不同人群表示為不同的集合，如S表示易感人群，I表示感染人群，R表示痊愈人群。這些集合在不同時(shí)間段內(nèi)的變化反映了病毒的傳播過程。利用集合的交集和并集，學(xué)生可以模擬病毒在人群間的傳播。例如，“S∩I”表示易感人群與感染人群的接觸，在接觸后，一部分易感人群會(huì)有一定概率從S集合轉(zhuǎn)移到I集合，即感染病毒。通過不斷模擬這種轉(zhuǎn)移過程，學(xué)生可以了解病毒在不同人群間的傳播動(dòng)態(tài)，深入理解集合理論的基本概念與應(yīng)用價(jià)值。這種基于實(shí)際問題的建?；顒?dòng)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和科學(xué)素養(yǎng)，提升他們解決復(fù)雜問題的信心和技能［2］。

三、聚焦高質(zhì)課堂，優(yōu)化建?；顒?dòng)過程

（一）建立：選擇適宜工具

在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，選擇適宜的工具至關(guān)重要，不僅可以提高建模的效率，還可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用能力。

在函數(shù)的相關(guān)章節(jié)中，合理選擇建模工具有助于學(xué)生建立和操作函數(shù)模型，直觀地展示函數(shù)的特性和運(yùn)算結(jié)果。例如在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)，首先，學(xué)生可以通過手繪冪函數(shù)的圖象，直觀地理解冪函數(shù)的變化趨勢和特征。教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出不同指數(shù)的冪函數(shù)的圖象，標(biāo)注出重要的“點(diǎn)”，如冪函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，讓學(xué)生掌握冪函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性、凹凸性、對(duì)稱性等。其次，學(xué)生可以使用幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件，構(gòu)建動(dòng)態(tài)的冪函數(shù)模型。數(shù)學(xué)軟件允許學(xué)生在屏幕上繪制和操作冪函數(shù)，實(shí)時(shí)展現(xiàn)函數(shù)圖象的變化。學(xué)生可以直觀地觀察冪函數(shù)在不同指數(shù)下的變化情況，以及函數(shù)在不同區(qū)間的增減性。最后，將計(jì)算機(jī)編程工具運(yùn)用于冪函數(shù)的建模和分析，有助于函數(shù)計(jì)算和將冪函數(shù)可視化。例如，學(xué)生可以編寫Python代碼來計(jì)算冪函數(shù)在不同點(diǎn)的值，進(jìn)行復(fù)雜的冪函數(shù)計(jì)算，并通過圖形界面展示運(yùn)算結(jié)果。這能使學(xué)生在加深對(duì)冪函數(shù)運(yùn)算的理解的同時(shí)，培養(yǎng)編程和數(shù)據(jù)分析的技能。

在建模活動(dòng)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，選擇適宜的工具，并指導(dǎo)學(xué)生掌握這些工具的使用方法。像在上述活動(dòng)中，教師從簡易的紙筆繪圖入手，逐步引入幾何畫板和編程工具，可以循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。

（二）驗(yàn)證：對(duì)比實(shí)際情況

建模后的驗(yàn)證環(huán)節(jié)是確保模型有效性的關(guān)鍵步驟。通過驗(yàn)證，學(xué)生可以確認(rèn)模型是否準(zhǔn)確地反映了現(xiàn)實(shí)情況，并進(jìn)行必要的調(diào)整和優(yōu)化。

以“一元二次不等式”為例。學(xué)生研究某公司廣告投入與銷售額之間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)銷售額y和廣告投入x之間存在函數(shù)關(guān)系，可以用一元二次方程y=ax2+bx+c來表示。學(xué)生通過建立一元二次不等式模型ax2+bx+c≥y0來預(yù)測廣告投入的效果，其中y0是銷售額的最低期望值。建立模型后，學(xué)生需要使用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。例如，收集過去一段時(shí)間內(nèi)不同廣告投入對(duì)應(yīng)的銷售額數(shù)據(jù)，記錄為一組數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi， yi），檢驗(yàn)它們是否滿足一元二次不等式ax2+bx+c≥y0。如果絕大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)滿足不等式，說明模型較為準(zhǔn)確；否則，需要對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。通過建模和驗(yàn)證環(huán)節(jié)的綜合實(shí)踐，學(xué)生能夠掌握一元二次不等式的理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)探究能力，為自己未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）優(yōu)化：改進(jìn)限制條件

模型優(yōu)化是提升建模質(zhì)量的關(guān)鍵步驟，通過調(diào)整和改進(jìn)模型中的限制條件，可以顯著提高模型的精確度和預(yù)測能力。

以概率統(tǒng)計(jì)為例，學(xué)生可以通過優(yōu)化概率模型來提高模型的預(yù)測能力，從而更好地掌握概率理論的實(shí)際應(yīng)用技巧。在“概率”這一節(jié)的教學(xué)中，學(xué)生首先需要理解基本的概率模型。例如，分析某一事件發(fā)生的概率時(shí)，可能會(huì)使用經(jīng)典概率模型、幾何概率模型或離散概率分布模型。這些模型通常建立在一些理想化的假設(shè)條件基礎(chǔ)上，如事件的獨(dú)立性、同等可能性。然而，實(shí)際情況往往更為復(fù)雜，這些假設(shè)條件可能導(dǎo)致模型預(yù)測出現(xiàn)偏差。因此，優(yōu)化模型的關(guān)鍵在于識(shí)別和調(diào)整這些限制條件。例如，學(xué)生使用概率模型預(yù)測某產(chǎn)品的故障率時(shí)，初始模型可能基于產(chǎn)品故障是獨(dú)立且均勻分布的假設(shè)。然而，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品故障受多種因素影響，如生產(chǎn)批次、使用環(huán)境、維護(hù)情況等。這些因素會(huì)導(dǎo)致故障率波動(dòng)，使初始模型的假設(shè)不再適用。為優(yōu)化模型，學(xué)生可以通過數(shù)據(jù)分析收集更多實(shí)際故障數(shù)據(jù)，識(shí)別影響故障率的關(guān)鍵因素。通過這一系列優(yōu)化步驟，學(xué)生不僅能夠提高模型的預(yù)測精度，還能深入理解概率模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

通過對(duì)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)的深入研究，我們發(fā)現(xiàn)，基于知識(shí)應(yīng)用來確立建模主題、豐富建?；顒?dòng)類型和優(yōu)化建模過程，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力的有效途徑。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)問題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新思維。

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